二次函数专题复习导学案

专题复习：二次函数综合题训练导学案

【复习要点】

二次函数综合题的特点：二次函数综合题是初中数学中知识覆盖面最广，综合性最强，解题方法灵活。近几年的中考综合题多以二次函数背景结合初中几何知识，综合考察学生的数学思想和数学解题方法，此类题必须认真审题、正确分析理解题意．解题过程中常用到的数学思想方法有转化、数形结合、分类讨论． 【学习过程】 一、存在性问题

错误!未指定书签。 例题1如图，抛物线y ＝ax 2＋c （a ＞0）经过梯形ABCD 的四个顶点，梯形的底AD 在x 轴上，其中A （－2,0），B （－1, －3）．

(1）求抛物线的解析式；

(2）点M 为y 轴上任意一点，当点M 到A 、B 两点的距离之和为最小时，求此时点M 的坐标； (3）在第（2）问的结论下，抛物线上的点P 使S △P AD ＝4S △ABM 成立，求点P 的坐标．

图

2

【对应训练】

如图，抛物线2

1y ax bx =++与x 轴交于两点A （－1，0），B （1，0），与y 轴交于点C ． (1)求抛物线的解析式；

(2)过点B 作BD ∥CA 与抛物线交于点D ，求四边形ACBD 的面积；

(3)在x 轴下方的抛物线上是否存在一点M ，过M 作MN ⊥x 轴于点N ，使以A 、M 、N 为顶点的三角形与△BCD 相似？若存在，则求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．

二、最直问题

例题2矩形OABC在直角坐标系中的位置如图所示，A、C两点的坐标分别为A（6，0）、C（0，3），直线与BC边相交于点D。

（1）求点D的坐标；

（2）若抛物线经过D、A两点，试确定此抛物线的表达式；

（3）P为x轴上方（2）中抛物线上一点，求△POA面积的最大值；

（4）设（2）中抛物线的对称轴与直线OD交于点M，点Q为对称轴上一动点，以Q、O、M为顶点的三角形与△OCD相似，求符合条件的Q点的坐标。

【对应训练】如图，在直角坐标系中，点A的坐标为(-2，0)，线段OA绕原点O顺时针旋转120°后得到线段OB.

(1)直接写出点B的坐标；

(2)求经过A、O、B三点的抛物线的解析式；

(3)在(2)中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由.

(4)如果点P是(2)中的抛物线上的动点，且在x轴的下方，那么△PAB是否有最大面积？若有，求出此时P点的坐标及△PAB的最大面积；若没有，请说明理由.

三、判断点的位置的问题

例题3已知：函数y=ax2+x+1的图象与x轴只有一个公共点．

(1）求这个函数关系式；

(2）如图所示，设二次

．．函数y=ax2+x+1图象的顶点为B，与y轴的交点为A，P为图象上的一点，若以线段PB为直径的圆与直线AB相切于点B，求P点的坐标；

(3）在(2)中，若圆与x轴另一交点关于直线PB的对称点为M，试探索点M是否在抛物线y=ax2+x+1上，若在抛物线上，求出M点的坐标；若不在，请说明理由．

【对应训练】矩形OABC 在平面直角坐标系中位置如图13所示，A C 、两点的坐标分别为(60)A ，，(03)C -，，直线3

4

y x =-与BC 边相交于

D 点．

（1）求点D 的坐标；

（2）若抛物线29

4y ax x =-经过点A

（3）设（2）中的抛物线的对称轴与直线OD 交于点M ，

点P 为对称轴上一动点，以P O M 、、为顶点的三角形

与OCD △相似，求符合条件的点P 的坐标．

答案详解

例1解释：（1）、因为点A、B均在抛物线上，故点A、B的坐标适合抛物线方程

∴

40

3

a c

a c

+=

⎧

⎨

+=-

⎩

解之得：

1

4

a

c

=

⎧

⎨

=-

⎩

；故24

y x

=-为所求

(2）如图2，连接BD，交y轴于点M，则点M就是所求作的点

设BD 的解析式为y kx b =+，则有203k b k b +=⎧⎨

-+=-⎩，1

2

k b =⎧⎨=-⎩，

故BD 的解析式为2y x =-；令0,x =则2y =-，故(0,2)M -

(3)、如图3，连接AM ，BC 交y 轴于点N ，由（2）知，OM=OA=OD=2，90AMB ∠=︒ 易知BN=MN=1，

易求AM BM ==

1

22ABM S =⨯=V ；设2(,4)P x x -，

依题意有：214422AD x -=⨯g ，即：2

144422

x ⨯-=⨯g

解之得：x =±0x =，故 符合条件的P 点有三个：

123((0,4)P P P --

例1对应训练解释：（1）把A (1,0)- B (1,0)代入2

1y ax bx =++得：

1010

a b a b -+=⎧⎨

++=⎩ 解得：1

0a b =-⎧⎨=⎩ 21y x ∴=-+

（2）令0x =，得1y = ∴()0,1C

∵OA=OB=OC=1 ∴∠BAC=∠ACO=∠BCO=∠ABC =45o

∵BD ∥CA ， ∴∠AB D=∠BA C 45=︒

过点D 作DE ⊥x 轴于E ，则∆BDE 为等腰直角三角形 令OE k = ()0k >，则1DE k =+ ∴(),1D k k --- ∵点D 在抛物线2

1y x ∴=-+上 ∴ ()2

11k k --=--+

解得12k =，21k =-（不合题意，舍去） ()2,3D -- ∴DE=3

(说明：先求出直线BD 的解析式，再用两个解析式联立求解得到点D 的坐标也可)

∴四边形ACBD 的面积S =

12AB •OC +1

2

AB •DE 11

2123422

=⨯⨯+⨯⨯= （说明：也可直接求直角梯形ACBD 的面积为4）

(3)存在这样的点M

∵∠ABC=∠ABD=45o

∴∠DBC=90o

∵MN ⊥x 轴于点N ， ∴∠ANM=∠DBC =90o

在Rt △BOC 中，OB=OC=1 有2在Rt △DBE 中，BE=DE=3 有BD=32

设M 点的横坐标为m ，则M (

)

2

,1m m -+ ①点M 在y 轴左侧时，则1m <-