最新11常微分答案汇总
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11常微分答案
常微分方程参考试卷(11)
一、填空题（每小题5分，本题共30分）
1．方程«Skip Record If...»的任一解的最大存在区间必定是．2．方程«Skip Record If...»的基本解组是．
3．向量函数组«Skip Record If...»在区间I上线性相关的________________条件是在区间I上它们的朗斯基行列式«Skip Record If...»．
4．李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的条件．5．«Skip Record If...»阶线性齐次微分方程的所有解构成一个维线性空间．
6．向量函数组«Skip Record If...»在其定义区间«Skip Record If...»上线性相关的条件是它们的朗斯基行列式«Skip Record If...»，«Skip Record If...»．得分评卷人二、计算题（每小题8分，本题共40分）
求下列方程的通解
7. «Skip Record If...»
8. «Skip Record If...»
9．«Skip Record If...»
10．求方程«Skip Record If...»的通解．
11．求下列方程组的通解．
«Skip Record If...»
三、证明题（每小题15分，本题共30分）
12．设«Skip Record If...»和«Skip Record If...»是方程«Skip Record If...»的任意两个解，求证：它们的朗斯基行列式«Skip Record If...»，其中«Skip Record If...»为常数．
13．设«Skip Record If...»在区间«Skip Record If...»上连续．试证明方程
«Skip Record If...»
的所有解的存在区间必为«Skip Record If...»．
答案
一、填空题（每小题5分，本题共30分）
1．«Skip Record If...»
2．«Skip Record If...»
3．必要
4．充分
5．n
6．必要
二、计算题（每小题8分，本题共40分）
7．解齐次方程的通解为
«Skip Record If...»令非齐次方程的特解为
«Skip Record If...»
代入原方程，确定出 «Skip Record If...»
原方程的通解为
«Skip Record If...»+«Skip Record If...»
8．解由于«Skip Record If...»，所以原方程是全微分方程．
取«Skip Record If...»，原方程的通积分为
«Skip Record If...»即 «Skip Record If...»。
9．解令«Skip Record If...»，则原方程的参数形式为
«Skip Record If...»由基本关系式
«Skip Record If...»
积分有
«Skip Record If...»得原方程参数形式通解
«Skip Record If...»。
10．解方程的特征根为«Skip Record If...»，«Skip Record If...»
齐次方程的通解为 «Skip Record If...»因为«Skip Record If...»不是特征根。所以，设非齐次方程的特解为
«Skip Record If...»代入原方程，比较系数得
«Skip Record If...»
确定出 «Skip Record If...»， «Skip Record If...»。
原方程的通解为 «Skip Record If...»。
11．解特征方程为
«Skip Record If...»
即 «Skip Record If...»。特征根为 «Skip Record If...»，«Skip Record If...»。 «Skip Record If...»对应特征向量应满足
«Skip Record If...»
可确定出
«Skip Record If...»同样可算出«Skip Record If...»对应的特征向量为
«Skip Record If...»所以，原方程组的通解为
«Skip Record If...»。
三、证明题（每小题15分，本题共30分）
12．证明由已知条件，该方程在整个«Skip Record If...»平面上满足解的存在唯一及解的延展定理条件．显然«Skip Record If...»是方程的两个常数解．任取初值«Skip Record If...»，其中«Skip Record If...»,«Skip Record If...»．记过该点的解为«Skip Record If...»，由上面分析可知，一方面«Skip Record If...»可以向平面无穷远处无限延展；另一方面又上方不能穿过«Skip Record If...»，下方不能穿
过«Skip Record If...»，否则与惟一性矛盾．故该解的存在区间必为«Skip Record If...»．
13．证明如果«Skip Record If...»和«Skip Record If...»是二阶线性齐次方程 «Skip Record If...»
的解，那么由刘维尔公式有
«Skip Record If...»
现在，«Skip Record If...»故有
«Skip Record If...»。