9.直线与圆锥曲线中等难度大题2

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圆锥曲线难题集锦(共75题)

圆锥曲线难题集锦1. 如图所示，，分别为椭圆：（）的左、右两个焦点，，为两个顶点，已知椭圆上的点到，两点的距离之和为．（1）求椭圆的方程；（2）过椭圆的焦点作的平行线交椭圆于，两点，求的面积．}2. 已知椭圆：的离心率为，过左焦点且倾斜角为的直线被椭圆截得的弦长为．（1）求椭圆的方程；（2）若动直线与椭圆有且只有一个公共点，过点作的垂线，垂足为，求点的轨迹方程．）3. 已知椭圆的离心率为，点在上．（1）求的方程；（2）直线不过原点且不平行于坐标轴，与有两个交点，，线段的中点为．证明：直线的斜率与直线的斜率的乘积为定值．；4. 已知的顶点，在椭圆上，点在直线：上，且．\（1）当边通过坐标原点时，求的长及的面积；（2）当，且斜边的长最大时，求所在直线的方程．—5. 已知椭圆的中心为坐标原点，一个长轴顶点为，它的两个短轴顶点和焦点所组成的四边形为正方形，直线与轴交于点，与椭圆交于异于椭圆顶点的两点，，且．（1）求椭圆的方程；（2）求的取值范围．￥}6. 已知抛物线的焦点为，是抛物线上横坐标为，且位于轴上方的点，到抛物线准线的距离等于，过作垂直于轴，垂足为，的中点为．（1）求抛物线的方程；（2）若过作，垂足为，求点的坐标．：7. 已知圆过定点，且与直线相切，圆心的轨迹为，曲线与直线相交于，两点．（1）求曲线的方程；—（2）当的面积等于时，求的值．【8. 已知直线与椭圆相交于两个不同的点，记与轴的交点为．（1）若，且，求实数的值；（2）若，求面积的最大值，及此时椭圆的方程．【·9. 如图，设抛物线（）的焦点为，抛物线上的点到轴的距离等于．（1）求的值；（2）若直线交抛物线于另一点，过与轴平行的直线和过与垂直的直线交于点，与轴交于点．求的横坐标的取值范围．}10. 已知点在椭圆上，且点到两焦点的距离之和为．（1）求椭圆的方程；（2）若斜率为的直线与椭圆交于，两点，以为底作等腰三角形，顶点为，求的面积．【11. 已知椭圆的离心率为，且过点．（1）求椭圆的方程；（2）若，是椭圆上的两个动点，且使的角平分线总垂直于轴，试判断直线的斜率是否为定值若是，求出该值；若不是，说明理由．&：12. 已知椭圆：的离心率为．其右顶点与上顶点的距离为，过点的直线与椭圆相交于，两点．（1）求椭圆的方程；（2）设是中点，且点的坐标为当时，求直线的方程．，13. 设，分别是椭圆的左，右焦点，是上一点且与轴垂直．直线与的另一个交点为．（1）若直线的斜率为的离心率；（2）若直线在轴上的截距为，且，．:14. 在平面直角坐标系中，点，直线与动直线的交点为，线段的中垂线与动直线的交点为．（1）求点的轨迹的方程；（2）过动点作曲线的两条切线，切点分别为，，求证：的大小为定值．）15. 已知中心在原点的双曲线的右焦点为，右顶点为．（1）求该双曲线的方程；（2）若直线：与双曲线左支有两个不同的交点，，求的取值范围．￥16. 己知椭圆与抛物线共焦点，抛物线上的点到轴的距离等于，且椭圆与抛物线的交点满足（1）求抛物线的方程和椭圆的方程；（2）过抛物线上的点作抛物线的切线交椭圆于，两点，设线段的中点为，求的取值范围．,17. 已知右焦点为的椭圆：关于直线对称的图形过坐标原点．（1）求椭圆的方程；（2）过点且不垂直于轴的直线与椭圆交于，两点，点关于轴的对称原点为，证明：直线与轴的交点为．#]18. 在平面直角坐标系中，抛物线的顶点是原点，以轴为对称轴，且经过点．（1）求抛物线的方程；（2）设点，在抛物线上，直线，分别与轴交于点，，．求直线的斜率．19. 已知抛物线与直线相切．（1）求该抛物线的方程；（2）在轴正半轴上，是否存在某个确定的点，过该点的动直线与抛物线交于，两点，使得为定值．如果存在，求出点坐标；如果不存在，请说明理由．{；20. 左、右焦点分别为，的椭圆经过点，为椭圆上一点，的重心为，内心为，．（1）求椭圆的方程；（2）为直线上一点，过点作椭圆的两条切线，，，为切点，问直线是否过定点若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由．:21. 已知抛物线，为其焦点，过点的直线交抛物线于，两点，过点作轴的垂线，交直线于点，如图所示．（1）求点的轨迹的方程；·（2）直线是抛物线的不与轴重合的切线，切点为，与直线交于点，求证：以线段为直径的圆过点．·22. 已知椭圆，其短轴为，离心率为．（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆的右焦点为，过点作斜率不为的直线交椭圆于，两点，设直线和的斜率为，，试判断是否为定值，若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由．23. 在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，准线交轴于点，过作直线交抛物线于，两点，且．（1）求直线的斜率；（2）若的面积为，求抛物线的方程．|—24. 过双曲线的右支上的一点作一直线与两渐近线交于，两点，其中是的中点；（1）求双曲线的渐近线方程；（2）当坐标为时，求直线的方程；（3）求证：是一个定值．/25. 如图，线段经过轴正半轴上一定点，端点，到轴的距离之积为，以轴为对称轴，过，，三点作抛物线．~（1）求抛物线的标准方程；（2）已知点为抛物线上的点，过作倾斜角互补的两直线，，分别交抛物线于，，求证：直线的斜率为定值，并求出这个定值．~26. 如图，已知椭圆的左右顶点分别是，，离心率为．设点，连接交椭圆于点，坐标原点是．（1）证明：；（2）若三角形的面积不大于四边形的面积，求的最小值．【27. 已知抛物线的焦点为，过的直线交于，两点，为线段的中点，为坐标原点．，的延长线与直线分别交于，两点．（1）求动点的轨迹方程；（2）连接，求与的面积比．}\28. 已知抛物线过点．过点作直线与抛物线交于不同的两点，，过点作轴的垂线分别与直线，交于点，，其中为原点．（1）求抛物线的方程，并求其焦点坐标和准线方程；（2）求证：为线段的中点．；29. 如图，在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为．点在椭圆上，且位于第一象限，过点作直线的垂线，过点作直线的垂线．…（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线，的交点在椭圆上，求点的坐标．！30. 如图：中，，，，曲线过点，动点在上运动，且保持的值不变．（1）建立适当的坐标系，求曲线的标准方程；（2）过点且倾斜角为的直线交曲线于，两点，求的长度．~31. 已知椭圆的焦点在轴上，中心在坐标原点；抛物线的焦点在轴上，顶点在坐标原点．在，上各取两个点，将其坐标记录于表格中：（1）求，的标准方程；（2）已知定点，为抛物线上一动点，过点作抛物线的切线交椭圆于，两点，求面积的最大值．'32. 已知点为椭圆：的左焦点，且两焦点与短轴的一个顶点构成一个等边三角形，直线与椭圆有且仅有一个交点．（1）求椭圆的方程；（2）设直线与轴交于，过点的直线与椭圆交于不同的两点，，若的取值范围．^33. 已知点100(,)P x y 为双曲线22221(8x y b b b -=为正常数）上任一点，2F 为双曲线的右焦点，过1P 作右准线的垂线，垂足为A ，连接2F A 并延长交y 轴于点2P ．（1）求线段12P P 的中点P 的轨迹E 的方程；（2）设轨迹E 与x 轴交于B ，D 两点，在E 上任取一点Q 111()(0)x y y ≠，，直线QB ，QD 分别交于y 轴于M ，N 两点．求证：以MN【@34. 如图，已知圆G ：222(2)x y r -+=是椭圆2216x y +=1的内接ABC △的内切圆，其中A 为椭圆的左顶点．（1）求圆G 的半径r ；（2）过点M （0，1）作圆G 的两条切线交椭圆于E ，F 两点，证明：直线EF 与圆G 相切．—x35. 设点00(,)P x y 在直线(01)x m y m m =≠±<<，上，过点P 作双曲线221x y -=的两条切线,PA PB ，切点为,A B ，定点10M m ⎛⎫⎪⎝⎭，．（1）过点A 作直线0x y -=的垂线，垂足为N ，试求AMN △的垂心G 所在的曲线方程；（2）求证：A M B 、、三点共线．"36. 作斜率为13的直线l 与椭圆22:1364x y C +=交于,A B 两点（如图所示），且P 在直线l 的左上方.（1）证明：PAB ∆的内切圆的圆心在一条定直线上；（2）若60oAPB ∠=，求PAB ∆的面积.《AxyOPB37. 如图，椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>3x 轴被曲线22:C y x b =-截得的线段长等于1C 的长半轴长.（1）求1C ，2C 的方程；（2）设2C 与y 轴的焦点为M ，过坐标原点O 的直线l 与2C 相交于点A,B ，直线MA,MB 分别与1C 相交与,D E .①证明：MD ME ⊥；￥②记MAB ∆,MDE ∆的面积分别是1S ，2S .问：是否存在直线l ,使得121732S S =请说明理由.】38. 已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点(1,0)K -的直线l 与C 相交于A 、B 两点，点A 关于x 轴的对称点为D . （1）证明：点F 在直线BD 上；（2）设89FA FB =，求BDK ∆的内切圆M 的方程 .！39. (,)()o o o P x y x a ≠±是双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>上一点，,M N 分别是双曲线E 的左、右顶点，直线,PM PN 的斜率之积为15. （1）求双曲线的离心率；（2）过双曲线E 的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于,A B 两点，O 为坐标原点，C 为双曲线上一点，满足OC OA OB λ=+，求λ的值.…40.已知以原点O 为中心，F 为右焦点的双曲线C 的离心率e =（1）求双曲线C 的标准方程及其渐近线方程；（2）如图，已知过点11(,)M x y 的直线1l ：1144x x y y +=与过点22(,)N x y （其中21x x ≠）的直线2l ：2244x x y y +=的交点E 在双曲线C 上，直线MN 与双曲线的两条渐近线分别交于G 、H 两点，求△OGH 的面积．41.如图，在平面直角坐标系xoy 中，椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1(0)F c -，，2(0)F c ，．已知(1)e ，和e ⎛ ⎝⎭都在椭圆上，其中e 为椭圆的离心率． ~（1）求椭圆的方程；（2）设,A B 是椭圆上位于x 轴上方的两点，且直线1AF 与直线2BF 平行，2AF 与1BF 交于点P ．（i）若12AF BF -=1AF 的斜率；（ii ）求证：12PF PF +是定值．;42.如图，椭圆C ：2222+1x y a b=(a ＞b ＞0)的离心率为12，其左焦点到点P (2，1)不过原点O 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，且线段AB 被直线OP 平分．(Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ) 求∆ABP 的面积取最大时直线l 的方程．(43.设A 是单位圆221x y +=上的任意一点，l 是过点A 与x 轴垂直的直线，D 是直线l 与x 轴的交点，点M 在直线l 上，且满足||||(0,1)DM m DA m m =>≠且. 当点A 在圆上运动时，记点M 的轨迹为曲线C ．（Ⅰ）求曲线C 的方程，判断曲线C 为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标；（Ⅱ）过原点且斜率为k 的直线交曲线C 于P ，Q 两点，其中P 在第一象限，它在y 轴上的射影为点N ，直线QN 交曲线C 于另一点H . 是否存在m ，使得对任意的0k >，都有PQ PH ⊥若存在，求m 的值；若不存在，请说明理由.…44../45. 已知动直线l 与椭圆C: 22132x y +=交于P ()11,x y 、Q ()22,x y 两不同点，且△OPQ 的面积OPQ S ∆=2其中O 为坐标原点. （Ⅰ）证明2212x x +和2212y y +均为定值;（Ⅱ）设线段PQ 的中点为M ，求||||OM PQ ⋅的最大值；（Ⅲ）椭圆C 上是否存在点D,E,G ，使得ODE ODG OEG S S S ∆∆∆===判断△DEG 的形状；若不存在，请说明理由.%46.如图，已知椭圆C1的中心在原点O ，长轴左、右端点M ，N 在x 轴上，椭圆C2的短轴为MN ，且C1，C2的离心率都为e ，直线l ⊥MN ，l 与C1交于两点，与C2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A ，B ，C ，D.（I ）设12e =，求BC 与AD 的比值；（II ）当e 变化时，是否存在直线l ，使得BO ∥AN ，并说明理由《47. 平面内与两定点12(,0),(,0)(0)->A a A a a 连线的斜率之积等于非零常数m 的点的轨迹，加上A 1、A 2两点所在所面的曲线C 可以是圆、椭圆或双曲线.(Ⅰ)求曲线C 的方程，并讨论C 的形状与m 的位置关系；(Ⅱ)当m=-1时，对应的曲线为C 1：对给定的(1,0)(0,)m ∈-+∞，对应的曲线为C2，；设F 1、F 2是C 2的两个焦点，试问：在C 1上，是否存在点N ，使得△F 1NF 2的面积2S m a =，若存在，求12tan F NF 的值；若不存在，请说明理由.:48.已知一条曲线C 在y 轴右边，每一点到点F （1,0）的距离减去它到y 轴距离的差都是1. (Ⅰ)求曲线C 的方程；（Ⅱ）是否存在正数m ，对于过点M （m ，0）且与曲线C 有两个交点A,B 的任一直线，都有0FA FB •<若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由。

高考冲刺2(圆锥曲线篇(中等难度))

圆锥曲线篇（中等难度）1、直线y =2k 与曲线9k 2x 2+y 2=18k 2|x |（k ∈R ，且k ≠0）的公共点的个数为（） A.1 B.2 C.3 D.42、已知椭圆)20(14222<<=+b by x 。

左右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线交椭圆于A 、B 两点。

若|BF 2|+|AF 2|的最大值为5，则b 的值是______.3、过点（0,2）引直线l 与曲线21x y -=相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取最大时，直线l 的斜率等于__________。

4、一条直线与抛物线y 2=2px （p >0）交于A ，B 两点，且OA ⊥OB ，OD ⊥AB 于D ，若点D （2，1），则抛物线的方程是________________。

5、已知F 是抛物线y 2=x 的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，2=⋅OB OA （O 为坐标原点，则）△ABO 与△AFO 面积之和的最小是___________.6、如图，内外两个椭圆的离心率相同，从外层椭圆顶点向内层椭圆引切线AC ，BD 。

设内层椭圆方程为)0(12222>>=+b a b y a x 。

若直线AC 与BD 的斜率之积为41-，则椭圆的离心率为__________.7、过双曲线)0(12222>>=-b a by a x 的左焦点F 1，作圆x 2+y 2=a 2的切线交双曲线右支于点P ，切点为T 。

PF 1的中点M 在第一象限，则以下结论正确的是（）8、过双曲线)0(12222>>=-b a by a x 的左右焦点为F 1，F 2。

P 是双曲线上一点，满足|PF 2|=|F 1F 2|，直线PF 1与圆x 2+y 2=a 2=相切，则双曲线的离心率为__________.9、已知点P 为双曲线)0(12222>>=-b a by a x 右支上一点，F 1，F 2分别为双曲线的左右焦点，且|F 1F 2|=ab 2，I 为三角形PF 1F 2的内心，若S △IPF 2+λS △IF 1F 2成立，则的值为_______.10、设A 为双曲线191622=-y x 的右支上一动点，F 为该双曲线的右焦点，连AF 交双曲线于点B ，过点B 作直线BC 垂直于双曲线的右准线于C ，则直线AC 必过定点（，）。

中职数学直线圆圆锥曲线练习测试题(含答案)

解析几何测试题3时间：120分钟满分120分一、选择题（本题共15小题，每题3分，共45分）.1.直线2x -y +2=0和x +3y +1=0的位置关系是( ).A .x -3y +5=0 В.x -3y +6-0C .3x -y -1=0D .3x -y +5=02.方程222460x y x y ++--=表示的图形是( ).A .以(1.-2)为半径的圆B .以（1.2)为半径的圆C .以(-1.-2)为半径的圆D .以(-1.2)为半径的圆3. 直线y -2x +5=0与圆224220x x y y +-++=的图形之间的关系是( ).A .相离B .相切C .相交但不过圆心D .相交且过圆心4. 若220)12x y x y λλλ++-++=（表示圆，则λ的取值范围是( ).A . 0λ>B .115λ C . 1λ>或15λ< D . R λ∈ 5. 若直线3x +4y +k =0与圆22650x y x +-+=相切，则k 的值等于( ).A .1或-19B .10或-10C .-1或-19D . -1或196.已知椭圆221169+=x y 上一点到椭圆的一个焦点的距离为3,则P 到另一个焦点的距离为( ).A .3B .4C .5D .67.焦点在x 轴上，长轴长为8.离心率为12，那么椭圆的标准方程为( ). A . 2211612+=x y B . 2211612-=x yC . 2211216+=x y D . 2211216-=x y 8. 顶点在坐标原点，焦点是(0，-1)的抛物线的标准方程是( ).A . 24=xy B . 24=-x y C . 24=-y x D . 24=y x 9. 若直线3x －2y ＋c ＝0与坐标轴围成的三角形的面积为3，则c 为( ).A ．6B ．－6C ．－6或6D ．3或－310. 经过圆x 2＋y 2＝4上一点M的切线方程为( ).A ．x －y－0 B ．x ＋y －C ．x ＋ y +0 D ．x ＋2y －4＝011.如图所示，直线1l : 0ax y b -+=与直线0bx y a +-=在同一坐标系中只可能是( ).A .B .C .D .12. 若方程x 2cosα－y 2sinα＝1表示的曲线是双曲线，则角α的终边在( ).A ．第一、二象限B ．第二、三象限C ．第二、四象限D ．第一、三象限13. 等轴双曲线的渐近线方程为( ).A ．y ＝±xB ．y ＝±2xC ．y ＝±12xD ．y ＝±23x14. 若ab >0，则方程ax 2－by 2＝ab 表示的曲线是( ).A ．双曲线B ．椭圆C ．椭圆或双曲线D ．圆或椭圆15. 椭圆22259x y +＝1与双曲线22259x y k k ---＝1(9<k <25)始终有( ). A ．相同的离心率 B ．相同的顶点C ．相同的焦点D ．以上结论均错误二、填空题（本题共15道小题每题2分，共30分）16.已知直线3x +(1-a )y +5=0与直线x -y =0平行,则 a =________.17.两平行线3x +4y -10-0与6x +8y -7=0之间的距离是________.18. 抛物线的准线方程为12x =，则抛物线的标准方程为________. 19. 已知直线l 经过点P 0(1，2)，倾斜角为135°，则直线l 的方程为________.20. 以点(－2，3)为圆心，且经过点(2，5)的圆的标准方程为__________．21. 若A (－2，3)，B (－1，7)，C (2，a )三点共线，实数a 的值为________.22.若方程x 2＋y 2＋(1－m )x ＋1＝0表示圆，则m 的取值范围是___________．23. 椭圆的长轴长为18，离心率为13,则椭圆的标准方程为________. 24.若221213x y m m+=--表示椭圆，则m 的取值范围为________. 25. 双曲线222516400-=xy 的两条渐近线方程是___________. 26. 若抛物线22=y px （0p >）上到焦点距离为3的点的横坐标为2.则p =___________.27. 经过P (－1，1)，Q (0，2)两点，且圆心在x 轴上的圆的标准方程是_______．28. 圆(x －2)2＋(y ＋2)2＝2截直线x －y －5＝0所得的弦长为_______．28. 与圆x 2+y 2+6x －2y －15=0有相同的圆心，且过点（-2，3）的圆的半径为______．29. 若圆x+y 2＋y 2＝2与直线y ＝x ＋b 相交，则b 的取值范围是________．30. 若经过双曲线22x －y 2＝1的右焦点F 2的直线交双曲线的右支于A ，B 两点，|AB |＝5，F 1是左焦点，则△F 1BA 的周长为___________．三、解答题(本题共7小题，共45分)31. (6分)若抛物线y 2＝2px 与直线ax ＋y －4＝0的一个交点坐标是(1，2)，求抛物线的焦点到直线的距离.32. (6分)一直线经过点(-2,4)，它的倾斜角是直线y +3的倾斜角的2倍，求它的方程.33. (6分)已知圆过点A (-1,1)，B (1,3)，且圆心在x 轴上，求圆的方程.34. (6分)求经过点A (3, 2)，圆心在直线y ＝2x 上，且与直线2x －y ＋5＝0相切的圆的标准方程．35. (7分)已知点A (3，4)，F 是抛物线y 2＝8x 的焦点，M 是抛物线上的动点，求|MA |＋|MF |的最小值，并求出此时点M 的坐标．36. (7分)求以椭圆2285x y +＝1的顶点为焦点、焦点为顶点的双曲线方程． 37. (7分)已知经过点(0，－2)，且倾斜角为π4的直线与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点．(1)求线段AB 的中点M 的坐标；(2)若某椭圆中心在坐标原点，一个焦点是抛物线的焦点，且长轴长等于 |AB |，求椭圆的标准方程．解析几何测试题3答案一、选择题（本题共15小题，每题3分，共45分）1—5 A D D C A 6—10 C A B C B 11—15 B D A A C二、填空题（本题共15小题，每题2分，共30分）16. 4 17. 131018. 22y x =- 19. x ＋y －3＝020. (x ＋2)2＋(y －3)2＝20 21. 1922. m <－1或m >3 23. 2218172x y +=或2217281x y += 24. 144,,3233⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭25. 54y x =± 26. 2 27. (x －1)2＋y 2＝528.29. (－2，2)30. 10三、解答题（本题共7小题，共45分）31. 解：将点 (1，2)分别代入抛物线方程y2＝2px与直线方程ax＋y－4＝0，得p＝2，a＝2，∴抛物线方程y2＝4x，∴焦点F(1，0)，∴抛物线的焦点到直线2x＋y－4＝0的距离为d=32.解：由直线33y x=+可知3k=_，所以tanθ=3k=，所以θ=30︒. 所以所求方程的倾斜角为60︒.故tan60k=︒=.所以所求直线方程为y-4x+2)-y+4+33. 解：设所求圆的圆心为()0a,=解得a=2.所以圆心为()3,0，半径r=所以所求圆的方程为()22310x y-+=34. 解：圆心在直线y＝2x上，设圆心坐标为(a，2a)，半径为r，则222(3)(22),a a rr⎧-+-=⎪⎨==⎪⎩整理得5a2－14a＋8＝0，解得a＝2或a＝45∴圆的标准方程为(x－2)2＋(y－4)2＝5或224855x y⎛⎫⎛⎫-+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝5.35. 解：抛物线y2＝8x的焦点F的坐标为(2，0)，准线l的方程为x＝－2，过点M作MN⊥l，垂足为N.根据抛物线的定义知|MF |＝|MN |，∴|MA |＋|MF |＝|MA |＋|MN |，当点M 的纵坐标与点A 的纵坐标都是4时，|MA |＋|MF |的最小值为 |3－(－2)|＝5.此时，点M 的坐标是(2，4)．36. 解：椭圆2285x y +＝1的顶点坐标为(－20)，(0)，焦点坐标为(0)，0)，∴双曲线的顶点坐标为(0)，0)，焦点坐标为(－0)，(20)，即双曲线中a c ＝∴b 2＝c 2－a 2＝8－3＝5.∵双曲线的焦点在x 轴上， ∴双曲线方程为2235x y -＝1. 37. 解：(1) 直线经过点(0，－2)，且斜率为k =tanπ4=1，所以直线方程为y －(－2)＝x ，即y ＝x －2.由22,4,y x y x =-⎧⎨=⎩得x 2－8x ＋4＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，线段AB 的中点M (x 0，y 0)，则x 1＋x 2＝8，x 1x 2＝4，∴x 0＝12822x x +==4，y 0＝x 0－2＝4－2＝2， ∴点M 的坐标为(4，2)．(2)∵椭圆的焦点是抛物线y 2＝4x 的焦点(1，0)，椭圆的长轴长2a ＝|AB |∴a ＝c ＝1，∴b 2＝a 2－c 2＝2－1＝23.∵焦点在x 轴上， ∴椭圆的标准方程为222423x y +＝1.。

直线与圆锥曲线压轴大题

点点
��2 P(x0,y0)在椭圆��2
+ −
��2 �� 2 ��
2 =1
��2 P(x0,y0)在双曲线��2
2 =1
��2 ��2 0 0 内(外)部的充要条件是��2 − 2 >1(<1); ��
中,以 P(x0,y0)为中点的弦所在直线的斜率
�� 0 k=- 2 ;在双 �� 0
2
2
�� 0 − 2 =1 中,以 P(x0,y0)为中点的弦所在直线的斜率 k= 2 ;在 �� 0 �� 抛物线 y2=2px(p>0)中,以 P(x0,y0)为中点的弦所在直线的斜率 k= . ��0
①若a=0,当圆锥曲线是双曲线时,直线l与双曲线的渐近线平行;
当圆锥曲线是抛物线时,直线l与抛物线的对称轴平行(或重合). ②若a≠0,设Δ=b2-4ac. 当Δ>0时,直线和圆锥曲线相交于不同两点; 当Δ=0时,直线和圆锥曲线相切于一点; 当Δ<0时,直线和圆锥曲线没有公共点.
-4-
2.直线与圆锥曲线相交时的弦长问题 (1)斜率为 k(k≠0)的直线与圆锥曲线交于两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2), 则所得弦长|P1P2|= 1 + �� 2 · |x1-x2|或|P1P2|= 1 +
��2 ��2 0 0 内(外)部的充要条件是��2 + 2 <1(>1); ��
点 P(x0,y0)在抛物线 y2=2px(p>0)的内(外)部的充要条件是 2 2 ��0 <2px0(��0 >2px0).

方法技巧专题09 直线与圆锥曲线 (解析版)

方法技巧专题9 直线与圆锥曲线解析版1.例题【例1】已知椭圆22143x y +=，直线l ：()1x my m m R +-=∈，直线l 与椭圆的位置关系是（）A ．相离B ．相交C ．相切D ．不确定【解析】直线l ：()1x my m m R +-=∈化为()110x m y -+-=，可得直线l 恒过点()1,1，由2211143+<可知该点在椭圆内部.所以直线l 与椭圆相交，故选：B .【例2】已知点,A B 为曲线1y x =上两个不同的点，,A B 的横坐标12x x 、是函数21()ln 2f x ax ax x =--的两个极值点，则直线AB 与椭圆2214x y +=的位置关系是（）A ．相离B ．相切C ．相交D ．位置关系不确定【解析】由21()ln 2f x ax ax x =--，得211()ax ax f x ax a x x--'=--=，因为,A B 的横坐标12x x 、是函数21()ln 2f x ax ax x =--的两个极值点，所以12x x 、是方程210ax ax --=的两根，因此1212110x x x x a a +=⎧⎪⎪=-⎨⎪≠⎪⎩，又点,A B 为曲线1y x =上两个不同的点，所以121212111ABx x k a x x x x -==-=- 因此直线AB 的方程为：111()ya xx x ，即1121211()(1)yaxax axax ax axa x x ax a a xx ，即直线AB 恒过定点(1,0)，又点(1,0)显然在椭圆2214x y +=内，因此直线AB 与椭圆2214x y +=必相交.故选：C.【例3】已知是椭圆的左右焦点，是直线上一点，若的最小值是，则实数__________.【解析】依题意椭圆，则，，又因为，是直线上一点，12,F F 22:143x y C +=P : ()l y x m m R =+∈12PF PF +4m =22:143x y C +=24a =2a =P :()l y x m m R =+∈若的最小值是，则此直线与椭圆相切.由消去并化简得，判别式，解得.故答案为：. 【例4】直线3y x与曲线2194x xy -=（）A ．没有交点B ．只有一个交点C ．有两个交点D ．有三个交点【解析】当0x ≤时，曲线为22194y x +=，与直线方程联立得：213240x x +=解得：10x =，22413x =-∴此时直线与曲线有两个交点当0x >时，曲线为22194y x -=，与直线方程联立得：25240x x -=解得：10x =（舍），2245x =∴此时直线与曲线有一个交点综上所述：直线与曲线有三个交点故选：D【例5】已知直线与双曲线的右支相交于不同的两点，则k 的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．【解析】双曲线渐近线为，直线过定点.画出双曲线的图像以及双曲线渐近线的图像如下图所示，由图可知，要使直线与双曲线的右支相交于不同的两点，则，结合选项可知只有D 选项符合.由消去得，化简得，因为直线与双曲线的右支相交于不同的两点，所以，解得. 故选：D.12PF PF +422143x y y x m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩y 22784120x mx m ++-=()24870m∆=-=m =2y kx =+224x y -=(1,1)-()-(1,)(,1)-y x =±2y kx =+(0,2)2y kx =+224x y -=1k <-2224y kx x y =+⎧⎨-=⎩y ()2224x kx -+=()221480k xkx ---=2y kx =+224x y -=()221632101k k k ⎧∆=+->⎪⎨<-⎪⎩21k <<-【例6】已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b -=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线l 与圆222x y a +=相切于点T ，且直线l 与双曲线C 的右支交于点P ，若T F P F 114=，则双曲线C 的离心率为______. 【解析】如图，由题可知12OF OF c ==，OT a =，则1FT b =，又T F P F 114=，3TP b ∴=，14F P b∴=，又122PF PF a -=，242PF b a ∴=-作2//F M OT ，可得22F M a =，TM b =，则2PM b = 在2MPF ∆，22222PM MF PF +=，即()222c b a =-，2b a c =+又222c a b =+，化简可得223250c ac a --=，同除以2a ，得23250e e --=解得53e =，双曲线的离心率为53【例7】若直线210x cy -+=是抛物线2x y =的一条切线，则c =_________【解析】联立直线和抛物线得到2210x cy x y-+=⎧⎨=⎩2210cx x ⇒--=01c ⇒∆=⇒=-．故答案为：1-.【例8】已知抛物线C 的方程为212x y =，过点(0,1)A -和点(3)B t ，的直线与抛物线C 没有公共点，则实数t 的取值范围是（） A ．(,1)(1,)-∞-⋃+∞B．(,)-∞⋃+∞ C．(,)-∞-⋃+∞D．(,)-∞⋃+∞【解析】据已知可得直线AB 的方程为41y x t=-，联立直线与抛物线方程，得241{12y x t x y=-=，消元整理，得24210x x t -+=，由于直线与抛物线无公共点，即方程24210x x t-+=无解，故有24()80t--<，解得t >或t <【例9】过点(0,2)P 且与抛物线22(0)y px p =>只有一个公共点的直线有（） A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条【解析】画出图像如下图所示，由图可知，2,0y x ==这两条直线与抛物线只有一个公共点，另外过P 点还可以作出一条与抛物线相切的直线PA ，故符合题意的直线有3条，故选C.2.巩固提升综合练习【练习1】已知曲线1:2C y x -=与曲线222:4C x y λ+=怡好有两个不同的公共点，则实数λ的取值范围是（） A ．(][),10,1-∞- B ．(]1,1-- C ．[)1,1- D ．[]()1,01,-+∞【解析】双曲线1C 的方程为2,022,0y y x y y y -≥⎧=-=⎨--<⎩，所以，曲线1C 的图象与曲线2C 的图象必相交于点()0,2±，为了使曲线1C 与曲线2C 恰好有两个公共点，将2x y =-代入方程224y x λ+=，整理可得()214440y y λλλ+-+-=.①当1λ=-时，2y =满足题意；②当1λ≠-时，由于曲线1C 与曲线2C 恰好有两个公共点，()()2161611160λλλ∴∆=-+-=>，且2是方程()214440y y λλλ+-+-=的根，则()4101λλ-<+，解得11λ-<<.所以，当0y ≥时，11λ-≤<.根据对称性可知，当0y <时，可求得11λ-≤<. 因此，实数λ的取值范围是[)1,1-. 故选：C.【练习2】对不同的实数值m ,讨论直线y x m =+与椭圆2214xy +=的位置关系.【解析】由2214y x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得，2258440x mx m ++-= ()()222644544165m m m ∆=-⨯⨯-=-当0∆>时，25,m m <<< 当0∆=25,m m =∴= 当0∆<，25,m m m >∴><.【练习3】过点()3,0和双曲线()2210x ay a -=>仅有一交点的直线有（） A ．1条B ．2条C ．4条D ．不确定【解析】直线斜率不存在时,不满足条件；直线斜率存在时,与渐近线平行的直线,满足题意∴过点()3,0和双曲线()2210x ay a -=>仅有一交点的直线有2条故选:B ．【练习4】已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点为F ，过点F 且倾斜角为45°的直线与双曲线的右支一定有两个交点，则此双曲线的离心率的取值范围是（）A ．B ．(1,2)C ．D ．)+∞【解析】双曲线22221x y a b-=的渐近线方程为b y x a =±，由题意可知，双曲线渐近线的倾斜角范围是0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭，渐近线斜率1()0,k ∈，而b k a ==由此得不等式2221c a a-<，即222c a <，故2222c e a=<，所以1e << 故选：C ．【练习5】已知抛物线24y x =，直线l 过定点(-1,0)，直线l 与抛物线只有一个公共点时，直线l 的斜率是__________.【解析】由题意可设直线方程为：y ＝k （x +1），联立方程可得，()214y k x y x⎧=+⎨=⎩，整理可得k 2x 2+（2k 2﹣4）x +k 2＝0（*）直线与抛物线只有一个公共点∴（*）只有一个根 ①k ＝0时，y ＝0符合题意 ②k ≠0时，∴＝（2k 2﹣4）2﹣4k 4＝0 整理，得k 2＝1，解得1k =或k ＝﹣1．综上可得，1k =或k ＝﹣1或k ＝0．故答案为﹣1或0或1【练习6】已知抛物线21:2C y px =的焦点F 与椭圆22184x y +=的右焦点重合，抛物线1C 的准线与x 轴的交点为K ，过K 作直线l 与抛物线1C 相切，切点为A ，则AFK △的面积为（） A ．32B ．16C ．8D ．4【解析】抛物线1C 的焦点为,02p ⎛⎫⎪⎝⎭,椭圆的焦点为()2,0,所以22p =,即4p =,所以抛物线方程为:28y x =,则K 为()2,0-,设直线l 为()2y k x =+,则联立()228y k x y x⎧=+⎨=⎩,消去y ,可得()22224840k x k x k +-+=,因为直线l 与抛物线1C 相切,所以()222248440k k k ∆=--⋅=,则1k =±,当1k =时,直线l 为2y x =+,则点A 为()2,4,则1144822AFKA S AF y =⋅=⨯⨯=, 由抛物线的对称性,当1k =-时,8AFKS =,故选:C【一】弦长公式1.例题【例1】斜率为1的直线l 与椭圆x 24＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则|AB |的最大值为( )A ．2 B.455 C.4105 D.8105【解析】选C 设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，直线l 的方程为y ＝x ＋t ，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝4，y ＝x ＋t 消去y ，得5x 2＋8tx ＋4(t 2－1)＝0，则x 1＋x 2＝－85t ，x 1x 2＝4(t 2－1)5.∴|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝2·⎝⎛⎭⎫－85t 2－4×4(t 2－1)5＝425·5－t 2，当t ＝0时，|AB |max ＝4105. 【例2】已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为63，焦距为2 2.斜率为k 的直线l 与椭圆M 有两个不同的交点A ，B .(1)求椭圆M 的方程；(2)若k ＝1，求|AB |的最大值．【解析】(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝b 2＋c 2，c a ＝63，2c ＝22，解得a ＝3，b ＝1.所以椭圆M 的方程为x 23＋y 2＝1.(2)设直线l 的方程为y ＝x ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 23＋y 2＝1，得4x 2＋6mx ＋3m 2－3＝0，所以x 1＋x 2＝－3m2，x 1x 2＝3m 2－34.所以|AB |＝(x 2－x 1)2＋(y2－y 1)2＝2(x 2－x 1)2＝2[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝12－3m 22. 当m ＝0，即直线l 过原点时，|AB |最大，最大值为 6.【例3】椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F 1，右焦点为F 2，离心率e ＝12，过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为8.(1)求椭圆E 的方程；(2)若直线AB 的斜率为3，求△ABF 2的面积．【解析】(1)由题意知，4a ＝8，所以a ＝2，又e ＝12，所以c a ＝12，c ＝1，所以b 2＝22－1＝3，所以椭圆E 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)设直线AB 的方程为y ＝3(x ＋1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3(x ＋1)，x 24＋y 23＝1，得5x 2＋8x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝－85，所以y 1＝3，y 2＝－335.所以S △ABF 2＝c ·|y 1－y 2|＝1×⎪⎪⎪⎪3＋335＝835.【例4】已知是抛物线的焦点，则过作倾斜角为的直线分别交抛物线于（在轴上方）两点，则的值为( )F 24y x =F 60︒,A B A x ||||AF BFAB ．C ．D ．【解析】，∴. 【例5】设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过F 且斜率为k (k >0)的直线l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝8.(1)求l 的方程；(2)求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．【解析】(1)由题意得F (1,0)，l 的方程为y ＝k (x －1)(k >0)．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，y 2＝4x 得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0. Δ＝16k 2＋16>0，故x 1＋x 2＝2k 2＋4k2.所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝(x 1＋1)＋(x 2＋1)＝4k 2＋4k 2.由题设知4k 2＋4k 2＝8，解得k ＝1或k ＝－1(舍去)．因此l 的方程为y ＝x －1.(2)由(1)得AB 的中点坐标为(3,2)，所以AB 的垂直平分线方程为y －2＝－(x －3)，即y ＝－x ＋5.设所求圆的圆心坐标为(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝－x 0＋5，(x 0＋1)2＝(y 0－x 0＋1)22＋16. 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝3，y 0＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝11，y 0＝－6.因此所求圆的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝16或(x －11)2＋(y ＋6)2＝144.【例6】已知抛物线y 2＝16x 的焦点为F ，过F 作一条直线交抛物线于A ，B 两点，若|AF |＝6，则|BF |＝________. 【解析】不妨设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(A 在B 上方)，根据焦半径公式|AF |＝x 1＋p2＝x 1＋4＝6，所以x 1＝2，y 1＝42，所以直线AB 的斜率为k ＝422－4＝－22，所以直线方程为y ＝－22(x －4)，与抛物线方程联立得x 2－10x ＋16＝0，即(x －2)(x －8)＝0，所以x 2＝8，故|BF |＝8＋4＝12.答案：12234||1cos60p AF =-︒||1cos60pBF =+︒||10.53||10.5AF BF +==-【例7】已知斜率为1的直线l 与双曲线24x -y 2＝1的右支交于A ，B 两点，若|AB |＝8，则直线l 的方程为（）A ．y ＝xB ．y ＝xC ．y ＝x 5-D ．y ＝x 5+【解析】设斜率为1的直线l 的方程为y x t =+，联立双曲线方程2214x y -=，可得2238440x tx t +++=，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，可得1283t x x +=-，212443t x x +=，则2222121264161643||1()4228933t t t AB x x x x +-+-=-==，解得t =，由于直线l 与双曲线的右支交于两点，可得t =则直线l 的方程为y x =- 故选：B ．【例8】过双曲线22194x y -=的左焦点作弦AB ，使AB 4=，则这样的直线AB 的条数为______.【解析】c ==当直线AB 不存在斜率时，直线方程为x =x =43y =±，此时448()4333AB =--=<，这样有两条直线过左焦点作弦AB 只与双曲线左支相交，使AB 4=；直线AB 与双曲线左右两支都相交时，弦AB 的最小值为26a =，所以过左焦点作弦AB 与左右两支都相交，使AB 4=的直线是不存在的. 故答案为：2【例9】已知双曲线2212y x -=（1）求直线1y x =+被双曲线截得的弦长；（2）过点()1,1P 能否作一条直线l 与双曲线交于,A B 两点,且点P 是线段AB 的中点？【解析】（1）设直线1y x =+与2212yx -=的交点()()3344,,,P x y Q x y联立方程组22121y x y x ⎧+-==⎪⎨⎪⎩，化简得：2230x x --=，解得341,3x x =-=，所以()()1,0,3,4P Q -，所以弦长PQ ==（2）假设存在直线l 与双曲线交于,A B 两点,且点P 是线段AB 的中点.设()11,A x y ,()22,B x y ,易知12x x ≠,由221122221212y x y x ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩两式相减得()()()()1212121202y y y y x x x x +-+--=,又1212x x +=,1212y y+=，所以()()121220x x y y ---=,所以12122AB y y k x x -==-, 故直线l 的方程为()121y x -=-,即21y x =-.由222112y x y x =-⎧⎪⎨-=⎪⎩,消去y 得22430x x -=＋, 因为162480∆=-=-<,方程无解,故不存在一条直线l 与双曲线交于,A B 两点,且点P 是线段AB 的中点.2.【练习1】已知椭圆C 的两个焦点为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，且经过点E ⎝⎛⎭⎫3，32. (1)求椭圆C 的方程；(2)过F 1的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点(点A 位于x 轴上方)，若AF 1―→＝2F 1B ―→，求直线l 的斜率k 的值．【解析】(1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，由⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝|EF 1|＋|EF 2|＝4，a 2＝b 2＋c 2，c ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c ＝1，b ＝3，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)由题意得直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)(k ＞0)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋1)，x 24＋y 23＝1，整理得⎝⎛⎭⎫3k 2＋4y 2－6k y －9＝0，则Δ＝144k 2＋144＞0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝6k3＋4k 2，y 1y 2＝－9k 23＋4k 2，又AF 1―→＝2F 1B ―→，所以y 1＝－2y 2，所以y 1y 2＝－2(y 1＋y 2)2，则3＋4k 2＝8，解得k ＝±52，又k ＞0，所以k ＝52. 【练习2】已知椭圆:E 22221x y a b+=（0a b >>）的半焦距为c ，原点O 到经过两点(),0c ，()0,b 的直线的距离为12c ．（Ⅰ）求椭圆E 的离心率；（Ⅱ）如图，AB 是圆:M ()()225212x y ++-=的一条直径，若椭圆E 经过A ，B 两点，求椭圆E 的方程．【答案】（Ⅱ）221123x y +=．【解析】（Ⅰ）过点()(),0,0,c b 的直线方程为0bx cy bc +-=，则原点O 到直线的距离bcd a==，由12d c =，得2a b ==c e a ==. （Ⅱ）由（1）知，椭圆E 的方程为22244x y b +=. 依题意，圆心()2,1M -是线段AB的中点，且AB =易知，AB 不与x 轴垂直.设其直线方程为()21y k x =++，代入（1）得()()()22221482142140k xk k x k b +++++-=.设()()1122,,,A x y B x y ，则()12282114k k x x k++=-+，()22122421414k b x x k+-=-+.由124x x +=-，得()2821=414k k k +--+，解得12k =. 从而21282x x b =-.于是12AB x =-==由AB ==23b =.故椭圆E 的方程为221123x y +=.【练习3】已知抛物线x y C 3:2=的焦点为F ，斜率为的直线l 与C 的交点为B A ,，与x 轴的交点为P ．（1）若4=+BF AF ，求l 的方程；（2）若，求AB ．【答案】（1）；（2）. 【解析】设直线．（1）由题设得，故，由题设可得．323AP PB =3728y x =-3()()11223:,,,,2l y x t A x y B x y =+3,04F ⎛⎫⎪⎝⎭123||||2AF BF x x +=++1252x x +=由，可得，则．从而，得．所以的方程为．（2）由可得．由，可得．所以．从而，故．代入的方程得．故．【练习4】如图，过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线l 交抛物线于点,A B ，交其准线于点C ，若4BC BF =，且6AF =，则p 为（）A ．94B ．92C ．9D ．18【解析】设准线与x 轴交于点P ，作BH 垂直于准线，垂足为H .2323y x t y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩22912(1)40x t x t +-+=1212(1)9t x x -+=-12(1)592t --=78t =-l 3728y x =-3AP PB =123y y =-2323y x t y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩2220y y t -+=122y y +=2232y y -+=211,3y y =-=C 1213,3x x ==||AB =由4BC BF =，得：45BH BC PF CF ==，由抛物线定义可知：BF BH =，设直线l 的倾斜角为θ，由抛物线焦半径公式可得：41cos 5pBF BF PF p p θ+===，解得：1cos 4θ=， 46131cos 3144p p p AF p θ∴=====--，解得：92p =，本题正确选项为B.【练习5】已知复数(),z x yi x y R =+∈满足：2z z a -=（02a <<，且z 在复平面上的对应点P 的轨迹C 经过点(. （1）求C 的轨迹；（2）若过点()4,0A ，倾斜角为4π的直线l 交轨迹C 于M 、N 两点，求OMN ∆的面积S . 【解析】（1）由于复数(),z x yi x y R =+∈满足：552z z a +--=（0225a <<），所以z 在复平面上的对应点P 到()5,0-、()5,0两点的距离之差为常数2a ，且0225a <<.所以P 的轨迹是双曲线的右支.且5c =.设轨迹C 的方程为()2222125x y x a a-=≥-，将点()4,3代入上式得2216315a a -=-，解得24a =或220a =（舍去），所以C 的轨迹方程为()22124x y x -=≥. （2）依题意，直线l 的方程为4y x =-，由22414y x x y =-⎧⎪⎨-=⎪⎩消去y 得2332680x x -+=. 设()()1122,,,M x y N x y ，则12123268,33x x x x +=⋅=. 所以MN =3===. O 到直线l 的距离为d == 所以112233S MN d =⋅⋅=⨯=.【练习6】已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b -=>>与双曲线221164x y -=有相同的渐近线，且双曲线C 过点(．(1)若双曲线C 的左、右焦点分别为1F ，2F ，双曲线C 上有一点P ，使得1260F PF ∠=︒，求∴12F PF 的面积；(2)过双曲线C 的右焦点2F 作直线l 与双曲线右支交于A ，B 两点，若∴1F AB 的周长是403，求直线l 的方程．【解析】(1) 设双曲线C ：22164x y λ-=，点(代入得：14λ=∴双曲线C ：2214x y -=在∴PF 1F 2中，设12,PF m PF n == ，∴22124201cos 22m n m n F PF mn ⎧-=⎪⎨+-∠==⎪⎩①② ，由②得：()2220m n mn mn -+-=， 16220mn mn +-=， 4mn = ，∴121sin602PF F Smn =⋅=；(2) ∴1112240+22823F ABCAF BF AB AF a BF a AB AB =+=++++=+=∴83AB =， 1°当直线AB 斜率不存在时，1AB =，不符合题意（舍） 2°当直线AB 斜率存在时，设AB：(y k x = ，联立：(2214y k x xy ⎧=⎪⎨⎪-=⎩ ，()2222412040k x x k --++=∴()2122241834141k AB x k k +=-===--，解得：1k =±，此时>0∆ ，∴直线l方程：y x =或y x =-+1.例题【例1】过抛物线24y x =的焦点F 的直线交抛物线于,A B 两点,点O 是原点,若3AF =;则AOB ∆的面积为（） ABCD．【解析】抛物线24y x =焦点为()1,0F ，准线方程为1x =-，由3AF =得1(2,(,2A B或1(2,(2A B - 所以12AOB A B S OF y y ∆=⨯⨯-112=⨯⨯=C ．【例2】已知点F 是抛物线C ：24y x =的焦点，直线l 与抛物线C 相切于点()()000,0P x y y >，连接PF交抛物线于另一点A ，过点P 作l 的垂线交抛物线C 于另一点B .（1）若01y =，求直线l 的方程；（2）求三角形PAB 面积S 的最小值【解析】（1）由01y =得1,14P ⎛⎫⎪⎝⎭,设直线l 的方程为()114t y x -=-, 由()21144t y x y x⎧-=-⎪⎨⎪=⎩得24410y ty t -+-=,因为直线l 与抛物线C 相切,故()2164410t t ∆=--=,解得12t =. 故所求直线l 的方程()11124y x -=-,即122y x =+.（2）设切线l 的方程为()00t y y x x -=-,211,4y A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭,222,4y B y ⎛⎫⎪⎝⎭, 又由A ,F ,P 三点共线,故//FA FP ,2111,4y y FA ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,2001,4y FP y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,化简可得,104y y =-,20044,A y y ⎛⎫- ⎪⎝⎭,由()0024t y y x x y x⎧-=-⎨=⎩得2004440y ty y x -+-=,因为直线l 与抛物线C 相切,故024y t =,即02y t =, 故直线PB 的方程为()0002y y y x x -=--,3002204y y x y y +--=,因此点A 到直线PB 的距离为224y d +==,由300222044y y x y y y x ⎧+--=⎪⎨⎪=⎩得()23000880y y y y y +-+=,0208y y y +=-,2008y y y =--,故200082y y y B y P =-=+, 所以22004118222PAB y S d PB y y ∆+==+3200414y y ⎛⎫+= ⎪⎝⎭33001411644y y ⎛⎛⎫=+≥= ⎪ ⎝⎭⎝等号成立当且仅当004y y =,即02y =时等号成立. 此时三角形PAB 面积S 的最小值为16.【例3】已知点1F ，2F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两个焦点，P 为椭圆C 上一点，且122F PF π∠=．若∴12PF F 的面积为9，则b =_______【解析】122F PF π∠=,12PF F ∆的面积为9，设1||PF m =，2||PF n =．则22221924m n a mn m n c +=⎧⎪⎪=⎨⎪+=⎪⎩可得：224364c a +=，即2229a c b -==，解得3b =．【例4】已知点A (0，－2)，椭圆E ：22221x y a b += (a >b >0)F 是椭圆E 的右焦点，直线AF，O 为坐标原点. (1)求E 的方程；(2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点.当∴OPQ 的面积最大时，求l 的方程. 【解析】（1）设(),0F c ，因为直线AF的斜率为3，()0,2A -所以23c =，c =又2222c b a c a ==-解得2,1a b ==，所以椭圆E 的方程为2214x y +=.（2）解：设()()1122,,,P x y Q x y 由题意可设直线l 的方程为：2y kx =-，联立221{42,x y y kx +==-，消去y 得()221416120k x kx +-+=，当()216430k ∆=->，所以234k >，即k <或k > 1212221612,1414k x x x x k k +==++. 所以PQ ===点O 到直线l 的距离d =12OPQS d PQ ∆==0t =>，则2243k t =+，244144OPQ t S t t t ∆==≤=++，当且仅当2t =2=，解得k =时取等号，满足234k >所以OPQ ∆的面积最大时直线l 的方程为：22y x =-或22y x =--. 2.【练习1】抛物线24y x =的焦点为F ,准线为l ,经过F x 轴上方的部分相交于点A ,AK l ⊥,垂足为K ,则AKF ∆的面积是( )A ．4B ．C ．D ．8【解析】由抛物线24y x =可得()1,0F ,则直线方程为)1y x =-=联立24y y x⎧=⎪⎨=⎪⎩消y 得231030x x -+=,解得11=3x ,23x =,因为交点A 在x 轴上方,所以3x =,则(3,A ,则4AF ==,则由抛物线定义可得4AK AF ==,即倾斜角为60︒,因为AK l ⊥,所以//AK x 轴,即60KAF ∠=︒,所以11sin 4422AKFSAF AK KAF =⋅⋅∠=⨯⨯=故选:C 【练习2】已知P 为椭圆22412575x y +=上一点，12F F ，是椭圆的焦点，1260F PF ∠=︒，则12F PF ∆的面积为________．【解析】由椭圆方程得：5a =，2b =52c ==设1PF m =，2PF n =，则210m n a +== 在12F PF ∆中，由余弦定理得：()22222122*********cos 2222m n mn c m n c mn F PF mn mn mn +--+---∠====解得：25mn =12121sin 2F PF S mn F PF ∆∴=∠=【练习3】如图所示,直线y kx b =+与椭圈2214xy +=交于A ､B 两点,记AOB ∆面积为S ;(1)求在0k =,01b <<的条件下S 的最大值; (2)当2AB =,1S =,0k >时,求直线AB 的方程;【解析】设()11,A x y ,()22,B x y ,（1）当0k =时,y b =,联立2214y b x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩,即2214x b +=,所以1x =2x =-所以12AB x x =-=则122S AB b == 因为01b <<,cos α=,则sin b α=,02πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，,则2sin cos sin 2S ααα==,因为()20,απ∈,所以(]0,1S ∈,则S 的最大值为1 （2）因为2AB =,1S =,所以1h ==,即221b k =+,联立()22014y kx b k x y ⎧=+>⎪⎨+=⎪⎩,则()222148440k x kbx b +++-=, 所以122814kb x x k -+=+,21224414b x x k-=+,则21AB x =-==214k=+214k=+2=, 整理可得424410k k -+=,解得212k =,所以2k =或2-（舍）, 则213122b =+=,所以2b =2b =-,所以直线AB的方程为22y x=+或22y x =-【练习4】已知椭圆Γ：22221(0)x y a b a b +=>> 4.（∴）求椭圆Γ的标准方程；（∴）直线l 与椭圆Γ交于A ，B 两点，AB 的中点M 在圆221x y +=上，求AOB ∆（O 为坐标原点）面积的最大值.【解析】（∴）由题意知ca =c =，12b a =，所以22223314x y c c+=，由椭圆Γ的四个顶点围成的四边形的面积为4，得24ab =，所以2a =，1b =，椭圆Γ的标准方程为2214x y +=.（∴）当直线l 的斜率不存在时，令1x=±，得y=±112AOB S ∆=⨯= 当直线l 的斜率存在时，设l :y kx m =+，()11,A x y ，()22,B x y ，()00,M x y ，由2244y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，得()222148440k x kmx m +++-=，则122814km x x k +=-+，21224414m x x k-=+，所以02414km x k =-+，2002241414k m my kx m m k k=+=-+=++，将224,1414km m k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭代入221x y +=，得()222214161k m k +=+，又因为AB == 原点到直线l的距离d =所以12AOB S ∆==22214k =+=22161k =+22211611612k k +≤⨯=+. 当且仅当221214k k =+，即4k =±时取等号. 综上所述，AOB ∆面积的最大值为1. 1.已知直线与抛物线交于，两点，则等于（） A ．B ．6C ．7D ．8【解析】方法一：设为,为,联立得,1y x =-214x y =A B AB A ()11,x y B ()22,x y 2114y x x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩2610x x -+=因为,则, 所以方法二：84sin 4sin 222===πθp AB 故选：D2.已知直线y ＝－x ＋1与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)相交于A ，B 两点，若椭圆的离心率为22，焦距为2，则线段AB 的长是( )A.223B.423C. 2 D ．2【解析】选B 由条件知c ＝1，e ＝c a ＝22，所以a ＝2，b ＝1，椭圆方程为x 22＋y 2＝1，联立直线方程与椭圆方程可得交点坐标为(0,1)，⎝⎛⎭⎫43，－13，所以|AB |＝423. 3.已知焦点在x 轴上的椭圆C ：x 2a 2＋y 2＝1(a ＞0)，过右焦点作垂直于x 轴的直线交椭圆于A ，B 两点，且|AB |＝1，则该椭圆的离心率为________．【解析】因为椭圆x 2a 2＋y 2＝1(a ＞0)的焦点在x 轴上，所以c ＝a 2－1，又过右焦点且垂直于x 轴的直线为x＝c ，将其代入椭圆方程中，得c 2a 2＋y 2＝1，则y ＝±1－c 2a 2，又|AB |＝1，所以21－c 2a 2＝1，得c 2a 2＝34，所以该椭圆的离心率e ＝c a ＝32.答案：324.已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点F 的直线交抛物线C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，若AOB ∆的面积为2，则线段AB 的长是（） A.9B.4C.92D.8【解析】方法一：当直线AB 垂直于x 轴时，()122122AOB S ∆=⨯+⨯=，不符合题设；当直线AB 不垂直于x 轴时，设AB 方程为()1(0)y k x k =≠-，即kx y k 0--=. 点()0,0到直线AB距离d =.2=6411320∆-⨯⨯=>12126,1x x x x +==8AB ====联立()21,4,y k x y x ⎧=-⎨=⎩得()2222240k x k x k -++=，设11(,),A x y 2)2(,)B x y ,则由韦达定理得,2122(24)k x x k -++=,21221k x x k==, 所以由弦长公式得,AB ==224(1)k k +=, 因为AOB ∆的面积为2,所以2214422k k +⨯=，所以28k =，所以92AB =. 故选C. 方法二：223sin 2==∆θp S MON，所以322sin =θ，所以29sin 2==θp AB5.若直线l 交双曲线22126x y -=的左，右两支于A ，B 两点，O 为坐标原点，若0OA OB ⋅=，则21OA 21OB+=（）A ．12B ．13C ．2D ．3【解析】设直线OA 的方程为()0y kx k =≠，与22126x y -=联立得，222226363x k ky k ⎧=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩， ()2222261=3k OA x y k+∴=+-．则直线OB 的方程为1yx k （0k ≠），同理求得()2226131k OB k +=-，()()222221111361k k OAOB+∴+==+．故选B ．6.已知抛物线2:C y x =，直线:1l y kx =+，则“0k ≠”是“直线l 与抛物线C 有两个不同交点”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】∴2,1y x y kx ==+∴()21kx x +=化简可得()222110k x k x +-+=∴直线l 与抛物线C 有两个不同交点∴()22214410k k k ∆=--=-+>，且0k ≠等价于14k <，且0k ≠， “0k ≠”不能推出“直线l 与抛物线C 有两个不同交点”， “直线l 与抛物线C 有两个不同交点”能推导出0k ≠∴“0k ≠”是“直线l 与抛物线C 有两个不同交点”的必要不充分条件故选B7.已知双曲线22221x y a b-=的右焦点为F ，过F 做斜率为2的直线l , 直线l 与双曲线的右支有且只有一个公共点，则双曲线的离心率范围________【解析】因为过F 做斜率为2的直线l ,直线l 与双曲线的右支有且只有一个公共点,所以2ba≥,所以c e a ==≥又因为1e >,所以)e ∈+∞故答案为：)+∞8.已知双曲线22:2C x y -=，过右焦点的直线交双曲线于,A B 两点，若,A B 中点的横坐标为4，则弦AB 长为（）A ．B ．C ．6D ．【解析】双曲线22:122x y C -=，则24c =，所以右焦点(2,0)F ，根据题意易得过F 的直线斜率存在，设为(2)y k x =-，(,),(,)A A B B A x y B x y联立22(2)2y k x x y =-⎧⎨-=⎩，化简得()222214420k x k x k -+--=，所以2222442,11A B A B k k x x x x k k---+==--，因为,A B 中点横坐标为4，所以22481A B k x x k-+==-，解得22k =，所以2242101A B k x x k--==-，则()()2228410244A B A B A B x x x x x x -=+-=-⨯=，则||AB ===．故选：D ．9.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的虚轴长为．(1)求双曲线的方程；(2)经过双曲线右焦点2F 作倾斜角为30的直线，直线与双曲线交于不同的两点,A B ，求||AB ．【解析】（1）双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的虚轴长为∴ca b ⎧=⎪⎨⎪=⎩a =b =，3c =， ∴双曲线的方程为22136x y -=.（2）由（1）知双曲线22136x y -=的右焦点为2(3,0)F ，设经过双曲线右焦点2F 且倾斜角为30的直线的方程为3)3y x =-，11(,)A x y ，22(,)B x y ，由221363)x y y x ⎧-=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，得256270x x +-=，其中，1265x x +=-，12275x x=-，∴12|||AB x x =-==.10.已知椭圆：，短轴长为，离心率为.直线与椭圆交于不同的两点，. （1）求椭圆的方程；C ()222210x y a b a b+=>>2211:22l y x =-C M N C（2）若已知点,求的面积.【答案】(1) (2)【解析】(1)由题意得,解得,所以椭圆的方程为.(2)方法1：由,消去x,得,判别式, 设点,的坐标分别为,, 所以, 所以的面积方法2：由,消去y,得,判别式,设点,的坐标分别为,, 所以, 又因为点到直线的距离,所以的面积11.已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的左焦点为()1,0F -，经过点F 的直线与椭圆相交于M ，N 两点，点P 为线段MN 的中点，点O 为坐标原点.当直线MN 的斜率为1时，直线OP 的斜率为12-. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若点A 为椭圆的左顶点，点B 为椭圆的右顶点，过F 的动直线交该椭圆于C ，D 两点，记ACD ∆的面积为1S ，BCD ∆的面积为2S ，求21S S -的最大值.(2,0)A AMN ∆2214x y +=4222222b c a a b c =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩1b =C 2214xy +=222114x y x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩28430y y +-=2448(3)112∆=-⨯⨯-=M N ()11,x y ()22,x y 1282y y -==AMN ∆12(21)12y y S -⨯-==22112214y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩22230x x --=2(2)42(3)28∆=--⨯⨯-=M N ()11,x y ()22,x y 2MN ==()2,0A 11:22l y x =-1d =AMN ∆11||2S MN d ===【解析】（1）设()11,M x y ，()22,N x y ，则点1212,22x x y y P ++⎛⎫⎪⎝⎭，由条件知，直线MN 的斜率为12121y y x x -=-，直线OP 的斜率为121212y y x x +=-+，而22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式作差得，22221212220x x y y a b --+=，所以()()()()22212121222212121212y y y y y y b a x x x x x x -+--===---+，即222a b =，又左焦点为()1,0F -，所以22222221c a b b b b =-=-==，所以椭圆E 的标准方程为2212x y +=.（2）设直线CD 的方程为1x my =-，记C ，D 过标为()11,x y ，()22,x y ，则1121212S AF y y y =⋅-=-，2121212S BF y y y =⋅-=-，所以2112S S y y -=-.联立方程，22221x y x my ⎧+=⎨=-⎩，消去x ，得()222210m y my +--=，所以12222m y y m +=+，12212y y m =-+，12y y -==21tm =+，则1t ≥，且()()()2222818882122122m tt m t t+==≤=+++++，当且仅当1t=时等号成立，所以2112S S y y -=-≤21S S -.。

高二数学专题直线与圆锥曲线的综合问题(强化训练)(解析版)

专题直线与圆锥曲线的综合问题题型一直线与圆锥曲线的位置关系题型二弦长问题题型三中点弦问题题型四定点问题题型五定值问题题型六定直线问题题型七三角形（四边形）问题题型八求参数范围问题题型九双切线问题题型一直线与圆锥曲线的位置关系1．直线l ：()()211740+++--=m x m y m 与椭圆C ：2211812x y +=的位置关系是（）A ．相交B ．相切C ．相离D ．不能确定【答案】A【分析】判断出直线过定点，且定点在椭圆内可得答案.【详解】将直线l ：()()211740+++--=m x m y m 变形为l ：(27)40m x y x y +-++-=，由27040x y x y +-=⎧⎨+-=⎩得31x y =⎧⎨=⎩，于是直线l 过定点()3,1，而223171181212+=<，于是点()3,1在椭圆C ：2211812x y +=内部，因此直线l ：()()211740+++--=m x m y m 与椭圆C ：2211812x y +=相交．故选：A ．2．若直线1y kx =+与椭圆2215x y m +=总有公共点，则m 的取值范围是（）A ．(1,)+∞B ．(0,)+∞C ．(0,1)(1,5)⋃D ．[1,5)(5,)+∞ 【答案】D【分析】根据题意，由直线过定点，结合点与椭圆的位置关系列出不等式，即可得到结果.【详解】直线1y kx =+恒过点(0,1)，只需该点落在椭圆内或椭圆上，即220115m+≤，解得m 1≥，又5m ≠.故选：D3．直线340x y -=与双曲线221916y x -=的交点个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】A 【分析】方法一：列方程组求解，方法二：求出双曲线的渐近线进行判断【详解】方法一：联立直线340x y -=与双曲线221916y x -=的方程，221916340y x x y ⎧-=⎪⎨⎪-=⎩，得221691916y y -=，方程组无解，说明直线与双曲线没有交点.方法二：由220916y x -=，得340x y ±=，所以双曲线的渐近线方程为340x y ±=，因为直线340x y -=是双曲线221916y x -=的一条渐近线，因此交点个数为0.故选：A4．记双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的离心率为e ，写出满足条件“直线y =与C 无公共点”的e 的一个值为.【答案】2（注：区间(]1,2内任何一个值）【分析】利用双曲线的性质计算即可.【详解】由题意可知双曲线的渐近线为b y x a=±，离心率1e >，若满足直线y =与C无公共点，则需222231312b c a e e a a -≤≤⇒-≤⇒<≤，故答案为：25．直线1y kx =-与双曲线221x y -=有且只有一个公共点，则实数k =．【答案】1±【分析】由2211x y y kx ⎧-=⎨=-⎩消去y ，对二次系数是否为0分类讨论可得.【详解】由2211x y y kx ⎧-=⎨=-⎩消去y ，整理得()221220k x kx -+-=，当210k -≠时，由()22Δ4810k k =+-=得k =又注意到直线1y kx =-恒过点()0,1-，且渐近线的斜率为1±时，直线与渐近线平行时也成立．故答案为：1±6．已知直线(1)1y a x =+-与曲线2y ax =恰有一个公共点，则实数a 的值为.【答案】0或1-或45-【分析】根据给定条件，联立方程，利用方程组有解求解即得.【详解】当0a =时，曲线2y ax =为直线0y =，显然直线1y x =-与0y =有唯一公共点(1,0)，因此0a =；当0a ≠时，由2(1)1y a x y ax=+-⎧⎨=⎩消去y 并整理得：22(1)(32)10a x a x +-++=，当1a =-时，1,1x y =-=-，直线1y =-与曲线2y x =-有唯一公共点(1,1)--，因此1a =-；当0a ≠且1a ≠-时，222(32)4(1)540a a a a ∆=+-+=+=，则45a =-，此时直线115y x =-与曲线245y x =-相切，有唯一公共点，因此45a =-，所以实数a 的值为0或1-或45-.故答案为：0或1-或45-7．如图，已知直线:450l x y m -+=和椭圆22:1259x y C +=．m 为何值时，直线l 与椭圆C ：(1)有两个公共点？(2)有且只有一个公共点？(3)没有公共点？【答案】(1)2525m -<<(2)125m =，225m =-(3)25m <-，或25m >【分析】（1）直线l 与椭圆C 的公共点的个数与方程组224501259x y m x y -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩，得到222582250x mx m ++-=，根据0∆>求解即可.（2）直线l 与椭圆C 的公共点的个数与方程组224501259x y m x y -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩，得到222582250x mx m ++-=，根据Δ0=求解即可.（3）直线l 与椭圆C 的公共点的个数与方程组224501259x y m x y -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩，得到222582250x mx m ++-=，根据Δ0<求解即可.【详解】（1）由方程组22450,1259x y m x y -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，得222582250x mx m ++-=，()()2222644252253625m m m ∆=-⨯⨯-=⨯-．由0∆>，得2525m -<<．此时方程①有两个不相等的实数根，直线l 与椭圆C 有两个不同的公共点．（2）由Δ0=，得125m =，225m =-．此时方程①有两个相等的实数根，直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点．（3）由Δ0<，得25m <-，或25m >．此时方程①没有实数根，直线l 与椭圆C 没有公共点．题型二弦长问题8．已知椭圆的长轴长为2a，焦点是()1F、)2F，点1F到直线2x=2F且倾斜角为45︒的直线l与椭圆交于,A B两点.(1)求椭圆的方程；(2)求线段AB的长．【答案】(1)221 4x y+=(2)8 5 .【分析】（1）根据题意及椭圆方程,,a b c的关系求解即可；（2）联立椭圆方程和直线方程，利用韦达定理和两点间距离公式求解即可.【详解】（1）由已知可得c=2⎛=⎝，解得24a=，则222431b a c=-=-=，所以椭圆方程：2214x y+=.（2）由已知可得直线l斜率1k=，方程为y x=联立2214y xx y⎧=⎪⎨+=⎪⎩得2580x-+=，设()11,A x y，()22,B x y，则12x x+1285x x=，则85 AB===，所以线段AB的长为85.9．直线y kx b=+与椭圆2214x y+=交于,A B两点，记AOB的面积为S.(1)当0k=，12b<<S的取值范围；(2)当43AB =，223S =时，求直线AB 的方程.【答案】(1)S ⎤∈⎥⎝⎦(2)y =或y =y =y =【分析】（1）联立方程求出,A B 坐标，表示出S 并求取值范围即可；（2）联立方程，消元后借助韦达定理，弦长公式，三角形面积公式求解即可.【详解】（1）设点()1,A x b ，()2,B x b ，由2214x y y b ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，解得1,2x =±，所以12AB x x =-=所以122S b =⨯==因为12b <<21344b <<，故当212b =时，max 1S =，所以S ⎤∈⎥⎝⎦.（2）设点()11,A x y ，()22,B x y ，由2214y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()()222148410k x kbx b +++-=，()22Δ16140k b =+->，122814kb x x k +=-+，()21224114b x x k -=+，所以12AB x x =-，又点O 到直线AB的距离d =，由43AB =，3S =，得d =所以()2221b k =+，43AB =所以22k =，即k =b =所以直线AB 的方程为y =y =y =-或y =-10．已知双曲线C 经过点(2,P ，且其两条渐近线相互垂直．(1)求双曲线C 的方程；(2)过点()0,2Q的直线l 与双曲线C 相交于不同的两点E F 、，若OEF 的面积为O 为坐标原点），求直线l 的方程．【答案】(1)22122x y -=(2)2y =+或2y =+【分析】（1）根据题意可知双曲线C 为等轴双曲线，设双曲线C 的方程为22x y λ-=，把点(2,P 代入双曲线方程，可得双曲线方程；（2）可设直线l 的方程为()()1122:2,,,,l y kx A x y B x y =+，代入双曲线C 的方程并整理，根据直线l 与双曲线C 相交于不同的两点E F 、，进而可得k 的范围，根据韦达定理可求得1212,x x x x +，进而表示出EF 和原点O 到直线l 的距离根据OEF 的面积求得k ，进而可得直线方程．【详解】（1）因为双曲线C 的两条渐近线相互垂直，可知双曲线C 为等轴双曲线，设双曲线C 的方程为22x y λ-=，代入(2,P ，可得422λ=-=，所以双曲线C 的方程为222x y -=，即22122x y -=.（2）由题意可知：直线l 的斜率存在，设()()1122:2,,,,l y kx A x y B x y =+，联立方程2222y kx x y =+⎧⎨-=⎩，消去y 得()221460k x kx ---=，可得()22210Δ162410k k k ⎧-≠⎪⎨=+->⎪⎩，解得203k ≤<且21k ≠，则12122246,11k x x x x k k +==---，可得=EF 且O 到直线:20l kx y -+=的距离d =由题意可得：1122==⋅=△OEF S d E F解得22k =或21k =-（舍去），即k =所以直线l 的方程为2y =+或2y =+.11．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>2．(1)求双曲线C 的方程；(2)直线:3l y kx =+与双曲线交于,M N 两点，若MN =k 的值．【答案】(1)22143x y -=(2)k =1k =±【分析】（1）根据焦点到渐近线距离、离心率和双曲线,,a b c 关系可求得,a b ，由此可得双曲线方程；（2）将直线方程与双曲线方程联立可得韦达定理的形式，利用弦长公式可构造方程求得k 的值.【详解】（1）由双曲线方程知：渐近线方程为b y x a=±，设焦点坐标为(),0c ±，∴焦点到渐近线的距离d b ==又离心率c e a ==2222334b c a a ∴=-==，解得：24a =，∴双曲线C 的方程为：22143x y -=.（2）由223143y kx x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩得：()223424480k x kx ---=，则()22340Δ481240k k ⎧-≠⎪⎨=->⎪⎩，解得：23k <且234k ≠，设()()1122,,,M x y N x y ，则1222434k x x k +=-，1224834x x k =--，MN ∴=即()()()222213434k k k +-=-，解得：23365k =或21k =，均满足23k <且234k≠，65k ∴=±或1k =±.12．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的焦距为6.(1)求双曲线的方程；(2)过双曲线的右焦点F 且倾斜角为π4的直线l 与双曲线交于A ，B 两点，求AB .【答案】(1)22136x y -=(2)【分析】（1）由题意可知得26c =，且b =，再结合222b c a =-求出,,a c b ，进而可得双曲线的方程；（2）由题意可得直线l 的方程为3y x =-，设1122(,),(,)A x y B x y ，然后将直线方程与双曲线方程联立方程组，消去y ，利用根与系数的关系，再利用弦长公式可得结果.【详解】（1）由双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的焦距为6.得26c=，且b ，又222239c a b a =+==，解得23,3c a ==,所以222936b c a =-=-=，所以双曲线方程为22136x y -=.（2）由（1）可知双曲线C 的右焦点F 为(3,0)，所以直线l 的方程为3y x =-，设1122(,),(,)A x y B x y ，由221363x y y x ⎧-=⎪⎨⎪=-⎩，得26150x x +-=，所以1212615x x x x +=-⎧⎨=-⎩，所以8AB =13．已知抛物线C ：24y x =，坐标原点为O ，焦点为F ，直线l ：1y kx =+.(1)若直线l 与抛物线C 只有一个公共点，求k 的值；(2)过点F 作斜率为1的直线交抛物线C 于A ,B 两点，求OAB 的面积．【答案】(1)0k =或1k =(2)【分析】（1）联立直线方程与抛物线方程，分别讨论当0k =或0k ≠，即可求解；（2）由抛物线的标准方程可得到焦点坐标，从而得到直线方程，联立直线方程与抛物线方程，根据韦达定理及1212OAB S OF y y =- 即可求解.【详解】（1）依题意，联立214y kx y x=+⎧⎨=⎩，消去x ，得：2114y ky =+，即：2440ky y -+=，①当0k =时，有：440y -+=，显然方程只有一个解，满足条件；②当0k ≠时，要使得直线l 与抛物线C 只有一个公共点，则方程2440ky y -+=只有一个解，所以()24440k ∆=--⨯=，解得：1k =；综上所述，当0k =或1k =时，直线l 与抛物线C 只有一个公共点．（2）由于抛物线C ：24y x =的焦点F 的坐标为()1,0，所以过点F 且斜率为1的直线方程为：1y x =-，设()11,A x y ，()22,B x y ，联立214y x y x=-⎧⎨=⎩，消去x ，得：2440y y --=，则由韦达定理得：124y y +=，124y y =-，所以12y y -=所以1211122OAB S OF y y =-=⨯⨯= 题型三中点弦问题14．直线l 过抛物线24y x =的焦点F ，且与抛物线交于,A B 两点，线段AB 中点的纵坐标为1，O 为坐标原点，则O 到直线AB 的距离为（）ABC D ．25【答案】A【分析】设()11,A x y ，()22,B x y ，代入抛物线方程，两式相减后结合线段AB 中点的纵坐标得出AB k ，再结合焦点F 的坐标得出直线AB 的方程，由点到直线距离公式计算即可．【详解】由抛物线24y x =得焦点(1,0)F ，设()11,A x y ，()22,B x y ，则21122244y x y x ⎧=⎨=⎩，两式相减得2212124()y y x x -=-，即1212124y y x x y y -=-+，因为线段AB 中点的纵坐标为1，即122y y +=，所以12122y y x x --=，即2AB k =，所以直线AB 的方程为2(1)y x =-，即220x y --=，显然此时直线与抛物线有两交点，所以O 到直线AB的距离d ==故选：A ．15．设A ，B 为双曲线2219y x -=上两点，下列四个点中，可为线段AB 中点的是（）A ．()1,1B ．()1,2-C ．()1,4D ．()1,3【答案】C【分析】根据点差法分析可得9AB k k ⋅=，对于A 、B 、C ：通过联立方程判断交点个数，逐项分析判断；对于D ：结合双曲线的渐近线分析判断.【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，则AB 的中点1212,22x x y y M ++⎛⎫⎪⎝⎭，设直线OM 的斜率为k ，可得1212121212122,2ABy y y y y y k k x x x x x x +-+===+-+，因为,A B 在双曲线上，则221122221919y x y x ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，两式相减得()2222121209y y x x ---=，所以221222129AB y y k k x x -⋅==-.对于选项A ：可得1,9AB k k ==，则:98AB y x =-，联立方程229819y x y x =-⎧⎪⎨-=⎪⎩，消去y 得272272730x x -⨯+=，此时()2272472732880∆=-⨯-⨯⨯=-<，所以直线AB 与双曲线没有交点，故A 错误；对于选项B ：可得92,2AB k k =-=-，则95:22AB y x =--，联立方程22952219y x y x ⎧=--⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，消去y 得245245610x x +⨯+=，此时()224544561445160∆=⨯-⨯⨯=-⨯⨯<，所以直线AB 与双曲线没有交点，故B 错误；对于选项C ：94,4AB k k ==，则97:44AB y x =+，联立方程22974419y x y x ⎧=+⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，消去y 得2631261930x x --=，此时21264631930∆=+⨯⨯>，故直线AB 与双曲线有交两个交点，故C 正确；对于选项D ：可得3,3AB k k ==，则:3AB y x=由双曲线方程可得1,3a b ==，则:3AB y x =为双曲线的渐近线，所以直线AB 与双曲线没有交点，故D 错误；故选：C.【点睛】关键点点睛：此题考查直线与双曲线的位置关系，考查点差法，解题的关键是根据点差法得到9AB k k ⋅=，然后逐个分析判断，考查计算能力，属于较难题.16．（多选）已知椭圆222:12x y C m+=的焦点分别为()10,2F ，()20,2F -，设直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，且点11,22P ⎛⎫⎪⎝⎭为线段MN 的中点，则下列说法正确的是（）A ．26m =B ．椭圆C的离心率为3C ．直线l 的方程为320x y +-=D ．2F MN的周长为【答案】AC【分析】先由题意求出2m 即可判断A ；再根据离心率公式即可判断B ；由点差法可以求出直线l 的斜率，由直线的点斜式化简即可判断C ；由焦点三角形的周长公式即可判断D.【详解】如图所示：根据题意，因为焦点在y 轴上，所以224m -=，则26m =，故选项A 正确；椭圆C的离心率为3c e a ==，故选项B 不正确；不妨设()()1122,,,M x y N x y ，则2211126x y +=，2222126x y +=，两式相减得()()()()1212121226x x x x y y y y +-+-=-，变形得121212123y y x x x x y y -+=-⨯-+，又注意到点11,22P ⎛⎫⎪⎝⎭为线段MN 的中点，所以121212121221122P P x x x x x y y y y y ++====++，所以直线l 的斜率为121212123313l y y x k xx x y y ⨯=-+⨯--=-+=-=，所以直线l 的方程为11322y x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，即320x y +-=，故选项C 正确；因为直线l 过1F ，所以2F MN 的周长为()()222121224F M F N MN F M F M F N F N a a a ++=+++=+==，故选项D 不正确.故选：AC ．17．已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的长轴长为(P 是E 上一点.(1)求E 的方程；(2)若,A B 是E 上两点，且线段AB 的中点坐标为82,55⎛⎫- ⎪⎝⎭，求AB 的值.【答案】(1)221123x y +=【分析】（1）利用椭圆长轴长以及椭圆上的点坐标即可求得E 的方程为221123x y +=；（2）设出,A B 两点坐标，利用点差法求出直线AB 的斜率为1k =，联立直线和椭圆方程利用弦长公式即可求出5AB =.【详解】（1）由题可知2a =，将(P 代入椭圆方程可得22421a b +=，联立解得a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩故E 的方程为221123x y +=.（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，则2211222211231123x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得222212120123x x y y --+=，即()121212124y y x x x x y y -+=--+.因为线段AB 的中点坐标为82,55⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以可得直线AB 的斜率为()1212121214y y x xk x x y y -+==-=-+，即直线AB 的方程为2y x =+.联立方程组2221123y x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得251640x x ++=，则12165x x +=-，1245x x =，所以4225AB ==.18．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：2214xy +=，直线l ：y x t =+（t 为实数且0t ≠）与椭圆C交于A ，B 两点.(1)若直线l 过椭圆的右焦点，求OAB 的面积；(2)线段AB 的中点为M ，求直线OM 的斜率.【答案】(1)5(2)14-【分析】（1）根据过焦点求出直线方程，联立椭圆方程求出弦长，利用点到直线距离求出高即可得出三角形面积；（2）联立直线与椭圆方程，根据根与系数的关系得出弦中点坐标，即可得出直线斜率.【详解】（1）由2214x y +=可知，2223c a b =-=，所以椭圆的右焦点为)，所以0t =，即t =，即直线l 方程为y x =由2214y x x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩可得2580x -+=，设1122(,),(,)A x y B xy ，则125x x +=，1285x x ⋅=，所以||AB =O 到直线l的距离d ==故112||22255OAB S d AB ==⨯△.（2）设1122(,),(,)A x y B x y ，00(,)M x y 由2214y x tx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得2258440x tx t ++-=，当22(8)80(1)0t t ∆=-->，即t <<0t ≠时，1285t x x +=-，212445t x x -⋅=，所以1212225t y y x x t +=++=，故1212004,2525x x y y t t x y ++==-==，即4,55t t M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以0015445OMt y k t x ===--,即直线OM 的斜率为14-.19．已知抛物线2:6C y x =，过()3,2P 的直线l 交抛物线C 于,A B 两点，且PA PB =，则直线l 的方程为.【答案】3250x y --=【分析】根据中点坐标以及点差法即可求解斜率，进而由点斜式求直线方程.【详解】因为()3,2P 在抛物线C 内部，又PA PB =，所以P 是AB 的中点.设()()1122,,,A x y B x y ，所以1222y y +=，即124y y +=，又()()1122,,,A x y B x y 在抛物线C 上，所以221122,66y x y x ==，两式作差，得()1212126y y y y x x -+=-，所以121232y y x x -=-，所以直线l 的方程为()3232y x -=-，即3250x y --=.故答案为：3250x y --=20．已知双曲线E ：()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，斜率为2的直线l 与E 的一条渐近线垂直，且交E 于A ，B 两点，214AF AF -=.(1)求E 的方程；(2)设点P 为线段AB 的中点，求直线OP 的方程.【答案】(1)2214x y -=(2)18y x=【分析】（1）根据双曲线中212AF AF a -=，求得2a =，再由双曲线的渐近线方程及斜率，求出1b =，即可得到E 的方程；（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，可表示出直线AB 和直线OP 的斜率，再用点差法求出直线OP 的斜率，即可得到直线OP 的方程.【详解】（1）因为在双曲线E ：()222210,0x y a b a b-=>>中，214AF AF -=，所以24a =，即2a =.双曲线E ：22221x y a b-=的渐近线方程为b y x a =±，因为斜率为2的直线l 与E 的一条渐近线垂直，所以12b a =，所以1b =所以E 的方程为2214x y -=.（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，则212112AB y y k x x -==-.线段AB 的中点P 的坐标为1212,22x x y y ++⎛⎫⎪⎝⎭，则2121OP y y k x x +=+，又点A ，B 在双曲线E 上，所以22112222222211x y a b x y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩①②，②－①得，()()()()21212121220x x x x y y y y a b -+-+-=，两边同时除以()()2121x x x x -+并整理，得22OP AB b k k a⋅=.又2AB k =，2a =，1b =，所以18OP k =.所以直线OP 的方程为：18y x =.题型四定点问题21．椭圆2222Γ:1(0)x y a b a b+=>>的左､右焦点分别为12,F F ，左､右顶点分别为,A B ，点P 在Γ上.已知1APF △APB △与12F PF △的面积之比为2:1.(1)求Γ的方程；(2)不垂直于坐标轴的直线l 交Γ于,M N 两点，,M N 与A 不重合，直线AM 与AN 的斜率之积为328-.证明：l 过定点.【答案】(1)22143x y +=(2)过定点3,02P ⎛⎫⎪⎝⎭.【分析】（1）根据几何关系得到点P 为椭圆的上顶点或下顶点时，1AF P △面积最大，结合APB △与12F PF △面积之比，得到方程组，求出2,a b ==（2）方法一：设MN 的方程()0y kx m k =+≠，代入22143x y +=，得到两根之和，两根之积，根据斜率之积得到方程，求出2m k =或32k m =-，检验后得到32km =-符合要求，并求出所过定点；方法二：设直线MN 的方程为()21m x ny ++=，椭圆方程变形得到()223(2)12240x x y +-++=，联立得到2412312022y y n m x x ⎛⎫-⋅+-= ⎪++⎝⎭，若()(),2C x y x ≠-是MN 上的点，则AC 斜率为2y k x =+，得到24123120k nk m -+-=，故3124AM AN m k k -⋅=，求出27m =，求出定点坐标.【详解】（1）当点P 为椭圆的上顶点或下顶点时，1AF P △的面积最大，此时()1122APF S a c b =-= ，又12:2:22:1APB F PF S S a c == ，故()2222b a c a c a b c ⎧-=⎪=⎨⎪=+⎩，解得2,a b ==，∴曲线Γ的方程为22143x y +=.（2）方法一：设直线MN 的方程为()0y kx m k =+≠，代入22143x y +=得()2223484120k xkmx m +++-=，设()()1122,,,M x y N x y ，()()2222644344120k m k m ∆=-+->得22430k m -+>，则21212228412,3434km m x x x x k k --+==++，()22121222121212312322241616428AM ANy y y y m k k k x x x x x x k km m -⋅=⋅===-+++++-+，即()()22622320k km m k m k m +-=-+=，解得2m k =或32k m =-.当2m k =时，此时224330k m -+=>，直线():2MN y k x =+过定点A ，而,M N 与A 不重合，不合题意.当32k m =-时，此时222743304k m k -+=+>，此时直线3:2MN y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭过定点3,02P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，满足要求.方法二：由题意，直线MN 不经过点()2,0A -，设直线MN 的方程为()21m x ny ++=①.由方程22143x y +=得()22[22]143x y +-+=.()223(2)12240x x y ∴+-++=②.由①②得()()223(2)122240x x m x ny y ⎡⎤+-++++=⎣⎦，2412312022y y n m x x ⎛⎫∴-⋅+-= ⎪++⎝⎭.若()(),2C x y x ≠-是MN 上的点，则AC 斜率为2yk x =+，24123120k nk m ∴-+-=，,AM AN ∴的斜率3124AM AN m k k -⋅=，即3123428m -=-，解得27m =.MN ∴的方程为()2217x ny ++=，即2730x ny +-=，故过定点3,02P ⎛⎫⎪⎝⎭.【点睛】处理定点问题的思路：（1）确定题目中的核心变量（此处设为k ），（2）利用条件找到k 与过定点的曲线(),0F x y =的联系，得到有关k 与,x y 的等式，（3）所谓定点，是指存在一个特殊的点()00,x y ，使得无论k 的值如何变化，等式恒成立，此时要将关于k 与,x y 的等式进行变形，直至找到()00,x y ，①若等式的形式为整式，则考虑将含k 的式子归为一组，变形为“()k ⋅”的形式，让括号中式子等于0，求出定点；②若等式的形式是分式，一方面可考虑让分子等于0，一方面考虑分子和分母为倍数关系，可消去k 变为常数.22．已知()0,1P为椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>上一点，长轴长为(1)求椭圆C 的标准方程；(2)不经过点P 的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，若直线PA 与PB 的斜率之和为1-，证明：直线l 必过定点，并求出这个定点坐标.【答案】(1)2212x y +=(2)证明见解析，定点为()2,1-【分析】（1）根据长轴长确定a =1b =，得到答案.（2）设直线l x my n =+，联立方程得到根与系数的关系，根据斜率的关系计算化简得到20n m --=，代入直线方程得到定点.【详解】（1）长轴长为2a =，故a ()0,1P 为椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>上一点，故1b =，椭圆方程为：2212x y +=；（2）直线与x 轴平行时，根据对称性知斜率和为0，不成立；设直线l ：x my n =+，()11,A x y ，()22,B x y ，直线不过()0,1P ，则0m n +≠，则2212x my n x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，则()2222220m y mny n +++-=，()()222244220m n n m ∆=--+>，即2220-+>m n ，则12221222222mn y y m n y y m ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，1212111AP BP y y k k x x --+=+=-，即()()()()()()122112110y my n y my n my n my n -++-++++=，整理得到()()222222222022n mn m m n m mn n n m m -+⋅--+⋅+-=++，化简得到()()20m n n m +--=，0m n +≠，则20n m --=，直线方程2x my m =++，直线过定点()2,1-.【点睛】关键点睛：本题考查了椭圆方程，直线过定点问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中，利用设而不求的思想，根据根与系数的关系来计算定点，可以简化运算，是解题的关键.23．已知圆22:(1)8E x y ++=，(1,0)F 为圆E 内一个定点，P 是圆E 上任意一点，线段FP 的垂直平分线l 交EP 于点Q ，当点P 在圆E 上运动时.(1)求点Q 的轨迹C 的方程；(2)已知圆O ：2223x y +=在C 的内部，,A B 是C 上不同的两点，且直线AB 与圆O 相切.求证：以AB 为直径的圆过定点.【答案】(1)2212x y +=(2)证明见解析【分析】（1）根据椭圆定义求解即可.（2）根据题意设出直线方程，利用直线与圆相切得到k 与m 的关系，当直线斜率不存在时，以AB 为直径的圆过原点，先猜后证的方法，猜测恒过原点，再验证以AB 为直径的圆过原点即可.【详解】（1）因为点Q 是线段FP 的垂直平分线上的一点所以QF QP=因为2QE QF QE QP EF +=+=>=所以点Q 的轨迹C 是以E ，F 为焦点的椭圆其中a 1c =，2221b ac =-=所以点Q 的轨迹C 的方程为：2212x y +=（2）（i ）当直线AB 垂直于x轴时，不妨设A ⎝⎭，B ⎝⎭，此时0OA OB ⋅= ，所以OA OB ⊥，故以AB 为直径的圆过点O .（ii ）当直线AB 不垂直于x 轴时，设直线AB 方程为y kx m =+，()11,A x y ，()22,B x y ，因为直线AB 与圆O 相切，所以点O 到直线AB的距离为d ==，即223220m k --=.由2212y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()222214220k x kmx m +++-=，所以122421km x x k -+=+，21222221m x x k -=+，所以()()()()221212*********OA OB x x y y x x k x m kx m k x x km x x m ⋅=+=+++=++++ ，()2222222412121m km k km m k k ⎛⎫--⎛⎫=+++ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭()()()22222122(4)2121k m km km m k k +-+-++=+222322021m k k --==+所以OA OB ⊥，故以AB 为直径的圆过点O .综上所述，以AB 为直径的圆过定点O .24．已知点(2,1)A 在双曲线2222:1(1)1x y C a a a -=>-上．(1)点1A ，2A 为C 的左右顶点，P 为双曲线C 上异于1A ，2A 的点，求12PA PA k k ⋅的值；(2)点M ，N 在C 上，且12AM AN k k ⋅=，AD MN ⊥，D 为垂足，证明：存在定点Q ，使得||DQ 为定值．【答案】(1)12;(2)证明见解析.【分析】（1）代入点(2,1)A ，得22a =，从而得双曲线方程及1A ，2A 的坐标，设P 点坐标为(),x y ，则12PA PA k k =P 在双曲线C 上，即可得答案；（2）设直线MN 方程为y kx m =+，设()()1122,,,M x y N x y ，联立直线与双曲线方程，结合韦达定理及12AM AN k k ⋅=，得()4210m k m +-=，舍去210k m +-=，从而得0m =，直线MN 过定点()0,0O ，ADO △为直角三角形，D ∠为直角，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得证.【详解】（1）解：因为点()2,1A 在双曲线2222:1(1)1x y C a a a -=>-上，所以224111a a -=-，解得22a =，所以双曲线22:12x C y -=，则())12,A A ．设P 点坐标为(),x y ，则12PA PA k k ==，所以12222PA PA y k k x ⋅=-．因为点P 在曲线C 上，所以2212x y =-，所以122211222PA PA x k k x -⋅==-，所以12PA PA k k ⋅的值为12．（2）证明：依题意，直线MN 的斜率存在，故设其方程为y kx m =+，设()()1122,,,M x y N x y ，联立2212x y y kx m ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩，消y 得()222124220k x kmx m ----=，显然2120-≠k ，否则不可能有两个交点，()()()22222(4)412228120km k m m k ∆=----=+->，由韦达定理得2121222422,1212km m x x x x k k --+==--，因为直线,AM AN 的斜率之积为12，所以()()()()121212121111122222y y y y x x x x ----⋅==----，所以()()()()121222211x x y y --=--，即()()()()121222211x x kx m kx m --=+-+-，所以有()()()221212212122(1)40k x x k m x x m ⎡⎤-+-+++--=⎣⎦，将韦达定理代入化简得()4210m k m +-=，而当210k m +-=，此时直线l 为()1221y kx k k x =+-=-+，易知l 恒过定点()2,1A ，故舍去，所以0m =，此时满足Δ0>且直线MN 过定点()0,0O ，（如图所示）又因为,AD MN D ⊥为垂足，所以ADO △为直角三角形，D ∠为直角，所以当点Q 为斜边AO 的中点11,2⎛⎫ ⎪⎝⎭时，DQ 为定值522AO =．综上所述，存在定点11,2⎛⎫ ⎪⎝⎭Q ，使得DQ ．25．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为12,F F ，点P 在双曲线上，若12PF PF -=，且双曲线焦距为4．(1)求双曲线C 的方程；(2)如果Q 为双曲线C 右支上的动点，在x 轴负半轴上是否存在定点M 使得222QF M QMF ∠=∠？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由．【答案】(1)2213y x -=(2)存在，坐标为()1,0-【分析】（1）利用双曲线的定义求解即可；（2）在x 轴负半轴上假设存在点M 满足题意，当2QF 垂直于x 轴时，易得()1,0M -，当2QF 不垂直于x 轴时，由斜率公式和二倍角正切公式也可解得()1,0M -.【详解】（1）因为点P 在双曲线上，所以由双曲线的定义可得1223PF PF a b -==①，又双曲线焦距即24c =，且222+=a b c ③，①②③联立解得1a b =⎧⎪⎨=⎪⎩所以双曲线C 的方程为2213y x -=.（2）假设存在点()(),00M t t <满足题设条件，由题目可知()22,0F ，设()()000,1Q x y x ≥为双曲线C 右支上一点，当02x =时，03y =，因为22290QF M QMF ∠=∠=︒，所以245QMF ∠=︒，于是23MF QF ==，所以1t =-，即()1,0M -，当02x ≠时，2020tan 2QF y QF M k x ∠=-=--，020tan QM y QMF k x t∠==-，因为222QF M QMF ∠=∠，所以0002000221y y x t x y x t ⨯--=-⎛⎫- ⎪-⎝⎭，将220033=-y x 代入并整理得()22200002424223x t x t x tx t -++-=--++，所以242243t t t t +=-⎧⎨-=+⎩，解得1t =-，即()1,0M -，综上，满足条件的点M 存在，其坐标为()1,0M -.【点睛】方法点睛：（1）解答直线与双曲线的题目时，时常把两个曲线方程联立，消去x （或y ）建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系；（2）涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形.26．在平面直角坐标系xOy 中，顶点在原点，以坐标轴为对称轴的抛物线C 经过点()2,4.(1)求C 的方程；(2)若C 关于x 轴对称，焦点为F ，过点()4,2且与x 轴不垂直的直线l 交C 于M ，N 两点，直线MF 交C 于另一点A ，直线NF 交C 于另一点B ，求证：直线AB 过定点.【答案】(1)28y x =或2x y=(2)证明见解析【分析】（1）根据待定系数法，代入点的坐标即可求解p ，（2）利用抛物线方程分别可设,,,A B M N 的坐标，进而可根据两点坐标求解斜率，即可得直线的方程，结合直线经过的点，即可代入化简求解.【详解】（1）若C 的焦点在x 轴上，设抛物线C 的方程为22y px =，将点()2,4代入，得244p =，解得4p =，故C 的方程为28y x =；若C 的焦点在y 轴上，设抛物线C 的方程为22x py =，将点()2,4代入，得228p =，解得12p =，故C 的方程为2x y =；综上所述：C 的方程为28y x =或2x y =.（2）由（1）知抛物线C 的方程为28y x =，则其焦点()2,0F ，若直线l 不过点()2,0F，如图，设211,8y M y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,8y N y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，233,8y A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，244,8y B y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由题意可知：直线MN 的斜率存在且不为0，则直线MN 的斜率12221212888MN y y k y y y y -==+-，所以直线MN 的方程为2111288y y y x y y ⎛⎫-=- ⎪+⎝⎭，即()121280x y y y y y -++=，同理直线AM ，BN 的方程分别为()131380x y y y y y -++=，()242480x y y y y y -++=由直线MN 过定点()4,2，可得()1212232y y y y +-=，由直线AM ，BN 过焦点()2,0F ，可得132416y y y y ==-，对于直线AB 的方程为()343480x y y y y y -++=，由132416y y y y ==-，得1212161625680x y y y y y ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭，整理得()12122320y y x y y y +++=，又因为()1212232y y y y +-=，所以()()123210x y y y y +++=，令010x y y +=⎧⎨+=⎩，解得11x y =⎧⎨=-⎩，故直线AB 恒过定点()1,1-若直线l 过点()2,0F ，直线AB 即为直线MN ，其方程为()200242y x --=--，即2y x =-，显然直线l 过点()1,1-；综上所述：直线AB 过定点()1,1-.【点睛】方法点睛：圆锥曲线中定点问题的两种解法（1）引进参数法：先引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点.（2）特殊到一般法：先根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.技巧：若直线方程为()00y y k x x -=-,则直线过定点()00,x y ;若直线方程为y kx b =+(b 为定值),则直线过定点()0,.b 27．已知过点(2,0)P 的直线l 与抛物线2:2(0)E y px p =>交于,A B 两点，过线段AB 的中点M 作直线MN y ⊥轴，垂足为N ，且PM PN ⊥.(1)求抛物线E 的方程；(2)若C 为E 上异于点,A B 的任意一点，且直线,AC BC 与直线2x =-交于点,D R ，证明：以DR 为直径的圆过定点.【答案】(1)24y x=(2)证明见解析【分析】（1）设出直线l 的方程与抛物线方程联立，利用韦达定理和中点坐标公式求出M ，N 坐标，结合PM PN ⊥，可求得p 的值，得解.（2）设出点C 坐标，由点斜式方程求出直线AC 的方程，令2x =-，求出点D 坐标，同理求出点R 坐标，由抛物线的对称性可知，定点必在x 轴上，设该点坐标为(,0)T a ，利用0DT RT ⋅=，可求出定点坐标.【详解】（1）由题意，可设直线l 的方程为2x my =+，将2x my =+代入22y px =，消去x 得2240y pmy p --=，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则122y y pm +=，124y y p =-，M 是线段AB 的中点，21212(42)22M x x m y y x pm +++∴===+，122M y y y pm +==，即2(2,)M pm pm +，又MN y ⊥轴，∴垂足N 的坐标为(0,)pm ，则2(,)PM pm pm = ，(2,)PN pm =- ，PM PN ⊥ ，22220PM PN pm p m ∴⋅=-+= 对任意的R m ∈恒成立，220p p ∴-+=，又0p >，解得2p =，故抛物线E 的方程为24y x =.（2）设2(,)4t C t ，211(,)4y A y ，222(,)4y B y ，由（1）可知，124y y m +=，128y y =-，则12211444AC y t k y t y t -==+-，直线AC 的方程为214()4t y t x y t -=-+，令2x =-，则211184(24ty t y t y t y t-=+--=++，118(2,ty D y t -∴-+，同理228(2,)ty R y t--+，由抛物线的对称性可知，若以线段DR 为直径的圆过定点，则定点必在x 轴上，设该点坐标为(,0)T a ，则118(2,ty DT a y t -=+-+ ，228(2,)ty RT a y t -=+-+ ，且0DT RT ⋅= ，2121288(2)0ty ty a y t y t--∴++⋅=++，22212121222121212888()6483264(2)8()48ty ty t y y t y y t mt a y t y t y y t y y t t mt ---++--+∴+=-=-=-=++++++-，2a ∴=或2a =--，∴以DR为直径的圆过定点2,0)和(2,0)-.题型五定值问题28．已知A ，B 为椭圆222:1y E x a+=的左、右顶点，过其焦点(0,1)F 的直线与椭圆E 交于C ，D 两点，并与x轴交于点P (异于A ，B )，直线AC ，BD 交于点Q ，求证：OP OQ ⋅为定值.【答案】证明见解析【分析】直线与椭圆相交，将直线与椭圆方程进行联立得()222210k x kx ++-=，根据韦达定理找到()11,C x y ，()22,D x y 坐标之间的关系，由所证明得式子知，需表示出P ，Q 两点的坐标，其中P 点坐标，由直线CD 方程可直接表示出，即1,0P k骣琪-琪桫，Q 点坐标需联立直线AC 与直线BD 的方程，求出Q x 然后求出向量的数量积即可.【详解】由题知211a -=，即22a =，则22:12y E x +=，所以()1,0A -，()10B ,,当直线CD 斜率不存在时，直线AC 与直线BD 平行，无交点，不满足题意；所以直线CD 斜率存在，设直线CD 的斜率为k ，因为直线CD 过椭圆焦点，且与x 轴有交点，所以0k ≠，则直线CD 的方程为1y kx =+，()0k ≠，设()11,C x y ，()22,D x y ，(),Q Q Q x y，如图所示：则1,0P k 骣琪-琪桫，直线AC 的方程为()1111y y x x =++，直线BD 的方程为()2211y y x x =--，联立22112y kx y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得：()222210k x kx ++-=，且()()222242880k k k D =+´+=+>，12222k x x k +=-+，12212x x k =-+，所以12x x -==()121212241122y y kx kx k x x k +=+++=++=+，联立()()11221111y y x x y y x x ⎧=+⎪+⎪⎨⎪=-⎪-⎩，解得：122121122112Q x y x y y y x x y x y y y ++-=-++()()()()()12212112212114112x kx x kx k x x x kx x kx k ++++-=+-+++()()121221122242kx x x x k x x x x k +++-=-++22222221222k k k k k k k ---=k ==-，所以(),Q Q k y -，因为1,0P k骣琪-琪桫，所以1OP OQ ⋅= ，即：OP OQ ⋅为定值.29．已知椭圆2222:1x y C a b +=(0)a b >>C 经过点12p ⎫⎪⎭．(1)求椭圆的标准方程C ；(2)若直线y kx m =+与轨迹C 交于M N ，两点，O 为坐标原点，直线OM ON ，的斜率之积等于14-，试探求OMN 的面积是否为定值，并说明理由．【答案】(1)2214x y +=(2)是定值，理由见解析【分析】（1）根据题意，由条件列出关于,,a b c 的方程，代入计算，即可得到结果；（2）根据题意，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理，由弦长公式可得MN ，再表示出O 点到直线MN 的距离d ，由三角形的面积公式，即可得到结果.【详解】（1）由题意得222223114c a a b a b c ⎧⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得2241a b ==，，所以椭圆C 的方程为2214x y +=.（2）设()()1122，，，M x y N x y ，联立直线和椭圆方程可得：2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 可得：()222148440kxkmx m +++-=，所以()()222264414440k m k m ∆=-+->，即2241k m +>，则21212228441414km m x x x x k k --+=⋅=++，14OM ONk k ⋅=- ，()()121212121144kx m kx m y y x x x x +⋅+∴=-⇒-()2212121214k x x km x x m x x +++⇒=-，把韦达定理代入可得：()2222222148144444k m k m k m m +-++=---，整理得()22241*m k =+，又MN ==而O点到直线MN 的距离d =所以12OMNS d MN == 把()*代入，则1OMN S == ，可得OMN S △是定值1．30．已知椭圆C ：22221x y a b+=过点()2,1A --，且2a b =．(1)求椭圆C 的方程；(2)过点()4,0B -的直线l 交C 于点M ，N ，直线,MA NA 分别交直线4x =-于点P ，Q ．求证：PBBQ为定值．【答案】(1)22182x y +=；(2)证明见解析.【分析】（1）由点在椭圆上及2a b =，代入椭圆求得22b =，即可得椭圆方程；（2）令:(4)l y k x =+，1122(,),(,)M x y N x y ，联立椭圆，应用韦达定理得22121222328(81),1414k k x x x x k k -+=-=++且1122k -<<，点斜式写出直线,MA NA 的方程求出P ，Q 的纵坐标，再由||P Q PB y BQ y =及韦达公式代入化简即可证.【详解】（1）由题设22241124b b b +=⇒=，则2248a b ==，故椭圆C 的方程为22182x y +=，（2）由题设，直线l 的斜率一定存在，令:(4)l y k x =+，1122(,),(,)M x y N x y ，联立椭圆，整理得2222(14)326480k x k x k +++-=，且422102432(14)(81)0k k k ∆=-+->，所以21114022k k ->⇒-<<，且22121222328(81),1414k k x x x x k k -+=-=++，由题意，直线,MA NA 的斜率必存在，则111:12)2y MA y x x ++=++，令4x =-，则1111124(12)8422P x y k x k y x x +++++=-=-++；同理221:1(2)2y NA y x x ++=++，令4x =-，则22(12)842Q k x k y x +++=-+；所以1221[(12)84](|(|||2)[12)84](2)P Q P k B x k x k x k x B y Qy +++++++==+12211212428|48|2x x x x x x x x =++++++将韦达公式代入整理得PB BQ 222222222832212||83x k x k x k x k ++---==，为定值.31．已知F 为抛物线C 的焦点，过F 的直线l 交C 于A ，B 两点，点D 在C 上，使得ABD △的重心G 在x 轴的正半轴上，直线AD ，BD 分别交x 轴于Q ，P 两点.O 为坐标原点，当AB OF ⊥时，4AB =.(1)求C 的标准方程.(2)记P ，G ，Q 的横坐标分别为P x ，G x ，Q x ，判断223P Q G x x x +-是否为定值.若是，求出该定值；若不是，请说明理由.【答案】(1)24y x =(2)1-【分析】（1）先判断焦点在x 轴，再根据抛物线的定义，结合4AB =即可.（2）设直线AB ：12x ky =+，设112233(,),(,),(,),(,0),(,0),(,0)G P Q A x y B x y D x y G x P x Q x ，与抛物线联立，结合韦达定理，根据题意P x ，G x ，Q x 用12,y y 表示，计算即可.【详解】（1）依题ABD △的重心G 在x 轴的正半轴上，因为三角形的重心一定在三角形内，则抛物线的焦点在x 轴上，设抛物线方程为：22(0)y px p =>，当AB OF ⊥时，2A B p x x ==，则2422A B p pAB x x p =+++==，则抛物线方程为：24y x =.（2）依题知直线AB 的倾斜角不为0，则设直线AB ：12x ky =+，设112233(,),(,),(,),(,0),(,0),(,0)G P Q A x y B x y D x y G x P x Q x ，由2124x ky y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩，得2420y kx --=，。

高中数学直线和圆锥曲线常考题型汇总及例题解析

高中数学直线和圆锥曲线常考题型汇总及例题解析题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系题型二：弦的垂直平分线问题题型三：动弦过定点的问题题型四：过已知曲线上定点的弦的问题题型五：共线向量问题题型六：面积问题题型七：弦或弦长为定值问题题型八：角度问题题型九：四点共线问题题型十：范围问题（本质是函数问题）题型十一：存在性问题（存在点、直线y=kx+b、实数、圆形、三角形、四边形等）【题型一】数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系【题型二】弦的垂直平分线问题【题型三】动弦过定点的问题【题型四】过已知曲线上定点的弦的问题【题型五】共线向量问题【题型六】面积问题【题型七】弦或弦长为定值问题【题型八】角度问题【题型九】四点共线问题【题型十】范围问题（本质是函数问题）【题型十一】存在性问题（存在点、直线y=kx+b、实数、圆形、三角形、四边形等）例题&解析集合例1：例2：例3：例4：例5：例6：刷有所得：确定圆的方程方法(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．(2)待定系数法①若已知条件与圆心和半径有关，则设圆的标准方程依据已知条件列出关于的方程组，从而求出的值；②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D、E、F的方程组，进而求出D、E、F的值．例7：答案：解析：刷有所得：该题考查的是有关直线与椭圆的问题，涉及到的知识点有直线方程的两点式、直线与椭圆相交的综合问题、关于角的大小用斜率来衡量，在解题的过程中，第一问求直线方程的时候，需要注意方法比较简单，需要注意的就是应该是两个，关于第二问，在做题的时候需要先将特殊情况说明，一般情况下，涉及到直线与曲线相交都需要联立方程组，之后韦达定理写出两根和与两根积，借助于斜率的关系来得到角是相等的结论.例8：解析：定点问题例9：解析：例10：例11：解析：例12：例13：答案：例14：例15：解析：离心率问题例16：答案：D解析：刷有所得：椭圆定义的应用主要有两个方面：一是判断平面内动点与两定点的轨迹是否为椭圆，二是利用定义求焦点三角形的周长、面积、椭圆的弦长及最值和离心率问题等；“焦点三角形”是椭圆问题中的常考知识点，在解决这类问题时经常会用到正弦定理，余弦定理以及椭圆的定义. 例17：答案：C 解析：例18：答案：C解析：刷有所得：求离心率的值或范围就是找的值或关系。

圆锥曲线大题20道(含答案)

1.已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为（2，0），右顶点为)0,3( （1）求双曲线C 的方程；（2）若直线2:+=kx y l 与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和B ，且2>⋅OB OA （其中O 为原点）. 求k 的取值范围.解：（Ⅰ）设双曲线方程为12222=-by a x ).0,0(>>b a由已知得.1,2,2,32222==+==b b ac a 得再由故双曲线C 的方程为.1322=-y x （Ⅱ）将得代入13222=-+=y x kx y .0926)31(22=---kx x k 由直线l 与双曲线交于不同的两点得⎪⎩⎪⎨⎧>-=-+=∆≠-.0)1(36)31(36)26(,0312222k k k k即.13122<≠k k 且 ① 设),(),,(B B A A y x B y x A ，则 ,22,319,312622>+>⋅--=-=+B A B A B A B A y y x x OB OA kx x k k x x 得由而2)(2)1()2)(2(2++++=+++=+B A B A B A B A B A B A x x k x x k kx kx x x y y x x.1373231262319)1(22222-+=+-+--+=k k k k k k k于是解此不等式得即,01393,213732222>-+->-+k k k k .3312<<k ② 由①、②得 .1312<<k故k 的取值范围为).1,33()33,1(⋃-- 2..已知椭圆C ：22a x ＋22by ＝1（a ＞b ＞0）的左．右焦点为F 1、F 2，离心率为e. 直线l ：y ＝e x ＋a 与x 轴．y 轴分别交于点A 、B ，M 是直线l 与椭圆C 的一个公共点，P 是点F 1关于直线l 的对称点，设AM ＝λAB .（Ⅰ）证明：λ＝1－e 2；（Ⅱ）确定λ的值，使得△PF 1F 2是等腰三角形.（Ⅰ）证法一：因为A 、B 分别是直线l ：a ex y +=与x 轴、y 轴的交点，所以A 、B 的坐标分别是2222222.,,1,).,0(),0,(b a c c b y c x b y ax a ex y a e a +=⎪⎩⎪⎨⎧=-=⎪⎩⎪⎨⎧=++=-这里得由. 所以点M 的坐标是（a b c 2,-）. 由).,(),(2a eaa b e a c AB AM λλ=+-=得即221e a ab e ac e a-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-λλλ解得证法二：因为A 、B 分别是直线l ：a ex y +=与x 轴、y 轴的交点，所以A 、B 的坐标分别是).,0(),0,(a ea-设M 的坐标是00(,),x y00(,)(,),a aAM AB x y a e eλλ=+=由得所以⎪⎩⎪⎨⎧=-=.)1(00a y ea x λλ 因为点M 在椭圆上，所以 ,122220=+by a x即.11)1(,1)()]1([22222222=-+-=+-e e b a a e aλλλλ所以,0)1()1(2224=-+--λλe e解得.1122e e -=-=λλ即（Ⅱ）解法一：因为PF 1⊥l ，所以∠PF 1F 2=90°+∠BAF 1为钝角，要使△PF 1F 2为等腰三角形，必有|PF 1|=|F 1F 2|，即.||211c PF = 设点F 1到l 的距离为d ，由,1|1|0)(|||21221c eec e a c e d PF =+=+++-==得.1122e ee =+-所以.321,3122=-==e e λ于是即当,32时=λ△PF 1F 2为等腰三角形. 解法二：因为PF 1⊥l ，所以∠PF 1F 2=90°+∠BAF 1为钝角，要使△PF 1F 2为等腰三角形，必有|PF 1|=|F 1F 2|，设点P 的坐标是),(00y x ，则0000010.22y x ce y x c e a -⎧=-⎪+⎪⎨+-⎪=+⎪⎩，2022023,12(1).1e x c e e a y e ⎧-=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩解得由|PF 1|=|F 1F 2|得,4]1)1(2[]1)3([2222222c e a e c e c e =+-+++- 两边同时除以4a 2，化简得.1)1(2222e e e =+- 从而.312=e 于是32112=-=e λ 即当32=λ时，△PF 1F 2为等腰三角形.[来源:Z,xx,]3.设R y x ∈,，j i、为直角坐标平面内x 轴、y 轴正方向上的单位向量，若j y i x b j y i x a )3( ,)3(-+=++=，且4=+b a.（Ⅰ）求点),(y x P 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）若A 、B 为轨迹C 上的两点，满足MB AM =，其中M （0，3），求线段AB 的长.[来源学+科+网][启思]4.已知椭圆的中心为坐标原点O ，焦点在x 轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆于A 、B 两点，OB OA +与)1,3(-=a 共线. （Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设M 为椭圆上任意一点，且),( R OB OA OM ∈+=μλμλ，证明22μλ+为定值. 解：本小题主要考查直线方程、平面向量及椭圆的几何性质等基本知识，考查综合运用数学知识解决问题及推理的能力. 满分12分.（1）解：设椭圆方程为)0,(),0(12222c F b a by a x >>=+则直线AB 的方程为c x y -=，代入12222=+b y a x ，化简得02)(22222222=-+-+b a c a cx a x b a .令A （11,y x ），B 22,(y x ），则.,22222222122221b a b a c a x x b a c a x x +-=+=+ 由y y x x +-=++=+),1,3(),,(2121与共线，得,0)()(32121=+++x x y y 又c x y c x y -=-=2211,，.23,0)()2(3212121c x x x x c x x =+∴=++-+∴ 即232222cba c a =+，所以36.32222a b a c b a =-=∴=，故离心率.36==a c e （II ）证明：（1）知223b a =，所以椭圆12222=+by a x 可化为.33222b y x =+设),(y x OM =，由已知得),,(),(),(2211y x y x y x μλ+=⎩⎨⎧+=+=∴.,2121x x y x x x μλμλ ),(y x M 在椭圆上，.3)(3)(2221221b y y x x =+++∴μλμλ 即.3)3(2)3()3(221212222221212b y y x x y x y x =+++++λμμλ① 由（1）知.21,23,23222221c b c a c x x ===+ [变式新题型3]抛物线的顶点在原点，焦点在x 轴上，准线l 与x 轴相交于点A(–1，0)，过点A 的直线与抛物线相交于P 、Q 两点.（1）求抛物线的方程；（2）若FP •=0，求直线PQ 的方程；（3）设AP =λAQ （λ>1），点P 关于x 轴的对称点为M ，证明：FM =-λFQ ..6.已知在平面直角坐标系xoy 中，向量32),1,0(的面积为OFP ∆=，且3,3OF FP t OM OP j ⋅==+ .（I ）设443,t OF FP θ<<求向量与的夹角的取值范围；（II ）设以原点O 为中心，对称轴在坐标轴上，以F 为右焦点的椭圆经过点M ，且||,)13(,||2OP c t c OF 当-==取最小值时，求椭圆的方程.7.已知(0,2)M -，点A 在x 轴上，点B 在y 轴的正半轴，点P 在直线AB 上，且满足，AP PB =-，0MA AP ⋅=. （Ⅰ）当点A 在x 轴上移动时，求动点P 的轨迹C 方程；（Ⅱ）过(2,0)-的直线l 与轨迹C 交于E 、F 两点，又过E 、F 作轨迹C 的切线1l 、2l ，当12l l ⊥，求直线l 的方程.8. 已知点C 为圆8)1(22=++y x 的圆心，点A （1，0），P 是圆上的动点，点Q 在圆的半径CP 上，且.2,0AM AP AP MQ ==⋅（Ⅰ）当点P 在圆上运动时，求点Q 的轨迹方程；（Ⅱ）若直线12++=k kx y 与（Ⅰ）中所求点Q的轨迹交于不同两点F ，H ，O 是坐标原点，且4332≤⋅≤OH OF ，求△FOH 的面积已知椭圆E 的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过()2,0A -、()2,0B 、31,2C ⎛⎫ ⎪⎝⎭三点．（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）若直线l ：()1y k x =-（0k ≠）与椭圆E 交于M 、N 两点，证明直线AM 与直线BN 的交点在直线4x =上．10．如图,过抛物线x 2=4y 的对称轴上任一点P(0,m)(m>0)作直线与抛物线交于A 、B 两点，点Q 是点P 关于原点的对称点。

高考数学必考直线和圆锥曲线经典题型_含详解

1、中点坐标公式：1212,y 22x x y yx ++==，其中,x y 是点1122(,)(,)A x y B x y ，的中点坐标。

2、弦长公式：若点1122(,)(,)A x y B x y ，在直线(0)y kx b k =+≠上，则1122y kx b y kx b =+=+，，这是同点纵横坐标变换，是两大坐标变换技巧之一，AB ====或者AB ==== 3、两条直线111222:,:l y k x b l y k x b =+=+垂直：则121k k =- 两条直线垂直，则直线所在的向量120v v =4、韦达定理：若一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个不同的根12,x x ，则1212,b c x x x x a a+=-=。

）常见的一些题型：题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系例题1、已知直线:1l y kx =+与椭圆22:14x y C m +=始终有交点，求m 的取值范围思路点拨：直线方程的特点是过定点（0，1），椭圆的特点是过定点（-2，0）和（2，0），和动点04m ±≠（，且。

解：根据直线:1l y kx =+的方程可知，直线恒过定点（0，1），椭圆22:14x y C m +=过动点04m ±≠（，且，如果直线:1l y kx =+和椭圆22:14x y C m+=14m ≥≠，且，即14m m ≤≠且。

规律提示：通过直线的代数形式，可以看出直线的特点：:101l y kx =+⇒过定点（，） :(1)1l y k x =+⇒-过定点（，0） :2(1)1l y k x -=+⇒-过定点（，2）证明直线过定点，也是将满足条件的直线整理成以上三种形式之一，再得出结论。

、一、过一定点P 和抛物线只有一个公共点的直线的条数情况：（1）若定点P 在抛物线外，则过点P 和抛物线只有一个公共点的直线有3条：两条切线，一条和对称轴平行或重合的直线；（2）若定点P 在抛物线上，则过点P 和抛物线只有一个公共点的直线有2条：一条切线，一条和对称轴平行或重合的直线；（3）若定点P 在抛物线内，则过点P 和抛物线只有一个公共点的直线有1条：和抛物线的对称轴平行或重合的直线和抛物线只有一个交点。

圆锥曲线精选中档题练习及答案

圆锥曲线精选中档题练习及答案(总8页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--圆锥曲线精选中档题练习椭圆1．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于( )(A)31 (B)33 (C)21 (D)232．椭圆5x 2＋ky 2＝5的一个焦点是(0，2)，那么k 等于( ) (A)－1 (B)1(C)5(D)5-3．椭圆131222=+y x 的一个焦点为F 1，点P 在椭圆上．如果线段PF 1的中点M 在y 轴上，那么点M 的纵坐标是( ) (A)43±(B)23±(C)22±(D)43±4．设椭圆的两个焦点分别是F 1、F 2，过F 1作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2是等腰直角三角形，则椭圆的离心率为( ) (A)22 (B)212- (C)22- (D)12-5．已知以F 1(－2，0)，F 2(2，0)为焦点的椭圆与直线043=++y x 有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为( ) (A)23(B)62(C)72(D)246．已知椭圆中心在原点，一个焦点为)0,32(-F ，且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是______．7．已知F 1、F 2为椭圆192522=+y x 的两个焦点，过F 1的直线交椭圆于A 、B 两点，则△ABF 2的周长为______．8．曲线3x 2＋ky 2＝6表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是______．9．如图，F 1、F 2分别为椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点，点P 在椭圆上，若△POF 2是正三角形，则椭圆的离心率为______．10．椭圆14922=+y x 的焦点为F 1、F 2，点P 为椭圆上的一个动点，1PF ·2PF ＜0，则点P 横坐标的取值范围是______．11．求曲线的方程：(1)求中心在原点，左焦点为),0,3(-F 且右顶点为D (2，0)的椭圆方程．(2)在平面直角坐标系中，B (－4，0)，C (4，0)，P 为一个动点，且|PB |＋|PC |＝10，求动点P 的轨迹方程．12．已知椭圆C 的焦点分别为)0,22(1-F 和)0,22(2F ，长轴长为6，设直线y ＝x ＋2交椭圆C 于A 、B 两点，求线段AB 的中点坐标．13．设F 1、F 2分别是椭圆1422=+y x 的左、右焦点．若P 是该椭圆上的一个动点，求1PF ·2PF 的最大值和最小值．1．D 2．B 3．A 4．D 5．C6．141622=+y x 7．20 8．k ＞3 9．13- 10．5353<<-x 11．解：(1)设椭圆方程为,12222=+by a x3=c ，a ＝2，∴b ＝1，则椭圆方程为.1422=+y x(2)由题意，动点P 的轨迹为椭圆，且2a ＝10，c ＝4，所以b 2＝a 2－c 2＝9，所以动点P 的轨迹方程.192522=+y x 12．解：设椭圆C 的方程为,12222=+by a x由题意a ＝3，22=c ，于是b ＝1．∴椭圆C 的方程为.1922=+y x由⎪⎩⎪⎨⎧=++=19222y x x y 得10x 2＋36x ＋27＝0，因为该二次方程的判别式＞0，所以直线与椭圆有两个不同的交点，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则,518,2021636,20216362121-=+--=+-=x x x x故线段AB 的中点坐标为).51,59(-13．解法一：易知a ＝2，b ＝1，,3=c所以)0,3(),0,3(21F F -设P (x ，y )，则),3(),3(·21y x y x PF --⋅---= ),83(413)41(322222-=--+=-+=x x x y x因为x ∈[－2，2]，故当x ＝0，即点P 为椭圆短轴端点时，1·2PF 有最小值－2 当x ＝±2，即点P 为椭圆长轴端点时，1PF ·2PF 有最大值1．解法二：易知a ＝2，b ＝1，3=c ，所以)0,3(),0,3(21F F -，设P (x ，y )，则1PF ·2PF ＝|1PF |·|2PF |·cos ∠F 1PF 2＝|1|·|2PF |||||2212212221PF PF F F PF PF ⋅＝3]12)3()3[(21222222-+=-+-+++y x y x y x (以下同解法一)．双曲线1．双曲线898222=-y x 的渐近线方程是( )(A)x y 34±= (B)x y 43±=(C)x y 169±= (D)x y 916±=2．双曲线)0,0(12222>>=-b a bx a y 的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率是( )(A)2 (B)3(C)2(D)233．设F 1和F 2为双曲线1422=-y x 的两个焦点，点P 在双曲线上，且满足∠F 1PF 2＝90°，则△F 1PF 2的面积是( ) (A)1 (B)25 (C)2 (D)54．已知椭圆1532222=+n y m x 和双曲线1322222=-n y m x 有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是( )(A)y x 215±= (B)x y 215±= (C)y x 43±= (D)x y 43±=5．设a ＞1，则双曲线1)1(2222=+-a y a x 的离心率e 的取值范围是( ) (A))2,2((B))5,2((C)(2，5)(D))5,2(6．若双曲线的一个顶点坐标为(3，0)，焦距为10，则它的标准方程为______．7．若双曲线1422=-m y x 的渐近线方程为x y 23±=，则双曲线的焦点坐标是______．8．双曲线116922=-y x 的两个焦点为F 1、F 2，点P 在双曲线上，若PF 1⊥PF 2，则点P 到x 轴的距离为______．9．已知双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C ，以C 的右焦点为圆心且与C 的渐近线相切的圆的半径是______．10.设圆过双曲线116922=-y x 的一个顶点和一个焦点，圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是______．11．已知双曲线C 的中心是原点，右焦点为),0,3(F 一条渐近线02:=+y x m ，设斜率为k 的直线l 过点A (0，1)．(1)求双曲线C 的方程；(2)若双曲线C 与l 无交点，求k 的取值范围．12．已知直线x －y ＋m ＝0与双曲线12:22=-y x C 交于不同的两点A ，B ，且线段AB 的中点在圆x 2＋y 2＝5上，求m 的值．13．在正△ABC 中，D 、E 分别为AB 、AC 的中点，设双曲线W 是以B 、C 为焦点，且过D 、E 两点．(1)求双曲线W 的离心率；(2)若|BC |＝2，建立适当的坐标系，给出双曲线W 的标准方程．1．B 2．C 3．A 4．D 5．B6．116922=-y x 7．)0,7(± 8．516 9．b 10．31611．解：(1)设双曲线的方程为)0,0(12222>>=-b a b y a x ，则⎪⎩⎪⎨⎧==+22322ab b a ，解得⎪⎩⎪⎨⎧==12b a ，所以双曲线的方程为1222=-y x . (2)直线l ：y ＝kx ＋1，由⎪⎩⎪⎨⎧+==-11222kx y y x ，消去y 得(1－2k 2)x 2－4kx －4＝0，因为直线l 与C 无交点，所以1－2k 2≠0，且判别式＝16k 2＋16(1－2k 2)＜0，解得k ＞1或k ＜－1．12．解：设A 、B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，线段AB 的中点为M (x 0，y 0)，由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-01222m y x y x 得x 2－2mx －m 2－2＝0(判别式＞0)， m x x x =+=∴2210，y 0＝x 0＋m ＝2m ， ∵点M (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝5上，∴m 2＋(2m )2＝5， ∴m ＝±1．13．解：(1)如图，设|BC |＝m ，则,23||,2||m BE m CE ==设双曲线W 的长轴长为2a ，焦距为2c ，则,||2,213||||2m BC c m CE BE a ==-=-= 所以离心率.131324132+=-=-==m mace(2)以BC 的中点O 为坐标原点，BC 为x 轴，向右为正方向，过O 作BC 的垂线为y 轴，向上为正方向，建立平面直角坐标系．因为,1,13=+=c e所以,23,213222=-=-=a cb a 故所求的双曲线方程为.12323222=--y x抛物线1．抛物线y 2＝－8x 的焦点坐标是( ) (A)(－2，0) (B)(2，0) (C)(－4，0) (D)(4，0)2．设椭圆)0,0(12222>>=+n m n y m x 的右焦点与抛物线y 2＝8x 的焦点相同，离心率为21，则此椭圆的方程为( )(A)1161222=+y x (B)1121622=+y x (C)1644822=+y x (D)1486422=+y x3．设O 为坐标原点，F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A 为抛物线上的一点，若OA ·AF ＝－4，则点A 的坐标为( ) (A))22,2(±(B)(1，±2) (C)(1，2)(D))22,2(4．已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的一个动点，则点P 到点(1，1)的距离与P 到该抛物线焦点的距离之和的最小值为( ) (A)2(B)3(C)2(D)235．过抛物线y 2＝4x 的焦点做一条直线与抛物线相交于A 、B 两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线( ) (A)有且仅有一条 (B)有且仅有两条 (C)有无穷多条 (D)不存在6．抛物线x 2＝4y 的准线方程是______，焦点坐标是______．7．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线关于x 轴对称，顶点在原点O ，且过点P (2，4)，则该抛物线的方程是______．8．已知圆x 2＋y 2－6x －7＝0与抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线相切，则p ＝______．9．抛物线y 2＝4x 上的一点M 到焦点的距离为2，则点M 的横坐标为______．10．抛物线y ＝－x 2上的点到直线4x ＋3y －8＝0距离的最小值是______．11．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的中点横坐标为4，求|AB |．12．如图，过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 的直线交抛物线于A 、B两点，求证：以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切．13．已知A ，B 是抛物线y 2＝4x 上的两点，O 为坐标原点，OA ⊥OB ，求证：A ，B 两点的纵坐标之积为常数．14．设点)23,0(F ，动圆P 经过点F 且和直线23-=y 相切．记动圆的圆心P 的轨迹为曲线W ．(1)求曲线W 的方程；(2)过点F 作互相垂直的直线l 1，l 2，分别交曲线W 于A ，B 和C ，D ．求四边形ACBD 面积的最小值．1．A 2．B 3．B 4．D 5．B6．y ＝－1 (0，1) 7．y 2＝8x 8．2 9．1 10．34 11．解：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，焦点F ，由抛物线定义，得,2||,2||21p x BF p x AF +=+= 所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋p ，又线段AB 的中点横坐标为4，即x 1＋x 2＝8，所以|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝8＋2＝10．12．证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点为M (x 0，y 0)，由抛物线定义，得|AB |＝x 1＋x 2＋p ，所以以AB 为直径的圆的半径⋅++=221px x r 又,2210x x x +=因为以AB 为直径的圆的圆心为M ，所以圆心M 到抛物线的准线2px -=的距离为,221p x x ++ 则以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切． 13．证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，因为OA ⊥OB ，所以OA ·OB ＝0，即x 1x 2＋y 1y 2＝0，所以y 1y 2＝－x 1x 2，(y 1y 2)2＝(x 1x 2)2，又A ，B 在抛物线上，所以y 12＝4x 1，y 22＝4x 2，(y 1y 2)2＝16x 1x 2，则16x 1x 2＝(x 1x 2)2，即x 1x 2＝16，所以y 1y 2＝－16，即A ，B 两点的纵坐标之积为常数．14．解：(1)过点P 作PN 垂直直线23-=y 于点N ．依题意得|PF |＝|PN |，所以动点P 的轨迹为是以F )23,0(为焦点，直线23-=y 为准线的抛物线，即曲线W 的方程是x 2＝6y ．(2)依题意，直线l 1，l 2的斜率存在且不为0，设直线l 1的方程为,23+=kx y 由l 1⊥l 2得l 2的方程为⋅+-=231x k y将23+=kx y 代入x 2＝6y ，化简得x 2－6kx －9＝0．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝6k ，x 1x 2＝－9． 221221)()(||y y x x AB -+-=∴]4))[(1(212212x x x x k -++=＝6(k 2＋1)，同理可得⋅+=)11(6||2k CD ∴ 四边形ACBD 的面积)11)(1(18||||2122++=⋅=k k CD AB S ,72)21(1822≥++=kk 当且仅当221kk =，即k ＝±1时，S min ＝72．故四边形ACBD 面积的最小值是72．。

高考圆锥曲线解答题汇编(含答案)题目难度中等

1.〔难度★★★〕如图，直角三角形ABC 的顶点坐标(2,0)A -，直角顶点(0,22)B -，顶点C 在x 轴上，点P 为线段OA 的中点．〔1〕求BC 边所在直线方程；〔2〕M 为直角三角形ABC 外接圆的圆心，求圆M 的方程；〔3〕假设动圆N 过点P 且与圆M 内切，求动圆N 的圆心N 的轨迹方程．【解】〔1〕∵2AB k =-，AB BC ⊥，∴22CB k =，∴2:222BC y x =- 〔4分〕〔2〕在上式中，令0y =，得(4,0)C ，∴圆心(1,0)M又∵3AM =，∴外接圆的方程为22(1)9x y -+= 〔9分〕〔3〕∵(1,0)P -，(1,0)M∵圆N 过点(1,0)P -，∴PN 是该圆的半径又∵动圆N 与圆M 内切，∴3MN PN =-，即3MN PN += ∴点N 的轨迹是以M 、P 为焦点，长轴长为3的椭圆，∴32a =，1c =，2254b a c =-=，∴轨迹方程为2219544x y += 〔14分〕2. 〔难度★★★☆〕设椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的离心率为e =22〔1〕椭圆的左、右焦点分别为F 1、F 2、A 是椭圆上的一点，且点A 到此两焦点的距离之和为4,求椭圆的方程.〔2〕求b 为何值时，过圆x 2+y 2=t 2上一点M 〔2，2〕处的切线交椭圆于Q 1、Q 2两点，而且OQ 1⊥OQ 2．答案：〔1〕椭圆的方程为12422=+y x〔2〕解: 过圆222x y t +=上的一点M 〔2,2〕处的切线方程为 2x+2y －6=0.…令111()Q x y ，，222()Q x y ，, 那么⎪⎩⎪⎨⎧=+=-+222220622by x y x化为5x 2－24x +36－2b 2=0, 由⊿>0得：5103>b541818)(62,5236,524221212122121b x x x x y y b x x x x -=++-=-==+由12OQ OQ ⊥知，9022121=⇒=+b y y x x ,即b=3∈〔5103,+∞〕，故b=33．〔难度★★★〕曲线c 上任意一点P 到两个定点F 1(3-，0)和F 2(3，0)的距离之和为4．〔1〕求曲线c 的方程；〔2〕设过(0，2-)的直线l 与曲线c 交于C 、D 两点，且O OD OC (0=⋅为坐标原点〕，求直线l 的方程．答案：解：〔1〕根据椭圆的定义，可知动点M 的轨迹为椭圆， ……………………1分其中2a =，c =1b ==． ………………………………………2分所以动点M 的轨迹方程为2214x y +=．………………………………………………4分〔2〕当直线l 的斜率不存在时，不满足题意．………………………………………5分当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为2y kx =-，设11(,)C x y ，22(,)D x y ， ∵0OC OD ⋅=，∴12120x x y y +=．……………………………………………6分 ∵112y kx =-，222y kx =-，∴21212122()4y y k x x k x x =⋅-++．∴ 21212(1)2()40k x x k x x +-++=．………… ① ………………………7分由方程组221,4 2.x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得()221416120k x kx +-+=．那么1221614k x x k +=+，1221214x x k ⋅=+，………………………………………9分代入①，得()222121612401414kk k kk+⋅-⋅+=++．即24k =，解得，2k =或2k =-．…………………………………………11分所以，直线l 的方程是22y x =-或22y x =--．…………………………12分4.〔难度★★★〕点M 在椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上, 以M 为圆心的圆与x 轴相切于椭圆的右焦点F .(1)假设圆M 与y 轴相切,求椭圆的离心率；(2)假设圆M 与y 轴相交于B A ,两点,且ABM ∆是边长为2的正三角形，求椭圆的方程. 解：(1)设),(00y x M ，圆M 的半径为r . 依题意得||00y r c x ===将c x =0代入椭圆方程得：a b y 20=，所以c ab =2，又222c a b -= 从而得 022=-+a ac c ，两边除以2a 得：012=-+e e解得：251±-=e ，因为 )1,0(∈e ，所以 215-=e . (2)因为ABM ∆是边长为2的正三角形，所以圆M 的半径2=r ，M 到y 轴的距离3=d 又由(1)知：ab r 2=，c d =所以，3=c ，22=ab 又因为 222c b a =-,解得：3=a , 622==a b 所求椭圆方程是：16922=+y x5、〔难度★★★〕圆C ：224x y +=.〔1〕直线l 过点()1,2P ，且与圆C 交于A 、B 两点，假设||AB =l 的方程；〔2〕过圆C 上一动点M 作平行于x 轴的直线m ，设m 与y 轴的交点为N ，假设向量OQ OM ON =+，求动点Q 的轨迹方程，并说明此轨迹是什么曲线.解〔Ⅰ〕①当直线l 垂直于x 轴时，那么此时直线方程为1=x ，l 与圆的两个交点坐标为()3,1和()3,1-，其距离为32，满足题意…………………… 2分 ②假设直线l 不垂直于x 轴，设其方程为()12-=-x k y ，即02=+--k y kx …………………………………………………… 3分设圆心到此直线的距离为d ，那么24232d -=，得1=d ∴1|2|12++-=k k ，34k =，故所求直线方程为3450x y -+= ……………………………………5分综上所述，所求直线为3450x y -+=或1=x …………………… 6分〔Ⅱ〕设点M 的坐标为()00,y x ，Q 点坐标为()y x ,那么N 点坐标是()0,0y …………………… 7分 ∵OQ OM ON =+，∴()()00,,2x y x y = 即x x =0，20yy =……………………9分又∵42020=+y x ，∴4422=+y x …………………………… 10分由，直线m //ox 轴，所以，0y ≠，…………………………… 11分∴Q 点的轨迹方程是221(0)164y x y +=≠，…………………… 12分轨迹是焦点坐标为12(0,F F -，长轴为8的椭圆，并去掉(2,0)±两点。

历年高三数学高考考点之〈直线与圆锥曲线〉必会题型及答案

历年高三数学高考考点之〈直线与圆锥曲线〉必会题型及答案体验高考1.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，且右焦点F 到左准线l 的距离为3.(1)求椭圆的标准方程；(2)过F 的直线与椭圆交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线l 和AB 于点P ，C ，若|PC |＝2|AB |，求直线AB 的方程.解 (1)由题意，得c a ＝22且c ＋a 2c＝3，解得a ＝2，c ＝1，则b ＝1，所以椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)当AB ⊥x 轴时，AB ＝2，又CP ＝3，不合题意. 当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将AB 的方程代入椭圆方程，得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2(k 2－1)＝0，则x 1，2＝2k 2±2(1＋k 2)1＋2k2， C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 21＋2k 2，－k 1＋2k 2，且AB ＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2＝(1＋k 2)(x 2－x 1)2＝22(1＋k 2)1＋2k2. 若k ＝0，则线段AB 的垂直平分线为y 轴，与左准线平行，不合题意. 从而k ≠0，故直线PC 的方程为y ＋k1＋2k 2＝－1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2k 21＋2k 2，则P 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，5k 2＋2k (1＋2k 2)，从而PC ＝2(3k 2＋1)1＋k2|k |(1＋2k 2). 因为|PC |＝2|AB |，所以2(3k 2＋1)1＋k 2|k |(1＋2k 2)＝42(1＋k 2)1＋2k 2，解得k ＝±1.此时直线AB 的方程为y ＝x －1或y ＝－x ＋1.2.如图，设抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，抛物线上的点A 到y 轴的距离等于|AF |－1.(1)求p 的值；(2)若直线AF 交抛物线于另一点B ，过B 与x 轴平行的直线和过F 与AB 垂直的直线交于点N ，AN 与x 轴交于点M ，求M 的横坐标的取值范围.解 (1)由题意可得，抛物线上点A 到焦点F 的距离等于点A 到直线x ＝－1的距离，由抛物线的定义得p2＝1，即p ＝2.(2)由(1)得，抛物线方程为y 2＝4x ，F (1，0)，可设A (t 2，2t )，t ≠0，t ≠±1. 因为AF 不垂直于y 轴，可设直线AF ：x ＝sy ＋1(s ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，x ＝sy ＋1消去x 得y 2－4sy－4＝0.故y 1y 2＝－4，所以B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1t 2，－2t .又直线AB 的斜率为2tt 2－1，故直线FN 的斜率为－t 2－12t，从而得直线FN ：y ＝－t 2－12t (x －1)，直线BN ：y ＝－2t.所以N ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2＋3t 2－1，－2t .设M (m ，0)，由A ，M ，N 三点共线得2tt 2－m＝2t ＋2tt 2－t 2＋3t 2－1，于是m ＝2t2t 2－1，所以m ＜0或m ＞2.经检验，m ＜0或m ＞2满足题意.综上，点M 的横坐标的取值范围是(－∞，0)∪(2，＋∞).3.已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，12在椭圆E 上.(1)求椭圆E 的方程；(2)设不过原点O 且斜率为12的直线l 与椭圆E 交于不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为M ，直线OM 与椭圆E 交于C ，D ，证明：|MA |·|MB |＝|MC |·|MD |. (1)解由已知，得a ＝2b ，又椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点P ⎝⎛⎭⎪⎫3，12，故34b 2＋14b 2＝1，解得b 2＝1.所以椭圆E 的方程是x 24＋y 2＝1.(2)证明设直线l 的方程为y ＝12x ＋m (m ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2).由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝12x ＋m ，得x 2＋2mx ＋2m 2－2＝0，①方程①的判别式为Δ＝4m 2－4(2m 2－2)，由Δ>0，即2－m 2>0，解得－2<m < 2. 由①得x 1＋x 2＝－2m ，x 1x 2＝2m 2－2.所以M 点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫－m ，m 2，直线OM 方程为y ＝－12x ，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝－12x ，得C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，22，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－22.所以|MC |·|MD |＝52(－m ＋2)·52(2＋m )＝54(2－m 2). 又|MA |·|MB |＝14|AB |2＝14[(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2]＝516[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝516[4m 2－4(2m 2－2)]＝54(2－m 2). 所以|MA |·|MB |＝|MC |·|MD |.高考必会题型题型一直线与圆锥曲线位置关系的判断及应用例1 设焦点在x 轴上的椭圆M 的方程为x 24＋y 2b 2＝1(b >0)，其离心率为22.(1)求椭圆M 的方程；(2)若直线l 过点P (0，4)，则直线l 何时与椭圆M 相交？解 (1)因为椭圆M 的离心率为22，所以4－b 24＝⎝ ⎛⎭⎪⎫222，得b 2＝2.所以椭圆M 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)①过点P (0，4)的直线l 垂直于x 轴时，直线l 与椭圆M 相交.②过点P (0，4)的直线l 与x 轴不垂直时，可设直线l 的方程为y ＝kx ＋4.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋4，x 24＋y22＝1消去y ，得(1＋2k 2)x 2＋16kx ＋28＝0. 因为直线l 与椭圆M 相交，所以Δ＝(16k )2－4(1＋2k 2)×28＝16(2k 2－7)>0，解得k <－142或k >142. 综上，当直线l 垂直于x 轴或直线l 的斜率的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－142∪⎝ ⎛⎭⎪⎫142，＋∞时，直线l 与椭圆M 相交.点评对于求过定点的直线与圆锥曲线的位置关系问题，一是利用方程的根的判别式来确定，但一定要注意，利用判别式的前提是二次项系数不为零；二是利用图形来处理和理解；三是直线过定点位置不同，导致直线与圆锥曲线的位置关系也不同.变式训练1 (2015·安徽)设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，点O 为坐标原点，点A 的坐标为(a ，0)，点B 的坐标为(0，b )，点M 在线段AB 上，满足|BM |＝2|MA |，直线OM 的斜率为510. (1)求椭圆E 的离心率e ；(2)设点C 的坐标为(0，－b )，N 为线段AC 的中点，点N 关于直线AB 的对称点的纵坐标为72，求E 的方程.解 (1)由题设条件知，点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ，13b ，又k OM ＝510，从而b 2a ＝510，进而得a ＝5b ，c ＝a 2－b 2＝2b ，故e ＝c a ＝255.(2)由题设条件和(1)的计算结果可得，直线AB 的方程为x5b＋yb＝1，点N 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫52b ，－12b .设点N 关于直线AB 的对称点S 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1，72，则线段NS 的中点T 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫54b ＋x 12，－14b ＋74.又点T 在直线AB 上，且k NS ·k AB ＝－1，从而有⎩⎪⎨⎪⎧54b ＋x 125b ＋－14b ＋74b＝1，72＋12b x 1－52b ＝5，解得b ＝3.所以a ＝35，故椭圆E 的方程为x 245＋y 29＝1.题型二直线与圆锥曲线的弦的问题例2 已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点分别为F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)(c >0)，过点E (a 2c，0)的直线与椭圆相交于A ，B 两点，且F 1A ∥F 2B ，|F 1A |＝2|F 2B |. (1)求椭圆的离心率；(2)求直线AB 的斜率.解 (1)由F 1A ∥F 2B ，且|F 1A |＝2|F 2B |，得|EF 2||EF 1|＝|F 2B ||F 1A |＝12，从而a 2c －c a 2c＋c ＝12，整理，得a 2＝3c 2，故离心率e ＝33. (2)由(1)得b 2＝a 2－c 2＝2c 2，所以椭圆的方程可写为2x 2＋3y 2＝6c 2，设直线AB 的方程为y ＝k (x －a 2c)，即y ＝k (x －3c ).由已知设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则它们的坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －3c )，2x 2＋3y 2＝6c 2消去y 并整理，得(2＋3k 2)x 2－18k 2cx ＋27k 2c2－6c 2＝0，依题意，Δ＝48c 2(1－3k 2)>0，得－33<k <33， (*)而x 1＋x 2＝18k 2c2＋3k 2，① x 1x 2＝27k 2c 2－6c 22＋3k2，②由题设知，点B 为线段AE 的中点，所以x 1＋3c ＝2x 2，③联立①③解得x 1＝9k 2c －2c 2＋3k 2，x 2＝9k 2c ＋2c2＋3k 2，将x 1，x 2代入②中，解得k ＝±23满足(*)式，故所求k 的值是±23. 点评直线与圆锥曲线弦的问题包括求弦的方程，弦长，弦的位置确定，弦中点坐标轨迹等问题，解决这些问题的总体思路是设相关量，找等量关系，利用几何性质列方程(组)，不等式(组)或利用一元二次方程根与系数的关系，使问题解决.变式训练2 设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左，右焦点，过F 1且斜率为1的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且|AF 2|，|AB |，|BF 2|成等差数列. (1)求椭圆E 的离心率；(2)设点P (0，－1)满足|PA |＝|PB |，求椭圆E 的方程. 解 (1)由椭圆定义知|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝4a ，又2|AB |＝|AF 2|＋|BF 2|，得|AB |＝43a ，l 的方程为y ＝x ＋c ，其中c ＝a 2－b 2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ，B 两点的坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋c ，x 2a 2＋y2b2＝1消去y ，化简得(a 2＋b 2)x 2＋2a 2cx ＋a 2(c 2－b 2)＝0，则x 1＋x 2＝－2a 2c a 2＋b 2，x 1x 2＝a 2(c 2－b 2)a 2＋b 2. 因为直线AB 的斜率为1，所以|AB |＝2|x 2－x 1|＝2[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]，即43a ＝4ab2a 2＋b 2，故a 2＝2b 2，所以E 的离心率e ＝c a ＝a 2－b 2a ＝22.(2)设AB 的中点为N (x 0，y 0)，由(1)知x 0＝x 1＋x 22＝－a 2c a 2＋b 2＝－2c 3，y 0＝x 0＋c ＝c3. 由|PA |＝|PB |，得k PN ＝－1，即y 0＋1x 0＝－1，得c ＝3，从而a ＝32，b ＝3. 故椭圆E 的方程为x 218＋y 29＝1.高考题型精练1.(2015·北京)已知椭圆C ：x 2＋3y 2＝3，过点D (1，0)且不过点E (2，1)的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，直线AE 与直线x ＝3交于点M . (1)求椭圆C 的离心率；(2)若AB 垂直于x 轴，求直线BM 的斜率；(3)试判断直线BM 与直线DE 的位置关系，并说明理由.解 (1)椭圆C 的标准方程为x 23＋y 2＝1，所以a ＝3，b ＝1，c ＝ 2. 所以椭圆C 的离心率e ＝c a ＝63. (2)因为AB 过点D (1，0)且垂直于x 轴，所以可设A (1，y 1)，B (1，－y 1)，直线AE 的方程为y －1＝(1－y 1)(x －2)，令x ＝3，得M (3，2－y 1)，所以直线BM 的斜率k BM ＝2－y 1＋y 13－1＝1.(3)直线BM 与直线DE 平行，证明如下：当直线AB 的斜率不存在时，由(2)可知k BM ＝1. 又因为直线DE 的斜率k DE ＝1－02－1＝1，所以BM ∥DE ，当直线AB 的斜率存在时，设其方程为y ＝k (x －1)(k ≠1)，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则直线AE 的方程为y －1＝y 1－1x 1－2(x －2). 令x ＝3，得点M ⎝⎛⎭⎪⎫3，y 1＋x 1－3x 1－2，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋3y 2＝3，y ＝k (x －1)，得(1＋3k 2)x 2－6k 2x ＋3k 2－3＝0，所以x 1＋x 2＝6k 21＋3k 2，x 1x 2＝3k 2－31＋3k2，直线BM 的斜率k BM ＝y 1＋x 1－3x 1－2－y 23－x 2，因为k BM －1＝k (x 1－1)＋x 1－3－k (x 2－1)(x 1－2)－(3－x 2)(x 1－2)(3－x 2)(x 1－2)＝(k －1)[－x 1x 2＋2(x 1＋x 2)－3](3－x 2)(x 1－2)＝(k －1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－3k 2＋31＋3k 2＋12k 21＋3k 2－3(3－x 2)(x 1－2)＝0，所以k BM ＝1＝k DE . 所以BM ∥DE ，综上可知，直线BM 与直线DE 平行.2.(2016·课标全国甲)已知A 是椭圆E ：x 24＋y 23＝1的左顶点，斜率为k (k >0)的直线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA .(1)当|AM |＝|AN |时，求△AMN 的面积； (2)当2|AM |＝|AN |时，证明：3<k <2.(1)解设M (x 1，y 1)，则由题意知y 1>0，由|AM |＝|AN |及椭圆的对称性知，直线AM 的倾斜角为π4.又A (－2，0)，因此直线AM 的方程为y ＝x ＋2. 将x ＝y －2代入x 24＋y 23＝1得7y 2－12y ＝0，解得y ＝0或y ＝127，所以y 1＝127.因此△AMN 的面积S △AMN ＝2×12×127×127＝14449.(2)证明将直线AM 的方程y ＝k (x ＋2)(k >0)代入x 24＋y 23＝1得(3＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋16k 2－12＝0，由x 1·(－2)＝16k 2－123＋4k 2得x 1＝2(3－4k 2)3＋4k 2，故|AM |＝|x 1＋2|1＋k 2＝121＋k23＋4k2.由题设，直线AN 的方程为y ＝－1k(x ＋2)，故同理可得|AN |＝12k 1＋k23k 2＋4. 由2|AM |＝|AN |，得23＋4k 2＝k3k 2＋4，即4k 3－6k 2＋3k －8＝0，设f (t )＝4t 3－6t 2＋3t －8，则k 是f (t )的零点，f ′(t )＝12t 2－12t ＋3＝3(2t －1)2≥0，所以f (t )在(0，＋∞)单调递增，又f (3)＝153－26<0，f (2)＝6>0，因此f (t )在(0，＋∞)有唯一的零点，且零点k 在(3，2)内，所以3<k <2.3.已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点F (0，c )(c >0)到直线l ：x －y －2＝0的距离为322.设P 为直线l 上的点，过点P 作抛物线C 的两条切线PA ，PB ，其中A ，B 为切点. (1)求抛物线C 的方程；(2)当点P (x 0，y 0)为直线l 上的定点时，求直线AB 的方程； (3)当点P 在直线l 上移动时，求|AF |·|BF |的最小值. 解 (1)依题意知|c ＋2|2＝322，c >0，解得c ＝1.所以抛物线C 的方程为x 2＝4y . (2)由y ＝14x 2得y ′＝12x ，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则切线PA ，PB 的斜率分别为12x 1，12x 2，所以切线PA 的方程为y －y 1＝x 12(x －x 1)，即y ＝x 12x －x 212＋y 1，即x 1x －2y －2y 1＝0.同理可得切线PB 的方程为x 2x －2y －2y 2＝0，又点P (x 0，y 0)在切线PA 和PB 上，所以x 1x 0－2y 0－2y 1＝0，x 2x 0－2y 0－2y 2＝0，所以(x 1，y 1)，(x 2，y 2)为方程x 0x －2y 0－2y ＝0的两组解，所以直线AB 的方程为x 0x －2y －2y 0＝0.(3)由抛物线定义知|AF |＝y 1＋1，|BF |＝y 2＋1，所以|AF |·|BF |＝(y 1＋1)(y 2＋1)＝y 1y 2＋(y 1＋y 2)＋1，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x 0x －2y －2y 0＝0，x 2＝4y ，消去x 整理得y 2＋(2y 0－x 20)y ＋y 20＝0，所以y 1＋y 2＝x 20－2y 0，y 1y 2＝y 20，所以|AF |·|BF |＝y 1y 2＋(y 1＋y 2)＋1 ＝y 20＋x 20－2y 0＋1 ＝y 20＋(y 0＋2)2－2y 0＋1＝2y 20＋2y 0＋5＝2⎝⎛⎭⎪⎫y 0＋122＋92，所以当y 0＝－12时， |AF |·|BF |取得最小值，且最小值为92. 4.已知椭圆C 1：y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)的右顶点为A (1，0)，过C 1的焦点且垂直长轴的弦长为1. (1)求椭圆C 1的方程；(2)设点P 在抛物线C 2：y ＝x 2＋h (h ∈R )上，C 2在点P 处的切线与C 1交于点M ，N .当线段AP 的中点与MN 的中点的横坐标相等时，求h 的最小值. 解 (1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝1，2·b 2a＝1，从而⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝1.因此，椭圆C 1的方程为y 24＋x 2＝1. (2)如图，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，P (t ，t 2＋h )，则抛物线C 2在点P 处的切线斜率为y ′| x ＝t ＝2t . 直线MN 的方程为y ＝2tx －t 2＋h .将上式代入椭圆C 1的方程中，得4x 2＋(2tx －t 2＋h )2－4＝0，即4(1＋t 2)x 2－4t (t 2－h )x ＋(t 2－h )2－4＝0. ① 因为直线MN 与椭圆C 1有两个不同的交点，所以①式中的Δ1＝16[－t 4＋2(h ＋2)t 2－h 2＋4]>0. ②设线段MN 的中点的横坐标是x 3，则x 3＝x 1＋x 22＝t (t 2－h )2(1＋t 2).设线段PA 的中点的横坐标是x 4，则x 4＝t＋12.由题意，得x 3＝x 4，即t 2＋(1＋h )t ＋1＝0.③由③式中的Δ2＝(1＋h )2－4≥0，得h ≥1，或h ≤－3.当h ≤－3时，h ＋2<0，4－h 2<0，则不等式②不成立，所以h ≥1.当h ＝1时，代入方程③得t ＝－1，将h ＝1，t ＝－1代入不等式②，检验成立. 所以，h 的最小值为1.。

高考大题专项-直线与圆锥曲线压轴大题(含详细答案)

高考大题专项五突破1圆锥曲线中的最值、范围、证明问题1.(2018江西上饶一模,20)已知椭圆M:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12,点P1,32在椭圆M上.(1)求椭圆M的方程;(2)经过椭圆M的右焦点F的直线l与椭圆M交于C,D两点,A,B分别为椭圆M的左、右顶点,记△ABD与△ABC的面积分别为S1和S2,求|S1-S2|的取值范围.2.(2018宁夏银川一中四模,20)已知椭圆C:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点M在椭圆上,有|MF1|+|MF2|=4,椭圆的离心率为e=12.(1)求椭圆C的标准方程;(2)已知N(4,0),过点N作斜率为k(k>0)的直线l与椭圆交于A,B不同两点,线段AB的中垂线为l',记l'的纵截距为m,求m的取值范围.3.(2018北京海淀区二模,20)已知椭圆C:x2+2y2=1的左右顶点分别为A1,A2.(1)求椭圆C的长轴长与离心率;(2)若不垂直于x轴的直线l与椭圆C相交于P,Q两点,直线A1P与A2Q交于点M,直线A1Q与A2P 交于点N.求证:直线MN垂直于x轴.4.(2018广东珠海质检,20)已知抛物线C1:y2=2px(p>0),圆C2:x2+y2=4,直线l:y=kx+b与抛物线C1相切于点M,与圆C2相切于点N.(1)若直线l的斜率k=1,求直线l和抛物线C1的方程;(2)设F为抛物线C1的焦点,设△FMN,△FON的面积分别为S1,S2,若S1=λS2,求λ的取值范围.5.(2018重庆巴蜀中学适应性考试(七),20)已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)与直线y=√22x-2√2相切,设椭圆的上顶点为M,F 1,F 2是椭圆的左、右焦点,且△MF 1F 2为等腰直角三角形. (1)求椭圆的标准方程;(2)直线l 过点N 0,-23交椭圆于A,B 两点,直线MA 、MB 分别与椭圆的短轴为直径的圆交于S,T 两点,求证:O,S,T 三点共线.6.(2018河北衡水联考,20)已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的离心率e=√33,左、右焦点分别为F 1,F 2,且F 2与抛物线y 2=4x 的焦点重合. (1)求椭圆的标准方程;(2)若过F 1的直线交椭圆于B,D 两点,过F 2的直线交椭圆于A,C 两点,且AC ⊥BD,求|AC|+|BD|的最小值.突破2 圆锥曲线中的定点、定值与存在性问题1.(2018福建厦门质检一,20)设O 为坐标原点,椭圆C:x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的左焦点为F,离心率为2√55.直线l:y=kx+m(m>0)与C 交于A,B 两点,AF 的中点为M,|OM|+|MF|=5. (1)求椭圆C 的方程;(2)设点P(0,1),PA⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =-4,求证:直线l 过定点,并求出定点的坐标.2.(2018东北三省三校(哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)一模,20)已知椭圆C:x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的离心率为√22,F 1(-c,0),F 2(c,0)为椭圆C 的左、右焦点,M 为椭圆C 上的任意一点,△MF 1F 2的面积的最大值为1,A 、B 为椭圆C 上任意两个关于x 轴对称的点,直线x=a 2c与x 轴的交点为P,直线PB 交椭圆C 于另一点E. (1)求椭圆C 的标准方程; (2)求证:直线AE 过定点.3.(2018广东一模,20)已知椭圆C:x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的离心率为√32,且C 过点1,√32.(1)求椭圆C的方程;(2)若直线l与椭圆C交于P,Q两点(点P,Q均在第一象限),且直线OP,l,OQ的斜率成等比数列,证明:直线l的斜率为定值.4.已知定直线l:y=x+3,定点A(2,1),以坐标轴为对称轴的椭圆C过点A且与l相切.(1)求椭圆的标准方程;(2)椭圆的弦AP,AQ的中点分别为M,N,若MN平行于l,则OM,ON斜率之和是否为定值?若是定值,请求出该定值;若不是定值,请说明理由.5.(2018江西六校联考,20)已知F1,F2分别是椭圆C:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点,其中右焦点为抛物线y2=4x的焦点,点M-1,√22在椭圆C上.(1)求椭圆C的标准方程;(2)设与坐标轴不垂直的直线l过F2与椭圆C交于A,B两点,过点M-1,√22且平行直线l的直线交椭圆C于另一点N,若四边形MNBA为平行四边形,试问直线l是否存在?若存在,请求出l的斜率;若不存在,请说明理由.6.(2018辽宁省部分重点中学协作体模拟,20)已知M√3,12是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)上的一点,F1,F2是该椭圆的左右焦点,且|F1F2|=2√3.(1)求椭圆C的方程;(2)设点A,B是椭圆C上与坐标原点O不共线的两点,直线OA,OB,AB的斜率分别为k1,k2,k3,且k1k2=k2.试探究|OA|2+|OB|2是否为定值,若是,求出定值,若不是,说明理由.高考大题专项五突破1 圆锥曲线中的最值、范围、证明问题1.解 (1)因为e=c a=12,椭圆M 过点P 1,32,所以c=1,a=2,所以椭圆M 的方程为x 24+y 23=1.(2)当直线l 无斜率时,直线方程为x=1,此时C 1,-32,D 1,32,△ABD,△ABC 面积相等,|S 1-S 2|=0; 当直线l 斜率存在(显然k ≠0)时,设直线方程为y=k(x-1), 设C(x 1,y 1),D(x 2,y 2).由{x 24+y 23=1,y =k (x -1),消去y 得(3+4k 2)x 2-8k 2x+4k 2-12=0, 显然Δ>0,方程有根,且x 1+x 2=8k 23+4k 2,x 1x 2=4k 2-123+4k 2,此时|S 1-S 2|=2||y 2|-|y 1||=2|y 2+y 1|=12|k |3+4k 2,因为k ≠0,上式=123|k |+4|k |≤2√3|k |·4|k |=2√12=√3k=±√32时等号成立,所以|S 1-S 2|的最大值为√3, 所以0≤|S 1-S 2|≤√3.2.解 (1)因为|MF 1|+|MF 2|=4,所以2a=4,所以a=2.因为e=12,所以c=1,所以b 2=a 2-c 2=3,所以椭圆C 的标准方程为x 24+y 23=1. (2)由题意可知直线l 的斜率存在,设l:y=k(x-4),A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),由{y =k (x -4),x 24+y 23=1,消去y 得(4k 2+3)x 2-32k 2x+64k 2-12=0, x 1+x 2=32k 24k 2+3,x 1x 2=64k 2-124k 2+3,又Δ=(-32k 2)2-4(4k 2+3)(64k 2-12)>0,解得-12<k<12, 故0<k<12.设A,B 的中点为P(x 0,y 0),则x 0=x 1+x 22=16k 24k 2+3, y 0=k(x 0-4)=-12k4k 2+3,所以l':y-y 0=-1k (x-x 0),即y+12k4k 2+3=-1k x-16k 24k 2+3,化简得y=-1k x+4k4k 2+3,令x=0,得m=4k4k 2+3,k ∈0,12,m'=-16k 2+12(4k 2+3)2,当k ∈0,12时,m'>0恒成立,所以m=4k 4k 2+3在k ∈0,12上为增函数,所以0<m<12.3.(1)解椭圆C 的方程可化为x 2+y 2=1,所以a=√2,b=1,c=1.所以长轴长为2a=2√2,离心率e=ca =√22.(2)证明显然直线A 1P,A 2Q,A 1Q,A 2P 的斜率都存在,且互不相等,分别设为k 1,k 2,k 3,k 4.设直线A 1P 的方程为y=k 1(x+√2),A 2Q 的方程为y=k 2(x-√2), 联立直线A 1P 与直线A 2Q 方程得x M =√2(k 2+k 1)k 2-k 1.同理可得x N =√2(k 4+k 3)k 4-k 3.下面证明k 1k 4=-12.设P(x 0,y 0),则x 02+2y 02=2. 所以k 1k 4=0x +√20x -√2=y 02x 02-2=y 02-2y 02=-12.同理k 2k 3=-12.所以x N =√2(-12k 1+-12k 2)-12k 1--12k 2=√2(k 2+k 1)k 2-k 1=x M .所以直线MN 垂直于x 轴.4.解 (1)由题设知l:x-y+b=0,且b>0,由l 与C 2相切知,C 2(0,0)到l 的距离d=2=2,得b=2√2,所以l:x-y+2√2=0.将l 与C 1的方程联立消x 得y 2-2py+4p √2=0,其Δ=4p 2-16√2p=0得p=4√2,∴C 1:y 2=8√2x. 综上所述,l:x-y+2√2=0,C 1:y 2=8√2x.(2)不妨设k>0,根据对称性,k>0得到的结论与k<0得到的结论相同. 此时b>0,又知p>0,设M(x 1,y 1),N(x 2,y 2), 由{y =kx +b ,y 2=2px ,消去y 得k 2x 2+2(kb-p)x+b 2=0, 由Δ=4(kb-p)2-4k 2b 2=0, 得p=2kb,Mp 2k2,p k,由l 与C 2切于点N 知C 2(0,0)到l:kx-y+b=0的距离d=√1+k =2,得b=2√1+k 2,则p=4k √1+k 2,故M2√1+k 2k,4√1+k 2.由{y =kx +b ,x 2+y 2=4,得N -2k √1+k ,2√1+k , 故|MN|=√1+k 2|xM -x N |=√1+k 22√1+k 2k+2k√1+k=4k 2+2k .Fp 2,0到l:kx-y+b=0的距离d 0=pk 2+b √1+k =2k 2+2,所以S 1=S △FMN =12|MN|d 0=2(2k 2+1)(k 2+1)k, 又因为S 2=S △FON =12|OF|·|y N |=2k,所以λ=S1S 2=(2k 2+1)(k 2+1)k2=1k2+2(k 2+1)=2k 2+1k2+3≥2√2+3,当且仅当2k 2=1k2即k=1√24时取等号,与上同理可得,k<0时亦是同上结论. 综上所述,λ的取值范围是[3+2√2,+∞). 5.(1)解 ∵△MF 1F 2为等腰直角三角形,∴b=c,a=√2b,∴椭圆的方程为x 2+2y 2=2b 2. 由{x 2+2y 2=2b 2,x =√2y +4,消去x 整理得:4y 2+8√2y+16-2b 2=0, ∵椭圆与直线相切, ∴Δ=128-16(16-2b 2)=0, 解得b 2=4.∴椭圆的标准方程为x 2+2y 2=8,即x 28+y 24=1.(2)证明由题意得直线AB 的斜率存在,设直线AB 的方程为y=kx-23,由{y =kx -23,x 2+2y 2=8,消去y 整理得:(1+2k 2)x 2-83kx-649=0,∵直线AB 与椭圆交于两点,∴Δ=(83k)2+4×649(2k 2+1)=649(9k 2+4)>0.设点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2), 则x 1+x 2=83k 1+2k 2,x 1x 2=-6491+2k 2,又M(0,2),∴MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+(y 1-2)(y 2-2) =x 1x 2+kx 1-83kx 2-83=(1+k 2)x 1x 2-83k(x 1+x 2)+649=-649·1+k 21+2k 2−649·k 21+2k 2+649=649-1+k 2+k 21+2k 2+1=0.∴MA ⊥MB,∴∠SMT=π2.∵圆的直径为椭圆的短轴,∴圆心为原点O, ∴点O,S,T 三点共线.6.解 (1)抛物线y 2=4x 的焦点为(1,0),所以c=1,又因为e=ca =1a =√33,所以a=√3,所以b 2=2,所以椭圆的标准方程为x2+y 2=1. (2)①当直线BD 的斜率k 存在且k ≠0时, 直线BD 的方程为y=k(x+1),代入椭圆方程x 23+y 22=1, 化简得(3k 2+2)x 2+6k 2x+3k 2-6=0. 设B(x 1,y 1),D(x 2,y 2),则x 1+x 2=-6k 23k 2+2,x 1x 2=3k 2-63k 2+2,|BD|=√1+k ·|x 1-x 2|=√(1+k 2)·[(x 1+x 2)2-4x 1x 2] =4√3(k 2+1)3k 2+2.易知直线AC 的斜率为-1k ,所以|AC|=4√3(1k 2+1)3×1k2+2=4√3(k 2+1)2k 2+3,|AC|+|BD|=4√3(k 2+1)13k 2+2+12k 2+3=20√3(k 2+1)2(3k 2+2)(2k 2+3)≥20√3(k 2+1)2[(3k 2+2)+(2k 2+3)2]2=20√3(k 2+1)225(k 2+1)24=16√35, 当k 2=1,即k=±1时,上式取等号,故|AC|+|BD|的最小值为16√35. ②当直线BD 的斜率不存在或等于零时,易得|AC|+|BD|=10√33>16√35.综上所述,|AC|+|BD|的最小值为16√35.突破2 圆锥曲线中的定点、定值与存在性问题1.解 (1)设椭圆的右焦点为F 1,则OM 为△AFF 1的中位线.∴OM=12AF 1,MF=12AF, ∴|OM|+|MF|=|AF |+|AF 1|2=a=5, ∵e=ca =2√55, ∴c=2√5,∴b=√5,∴椭圆C 的方程为x 225+y 25=1.(2)设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),联立{y =kx +m ,x 225+y 25=1,消去y 整理得(1+5k 2)x 2+10mkx+5m 2-25=0.∴Δ>0,x 1+x 2=-10km1+5k2,x 1x 2=5m 2-251+5k 2,∴y 1+y 2=k(x 1+x 2)+2m=2m1+5k2,y 1y 2=(kx 1+m)(kx 2+m)=k 2x 1x 2+km(x 1+x 2)+m 2=5k2m 2-25k 2-10k 2m 2+m 2+5k 2m 21+5k 2=-25k 2+m 21+5k 2,∵P(0,1),PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·x B⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-4, ∴(x 1,y 1-1)·(x 2,y 2-1)=x 1x 2+y 1y 2-(y 1+y 2)+1=-4,∴5m 2-251+5k2+-25k 2+m 21+5k2−2m 1+5k 2+5=0,整理得3m 2-m-10=0,解得m=2或m=-53(舍去).∴直线l 过定点(0,2).2.(1)解 ∵当M 为椭圆C 的短轴端点时,△MF 1F 2的面积的最大值为1,∴12×2c×b=1,∴bc=1,∵e=ca =√22,a 2=b 2+c 2,∴a=√2,b=1,∴椭圆C 的标准方程为x 22+y 2=1.(2)证明设B(x 1,y 1),E(x 2,y 2),A(x 1,-y 1),且x 1≠x 2,∵x=a 2c =2,∴P(2,0),由题意知BP 的斜率必存在,设BP:y=k(x-2),代入x 22+y 2=1得(2k 2+1)x 2-8k 2x+8k 2-2=0,由Δ>0得k 2<12,x 1+x 2=8k 22k 2+1,x 1·x 2=8k 2-22k 2+1.∵x 1≠x 2∴AE 斜率必存在,AE:y+y 1=y 1+y2x 2-x 1(x-x 1),由对称性易知直线AE 过的定点必在x 轴上,则当y=0时,得x=y 1(x 2-x 1)y 1+y 2+x 1=y 1x 2+y 2x 1y 1+y 2=k (x 1-2)x 2+k (x 2-2)x 1k (x 1+x 2)-4k =2x 1x 2-2(x 1+x 2)x 1+x 2-4=2·8k 2-22k 2+1-2·8k22k 2+18k22k 2+1-4=1,即在k 2<12的条件下,直线AE 过定点(1,0).3.(1)解由题意可得{c a=√32,1a 2+34b 2=1,a 2=b 2+c 2,解得{a =2,b =1.故椭圆C 的方程为x 2+y 2=1.(2)证明由题意可知直线l 的斜率存在且不为0,设直线l 的方程为y=kx+m(m ≠0),由{y =kx +m ,x 2+y 2=1,消去y 整理得(1+4k 2)x 2+8kmx+4(m 2-1)=0, ∵直线l 与椭圆交于两点,∴Δ=64k 2m 2-16(1+4k 2)(m 2-1)=16(4k 2-m 2+1)>0. 设点P,Q 的坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2),则x 1+x 2=-8km1+4k 2,x 1x 2=4(m 2-1)1+4k 2,∴y 1y 2=(kx 1+m)(kx 2+m)=k 2x 1x 2+km(x 1+x 2)+m 2. ∵直线OP,l,OQ 的斜率成等比数列, ∴k 2=y 22·y11=k 2x 1x 2+km (x 1+x 2)+m 212, 整理得km(x 1+x 2)+m 2=0,∴-8k 2m 21+4k 2+m 2=0,又m ≠0,所以k 2=14,结合图象(图略)可知,k=-12,故直线l 的斜率为定值. 4.解 (1)设椭圆C 的方程为mx 2+ny 2=1(m>0,n>0,m ≠n),椭圆C 过点A,所以4m+n=1.①将y=x+3代入椭圆方程化简得(m+n)x 2+6nx+9n-1=0. 因为直线l 与椭圆C 相切, 所以Δ=(6n)2-4(m+n)(9n-1)=0,②解①②可得m=16,n=13.所以椭圆的标准方程为x 26+y 23=1. (2)设点P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2),则有M x 1+22,y 1+12,N x 2+22,y 2+12.由题意可知PQ ∥MN,所以k PQ =k MN =1. 设直线PQ 的方程为y=x+t(-3<t<3),当t ≠0时,代入椭圆方程并化简得3x 2+4tx+2t 2-6=0, Δ=(4t)2-4×3(2t 2-6)=-8t 2+72>0,所以{x 1+x 2=-4t3,x 1x 2=2t 2-63, ③k OM +k ON =y 1+1x 1+2+y 2+1x 2+2=x 1+t+1x 1+2+x 2+t+1x 2+2, 通分后可变形得到k OM +k ON =2x 1x 2+(t+3)(x 1+x 2)+4t+4x 1x 2+2(x 1+x 2)+4,将③式代入得k OM +k ON =2(2t 2-6)+(t+3)(-4t )+12t+12-4t+2(2t 2-6)+12=4t 2-4t=0.当t=0时,直线PQ 的方程为y=x,易得P(√2,√2),Q(-√2,-√2),则M 2+√22,1+√22,N2-√22,1-√22,所以k OM +k ON =1+√22+√2+1-√22-√2=0. 所以OM,ON 斜率之和为定值0.5.解 (1)由y 2=4x 的焦点为(1,0)可知椭圆C 的焦点为F 1(-1,0),F 2(1,0),又点M -1,√22在椭圆上,所以{1a 2+12b 2=1,a 2=b 2+c 2,c =1,解得{a 2=2,b 2=1,所以椭圆C 的标准方程为x 22+y 2=1.(2)由题意可设直线l 的方程为y=k(x-1),A(x 1,y 1),B(x 2,y 2), 由{x 2+y 2=1,y =k (x -1),消去y,得(1+2k 2)x 2-4k 2x+2k 2-2=0,所以x 1+x 2=4k 21+2k 2,x 1x 2=2k 2-21+2k 2.所以|AB|=√1+k 2√(x 1+x 2)2-4x 1x 2=2√2(1+k 2)1+2k 2.设直线MN 的方程为y-√2=k(x+1),M(x 3,y 3),N(x 4,y 4),由{x 22+y 2=1,y -√2=k (x +1),消去y,得(1+2k 2)x 2+(4k 2+2√2k)x+(2k 2+2√2k-1)=0,因为x 3=-1,所以x 4=-2k 2+2√2k -11+2k2,|MN|=√1+k 2|x 3-x 4|=√1+k 2|2√2k -2|1+2k 2.因为四边形MNBA 为平行四边形,所以|AB|=|MN|,即2√2(1+k 2)1+2k2=√1+k 2|2√2k -2|1+2k2,k=-√24,但是,直线l 的方程y=-√24(x-1),即x+2√2y-1=0过点M -1,√22,即直线AB 与直线MN 重合,不符合题意,所以直线l 不存在.6.解 (1)由题意,知F 1(-√3,0),F 2(√3,0),根据椭圆定义得|MF 1|+|MF 2|=2a,所以2a=√(√3+√3)2+(12-0)2+√(√3-√3)2+(12-0)2=4, 所以a 2=4,b 2=a 2-c 2=1,所以椭圆C 的方程为x 24+y 2=1.(2)|OA|2+|OB|2为定值.设直线AB:y=kx+m(km ≠0),A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),由 {y =kx +m ,x 24+y 2=1,消去y 得(1+4k 2)x 2+8kmx+4m 2-4=0, 则Δ=(8km)2-16(m 2-1)(4k 2+1)>0, x 1+x 2=-8km1+4k 2,x 1x 2=4m 2-41+4k 2,因为k 1k 2=k 2,所以kx 1+m x 1·kx 2+m x 2=k 2,即km(x 1+x 2)+m 2=0(m ≠0),解得k 2=1, 所以|OA|2+|OB|2=x 12+x 22+y 12+y 22=34[(x 1+x 2)2-2x 1x 2]+2=5,所以|OA|2+|OB|2=5.。

直线与圆锥曲线含答案

【例1】已知1m >，直线2:02m l x my --=，椭圆222:1x C y m+=，1F ，2F 分别为椭圆C的左、右焦点．⑴当直线l 过右焦点2F 时，求直线l 的方程；⑵设直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，12AF F △，12BF F △的重心分别为G ，H ．若原点O 在以线段GH 为直径的圆内，求实数m 的取值范围．【考点】直线与椭圆【难度】4星【题型】解答【关键字】2010年，浙江高考【解析】⑴因为直线2:02m l x my --=经过)20F22m ，得22m =又因为 1.m >所以m =故直线l的方程为10.x -= ⑵设11()A x y ，，22()B x y ，由2222,21m x my x y m ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消去x 得222104m y my +++=则由22281804m m m ⎛⎫=--=-+> ⎪⎝⎭△，知28m < 且有122my y +=-，212182m y y =-．由于1(0)F c -，，2(0)F c ，，故O 为12F F 的中点，由2AG GO = ，2BH HO = ，可知1133x y G ⎛⎫⎪⎝⎭，，2233y x H ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2221212()()||.99x x y y GH --=+设M 是GH 的中点，则121266x x y y M ++⎛⎫⎪⎝⎭，直线与圆锥曲线.测试题由题意可知，2||||MO GH <即222212121212()()46699x x y y x x y y ⎡⎤++--⎛⎫⎛⎫+<+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 12120.x x y y +<而221212121222m m x x y y my my y y ⎛⎫⎛⎫+=+++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭221(1)82m m ⎛⎫=+-⎪⎝⎭，所以210.82m -<即2 4.m <又因为1m >且0>△．所以1 2.m << 所以m 的取值范围是(12)，．【答案】⑴10x -=；⑵(12)，．【例2】已知椭圆C 的焦点是(10,F -，(20,F ，点P 在椭圆上且满足124PF PF +=．⑴ 求椭圆C 的标准方程；⑵ 设直线:220l x y ++=与椭圆C 的交点为A ，B ． ⅰ）求使PAB ∆的面积为12的点P 的个数； ⅱ）设M 为椭圆上任一点，O 为坐标原点， (,)OM OA OB λμλμ=+∈R，求22λμ+的值．【考点】直线与椭圆【难度】4星【题型】解答【关键字】2010年，宣武一模【解析】⑴ ∵12124PF PF F F +=>∴点P 满足的曲线C 的方程为椭圆∵24,a c =∴2221b a c =-=∴椭圆C 的标准方程为2214y x +=．⑵ i ）∵ 直线:220l x y ++=与椭圆C 的交点为A ，B∴()()1,0,0,2A B --，AB =若1122PAB S AB d ∆==∴d =∵原点O 到直线:220l x y ++==>∴在直线:220l x y ++=的右侧有两个符合条件的P 点设直线:20l x y n '++=与椭圆相切，则 222014x y n y x ++=⎧⎪⎨+=⎪⎩有且只有一个交点． ∴228440x nx n ++-=有且只有一个解由0∆=解得n =此时，l '与l< ∴在直线:220l x y ++=的左侧不存在符合条件的P 点 ∴符合条件的点P 有2个．ii ）设(),M x y ，则,x y 满足方程：2214y x +=∵ (,)OM OA OB λμλμ=+∈R∴()()()(),1,00,2,2x y λμλμ=-+-=--即：2x y λμ=-⎧⎨=-⎩，从而有2xy λμ=-⎧⎪⎨=-⎪⎩∴222214y x λμ+=+=．【答案】⑴2214y x +=；⑵ i ）符合条件的点P 有2个；ii ）222214y x λμ+=+=．【例3】已知椭圆22:14y C x +=，过点()03M ，的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点A 、B ．⑴若l 与x 轴相交于点N ，且A 是MN 的中点，求直线l 的方程；⑵设P 为椭圆上一点，且OA OB OP λ+=（O 为坐标原点），求当AB 数λ的取值范围．【考点】直线与椭圆【难度】4星【题型】解答【关键字】2009年，西城一模【解析】⑴设()11A x y ，，因为A 为MN 的中点，且M 的纵坐标为3，N 的纵坐标为0，所以132y =，又因为点()11A x y ，在椭圆C 上，所以221114y x +=，即219116x +=，解得1x = 则点A的坐标为32⎫⎪⎪⎝⎭，或32⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，，所以直线l的方程为7210y -+=或7210y +-=．⑵设直线AB 的方程为3y kx =+或0x =，()11A x y ，，()22B x y ，，()33P x y ，，当AB 的方程为0x =时，4AB = 当AB 的方程为3y kx =+时：由题设可得A 、B 的坐标是方程组22314y kx y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩的解，消去y 得()224650k x kx +++=，所以()()2262040k k ∆=-+>，即25k >，则12264k x x k -+=+，12254x x k ⋅=+，()()1212224334y y kx kx k+=+++=+，因为AB =216813k -<<，所以258k <<．因为OA OB OP λ+=，即()()()112233x y x y x y λ+=，，，，所以当0λ=时，由0OA OB += ，得122604k x x k -+==+，1222404y y k +==+，上述方程无解，所以此时符合条件的直线l 不存在；当0λ≠时，()123264x x k x k λλ+-==+，()1232244y y y k λλ+==+，因为点()33P x y ，在椭圆上，所以()()222261241444k k k λλ⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥+=++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，化简得22364k λ=+，因为258k <<，所以234λ<<，则()22λ∈-．综上，实数λ的取值范围为()22-．【答案】⑴直线l 的方程为7210y -+=或7210y +-=．⑵实数λ的取值范围为()22-．【例4】在直角坐标系xOy 中，点M 到点()1,0F ，)2,0F 的距离之和是4，点M的轨迹是C 与x 轴的负半轴交于点A ，不过点A 的直线:l y kx b =+与轨迹C 交于不同的两点P 和Q ．⑴求轨迹C 的方程；⑵当0AP AQ ⋅=时，求k 与b 的关系，并证明直线l 过定点．【考点】直线与椭圆【难度】4星【题型】解答【关键字】2010年，丰台二模【解析】⑴∵点M到(),0，),0的距离之和是4，∴M 的轨迹C 是长轴为4，焦点在x轴上焦中为的椭圆，其方程为2214x y +=．⑵将y kx b =+，代入曲线C的方程，整理得22(14)40k x +++= 因为直线l 与曲线C 交于不同的两点P 和Q ，所以222222644(14)(44)16(41)0k b k b k b ∆=-+-=-+> ① 设()11,P x y ，()22,Q x y，则12x x +=，122414x x k =+ ② 且2212121212()()()()y y kx b kx b k x x kb x x b ⋅=++=+++显然，曲线C 与x 轴的负半轴交于点()2,0A -，所以()112,AP x y =+ ，()222,AQ x y =+．由0AP AQ ⋅=，得1212(2)(2)0x x y y +++=．将②、③代入上式，整理得22121650k kb b -+=．所以(2)(65)0k b k b -⋅-=，即2b k =或65b k =．经检验，都符合条件①当2b k =时，直线l 的方程为2y kx k =+．显然，此时直线l 经过定点()2,0-点．即直线l 经过点A ，与题意不符．当65b k =时，直线l 的方程为6556y kx k k x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭．显然，此时直线l 经过定点6,05⎛⎫- ⎪⎝⎭点，且不过点A ．综上，k 与b 的关系是：65b k =，且直线l 经过定点6,05⎛⎫- ⎪⎝⎭点．【答案】⑴2214x y +=．⑵k 与b 的关系是：65b k =，且直线l 经过定点6,05⎛⎫- ⎪⎝⎭点．【例5】在直角坐标系xOy 中，点M到点()1,0F，)2,0F 的距离之和是4，点M的轨迹是C，直线:l y kx =+C 交于不同的两点P 和Q ．⑴求轨迹C 的方程；⑵是否存在常数k ，0OP OQ ⋅= ？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．【考点】直线与椭圆【难度】3星【题型】解答【关键字】2010年，丰台二模【解析】⑴∵点M到(),0，),0的距离之和是4，∴M 的轨迹C 是长轴为4，焦点在x轴上焦距为的椭圆，其方程为2214xy +=． ⑵将y kx =C 的方程，整理得22(14)40k x +++= ① 设()11,P x y ，()22,Q x y 由方程①，得12x x +=122414x x k =+ ②又(()2121212122y y kx kx k x x x x ⋅=+=++ ③若0OP OQ ⋅=，得12120x x y y +=将②、③代入上式，解得k =．又因k 的取值应满足0∆>，即2410k ->（*），将k =代入（*）式知符合题意．【答案】⑴2214x y +=；⑵k =．【例6】已知抛物线22(0)y p x p =>，过定点(0)M p ，作一弦PQ ，则2211MP MQ+= _______．【考点】直线与抛物线【难度】4星【题型】填空【关键字】无【解析】设11()P x y ，，22()Q x y ，，直线PQ 的斜率不存在时，方程为x p =，解得MP MQ =，从而222221111122p p p MP MQ+=+= ．直线PQ 的斜率存在时，设PQ 的方程为()y k x p =-，代入22y px =中，消去x 得： 222222(1)0k x p k x k p -++=，22222211221111()()x p y x p y MP MQ +=+-+-+22221211x p x p =+++222122222122()()x x p x p x p ++=++（*）又21222(1)p k x x k ++=，212x x p =，故2222221212122484()22p p x x x x x x p k k+=+-=++，代入（*）式得：2222422222422248*********p p p k k p p p MP MQ p p p k k +++==⎛⎫+++ ⎪⎝⎭ ．综上知，222111p MP MQ+= ．【答案】21p ；【例7】已知抛物线24C y x =∶的焦点为F ，过点(10)K -，的直线l 与C 相交于A 、B 两点，点A 关于x 轴的对称点为D ．⑴证明：点F 在直线BD 上；⑵设89FA FB ⋅= ，求BDK △的内切圆M 的方程．【考点】直线与抛物线【难度】4星【题型】解答【关键字】2010年，全国高考【解析】设11()A x y ，，22()B x y ，，11()D x y -，，l 的方程为1(0)x my m =-≠⑴将1x my =-代入24y x =并整理得2440y my -+= 从而124y y m +=，121y y =直线BD 的方程为：212221()y y y y x x x x +-=⋅-- 即2222144y y y x y y ⎛⎫-=⋅- ⎪-⎝⎭令0y =，得1214y y x ==所以点(1F ，0)在直线BD 上．⑵由①知：21212(1)(1)42x x my my m +=--=-，1212(1)(1)1x x my my =--=因为11(1)FA x y =-，，22(1)FB x y =- ，， 212121212(1)(1)()1484FA FB x x y y x x x x m ⋅=-+=-+++=-故28849m -=，解得43m =±所以l 的方程为：3430x y ++=，3430x y -+=又由①知：21y y += 故直线BD的斜率：214y y =- 因而直线BD的方程为：330x -=，330x -=因为KF 为BKD ∠的平分线，故可设圆心(0)M t ，(11)t -<<，(0)M t ，到t 及BD 的距离分别为315t +，314t +．由313|1|54t t ++=，解得19t =，或9t =（舍去），故圆M 的半径3|1|253t r +== 所以圆M 的方程为：221499x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭【答案】设11()A x y ，，22()B x y ，，11()D x y -，，l 的方程为1(0)x my m =-≠⑴将1x my =-代入24y x =并整理得2440y my -+= 从而124y y m +=，121y y =直线BD 的方程为：212221()y y y y x x x x +-=⋅-- 即2222144y y y x y y ⎛⎫-=⋅- ⎪-⎝⎭令0y =，得1214y y x == 所以点(1F ，0)在直线BD 上．⑵圆M 的方程为：221499x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭【例8】在平面直角坐标系xOy 中，直线l 与抛物线24y x =相交于不同的，A B 两点． ⑴如果直线l 过抛物线的焦点，求OA OB ⋅的值；⑵如果4OA OB ⋅=-证明直线l 必过一定点，并求出该定点．【考点】直线与抛物线【难度】4星【题型】解答【关键字】无【解析】⑴由题意：抛物线焦点为(10)，设:1l x ty =+代入抛物线24y x =，消去x 得2440y ty --=，设11()，A x y ，22()，B x y 则124y y t +=，124y y =-，212122212121212(1)(1)()1OA OB x x y y ty ty y y t y y t y y y y ⋅=+=+++=++++2244143t t =-++-=-⑵设:l x ty b =+代入抛物线24y x =消去x ，得2440y ty b --=，设11()，A x y ，22()，B x y ，则124y y t +=，124y y b =-． 2212121212121212()()()OA OB x x y y ty b ty b y y t y y bt y y b y y ⋅=+=+++=++++∵22224444bt bt b b b b =-++-=-．令244b b -=-，2440b b -+=∴，2b =∴，∴直线l 过定点(20)，．【答案】⑴3OA OB ⋅=-⑵直线l 过定点(20)，．。

(完整版)圆锥曲线经典题目(含答案)

圆锥曲线经典题型一．选择题（共10小题）1．直线y=x﹣1与双曲线x2﹣=1（b＞0）有两个不同的交点，则此双曲线离心率的范围是（）A．（1，）B．（，+∞） C．（1，+∞）D．（1，）∪（，+∞）2．已知M（x0，y0）是双曲线C：=1上的一点，F1，F2是C的左、右两个焦点，若＜0，则y0的取值范围是（）A．B．C． D．3．设F1，F2分别是双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使得，其中O为坐标原点，且，则该双曲线的离心率为（）A．B． C．D．4．过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点F作直线y=﹣x的垂线，垂足为A，交双曲线左支于B点，若=2，则该双曲线的离心率为（）A．B．2 C．D．5．若双曲线=1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆（x﹣2）2+y2=2相交，则此双曲线的离心率的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（1，2） C．（1，）D．（，+∞）6．已知双曲线C：的右焦点为F，以F为圆心和双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为M，且MF与双曲线的实轴垂直，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．27．设点P是双曲线=1（a＞0，b＞0）上的一点，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，已知PF1⊥PF2，且|PF1|=2|PF2|，则双曲线的一条渐近线方程是（）A．B．C．y=2x D．y=4x8．已知双曲线的渐近线与圆x2+（y﹣2）2=1相交，则该双曲线的离心率的取值范围是（）A．（，+∞） B．（1，）C．（2．+∞）D．（1，2）9．如果双曲线经过点P（2，），且它的一条渐近线方程为y=x，那么该双曲线的方程是（）A．x2﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=110．已知F是双曲线C：x2﹣=1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是（1，3），则△APF的面积为（）A．B．C．D．二．填空题（共2小题）11．过双曲线的左焦点F1作一条l交双曲线左支于P、Q两点，若|PQ|=8，F2是双曲线的右焦点，则△PF2Q的周长是．12．设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使，O为坐标原点，且，则该双曲线的离心率为．三．解答题（共4小题）13．已知点F1、F2为双曲线C：x2﹣=1的左、右焦点，过F2作垂直于x轴的直线，在x轴上方交双曲线C于点M，∠MF1F2=30°．（1）求双曲线C的方程；（2）过双曲线C上任意一点P作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为P1、P2，求•的值．14．已知曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）和曲线C2：+=1有相同的焦点，曲线C1的离心率是曲线C2的离心率的倍．（Ⅰ）求曲线C1的方程；（Ⅱ）设点A是曲线C1的右支上一点，F为右焦点，连AF交曲线C1的右支于点B，作BC垂直于定直线l：x=，垂足为C，求证：直线AC恒过x轴上一定点．15．已知双曲线Γ：的离心率e=，双曲线Γ上任意一点到其右焦点的最小距离为﹣1．（Ⅰ）求双曲线Γ的方程；（Ⅱ）过点P（1，1）是否存在直线l，使直线l与双曲线Γ交于R、T两点，且点P是线段RT的中点？若直线l存在，请求直线l的方程；若不存在，说明理由．16．已知双曲线C：的离心率e=，且b=．（Ⅰ）求双曲线C的方程；（Ⅱ）若P为双曲线C上一点，双曲线C的左右焦点分别为E、F，且•=0，求△PEF的面积．一．选择题（共10小题）1．直线y=x﹣1与双曲线x2﹣=1（b＞0）有两个不同的交点，则此双曲线离心率的范围是（）A．（1，）B．（，+∞） C．（1，+∞）D．（1，）∪（，+∞）【解答】解：∵直线y=x﹣1与双曲线x2﹣=1（b＞0）有两个不同的交点，∴1＞b＞0或b＞1．∴e==＞1且e≠．故选：D．2．已知M（x0，y0）是双曲线C：=1上的一点，F1，F2是C的左、右两个焦点，若＜0，则y0的取值范围是（）A．B．C． D．【解答】解：由题意，=（﹣﹣x0，﹣y0）•（﹣x0，﹣y0）=x02﹣3+y02=3y02﹣1＜0，所以﹣＜y0＜．故选：A．3．设F1，F2分别是双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使得，其中O为坐标原点，且，则该双曲线的离心率为（）A．B． C．D．【解答】解：取PF2的中点A，则∵，∴⊥∵O是F1F2的中点∴OA∥PF1，∴PF1⊥PF2，∵|PF1|=3|PF2|，∴2a=|PF1|﹣|PF2|=2|PF2|，∵|PF1|2+|PF2|2=4c2，∴10a2=4c2，∴e=故选C．4．过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点F作直线y=﹣x的垂线，垂足为A，交双曲线左支于B点，若=2，则该双曲线的离心率为（）A．B．2 C．D．【解答】解：设F（c，0），则直线AB的方程为y=（x﹣c）代入双曲线渐近线方程y=﹣x得A（，﹣），由=2，可得B（﹣，﹣），把B点坐标代入双曲线方程﹣=1，即=1，整理可得c=a，即离心率e==．故选：C．5．若双曲线=1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆（x﹣2）2+y2=2相交，则此双曲线的离心率的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（1，2） C．（1，）D．（，+∞）【解答】解：∵双曲线渐近线为bx±ay=0，与圆（x﹣2）2+y2=2相交∴圆心到渐近线的距离小于半径，即∴b2＜a2，∴c2=a2+b2＜2a2，∴e=＜∵e＞1∴1＜e＜故选C．6．已知双曲线C：的右焦点为F，以F为圆心和双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为M，且MF与双曲线的实轴垂直，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．2【解答】解：设F（c，0），渐近线方程为y=x，可得F到渐近线的距离为=b，即有圆F的半径为b，令x=c，可得y=±b=±，由题意可得=b，即a=b，c==a，即离心率e==，故选C．7．设点P是双曲线=1（a＞0，b＞0）上的一点，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，已知PF1⊥PF2，且|PF1|=2|PF2|，则双曲线的一条渐近线方程是（）A．B．C．y=2x D．y=4x【解答】解：由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|=2a，又|PF1|=2|PF2|，得|PF2|=2a，|PF1|=4a；在RT△PF1F2中，|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2，∴4c2=16a2+4a2，即c2=5a2，则b2=4a2．即b=2a，双曲线=1一条渐近线方程：y=2x；故选：C．8．已知双曲线的渐近线与圆x2+（y﹣2）2=1相交，则该双曲线的离心率的取值范围是（）A．（，+∞） B．（1，）C．（2．+∞）D．（1，2）【解答】解：∵双曲线渐近线为bx±ay=0，与圆x2+（y﹣2）2=1相交∴圆心到渐近线的距离小于半径，即＜1∴3a2＜b2，∴c2=a2+b2＞4a2，∴e=＞2故选：C．9．如果双曲线经过点P（2，），且它的一条渐近线方程为y=x，那么该双曲线的方程是（）A．x2﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1【解答】解：由双曲线的一条渐近线方程为y=x，可设双曲线的方程为x2﹣y2=λ（λ≠0），代入点P（2，），可得λ=4﹣2=2，可得双曲线的方程为x2﹣y2=2，即为﹣=1．故选：B．10．已知F是双曲线C：x2﹣=1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是（1，3），则△APF的面积为（）A．B．C．D．【解答】解：由双曲线C：x2﹣=1的右焦点F（2，0），PF与x轴垂直，设（2，y），y＞0，则y=3，则P（2，3），∴AP⊥PF，则丨AP丨=1，丨PF丨=3，∴△APF的面积S=×丨AP丨×丨PF丨=，同理当y＜0时，则△APF的面积S=，故选D．二．填空题（共2小题）11．过双曲线的左焦点F1作一条l交双曲线左支于P、Q两点，若|PQ|=8，F2是双曲线的右焦点，则△PF2Q的周长是20．【解答】解：∵|PF1|+|QF1|=|PQ|=8∵双曲线x2﹣=1的通径为==8∵PQ=8∴PQ是双曲线的通径∴PQ⊥F1F2，且PF1=QF1=PQ=4∵由题意，|PF2|﹣|PF1|=2，|QF2|﹣|QF1|=2∴|PF2|+|QF2|=|PF1|+|QF1|+4=4+4+4=12∴△PF2Q的周长=|PF2|+|QF2|+|PQ|=12+8=20，故答案为20．12．设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使，O为坐标原点，且，则该双曲线的离心率为．【解答】解：取PF2的中点A，则∵，∴2•=0，∴，∵OA是△PF1F2的中位线，∴PF1⊥PF2，OA=PF1．由双曲线的定义得|PF1|﹣|PF2|=2a，∵|PF1|=|PF2|，∴|PF2|=，|PF1|=．△PF1F2中，由勾股定理得|PF1|2+|PF2|2=4c2，∴（）2+（）2=4c2，∴e=．故答案为：．三．解答题（共4小题）13．已知点F1、F2为双曲线C：x2﹣=1的左、右焦点，过F2作垂直于x轴的直线，在x轴上方交双曲线C于点M，∠MF1F2=30°．（1）求双曲线C的方程；（2）过双曲线C上任意一点P作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为P1、P2，求•的值．【解答】解：（1）设F2，M的坐标分别为，因为点M在双曲线C上，所以，即，所以，在Rt△MF2F1中，∠MF1F2=30°，，所以…（3分）由双曲线的定义可知：故双曲线C的方程为：…（6分）（2）由条件可知：两条渐近线分别为…（8分）设双曲线C上的点Q（x0，y0），设两渐近线的夹角为θ，则点Q到两条渐近线的距离分别为，…（11分）因为Q（x0，y0）在双曲线C：上，所以，又cosθ=，所以=﹣…（14分）14．已知曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）和曲线C2：+=1有相同的焦点，曲线C1的离心率是曲线C2的离心率的倍．（Ⅰ）求曲线C1的方程；（Ⅱ）设点A是曲线C1的右支上一点，F为右焦点，连AF交曲线C1的右支于点B，作BC垂直于定直线l：x=，垂足为C，求证：直线AC恒过x轴上一定点．【解答】（Ⅰ）解：由题知：a2+b2=2，曲线C2的离心率为…（2分）∵曲线C1的离心率是曲线C2的离心率的倍，∴=即a2=b2，…（3分）∴a=b=1，∴曲线C1的方程为x2﹣y2=1；…（4分）（Ⅱ）证明：由直线AB的斜率不能为零知可设直线AB的方程为：x=ny+…（5分）与双曲线方程x2﹣y2=1联立，可得（n2﹣1）y2+2ny+1=0设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=﹣，y1y2=，…（7分）由题可设点C（，y2），由点斜式得直线AC的方程：y﹣y2=（x﹣）…（9分）令y=0，可得x===…（11分）∴直线AC过定点（，0）．…（12分）15．已知双曲线Γ：的离心率e=，双曲线Γ上任意一点到其右焦点的最小距离为﹣1．（Ⅰ）求双曲线Γ的方程；（Ⅱ）过点P（1，1）是否存在直线l，使直线l与双曲线Γ交于R、T两点，且点P是线段RT的中点？若直线l存在，请求直线l的方程；若不存在，说明理由．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得e==，当P为右顶点时，可得PF取得最小值，即有c﹣a=﹣1，解得a=1，c=，b==，可得双曲线的方程为x2﹣=1；（Ⅱ）过点P（1，1）假设存在直线l，使直线l与双曲线Γ交于R、T两点，且点P是线段RT的中点．设R（x1，y1），T（x2，y2），可得x12﹣=1，x22﹣=1，两式相减可得（x1﹣x2）（x1+x2）=（y1﹣y2）（y1+y2），由中点坐标公式可得x1+x2=2，y1+y2=2，可得直线l的斜率为k===2，即有直线l的方程为y﹣1=2（x﹣1），即为y=2x﹣1，代入双曲线的方程，可得2x2﹣4x+3=0，由判别式为16﹣4×2×3=﹣8＜0，可得二次方程无实数解．故这样的直线l不存在．16．已知双曲线C：的离心率e=，且b=．（Ⅰ）求双曲线C的方程；（Ⅱ）若P为双曲线C上一点，双曲线C的左右焦点分别为E、F，且•=0，求△PEF的面积．【解答】解：（Ⅰ）∵C：的离心率e=，且b=，∴=，且b=，∴a=1，c=∴双曲线C的方程；（Ⅱ）令|PE|=p，|PF|=q由双曲线定义：|p﹣q|=2a=2平方得：p2﹣2pq+q2=4•=0，∠EPF=90°，由勾股定理得：p2+q2=|EF|2=12所以pq=4即S=|PE|•|PF|=2．。

【原创】江苏省2020—2021学年高三数学专题练习及答案-：直线与圆锥曲线(2)

直线与圆锥曲线（2）１、 6-=a 是直线()031:1=--+y a ax l 和直线()()02321:2=-++-y a x a l 垂直的 .条件 2、直线1l 在x 轴、y 轴上的截距分别是3和1，直线2l 的方程是01=+-y ax ，若直线2l 到1l 的角是︒45，则a 的值为3、若方程036=++-+k y x y x 仅表示一条直线，则k 的取值范围是4．已知)62,5(),62,5(yx b y x a -==，双曲线1=⋅b a 上一点M 到F （7,0）的距离为11，N 是MF 的中点，O 为坐标原点，则｜ON ｜＝ 5、已知圆锥曲线4m 4y m x 22＝+的离心率e 为方程02522=+-x x 的两根，则满足条件的圆锥曲线的条数为6、过椭圆左焦点F 且倾斜角为60°的直线交椭圆于B A ,两点，若FB FA 2=，则椭圆的离心率等于7、与圆()2222=-+y x 相切，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为。

8、圆锥曲线C 的一个焦点是()1,0F ，相应的准线方程为01=+y ，且曲线C 经过点()3,2，则曲线C 的外形是。

9、Ｅ，Ｆ是椭圆12422=+y x 的左、右焦点，l 是椭圆的一条准线，点Ｐ在l 上，则角EPF ∠的最大值是。

10、直线l 经过两条直线1l ：0852=+-y x 和2l 01232=-+y x 的交点，且分这两条直线与x 轴围成的面积为2:3两部分，求直线l 的一般式方程。

11、设直线1+=kx y 与圆0422=-+++my kx y x 交于N M ,两点，且N M ,关于直线0=+y x 对称，求不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-≥+-0001y my kx y kx 表示平面区域的面积。

12、假如探照灯的轴截面是抛物线x y =2（如图），表示平行于对称轴0=y 的光线经抛物线上的点Q P ,的反射状况，设点P 的纵坐标为a ，当a 取何值时，从入射点P 到反射点Q 的光线路程PQ 最短？13、已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆的离心率为22，21,F F 为其焦点，始终线过点1F 与椭圆相交于BA ,两点，且AB F 2∆的最大面积为2，求椭圆的方程。

9.直线与圆锥曲线中等难度大题2

FP A
B Q
4.已知椭圆C :
x2 a2
y2 b2
1a
b 0的两焦点与短轴的
一个端点的连线构成等腰直角三角形，直线x y 1 0
与以椭圆C的焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径圆相切。
1 求椭圆C的方程；
2设P为椭圆C上一点，若过点M 2, 0的直线l与椭圆C相
交于不同的两点S和T,满足OS OT tOP O为坐标原点，
1 2
1+
x0 x2
+4y0
y2
2 -1
两式相减可得k x0 为定值 4 y0
5.点P在圆x2 y2 2上移动，PQ x轴于Q，动点M 满足QP= 2QM .
求动点M的轨迹C的方程; 若动直线x 2 y m 0与曲线C交于A, B两点，
在第一象限内曲线C上是否存在一点M 使MA与MB 的斜率互为相反数？若存在，求出M 点的坐标；若不存在，说明理由。
于点M , 且动点N满足ON
3 3
OA
1
3 3
OM，设动点
N的轨迹为曲线C.
求曲线C的方程；
直线l于l1垂直且于曲线C交于B, D两点，求OBD面积
的最大值
解 x2 y2 1
93
设l：y 2x b于曲线C联立得，
13x2 12bx 3b2 9 0
144b2 13 4 3b2 9 0，得b2 39,
x
m, 其中0
m
5.由方程组
y xm y2 4x
,
消去y,得x2 2m 4 x m2 0, 2m 42 4m2 161 m 0成立。
设M x1, y1 , N x2 , y2 则x1 x2 4 2m, x1x2 m2,

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PQ
4 4k 2 3 4k 2 1 .
设
4k 2
1
t t
0 , SOPQ
4t t2 4
t
4 4
.
t
因为t 4 4，当且仅当t 2， t
即k= 7 时等号成立，且满足 0, 2
所以，当OPQ的面积最大时l的方程为
y 7 2. 2
练1：已知圆C1的圆心在坐标原点O, 且恰好与直线 l1 : x 2 y 3 5 0相切，设点A为圆上一动点，AM x轴
1.联立及判别式法
2.点差法
3.其他 1.求直线方程 2.定点、定值问题 3.最值范围问题
(一)联立及判别式法
1. 2014高考已知点Ａ０，－２，椭圆Ｅ：ｘａ２２＋ｙｂ２２＝１ａ＞ｂ＞０
的离心率为３，Ｆ是椭圆的焦点，直线ＡＦ的斜率为２３，Ｏ为
２
３
坐标原点。
求Ｅ的方程；
设过Ａ的直线l与Ｅ交于Ｐ，Ｑ两点，当ＯＰＱ的面积最大时，
求l的方程
解设Ｆｃ,0 ,由条件知，2 2 2 , 得c 3.
c3
又 c 3 , 所以a 2, b2 a2 c2 1. a2
故E的方程为 x2 y2 1. 4
当l x轴时不合题意，故设l : y kx 2,
P x1,
y1 , Q x2 ,
y2 , 将y
kx 2代入
4
设A x1, y1 , B x2 , y2 , C x3 , y3 , D x4 , y4 ,
AP
PC
,
则
x0 y0
x1 y1
x3 y3
x0 y0
,
x3
y3
1 x0
1 y0
x1 y1
,
C在椭圆上， x32 4
y32 =1
即 1 x0
x1,2 12b
486 12b2 6b 26
117 3b2 , 13
点O到直线l的距离d b , 5
BD
5 x1 x2
5 2 117 3b2 13
SOBD
3b2 39 b2 13
3 3 2
当且仅当b
2
39 b2即b2 =
39 2
时取等号
2.在平面直角坐标系xoy中，动点P到两点 - 3, 0 ， 3, 0 的距离之和等于4，设点P的轨迹为C，直线
可设直线l的方程为x=my-1或y=0（舍）．
x2 则 4
y2
1，整理得(m2
4) y2
2my 3
0
x my 1
(2m)2 12(m2 4) 0.设A(x1，y1)，B(x2，y2 ).
解得y1
m2 m2
m2 3 4
,
y2
m2 m2
m2 3 4
,则 |
y2
y1
|
4 m2 3 m2 4
有最大值32，故当直线l的方程为y x 1时，SAMN的最大面积为8 2
3.已知圆N： x 42 y2 5, 抛物线C : y mx2 m 0的焦点
为F，NF 17.
1 求抛物线C的方程； 2 过点P 1，2的直线l交抛物线C于A, B两点，过点A, B分别
作抛物线C的两条切线l1, l2 , 设l1, l2交于点Q, 若点Q在圆N上，求l的方程及点Q的坐标。
x2 4
y2
1得
1+4k 2 x2 16kx 12 0.
当=16
4k 2 3
0,即k 2
3 4
时，x1,2
8k
2 4k 2 4k 2 1
3
.
从而 PQ
k 2 1 x1 x2 4
k 2 1 4k 2 3 4k 2 1
又点O到直线PQ的距离d 2 , k2 1
所以SOPQ
1d 2
个焦点与短轴的一个端点构成等边三角形.
1 求椭圆C的方程；
2过点Q 4, 0 且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆C于A、B
两点，设点A关于x轴的对称点为A1.
①求证：直线A1B 过x轴上一定点，并求出此点坐标； ②求OA1B面积的取值范围。
2.已知椭圆C：x a
2 2
y2 b2
1a
b 0的左右焦点分别为
FP A
B Q
4.已知椭圆C :
x2 a2
y2 b2
1a
b 0的两焦点与短轴的
一个端点的连线构成等腰直角三角形，直线x y 1 0
与以椭圆C的焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径圆相切。
1 求椭圆C的方程；
2设P为椭圆C上一点，若过点M 2, 0的直线l与椭圆C相
交于不同的两点S和T,满足OS OT tOP O为坐标原点，
6.已知椭圆ｘａ２２
＋ｙ２ｂ２
＝１ａ＞ｂ＞０的右焦点为
Ｆ２１，０，点Ｈ１，３２在椭圆上。
求此椭圆方程；
点Ｍｘ０，ｙ０在圆ｘ２＋ｙ２＝ｂ２上，Ｍ在第一象限，
过Ｍ作圆ｘ２＋ｙ２＝ｂ２的切线交椭圆于Ｐ，Ｑ两点，
问Ｆ２Ｐ＋Ｆ２Ｑ＋ＰＱ是否为定值？如果是，求出定值，如不是说明理由。
y
P
M
1 为定值 7 。
PN 2
9
定点P为
27 7
, 0
4.已知椭圆M的中心在坐标原点，焦点在x轴上，其短轴长为2，
离心率为
3 2
.点P
x0
,
y0
为椭圆M内一定点不在坐标轴上
，过
点P的两条直线分别于椭圆交于A,C和B,D,且AB CD.
求椭圆M的轨迹方程；
证明：直线AB的斜率为定值。
解 x2 y2 1
y m x 1 2x,过定点-1，-2
3.已知椭圆C :
x2 a2
y2 b2
1a
b
0 , 椭圆的左右焦点分别为F1、F2，
其中右焦点与抛物线y2 4x的焦点重合，Q为椭圆上任意一点，且
F1QF2的最大值为
3
.
求椭圆C的方程；
2 在x正半轴上是否存在一点P，过该点的直线l 不与x轴重合
与椭圆C交于两点M , N , 使得
于点M , 且动点N满足ON
3 3
OA
1
3 3
OM，设动点
N的轨迹为曲线C.
求曲线C的方程；
直线l于l1垂直且于曲线C交于B, D两点，求OBD面积
的最大值
解 x2 y2 1
93
设l：y 2x b于曲线C联立得，
13x2 12bx 3b2 9 0
144b2 13 4 3b2 9 0，得b2 39,
点A到直线l的距离为d 5 m . 2
SAMN 25 m 1 m 2 m3 9m2 15m 25. 令f m m3 9m2 15m 25,0 m 5,
f 'm 3m2 18m 15 3m 1m 5,0 m 5
函数f m在0,1上单调递增，在1,5上单调递减。当m=1时f m
F1，F2，焦距为4，点M是椭圆上一点，满足F1MF2 60，
且SF1MF2
4 3. 3
1 求椭圆C的方程；
2过点P 0, 2分别作直线PA, PB交椭圆C与A, B两点，
设直线PA, PB的斜率分别为k1, k2 , 且k1+k2 =4，求证：直线AB过定点。
解1 x2 y2 1
84
2m 2k m 2 0, y m 2 x m
1 PM
2
1 PN
2
为定值？若存在，求出
P点坐标和定值；若不存在，说明理由。
解 x2 y2 4 3
1
1 PM 2
1
m2
PN 2 =
18t 2 72 96 24t 2 m2 1 3t 2 12 2
当 18t 2 72
96 24t 2即t 2 = 4 时 7
1 PM
2
1 求曲线E的方程； 2已知点A5，0，倾斜角为的直线l与线段OA相交
4
不经过点O或点A 且与曲线E交于M , N两点求AMN
面积的最大值，及此时直线l的方程。
练2解：1由题意可知圆心到1, 0的距离等于到直线x 1的距离，
由抛物线的定义可知，圆心的轨迹方程：y2 4x
2 由题意可设l的方程为y
因为SAOB
1 2
OE
y1 y2
2 m2 3
m2 4
2 m2 3
1 m2 3
设g(t) t 1 , t m2 3, t 3,则g(t)在区间[ 3, )上为增函数． t
所以g (t )
43 3
,所以SAOB
3 当且仅当m 0时取等号, 2
即(SAOB )max
3 2
练2：在平面直角坐标系xoy中，一动圆经过点（1,0）且与直线x=-1相切，若该动圆圆心的轨迹为曲线E。
x
m, 其中0
m
5.由方程组
y xm y2 4x
,
消去y,得x2 2m 4 x m2 0, 2m 42 4m2 161 m 0成立。
设M x1, y1 , N x2 , y2 则x1 x2 4 2m, x1x2 m2,
MN
1 k 2 x1 x2 4 2 2m, 又
O F2 Q
x
l过E 1，0 且与曲线C交于A, B两点。求曲线C的方程； AOB的面积是否存在最大值，若存在，求出
AOB面积的最大值；若不存在，说明理由。
解故曲线由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以
( 3，0), ( 3，0)为焦点，长半轴长为2的椭圆. 故曲线C的方程为 x2 y2 1.
4
解存在AOB面积的最大值，因为直线l过点E(1, 0)，
求实数t的取值范围。
（二）点差法
1.已知椭圆E：x a
2 2

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