《化学中的群论》PPT课件

Cnh C1h = Cs C2h C3h C4h C5h E, v
基本对称元素
E，C2， h ，i, E, C3, C32, S3, S35, h E, C4, C42, C43, S4, S43, i, h E, C5, C52,C53, C54,S5,S57,S53,S59, h
4. Dn群
σh代表垂直于主轴平面的反映 σv代表通过主轴平面的反映 σd代表通过主轴并平分两个C2轴夹角的平面的反映
(xy): (x,y,z) --> (x,y, -z)
1 0 0 1 0 0
0 x x' 1 0 0 y y ' or ( xy ) 0 1 0 0 1 z z '
E, C2, S4, S43
S6
S7 C7h S8
E, C3, C32, S6, S65, i
E, C4,C2, C43, S8, S83, S85,S87
8. Cs群
即平面分子所属的点群，它仅有两个对称操作：Cs={E, h}. 这种分子在有机物中尤为常见。
9. 多面体群
Tetrahedron
对称元素和对称操作
对称元素 恒等元素 真轴 符号 E Cn σh σv σd i或I Sn 完全不动 真转动。即绕主轴旋转2π/n角 对称操作
平面
σh代表垂直于主轴平面的反映 σv代表通过主轴平面的反映 σd代表通过主轴并平分两个C2轴夹角的平面的反 映
对于对称中心的倒反或反演中心 非真转动，即绕主轴旋转2π/n角接着在垂直于对 称轴的平面的反映。
0 x x' 1 sin y y ' or C n 0 cos 0 sin cos z z ' 0
sin cos 0
4. 反映操作,
h =i · C2= C2 ·I
若n是偶数，则有Sn={Sn，Sn2，Sn3，…，Snn=E}，有n个元素； 若n是奇数，则有Sn={Sn，Sn2，Sn3，…，Snn ，Snn+1 ，…， Sn2n =E}，有2n个元
素。
我们可以按照群的定义，证明一个物体的对称操作的完全集合对于上 面定义的乘法构成群。（证明略）
N4S4
C2H6
S8
Fe(C5H5)2
Cr(C6H6)2
Dnd
基本对称元素
D2d E, C2, S4, S43, 2 C2' ( to S4), 2d
D3d E, C3, C32, S6,S65, 3 C2 ( to C3), i, 3 d D4d E, C4,C2, C43, S8, S83, S85, S87, 4C2' ( to C4), 4d D5d E, C5, C52, C53,C54, S10, S103, S105, S107, S109,5C2 ( to C5), i, 5d
D3h = {E, C3, C32, S3,S35, 3 C2 ( to C3), h, 3 v}
BF3
Tc6Cl6
Dnh
基本对称元素
D2h
D3h D4h D5h Dh
E, 3 C2 (mutually), i, 3 (mutually )
E, C3, C32, S3,S35, 3 C2 ( to C3), h, 3 v E, C4,C2, C43, S4, S43, 2C2', 2C2'', i, h,2 v, 2 d E, C5, C52, C53,C54, S5, S57, S53, S59,5C2 ( to C5), h, 5v E, C & S (all coincident), h (S1), i, v, C2
Dn
D2
基本对称元素
E，C2， C2(1), C2(2)
D3
D4
E, C3, C32, C2(1), C2(2) , C2(3)
E, C4, C42, C43, C2(1), C2(2) , C2(3) , C2(4)
D5
E, C5, C52,C53, C54, C2(1), C2(2) , C2(3) , C2(4) C2(5)
7. Sn群
此群有一个n重非真轴。 当n为偶数时，Sn={E, Sn, Sn2, Sn3…， Snn-1} 当n为奇数时， Sn={E, Sn, Sn3, … ，Sn2n-1}
N3S2PCl4O2(Cs)
S
4
Sn S1 Cs S2 Ci S3 C3h S4 S5 C5h
基本对称元素
下列对称操作永远是可对易的： （1）两个绕同一轴的转动； （2）通过相互垂直的平面的反映；
（3）反演和任一反映或转动；
（4）绕相互垂直的轴的两个C2转动； （5）转动和垂直于转动轴的平面反映。
2.3点群
在一个有限的图形中，所有的对称轴有对称面都通过某 一点；也就是说，一个有限图形的对称操作群中的一切变换 至少保持一点不变，这种群称为点群。 Cn, Cnv, Cnh, Dn, Dnh, Dnd, Sn, C∞v, D∞h, Cs, T, Th, Td, O, Oh, Ih,
C2H4
[Ni(CN)4]2-
benzene
反演操作的表示矩阵 :
1 0 0 x x' 1 0 0 0 1 0 y y ' or i 0 1 0 0 0 1 z z ' 0 0 1
C3v ={E, C3, C32, v(1), v(2) , v(3) } P4 S3
Cv
NH3
Cnv C1v = Cs E, v
基本对称元素
C2v
C3v C4v C5v Cv
E, C2 ,v(1), v(2),
E, C3,C32 , v(1), v(2) , v(3) E, C4, C2,C43 , v(1), v(2) , v(3) , v(4) E, C5,C52, C53, C54v(1), v(2) , v(3) , v(4) ,v(5) E, C, v
1. Cn群
这类群有一个n重对称轴。由绕此轴的n个不同旋转组成了一个Abel 群，称为Cn群。Cn={E, Cn, Cn2, Cn3… Cnn-1} ，每个元素自成一类， 共有n类。 C1={E}，凡不具有任何可识别的对称元素的分子都属此群。
C2={E, C2}
H2O2 C2H2Cl2
C3={E, C3, C32}
3.真转动操作，Cn ，即绕主轴旋转2π/n角
Cnm 是绕主轴旋转 m次 2/n 角 注意: Cnn =E= Cn2n = Cn3n … Cn 轴产生n个操作: Cn, Cn2 , Cn3 … Cnn
主轴是具有最高轴次的轴。
真转动操作的矩阵表示:
0 1 0 cos 0 sin
2.2 对称操作的乘积
我们把操作的乘积定义为它的相继进行。如果一个对称操作产生 了两个或多个其它操作连续运用的相同结果，就称这一操作是其它操 作的乘积。 1.两个旋转的乘积 绕同一个轴作两次旋转，其结果等效于绕该轴的一次转动，转过的 角度为两次旋转角度的代数和。 例：C62=C3， C63=C2，C64=C32，C66=E
Cube
Octahedron
Dodecahedron
Icosahedron
T point group
O point group
I point group
柏拉图多面体
点群 T 正四面体群
基本对称元素
Th
Td O
在T的基础上，在垂直于二重轴引进一个对称面
[PdCl4]2-
Fe(C5H5)2
C6H6
H2
6. Dnd群
存在n个通过主轴，且平分两个二次轴的夹角的d面。包含4n个元素。
Dnd={E, Cn, Cn2, …, Cn-1, C2’(1) ,C2’(2) , … , C2’(n) , d (1) , d (2) ,…,d (n) ,S2n (1) , S2n (3) ,…, S2n (2n-1) } 当n为奇数时，有对称中心；当n为偶数时没有。
对称中心 非真轴
对称操作类型
1.恒等操作，E，完全不动 当n =整数时， i2n= E, 当n=奇数时， in = i 2.反演操作，i或I，关于对称中心的倒反 i (x,y,z) --> (-x,-y,-z) in (x,y,z) --> ((-1 ) n x, (-1 ) n y, (-1 ) n z)
3. Cnh群
这类群除了有一个n重轴外，还有一个垂直于Cn轴的对称面，共有2n个 元素。 Cnh =CnCs= {E, Cn, Cn2, Cn3… Cnn-1} {E, h} C1h ={E, h}=Cs C2h ={E，C2， h ，i}
C3h ={E, C3, C32, S3, S35, h}
2.反映的乘积 相继两次对同一平面取镜像，等于没有进行操作，即2=E。
3.旋转和反映的乘积Sn S n = h · Cn = Cn· h (这里Cn 与 h 是可对易的)。 Snm表示连续进行m次像转Sn。因为h ·h= E，所以m为偶数时有
Snm=Cnm。二重像转S2就是反演i。 S2=i=C2 ·h ; C2=i ·h = h · i; 从这里可知， Sn是一个复合的对称元素。
这类群除了有一个n重对称轴外，还有垂直于此n重对称轴的二重对 称轴。共有2n个元素。 Dn={E, Cn, Cn2, Cn3… Cnn-1, C2(1), C2(2), C2(3), … C2(n)}
D2={E, C2, C2(1), C2(2) }
D3={E, C3, C32, C2(1), C2(2) , C2(3) }
按群论中类的定义，两个对称操作属于一类是指：它们可以通过一个对称 操作来互相替换。
Cn
C1 C2 C3 C4 C5 E E, C2 E, C3,C32
基本对称元素
E, C4, C2,C43 E, C5, C52, C53, C54
2. Cnv群
它们除了有一个n重对称轴外，还有n个通过对称轴对称面。 Cnv={E, Cn, Cn2, Cn3… Cnn-1, v(1), v(2), v(3), … v(n)}有2n个元素。 C1v ={E, v}=Cs C2v ={E, C2, v(1), v(2) }
5. Dnh群
在Dn群的基础上，还在垂直于n重轴处加一个对称面h。当n为偶数
时有对称中心。 Dnh =DnCs= Dn {E, h} =：{E，Cn，Cn2，Cn 3…Cnn-1；C1(1)，C2 (2)…C2(n)；σh，Sn1，S n2， …Snn-1；σv(1)，σv (2)…σv(n)｝ D2h = {E, 3 C2 (互相垂直), i, 3 (互相垂直)}
0 0 1
5.非真转动（像转）， Sn，绕主轴旋转2π/n角接着在垂直于对 称轴的平面的反映。Sn = Cn· h
N3S2PCl4O2
Sn = h · Cn = Cn· h (这里Cn 与 h 是可对易的)。
源自文库
若n是偶数，则有Sn={Sn，Sn2，Sn3，…，Snn=E}，有n个元素； 若n是奇数，则有Sn={Sn，Sn2，Sn3，…，Snn ，Snn+1 ，…， Sn2n =E}，有2n个元素。
化学中的群论
2004-11-16
第二章 分子的对称性与对称操作群
2.1 对称元素和对称操作
分子和晶体都是对称图形。对称图形是一个能在经过 不改变其中任何两点间距离的操作后与它自身重合的图形。 这些操作我们称之为对称操作。也就是说，对称操作是使 物体作一种运动，完成这种运动以后物体的每一点都与物 体原始取向时的等价点重合。如果我们不看对称操作过程， 则无法辨别操作是否被招待过，因为在对称操作前后物体 的位置和取向是无法加以区别的。 对称元素有：平面、直线和点。 由这些对称元素所生成的一组完全但不是重复的对称 操作组成一个数学群。