等价关系

等价关系
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设R是集合A上的一个二元关系，若R满足：
1.自反性：
2.对称性：
3.传递性：
则称R是定义在A上的一个等价关系。

例如，设，定义A上的关系R如下：
其中叫做x与y模 3 同餘，即x除以 3 的餘数与y除以3 的餘数相等。

不难验证R为A上的等价关系。

等价类
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在数学中，给定一个集合X和在X上的一个等价关系 ~，则X中的一个元素a的等价类是在X中等价于a的所有元素的子集:。

等价类的概念有助于从已经构造了的集合构造集合。

在X中的给定等价关系 ~ 的所有等价类的集合表示为X/ ~ 并叫做X除以 ~ 的商集。

这种运算可以(实际上非常不正式的)被认为是输入集合除以等价关系的活动，所以名字“商”和这种记法都是模仿的除法。

商集类似于除法的一个方面是如果X是有限的并且等价类都是等势的，则X/~
•如果X是轿车的集合，而~ 是“颜色相同”的等价类，则一个特定等价类由所有绿色轿车组成。

X / ~ 自然的被认同于所有轿车颜色的集合。

•考虑在整数集合Z上的“模2”等价关系: x~y当且仅当x-y是偶数。

这个关系精确的引发两个等价类: [0] 由所有偶数组成，[1] 由所有奇数组成。

在这个关系下[7] [9] 和[1] 都表示Z / ~ 的同一个元素。

•有理数可以构造为整数的有序对(a,b) 的等价类的集合，b不能为零，这里的等价关系定义为
(a,b) ~ (c,d) 当且仅当ad = bc。

这里的有序对(a,b) 的等价类可以被认同于有理数a/b。

[编辑]性质
因为等价关系的a在 [a] 中和任何两个等价类要么相等要么不相交的性质。

得出X 的所有等价类的集合形成X的划分: 所有X的元素属于一且唯一的等价类。

反过来，X的所有划分也定义了在X上等价关系。

它还得出等价关系的性质
a ~ b当且仅当[a] = [b]。

如果 ~ 是在X上的等价关系，而P(x) 是x的元素的一个性质，使得只要x~ y, P(x) 为真如果P(y) 为真，则性质P被称为良好定义的或在关系 ~ 下“类恒定”的。

常见特殊情况出现在f是从X到另一个集合Y的时候；如果x1 ~ x2蕴涵f(x1) = f(x2) 则f被称为在 ~ 下恒定的类，或简单称为在 ~ 下恒定。

这出现在有限群的特征理论中。

对函数f的后者情况可以被表达为交换三角关系．参见不变量。

方块矩阵
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线性代数
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方块矩阵，或简称方阵，是行数及列数皆相同的矩阵。

由矩阵组成的集合，连同矩阵加法和矩阵乘法，构成环。

除了n = 1，此环并不是交换环。

M(n, R)，即实方块矩阵环，是个实有单位的结合代数。

M(n, C)，即复方块矩阵环，则是复结合代数。

单位矩阵I n的对角线全是1而其他位置全是0，对所有矩阵M及矩阵N 都有MI n = M及I n N = N。

例如，若n = 3：
单位矩阵是方块矩阵环的单位元。

方块矩阵环的可逆元称为可逆矩阵或非奇异方阵。

矩阵A是可逆当且仅当存在矩阵B使得
AB = I n( = BA)。

此时B称为A的逆矩阵，并记作A− 1。

所有矩阵在乘法上组成一个群（亦是一个李群），称为一般线性群。

若数字λ和非零向量满足，则为A的一个特征向量，λ是其对应的特征值。

数字λ为A的特征值当且仅当A−λI n可逆，又当且仅当p A(λ) = 0。

这里，p A(x)是A的特征多项式。

特征多项式是一个n次多项式，有n个复根（考虑重根），即A有n个特征值。

方块矩阵A的行列式是其n个特征值的积，但亦可经由莱布尼茨公式计算出来。

可逆矩阵正好是那些行列式非零的矩阵。

高斯-若尔当消元法非常重要，可以用来计算矩阵的行例式，秩，逆矩阵，并解决线性方程组。

矩阵的迹是矩阵的对角线元素之和，也是其n个特征值之和。

所有正交矩阵都是方块矩阵。

[编辑]方块矩阵的等价命题
线性代数中，下列关于方块矩阵A的命题是等价的（同时成立，或同时不成立）：
1.A可逆;A的反矩阵存在。

2.det（A）≠0.
3.rank（A）= n.
4.Null(A) = 0.
5.A的特征值中没有0。

6.对任意b属于F n，A x = b有唯一解。

7.A x = 0只有平凡解。

8.A T A可逆。

9.A与单位矩阵行（列）等价。

10.A的行向量或列向量张成F n.
11.A的零空间只有零向量。

12.A的值域为F n.
13.A的行（列）向量构成F n (F n)中向量的线性无关集。

这里，F为矩阵元素所属的域。

通常，这个域为实数域或复数域。

矩阵
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矩阵
数学上，一个m×n矩阵乃一m行n列的矩形阵列。

矩阵由数组成，或更一般的，由某环中元素组成。

矩阵常见于线性代数、线性规划、统计分析，以及组合数学等。

请参考矩阵理论。

目录
[隐藏]
• 1 历史
• 2 用词
• 3 定义和相关符号
o 3.1 一般环上的矩阵
o 3.2 分块矩阵
• 4 特殊矩阵类别
• 5 矩阵运算
• 6 线性变换，秩，转置
•7 雅可比（Jacobian）行列式
•8 参见
•9 参考文献
•10 外部链接
[编辑]历史
方阵如拉丁方阵和幻方的研究历史悠久可追溯到史前年代。

[来源请求]
作为解决线性方程的工具，矩阵也有不短的历史。

1693年，微积分的发现者之一戈特弗里德·威廉·莱布尼茨建立了行列式论（theory of determinants）。

1750年，加布里
尔·克拉默其后又定下了克莱姆法则。

1800年代，高斯和威廉·约当建立了高斯－约当消去法。

1848年詹姆斯·约瑟夫·西尔维斯特首先创出matrix一词。

研究过矩阵论的著名数学家有阿瑟·凯莱、威廉·卢云·哈密顿、格拉斯曼、弗罗贝尼乌斯和冯·诺伊曼。

[编辑]用词
在英语中，横向称为“Row”，纵向称为“Column”。

在中国大陆，横向译为“行”，纵向译为“列”，而在台湾则相反，横向译为“列”，纵向译为“行”。

[编辑]定义和相关符号
以下是一个4 × 3矩阵：
某矩阵A的第i行第j列，或i,j位，通常记为A[i,j] 或A i,j。

在上述例子中A[2,3]=7。

此外A = (a ij)，意为A[i,j] = a ij对于所有i及j，常见于数学著作中。

[编辑]一般环上的矩阵
给出一环R，M(m,n, R)是所有由R中元素排成的m×n矩阵的集合。

若m=n，则通常记以M(n,R)。

这些矩阵可加可乘 (请看下面)，故M(n,R)本身是一个环，而此环与左R模R n的自同态环同构。

若R可置换，则M(n, R)为一带单位元的R-代数。

其上可以莱布尼茨公式定义行列式：一个矩阵可逆当且仅当它的行列式是在R内的可逆元。

[编辑]分块矩阵
分块矩阵是指一个大矩阵分割成“矩阵的矩阵”。

举例，以下的矩阵
可分割成4个2×2的矩阵。

此法可用于简化运算，简化数学证明，以及一些电脑应用如VLSI芯片设计等。

[编辑]特殊矩阵类别
•对称矩阵是相对其主对角线（由左上至右下）对称，即是a i,j=a j,i。

•埃尔米特矩阵（或自共轭矩阵）是相对其主对角线以复共轭方式对称，即是
a i,j=a*j,i。

•特普利茨矩阵在任意对角线上所有元素相对，是a i,j=a i+1,j+1。

•随机矩阵所有列都是概率向量，用于马尔可夫链。

[编辑]矩阵运算
给出m×n矩阵A和B，可定义它们的和A + B为一m×n矩阵，等i,j项为 (A + B)[i, j] = A[i, j] + B[i, j]。

举例：
另类加法可见于矩阵加法.
若给出一矩阵A及一数字c，可定义标量积cA，其中 (cA)[i, j] = cA[i, j]。

例如这两种运算令M(m, n, R)成为一实数线性空间，维数是mn.
若一矩阵的列数与另一矩阵的行数相等，则可定义这两个矩阵的乘积。

如A是m×n矩阵和B是n×p矩阵，它们的乘积AB是一个m×p矩阵，其中
(AB)[i, j] = A[i, 1] * B[1, j] + A[i, 2] * B[2, j] + ... + A[i, n] * B[n, j] 对所有i及j。

例如
此乘法有如下性质：
•(AB)C = A(BC)对所有k×m矩阵A, m×n矩阵B及n×p矩阵C（"结合律"）.
•(A + B)C = AC + BC对所有m×n矩阵A及B和n×k矩阵C（"分配律"）。

•C(A + B) = CA + CB对所有m×n矩阵A及B和k×m矩阵C（"分配律"）。

要注意的是：交换律不一定成立，即有矩阵A及B使得AB ≠ BA。

对其他特殊乘法，见矩阵乘法。

[编辑]线性变换，秩，转置
矩阵是线性变换的便利表达法，皆因矩阵乘法与及线性变换的合成有以下的连系：
以R n表示n×1矩阵（即长度为n的矢量）。

对每个线性变换f: R n->R m都存在唯一m×n矩阵A使得对所有R n中的元素x，f(x)= Ax。

这矩阵A"代表了"线性变换f。

今另有k×m矩阵B代表线性变换g: R m->R k，则矩阵积BA代表了线性变换g o f。

矩阵A代表的线性代数的映像的维数称为A的矩阵的秩。

矩阵秩亦是A的行（或列）生成空间的维数。

m×n矩阵A的转置是由行列交换角式生成的n×m矩阵A tr（亦记作A T或t A），即对所有i、j，A tr[i, j] = A[j, i] 。

若A代表某一线性变换，则A tr表示其对偶算子。

转置有以下特性：
(A + B)tr = A tr + B tr，(AB)tr = B tr A tr。