导数应用构造函数解不等式

分析：问题的结构 3 f (3) (2x 1) f (2x 1) 已经暗示了
函数的结构是 g(x) xf (x) ，问题即“ g(3) g(2x 1) ”，
问题到此结束；
对应训练1f.(x) 是定义在 R 上的奇函数，且 f(2)=0,满足 x>0 时，
x f′( x ) - f (x) <0，则 x2 f (x) 0 的解集是______
f (x) 分析：构造函数 g(x)= ,g(2)=0 可知 g(x)在 x>0 时
x 单减,又 g(x)是偶函数，在 x<0 时单增。图像如下：
则 x2 f (x) 0 的解集即是是 f (x) 0 的解集！
-2
2
(,2) (0,2)
一构造函数找单调 二看奇偶性画图像 三数形结合解不等式
（此类型要注意 xn1 的符号）
能力提升：
例 4.设函数 f(x)在 R 上的导函数为 f′( x )， 且 2 f (x) ＋ x f′( x )>x2，
A 下面的不等式在 R 上恒成立的是( )
A． f (x) >0 B．f (x) <0 C. f (x) > x D f (x) < x
C．af(a) bf(b) D．bf(b)≤f(a)
分析：构造函数F(x) xf (x)
函数F（x)单减或为常函数。
若 a<b，则 af(a) bf(b)
F(x) 0
变式训练1
设函数 f(x)在 R 上的导函数为 f′( x )， 且 f (x) ＋xf′( x )> 0，则不等式
【对应训练 2】已知偶函数 y=f(x)对于任意的 x∈
满足
f′(x)cos x+f(x)sin x>0,则下列不等式中成立的有____.
(1) f
<f
(2) f
>f
(3)f(0)< f
(4)f < f
提示：可构造函数 g(x)= f (x) ,且为偶函数 c os x
由函数单调性可知 答案:(2)(3)(4)
f (x) 分析：法一 F(x) ex 由已知单减即可
法二特殊函数法 f (x) 1
提示：特殊函数的选取不唯一，只需满足已知条件且对求解 更有利即可。
比如本题选取 f (x) 1 也可以选取 f (x) ex 1等等。
变式训练5 已知函数 f(x)满足:f(x)+2f′(x)>0,那么下
2
2
由已知,所以 g′(x)>0,g(x)在定义域内为增函数,
f (0)
所以 g(1)>g(0),所以 f(1)>f(0),故 f(1)> .
e
小结：
1通过已知式的结构特征移项变形或利用导 数的四则运算公式等来构造新函数，使得 题目中各个条件得以集中表现，利用函数 的单调性比较大小。从而使得问题难度大 幅降低！
0 a b,0 f (b) f (a) af (b) bf (a)
变式训练3
f (x) 是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，
且满足 x f′( x )＋ f (x) ≤0，
对任意正数 a，b，若 a<b，则必有( C ) A．af(a) ≤f(b) B．bf(b)≤f(a) C．af(b) ≤ bf(a) D．bf(a)≤af(b)
意x,
f (x) <
1 2，则不等式
f (x)
1 >2(
x +1) 的
解集为 ， 1
若把所求的不等式改为
“
f
(lg
x)
1 >2(lg
x
+1)”，又该如何呢？
分析：lgx 相当于变式训练 1 中的 x
答案：(0,10)
变式训练2
函数 f (x) 的定义域是 R， f (0) =2，对
定义域内任意 x ， f (x) + f (x) >1，
列不等式成立的是 ( A )
f (0) A.f(1)>
e
f (0) B.f(2)< e
C.f(1)> e f(2) D.f(0)>e2f(4)
x
【分析】法一 令 g(x)= e2 f (x) ,
法二特殊函数法
f (x) 1
则,
g′(x)=
1
e
x 2
f
(x)

e
x 2
f
(x)
=
1
e
x 2
[f(x)+2f′(x)],
即F ( x 1) F ( x2 1)，
又由单调性知 x 1 x2 1, x 1,2
变式训练2
f (x) 是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，
且满足 x f′( x ) - f (x) ≤0，对任意正数 a，b，
若 a<b，则必有( )
答案：A
A．af(b)≤bf(a) B．bf(a)≤af(b)
则 h′(x)＝f′(x)－2>0，故 h(x)在 R 上单调递增，
又 h(－1)＝f(－1)－2＝0，
所以当 x>－1 时，h(x)>0，
即 f(x)>2x＋4.选 B
思考：本题可以找到特殊函数吗？ 例如：f(x)=3x+5
变式训练1
函数 f (x) 的定义域是 R， f (1) =1，对定义域内任
原不等式的解集为0，
思考：本题可以找到特殊函数吗？
例如f(x)=2
变式训练 3：（2014 唐山一模 16）设可导函数 f(x)在 R 上的导
函数为 f′( x )，且 f (x) f (x) x2 , x 0 时 f′( x )<x，
解不等式
f
( x)

1 2

f
(1
x)
f ( x 1) x 1 f ( x2 1) 的解集为 解：由已知F (x) xf (x) f (x) xf (x) 0,
故F (x)单调递增， 因此f ( x 1) x 1 f ( x2 1) 即 x 1 f ( x 1) x2 1 f ( x2 1)
f (x) 是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，
且满足 x f′( x )＋ f (x) ≤0，
对任意正数 a，b，若 a<b，则必有( C ) A．af(a) ≤f(b) B．bf(b)≤f(a) C．af(b) ≤ bf(a) D．bf(a)≤af(b)
法 一 由 已 知 f (x) o 。 则 单 调 减 或 为 常 数 函 数 。
f (x) 2.F (x) enx
F ( x)

enx
f
(x) nenx e2nx
f
(x)

f (x) nf (x) enx
例1 f (x) 是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，
且满足 x f′( x )＋ f (x) ≤0，
对任意正数 a，b，若 a<b，则必有( c )
A．af(b) f(a) B．bf(a)≤af(b)
能力提升：
例 4.设函数 f(x)在 R 上的导函数为 f′( x )， 且 2 f (x) ＋ x f′( x )>x2，
下面的不等式在 R 上恒成立的是( )
A． f (x) >0 B．f (x) <0 C. f (x) > x D f (x) < x
对于 xf '(x) f (x) 0 ，可构造 F(x) xf (x) ，
则 F ( x) 单调递增； 原型： F(x)' [xf (x)]' xf '(x) f (x)
引申 xf '(x) nf (x) 0 ，
可构造 F ( x) xn f ( x) ，则 F ( x) 单调递增；
原型： F '(x) xn1[xf '( x) nf ( x)] 0 ，
导数运算公式应用 -----构造函数解不等式
遵化一中数学组
常见的构造函数模型:
1. f (x) a 2. f (x) a
F(x) f (x) ax b F(x) f (x) ax b
3. f (x)g(x) f (x)g(x)
F(x) f (x)g(x) b
f (x) 法二 xf (x) f (x) 0 构造 F（x）= x 则 F(x) 0
变式训练3
f (x) 是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，
且满足 x f′( x )＋ f (x) ≤0，
对任意正数 a，b，若 a<b，则必有( C ) A．af(a) ≤f(b) B．bf(b)≤f(a) C．af(b) ≤ bf(a) D．bf(a)≤af(b)
g(x)在R上单减，故x 1 x, x 1 2
变式训练 3：设可导函数 f(x)在 R 上的导函数
为 f′( x )，且 f (x) f (x) x2 , x 0 时
f′(
x
)<x，解不等式
f
(x)
1 2

f
(1
x)

x


,
1 2

法二：特殊函数 f (x) x2 x 2
2构造满足题意的特殊函数来快速解决问题。
例2 函数 f (x) 的定义域为 R，f (-1) ＝2，对任意 x ∈R，
f (x) >2，则 f (x) >2 x ＋4 的解集为( )
A．(－1,1)
B．(－1，＋∞)
C．(－∞，－1) D．(－∞，＋∞)
构造函数：设 h(x)＝f(x)－(2x＋4)，
例 3 (2014.11 呼市阶段考文 12) 已知 f (x) 是定义在 R 上的
奇函数，当 x [0, ) 时，有 xf (x) f (x) 恒成立，则满
足 3 f (3) (2x 1) f (2x 1) 的实数 x 的取值范围是（ B ）
A． (1, 1 ) 2
B． (1,2) C． ( 1 , 2) D． (2,1) 2
则不等式 ex f (x) > e x +1 的解集为( A )
A．{x |x>0} B．{x|x＜0} C．{ x |x＜-1 或 x >1} D．{x |x＜-1 或 0<x <1}
分 析
设F（x） ex f (x) ex 1,则有F（0） 0，
： 且F(x) ex f (x) f (x) ex 0, F (x)递增
6. f (x) f (x)
F(x)
f (x) ex

b
(ex ) ex
常见的构造函数:
7. f (x) 2 f (x) g(x)= e2x f (x) ,
8.2 f (x) f (x)
x
g(x)= e2 f (x) ,
结论：
1.F(x) enx f (x)
F(x) nenx f (x) enx f (x) enx f (x) nf (x)
法三 xf (x) f (x) 0 构造 F（x）= xf (x) 则 F(x) 0
0 a b, af (a) bf (b) af (b) bf (b) af (a) bf (a)
变式训练4
设函数 f (x) 在 R 上的导函数为 f′(x)， 且对任意的 x 总有 f (x) > f′(x)成立，则有（D ）
A.e2017 f (2017 ) f (0), f (2017 ) e2017 f (0) B.e2017 f (2017 ) f (0), f (2017 ) e2017 f (0)
C.e2017 f (2017 ) f (0), f (2017 ) e2017 f (0) D.e2017 f (2017 ) f (0), f (2017 ) e2017 f (0)
x
分析：将所求式变形为 . f (x) x2 f (1 x) (1 x)2
2
2
令g(x) f (x) x2 即解不等式 g(x) g(1 x) 2
g(x) f (x) x 0即g(x)单减
g(x) g(x) f (x) f (x) x2 0, g(x)为奇函数
C．af(a)≤f(b) D．bf(b)≤f(a)
由已知xf
(x)

f
(x)

0可知,
xf
(x) x2
f
(x)
Fra Baidu bibliotek

0
即F(x) f (x) 0F(x)单调递减或为常函数， x
又0 a b，f (a) f (b) 即af (b) bf (a) ab
变式训练3
特别地：xf (x) f (x) F(x) xf (x) b
常见的构造函数模型:
4. f (x)g(x) f (x)g(x) F(x) f (x) b g(x)
特别地：xf (x) f (x) F(x) f (x) b x
常见的构造函数模型:
5. f (x) f (x) F(x) ex f (x) b