层次分析法对旅游地的选择

利用层次分析法对旅游地选择
一、问题提出
假期到了，同学们准备外出旅行。

现打算选择三个地方作为目的地：有P1（新疆）P2（西藏）P3（内蒙）三个个可供选择地点，影响其做出选择的因素有：有景色、费用、居住、饮食、旅途5个因素。

请为他们选择最优的选择方案。

二、模型假设
1．假设同学们以正常的心态旅游。

2．当旅游城市的距离较大时，时间可能比较长，这时，同学们为了协调时间并达到总费用最少，可以选择不同的交通工具，改变旅游时间，从而改变总费用。

当旅游城市距离较少时，时间比较短，假设与一个时段相比可忽略不计，则可以看成当时出发当时可到的情况。

3．假设飞机，火车正常运行，旅行费用只与旅游路线、时间及交通工具有关。

4．假设乘坐交通工具选用飞机时两城市之间的距离按直线距离代替；
三、模型建立
利用层次分析法构造层次分析模型：
四、模型求解
通过相互比较准确层五个因素对最上层选择旅游地的影响，设景色为B1，费用B2，居住B3，饮食B4，旅游B5.设它们的权重分别为：B1=5,B2=7,B3=1,B4=1,B5=3.参照T.L.Saaty的比例九标度法给出各层次的两两判断矩阵(见表1)
表1 同学们对准则层各因素相对重要性的两两比较判断矩阵
B1 B2 B3 B4 B5 权重系数B1 1 5/7 5/3 3 5/3 0.364
B2 7/5 1 7/1 7/1 7/3 0.374
B3 1/5 1/7 1 1 1/3 0.183
B4 1/5 1/7 1 1 1/3 0.481
B5 3/5 3/7 3 3 1 0.237 λ=0.3006 CI=0.003 CR=0.001
同学们对给出方案层的判断矩阵相同，都是如下结果（见表2，表3，表4）表2 同学们就提出的三个方案在景色上面的两两判断矩阵
P1 P2 P3 权重系数
P1 1 1 1/2 0.237
P2 3 1 3/2 0.362
P3 2 2/3 1 0.311 λ=0.3012 CI=0.004 CR=0.010
表3 就同学们提出的三个方案在费用上的两两判断矩阵
P1 P2 P3 权重系数
P1 1 2/3 2 0.492
P2 3/2 1 3 0.124
P3 1/2 2/3 1 0.271 λ=3.0007 CI=0.003 CR= 0.005 表4 同学们就提出的三个方案在住宿方面的两两判断矩
P1 P2 P3 权重系数
P1 1 2/3 2 0.643
P2 3/2 1 3 0.124
P3 1/2 2/3 1 0.431
λ=3.013 CI=0.0065 CR=0.011 表5 同学们就提出的三个方案在饮食方面的两两判断矩
P1 P2 P3 权重系数
P1 1 1/2 2 0.265
P2 2 1 5 0.606
P3 1/2 1/5 1 0.129
λ= 3.023 CI=0.004 CR=0.007
表6 同学们就提出的三个方案在旅途方面的两两判断矩
P1 P2 P3 权重系数
P1 1 4 6 0.691
P2 1/4 1 2 0.204
P3 1/6 1/2 1 0.105 λ=3.013 CI=0.0065 CR=0.011
五、模型分析
层次单排序及一致性检验 根据层次分析法的计算步骤，必须对以上的六个表的两两判断矩阵进行层次单排序，计算各自的权重系数，并对它们逐个进行一致性检验。

下面只列出表1中B 矩阵的计算步骤。

对B 判断矩阵进行归一化处理，求其权重。

（1），对判断矩阵的每一行各元素 求和公式
1TR =5
115/7555/3ij b =++++=∑13.381
1TR =5
1
15/7555/3ij b =++++=∑13.381
2TR =18.733 3TR =2.676
4TR =2.676 5TR =8.029
（2）对矩阵TR=｛13.38118.733
2.6762.6768.029
｝作归一化处理，计算排序权向量W 。

公式5
1/i i i i W TR TR ==∑
5
1
i
i TR =∑=13.381+18.733+2.676+2.676+8.029=45.495
5
111
/i i W TR TR ==∑=13.381/45.495=0.294
2W =0.412 3W =0.059 4W =0.059 5W =0.176
由此可得到五个因素的排序权向量W=0.2940.4120.0590.0590.176⎡⎤⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
（3）计算判断矩阵的最大特征根max λ，并进行矩阵的一致性检验。

由于层次分析法中判断矩阵是人们主观给出来的，所以在人们进行思维判断时应
该保持判断的一致性，即当满足一致性的时候12/B B =5/7 13/B B =5/1 则
23/B B =7/1.
所以要进行一致性检验。

数学上的证明结论是当n 阶正反阵的最大特征值max λ=n 时，B 矩阵为一致阵。

由于成对比较矩阵通常都不是一致矩阵，所以通常把不一致检验程度控制在一个范围之内，所以Saaty 给出了容许矩阵不一致的范围，根据数学一致性的结论当与n 的差距越大时，不一致程度越严重。

因此，Saaty 将
max
1
n
CI n λ-=-定义为一致性指标当CI=0时，B 矩阵为一致阵；CI 越大，则说明B 的不一致性程度越严重，为了确定矩阵不一致的容许范围，Saaty 又引进随机一致性指标RI Saaty 对不同的阶数n ，用100—500个样本B 算出RI 的随机一致性指标RI 的数值
将CR=CI/RI 称为一致性比率。

当CI<0.1时，认为矩阵的不一致程度在容许的范围，可以用特征向量作权向量，否则重新进行成对比较，对矩阵进行调整。

计算矩阵B 的最大特征根max λ，公式5max
1()1i i i
BW n W λ==∑ BW= 15/755
5/37/517/17/17/31/5
1/7111/31/51/7111/33/53/7331⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭0.2940.4120.0590.0590.176⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦=1.7591.1370.8370.3721.287⎡⎤
⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎣⎦
则max λ=5.031
max 1
n
CI n λ-=
-=0.007 CR=CI/CR=0.0065<0.1
由CR 的计算结果可以看出来B 矩阵的一致性很好，通过了一致性检验。

所以前面的特征向量作权重的计算有效。

六、最终决策
同学们的各层次总排序结果是由两个层次的权重系数相乘得到的，每个方案的方案层在各个因素上的权重值c W 乘以标准层各个因素对应的权重值b W 并进行累加得到
的结果。

每个方案的最后得分公式5
1B j i W W ==∑ C j W ’
表7 同学们对三个方案P1,P2,P3评价的最后得分
以上是层次分析法在景点选择中应用的具体过程,从表7中最后三列得到的评价结果可以得到如下的结论: 作为一个理性的旅游者选择最后得分最高的那个方案去旅游。

从评价结果来看,旅游者会选择方案P3西藏为最后的旅游地，因为它的权重在3个景点中是最高的为0.482 再分析前面的表1，同学们最在乎费用，其次是看风景，再者是旅途，至于吃住对年轻人来说不太重要。

而P3西藏在费用上的权重在3个地方中是最高的为0.583 再就是该方案在住宿饮食上的权重也是
3个方案中最高的而。

费用最低的方案，新疆因为景色
稍微逊色。

所以不是他最理想的选择，所以方案P3是他的理
想之地。