不等式的基本性质说课.ppt
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不等式的基本性质教学课件
《不等式的基本性质教学课件ppt》xx年xx月xx日CATALOGUE目录•引言•不等式的定义和性质•不等式的解法•不等式的应用•习题及解答01引言学生在学习不等式之前已经具备了基础的算术知识，了解了等式的基本性质。
在数学和实际生活中，不等式的应用非常广泛，如解决比赛、生产、销售等问题。
课程背景理解不等式的概念和基本性质。
掌握比较大小的方法和技巧。
理解不等式的解法和应用。
教学目标教学计划第一节第二节Array比较大小的方法和技巧。
不等式的概念和基本性质。
第三节第四节不等式的解法和应用。
练习和巩固。
02不等式的定义和性质严格不等号严格不等号是指不等号两边的数或式子在数学上不等同，如2≠3。
非严格不等号非严格不等号是指不等号两边的数或式子在数学上可以相等，如2≤3。
不等式的定义若a>b，b>c，则a>c。
传递性若a>b，则a+c>b+c。
加法可加性若a>b，c>0，则ac>bc。
乘法可乘性若a>b，c<0，则ac<bc。
乘方法则1 2 3不等式可分为严格不等式和非严格不等式。
按形式分类不等式可分为比较大小的不等式和含有变量符号的不等式。
按内容分类不等式可分为可加、可减、可乘、可除的不等式。
按运算分类03不等式的解法总结词：直接求解详细描述：一元一次不等式的解法通常是通过将不等式进行变形，将其转化为$x$的一元一次方程，然后求解方程得出$x$的值，最后根据$x$的取值范围得到不等式的解。
因式分解求解详细描述一元二次不等式的解法通常是通过将不等式进行因式分解，将其转化为两个一元一次不等式组，然后分别求解得出$x$的取值范围，最后得到不等式的解。
高次不等式的解法总结词：降次求解详细描述：高次不等式的解法需要将不等式进行降次处理，将其转化为多个一元一次或一元二次不等式组，然后分别求解得出$x$的取值范围，最后得到不等式的解。
需要注意的是，高次不等式的解法较为复杂，需要掌握一定的数学技巧。
《不等式的性质》课件
不等式的可乘性
总结词
如果a>b>0，且c>0，则ac>bc。
详细描述
这是不等式的另一个重要性质，称为可乘性。它表明当两个正数a和b之间存在一个正数c时，如果已 知a大于b，并且c也大于0，那么在两边同时乘以c后，得到的结果仍然是ac大于bc。
不等式的可除性
总结词
如果a>b>0，且c>0，则a/c>b/c。
详细描述
这是不等式的另一个重要性质，称为可除性。它表明当两个正数a和b之间存在一个正数c时，如果已知a大于b， 并且c也大于0，那么在两边同时除以c后，得到的结果仍然是a/c大于b/c。
PART 03
不等式的解法
代数法解不等式
代数法是解不等式最常用的方法 之一，通过移项、合并同类项、 化简等步骤，将不等式转化为容
总结词
如果a>b且b>c，则a>c。
详细描述
这是不等式的基本性质之一，称为传递性。它表明当两个数a和c之间存在一个 中间数b，且已知a大于b且b大于c时，那么a必然大于c。
不等式的可加性
总结词
如果a>b，那么a+c>b+c。
详细描述
这是不等式的另一个重要性质，称为可加性。它表明当两个数a和b之间存在一个 差值c时，如果已知a大于b，那么在两边同时加上c后，得到的结果仍然是a+c大 于b+c。
在经济中的应用
资源配置
市场分析
不等式可以用来描述资源配置问题， 例如在生产过程中如何分配资源以达 到最大效益。
在市场分析中，可以利用不等式性质 来分析市场供需关系，例如分析商品 价格与需求量之间的关系。
决策分析
不等式的基本性质(职高)ppt课件
1
设a,b是两个实数,它们在数轴上所对应的点分别为A,B 那么,当点A在点B的左边时,a<b;
当点A在点B的右边时,a>b.
A
B
a
b
x
a<b
B
A
b
a
x
a>b
2
生 活
◆我有8元钱，要买一支10元钱的钢笔，够不够？
中
答：不够
理由：8 < 10 ，即 8 – 10 < 0
的
◆我有10元钱呢？
数
答：刚好够 理由：10 = 10 ，即 10 – 10 = 0
不等式的加法性质.. 9
生 活
把天平两端的 铁球各放3个， 天平会倾向另
中
一端吗？
的
不会，不会的！
数
学
如果 a > b ，c > 0 ，那么 ac > bc
不等式的乘法性质
10
讨论归纳
不等式的基本性质
性质1 如果 a > b ，且 b > c ，那么 a > c （传递性）
性质2 如果 a > b ，那么 a + c > b + c （加法性质）
不等式的两边同时加或减同一个数，不等号方向不变
性质3 如果 a > b ，c > 0 ，那么 ac > bc； 如果 a > b ，c < 0 ，那么 ac < bc （乘法性质）
不等式两边同时乘或除以同一个正数，不等号方向不变； 不等式两边同时乘或除以同一个负数，不等号方向改变；
11
12
例4 用符号“>”或“<”填空，并说出应用了不等
学
设a,b是两个实数,它们在数轴上所对应的点分别为A,B 那么,当点A在点B的左边时,a<b;
当点A在点B的右边时,a>b.
A
B
a
b
x
a<b
B
A
b
a
x
a>b
2
生 活
◆我有8元钱，要买一支10元钱的钢笔，够不够？
中
答：不够
理由：8 < 10 ，即 8 – 10 < 0
的
◆我有10元钱呢？
数
答：刚好够 理由：10 = 10 ，即 10 – 10 = 0
不等式的加法性质.. 9
生 活
把天平两端的 铁球各放3个， 天平会倾向另
中
一端吗？
的
不会，不会的！
数
学
如果 a > b ，c > 0 ，那么 ac > bc
不等式的乘法性质
10
讨论归纳
不等式的基本性质
性质1 如果 a > b ，且 b > c ，那么 a > c （传递性）
性质2 如果 a > b ，那么 a + c > b + c （加法性质）
不等式的两边同时加或减同一个数，不等号方向不变
性质3 如果 a > b ，c > 0 ，那么 ac > bc； 如果 a > b ，c < 0 ，那么 ac < bc （乘法性质）
不等式两边同时乘或除以同一个正数，不等号方向不变； 不等式两边同时乘或除以同一个负数，不等号方向改变；
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12
例4 用符号“>”或“<”填空，并说出应用了不等
学
不等式的性质 ppt课件
＜ 0；
(1) a ＋ 2 ____
a
＞ 0；
(3) 4 ____
＜ 0；
(5) a3 ____
＞ 0；
(4) a2 ____
例：利用不等式的性质将下列不等式化成
“x＞a”或“x＜a”的形式：
（1）x－5>‒1;
（2）‒2x>3;
解： (1)根据不等式 解：(2)根据不等式
的性质1两边都加上5，的性质3两边都除以‒2，
得：
得：
x-5+5 > ‒1+5
-2x÷（‒2）< 3÷（‒2）
3
即x > 4;
即x <- ;
2
巩固练习
将下列不等式化成 x > a或 x < a
的形式.
(1)2x＞-10
(2)- ＞5
3
(3)7x＜6x-6
提升练习
比较2a与5a的大小
对于不知道正负的字母，不能默认为正数，
应考虑到正负不同情况，也有可能为0
不等式基本性质2：不等式的两边都乘以（或
除以）同一个正数，不等号的方向不变。
归纳：
如果a>b，c>0，那么ac>bc，
>
不等式基本性质3：不等式的两边都乘以（或
Байду номын сангаас除以）同一个负数，不等号的方向改变。
如果a>b ，c<0，那么ac<bc,
不等式的基本性质2、3有什么不同？
<
练一练
1. 设 a＞b，用“＜”“＞”填空，并回答是根据不
等式基本性质1：在等式两边同时加
(1) a ＋ 2 ____
a
＞ 0；
(3) 4 ____
＜ 0；
(5) a3 ____
＞ 0；
(4) a2 ____
例：利用不等式的性质将下列不等式化成
“x＞a”或“x＜a”的形式：
（1）x－5>‒1;
（2）‒2x>3;
解： (1)根据不等式 解：(2)根据不等式
的性质1两边都加上5，的性质3两边都除以‒2，
得：
得：
x-5+5 > ‒1+5
-2x÷（‒2）< 3÷（‒2）
3
即x > 4;
即x <- ;
2
巩固练习
将下列不等式化成 x > a或 x < a
的形式.
(1)2x＞-10
(2)- ＞5
3
(3)7x＜6x-6
提升练习
比较2a与5a的大小
对于不知道正负的字母，不能默认为正数，
应考虑到正负不同情况，也有可能为0
不等式基本性质2：不等式的两边都乘以（或
除以）同一个正数，不等号的方向不变。
归纳：
如果a>b，c>0，那么ac>bc，
>
不等式基本性质3：不等式的两边都乘以（或
Байду номын сангаас除以）同一个负数，不等号的方向改变。
如果a>b ，c<0，那么ac<bc,
不等式的基本性质2、3有什么不同？
<
练一练
1. 设 a＞b，用“＜”“＞”填空，并回答是根据不
等式基本性质1：在等式两边同时加
《不等式的基本性质》示范公开课教学PPT课件
得（ 5）2 2 5(不等式的基本性质2)，
即5 2 5.不等式两边同除以2. 得 5 5(不等式的基本性质2)，
2 所以 5 2.5.
例4.估计 1- 5 与0.5哪个大？与- 1比较呢？
2
解：因为2 5 3,由 5 2,
不等式两边同乘- 1， 得- 5 2(不等式的基本性质3). 两边同加上1，得,1- 5 -1
( √)
6. 若 -2x >0， 则 x > 0
( ×)
7. 若 -2<1， 则 -2a < a
( ×)
8. 若 a >0， 则 3a > 2a
( √)
你认为是这样吗 ？
小辉在学了不等式的基本性质这一节后，他 觉得很容易；并用很快的速度做了一道填空题， 结果如下：
(1) 若 x﹥y， 则 x － z ﹤ y － z ； (2) 若 x﹤0， 则 3x ﹤ 5x ； (3) 若 x﹥y， 则 x z 2 ﹥ y z 2 ；
(3)6> 2 ， 6× 5＞___2×5， 6× (-5)_＜__2× (-5)
(4) -2<3， (-2)×6_＜__3 × 6， (-2)× (6)_＞__3×(-6)
(5) -2<4， (-2)÷2_＜___4÷2， (-2)÷(-2) _＞__ 4÷(-2)
例 题 例3.你能根据 5 2, 利用不等式的基 解 本性质，推出 5 2.5吗？ 析 解： 5 2,不等式两边同乘整数5，
x2 5x- 2与x2 2x 4的值的大小.
解：（x2 5x 2）（x2 2x 4）
3x 6.
当x 1,3x- 6 -3 0, x2 5x- 2 x2 2x 4; 当x 2,3x- 6 0, x2 5x- 2 x2 2x 4; 当x 2 2,3x- 6 （6 2- 1） 0, x2 5x- 2 x2 2x 4;
即5 2 5.不等式两边同除以2. 得 5 5(不等式的基本性质2)，
2 所以 5 2.5.
例4.估计 1- 5 与0.5哪个大？与- 1比较呢？
2
解：因为2 5 3,由 5 2,
不等式两边同乘- 1， 得- 5 2(不等式的基本性质3). 两边同加上1，得,1- 5 -1
( √)
6. 若 -2x >0， 则 x > 0
( ×)
7. 若 -2<1， 则 -2a < a
( ×)
8. 若 a >0， 则 3a > 2a
( √)
你认为是这样吗 ？
小辉在学了不等式的基本性质这一节后，他 觉得很容易；并用很快的速度做了一道填空题， 结果如下：
(1) 若 x﹥y， 则 x － z ﹤ y － z ； (2) 若 x﹤0， 则 3x ﹤ 5x ； (3) 若 x﹥y， 则 x z 2 ﹥ y z 2 ；
(3)6> 2 ， 6× 5＞___2×5， 6× (-5)_＜__2× (-5)
(4) -2<3， (-2)×6_＜__3 × 6， (-2)× (6)_＞__3×(-6)
(5) -2<4， (-2)÷2_＜___4÷2， (-2)÷(-2) _＞__ 4÷(-2)
例 题 例3.你能根据 5 2, 利用不等式的基 解 本性质，推出 5 2.5吗？ 析 解： 5 2,不等式两边同乘整数5，
x2 5x- 2与x2 2x 4的值的大小.
解：（x2 5x 2）（x2 2x 4）
3x 6.
当x 1,3x- 6 -3 0, x2 5x- 2 x2 2x 4; 当x 2,3x- 6 0, x2 5x- 2 x2 2x 4; 当x 2 2,3x- 6 （6 2- 1） 0, x2 5x- 2 x2 2x 4;
不等式的基本性质PPT课件(北师大版)
在等式的两边都乘以或除以同一个数（除数不为0）， 所得结果仍是等式．
符号表示： 若 a b ，则 a c = b c ， a = b（c 0）．
cc
回顾与思考☞
不等式与等式仅一字之差，那么不等式是否有 与等式类似的性质呢？这就是今天我们要共同 探讨的问题——不等式的基本性质.
2.2 不等式的基本性质
分层评价，当堂达标 ☞
3．将下列不等式化成“x ＞a”或“x ＜a”的情势．
（ 1）3x－1＞27；
（2）
-
x
＞5
3
（3）5x ＜ 4x－6．
分层评价，当堂达标 ☞
B组： 1.（2013浙江）若实数a，b，c在数轴上对应位置如图所示， 则下列不等式成立的是（ ）. A．ac＞bc B．ab＞cb C．a+c＞b+c D．a+b＞c+b
思考：通过本题目中的这些事例，结合等式的基本
性质2，猜想不等式还有哪些性质？
不等式的基本性质2：
不等式的两边都乘或（除以）同一个正数，
不等号的方向不变.
不等式的基本性质3：
不等式的两边都乘或（除以）同一个负数，
不等号的方向改变.
字母表示： 若a＞b，c＞0，则
a c＞b c ， a ＞ b
cc
．
创设情境，探究新知 ☞
思考：通过本题目中的这些事例，结合等式的基本性 质1，猜想不等式有哪些性质？
不等式的基本性质1： 不等式的两边都加或（减）同一个整式，不等号 的方向不变． 用字母表示： 若a＞b，则a＋c ＞b＋c(或a－c ＞b－c）； 如果a ＜ b呢？
创设情境，探究新知 ☞
探究二 ：
A组：
1.（2013四川乐山）若a＞b，则下列不等式变形错误的是（ ）.
符号表示： 若 a b ，则 a c = b c ， a = b（c 0）．
cc
回顾与思考☞
不等式与等式仅一字之差，那么不等式是否有 与等式类似的性质呢？这就是今天我们要共同 探讨的问题——不等式的基本性质.
2.2 不等式的基本性质
分层评价，当堂达标 ☞
3．将下列不等式化成“x ＞a”或“x ＜a”的情势．
（ 1）3x－1＞27；
（2）
-
x
＞5
3
（3）5x ＜ 4x－6．
分层评价，当堂达标 ☞
B组： 1.（2013浙江）若实数a，b，c在数轴上对应位置如图所示， 则下列不等式成立的是（ ）. A．ac＞bc B．ab＞cb C．a+c＞b+c D．a+b＞c+b
思考：通过本题目中的这些事例，结合等式的基本
性质2，猜想不等式还有哪些性质？
不等式的基本性质2：
不等式的两边都乘或（除以）同一个正数，
不等号的方向不变.
不等式的基本性质3：
不等式的两边都乘或（除以）同一个负数，
不等号的方向改变.
字母表示： 若a＞b，c＞0，则
a c＞b c ， a ＞ b
cc
．
创设情境，探究新知 ☞
思考：通过本题目中的这些事例，结合等式的基本性 质1，猜想不等式有哪些性质？
不等式的基本性质1： 不等式的两边都加或（减）同一个整式，不等号 的方向不变． 用字母表示： 若a＞b，则a＋c ＞b＋c(或a－c ＞b－c）； 如果a ＜ b呢？
创设情境，探究新知 ☞
探究二 ：
A组：
1.（2013四川乐山）若a＞b，则下列不等式变形错误的是（ ）.
不等式的基本性质 课件
1)·(a2-a+1).
题型三
利用不等式的基本性质求范围
【例 3】 已知 60<x<84,28<y<33,则 x-y 的取值范围为
, 的取值范围为
.
解析：∵x-y=x+(-y),∴需先求出-y 的范围.
1
1
∵ = · , ∴ 需先求出 的范围.
1
1
60
∵60<x<84,∴27<x-y<56,
4
2
4
4
2
4
π
-
π
< .
∴− ≤
2
2
2
-
π
-
< 0.
< 0. ∴ − ≤
又 α<β,∴
222Fra bibliotekππ π -
+
的取值范围为 - ,0 .
,
的取值范围为 - ,
故
2
2 2 2
2
(4)如果a>b,c>0,那么ac>bc;如果a>b,c<0,那么ac<bc.
(5)如果a>b>0,那么an>bn(n∈N,n≥2).
n
(6)如果 a>b>0,那么 >
(∈N,n≥2).
3.作差比较法
(1)理论依据:a-b>0⇔a>b;a-b=0⇔a=b;a-b<0⇔a<b.
(2)方法步骤:①作差;②变形;③判断符号;④下结论.
由a>b 就可知
答案：C
2 +1
>
, 故正确;选项
题型三
利用不等式的基本性质求范围
【例 3】 已知 60<x<84,28<y<33,则 x-y 的取值范围为
, 的取值范围为
.
解析：∵x-y=x+(-y),∴需先求出-y 的范围.
1
1
∵ = · , ∴ 需先求出 的范围.
1
1
60
∵60<x<84,∴27<x-y<56,
4
2
4
4
2
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π
-
π
< .
∴− ≤
2
2
2
-
π
-
< 0.
< 0. ∴ − ≤
又 α<β,∴
222Fra bibliotekππ π -
+
的取值范围为 - ,0 .
,
的取值范围为 - ,
故
2
2 2 2
2
(4)如果a>b,c>0,那么ac>bc;如果a>b,c<0,那么ac<bc.
(5)如果a>b>0,那么an>bn(n∈N,n≥2).
n
(6)如果 a>b>0,那么 >
(∈N,n≥2).
3.作差比较法
(1)理论依据:a-b>0⇔a>b;a-b=0⇔a=b;a-b<0⇔a<b.
(2)方法步骤:①作差;②变形;③判断符号;④下结论.
由a>b 就可知
答案：C
2 +1
>
, 故正确;选项
不等式的基本性质教学课件
02
01
03
(2) 若a < b，则ac^2 < bc^2 作业3：解下列不等式，并在数轴上表示解集。 (1) 2x - 1 < x + 2
作业布置
(2) 3(x - 2) ≥ 2(x - 1)
作业4：思考并回答：不等式的基本性质在日常生活和实际问题中有哪些应用？请举 例说明。
07
总结与回顾
重点内容回顾
02
不等式的基本概念
不等式的定义
80%
不等式定义
用不等号（<、>、≤、≥、≠） 连接两个数学表达式而构成的数 学式子，称为不等式。
100%
不等式的解
使不等式成立的未知数的值，叫 做不等式的解。
80%
不等式的解集
一个含有未知数的不等式的所有 解，组成这个不等式的解集。
不等式的表示方法
符号表示法
使用不等号来表示不等式关系， 如 x < 5，x > y 等。
区间表示法
使用区间来表示不等式解集的 范围，如 x ∈ (2, 5) 表示 x 在 2 到 5 之间。
数轴表示法
在数轴上标出不等式的解集范 围，用实心点表示包括该点， 空心点表示不包括该点。
不等式的分类
分式不等式
分母中含有未知数的不等式，如 (x - 1)/(x + 2) ≥ 0。
一元二次不等式
只含有一个未知数，且未知数的 最高次数为2的不等式，如 x^2 -
逐步推导，由因导果，思路清晰。
综合法的应用
适用于已知条件较少，需要逐步 推导的情况。
分析法
分析法的定义
从所要证明的不等式出发，分析使不等式成立的充分条件，逐步 推导，直到找到已知条件或明显成立的事实为止。
不等式的性质ppt课件
新知讲解
一、“≤”与“≥”的含义
像 a≥b或 a≤b这样的式子，也经常用来表示两个数量的大小关系.例如，为了
表示2011年9月1日北京的最低气温是19°C，最高气温是28 °C，我们可以用t
表示这天的气溫，t是随时间变化的，但是它有一定的变化范围，即t≥19 °C
并且1≤28°C. 符号“≥”读作“大于或等于”，也可说是“不小于”；符号
（其中c>0）；
≤ （其中c<0）.
新知讲解
一、“≤”与“≥”的含义
符号“≥”与“＞”的意思有什么区别？“≤”与“＜”呢？
“≥”是“不等号”与“等号”的合写形式，读作“大于或等于”，也可以
说是“不小于”.
即“≥”比“＞”多了一层相等的含义.
同理，“≤”是“不等号”与“等号”的合写形式，读作“小于或等于”，
320 kg 不变,则要使谷子的年总产量不低于 108 万吨,该省至少应再多种植多
少万亩的谷子？
列不等式时注意不等号两边的单位要统一.
二、不等式的实际应用
新知讲解
解：设 2021 年该省应种植 x 万亩的谷子.
根据题意，得
320
x
1000
不等式两边除以
≥ 108 .
320
1000
，得 x≥337.5.
其中x的最大整数值为3.
4
5
6
课堂总结
不等式的性质
1. “≤”与“≥”的含义
如果a≥b，那么a±c≥b±c；
如果a≥b，那么
a b
ac≥bc或 ≥
c c
如果a≥b，那么ac≤bc或
（其中c>0）；
《不等式的性质》课件
总结和提问
回顾所学知识点，总结不等式的基本性质、解法、运算性质和证明方法，并提供有价值的思考问题。
2
加减异号不等式
详细说明加减异号不等式的求解过程和关键点，以及如何进行分类讨论。
3
乘法不等式
介绍乘法不等式的基本形式和求解思路，重点讲解绝对值不等式的使用。
4
除法不等式
讲解如何解决除法不等式的方法和问题，重点强调如何避免乘法和除法不等式的常见错误。
不等式的证明方法
数学归纳法
说明数学归纳法在证明不等式时 的使用方法和注意事项。
计算题
1. 求满足不等式(x+3)(x2)(x-4)≤0的所有实数。
2. 已知a+b+c=3， a2+b2+c2≤9，求 a2+bc的最大值。
证明题
1. 设a,b,c是正数，且abc = 1，证明a/b+b/c+c/a≥3。
2. 对于任意实数a,b,c，证 明不等式 (a2+1)(b2+1)(c2+1) ≥ (a+b+c)2。
不等式的解法与解集表示
解不等式的方法
讲解“试凑法”、“配方法”、“移项法”、以及“函数法”的解法步骤和应用场景。
解集表示
用符号方式表示不等式解集，通过实数集的交集和何求解含有自由变量的不等式。
不等式的运算性质
1
加减同号不等式
讲解如何进行加减同号不等式的运算，以及如何求出解集。
应用于各种数学竞赛中， 如奥数、数学竞赛等领域 的优秀解方法。
不等式的练习题
选择题
已知不等式x1 > x2 > … > xn，那么x12 + x22 +…+ xn2与x1+x2+…+xn的大小 关系是A.与 B.无关 C.或D.都 有可能
不等式的基本性质PPT课件
事实上，如果a>b， c>0，因为ac-bc=c(ab)>0，所以ac>bc.
(7)将不等式6>-3和-4<-2的两边都乘-3，不等号的 方向是否改变？两边都除以-2呢？
6×3 < (-3)×3; (-4)×3 > (-2)×3; 6÷2 < (-3)÷2; (-4)÷2 > (-2)÷2.
(8)由(7)你发现了什么结论？能用不等式表示 出来吗？
a>b；甲的年龄大，a+c>b+c
（2）在数轴上，点A与点B分别对应实数a，b， 并且点A在点B的右边，请你用不等式表示a， b之间的大小关系.如果同时将点A，B向右（或 向左）沿x轴移动c个单位长度，得到点A′，B ′ （如图）.你能用不等式表示点A′，B ′所对应 的数的大小关系吗？
a>b；a+c>b+c；a-c>b-c
判断下列式子是不是不等式：
（1）-3<0
是
（2）4x+3y>0 是
（3）x=3
不是
（4） x2+xy+y2 不是
（5）x+2>y+5 是
2 不等式的性质
等式具有那些性质？ 不等式是否具有这些类似性质？
等式基本性质1：
等式的两边都加上（或减去）同一个整 式，等式仍旧成立
如果a=b,那么a±c=b±c
（3）由（1）（2），你发现了有关不等式的什 么结论呢？你能用不等式表示表示出来吗？
如果a>b,那么a±c>b±c.
也就是说，不等式的两边都加上（或减 去）同一数或同一个整式，不等号的方 向不变。
我们把这一性质作为不等式基本性质1.
(7)将不等式6>-3和-4<-2的两边都乘-3，不等号的 方向是否改变？两边都除以-2呢？
6×3 < (-3)×3; (-4)×3 > (-2)×3; 6÷2 < (-3)÷2; (-4)÷2 > (-2)÷2.
(8)由(7)你发现了什么结论？能用不等式表示 出来吗？
a>b；甲的年龄大，a+c>b+c
（2）在数轴上，点A与点B分别对应实数a，b， 并且点A在点B的右边，请你用不等式表示a， b之间的大小关系.如果同时将点A，B向右（或 向左）沿x轴移动c个单位长度，得到点A′，B ′ （如图）.你能用不等式表示点A′，B ′所对应 的数的大小关系吗？
a>b；a+c>b+c；a-c>b-c
判断下列式子是不是不等式：
（1）-3<0
是
（2）4x+3y>0 是
（3）x=3
不是
（4） x2+xy+y2 不是
（5）x+2>y+5 是
2 不等式的性质
等式具有那些性质？ 不等式是否具有这些类似性质？
等式基本性质1：
等式的两边都加上（或减去）同一个整 式，等式仍旧成立
如果a=b,那么a±c=b±c
（3）由（1）（2），你发现了有关不等式的什 么结论呢？你能用不等式表示表示出来吗？
如果a>b,那么a±c>b±c.
也就是说，不等式的两边都加上（或减 去）同一数或同一个整式，不等号的方 向不变。
我们把这一性质作为不等式基本性质1.
不等式的基本性质说课PPT课件
8粒 （8+3）粒 (11－5) 粒
第四步
我发现了 天平两盘放入或拿出相同数目的玻璃珠时，天平的状态不变
-
13
五、教学过程设计
（二）能力培养，实验探究
情景探究：
今年你妈妈的年龄是a岁，你的年龄是b岁，a与b的大小
关系是：
a＞b
① 5年之前谁的年龄大？
a－5＞b －5
② 10年后呢？ ③ n年后呢？
t≤10
-
11
五、教学过程设计
（二）能力培养，实验探究
实验探究：
准备：
❖ 学生四人一小组，每组一架已调平的天平、若干质量相等的玻璃珠。两人动手实验，两 人观察记录，小组共同完成实验报告单。
步骤：
❖ 第一步：左盘放入5粒玻璃珠，右盘放入8粒玻璃珠。观察此时天平的情况。 ❖ 第二步：在第一步的基础上左右两盘同时放入3粒玻璃珠。观察此时天平的情况是否发
的式子叫作不等式（inequality）。
❖ 找一找：你能找出其中的不等式？
❖ ①4x+5＞0
②a+2=2+b
③x－4
④3(x+2)－4≤5x
-
10
（一）激发兴趣，情景导课
五、教学过程设计
❖ 生活与数学：
练一练：
❖ 1、若今年妈妈的年龄是a岁，你的年龄是b岁，你能用式 子表示a、b的大小关系吗？
a＞ b ❖ 2、我市12日的最高气温为10℃，如果设这一天某一时刻 的气温是t ℃，那么你能用式子表示t的范围吗？
3.教学难点
不等式的基本性质1的理解与正确运用。
-
5
1.教学流程
三、课堂结构设计
▪ 能力培养归纳小结
三
第四步
我发现了 天平两盘放入或拿出相同数目的玻璃珠时，天平的状态不变
-
13
五、教学过程设计
（二）能力培养，实验探究
情景探究：
今年你妈妈的年龄是a岁，你的年龄是b岁，a与b的大小
关系是：
a＞b
① 5年之前谁的年龄大？
a－5＞b －5
② 10年后呢？ ③ n年后呢？
t≤10
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11
五、教学过程设计
（二）能力培养，实验探究
实验探究：
准备：
❖ 学生四人一小组，每组一架已调平的天平、若干质量相等的玻璃珠。两人动手实验，两 人观察记录，小组共同完成实验报告单。
步骤：
❖ 第一步：左盘放入5粒玻璃珠，右盘放入8粒玻璃珠。观察此时天平的情况。 ❖ 第二步：在第一步的基础上左右两盘同时放入3粒玻璃珠。观察此时天平的情况是否发
的式子叫作不等式（inequality）。
❖ 找一找：你能找出其中的不等式？
❖ ①4x+5＞0
②a+2=2+b
③x－4
④3(x+2)－4≤5x
-
10
（一）激发兴趣，情景导课
五、教学过程设计
❖ 生活与数学：
练一练：
❖ 1、若今年妈妈的年龄是a岁，你的年龄是b岁，你能用式 子表示a、b的大小关系吗？
a＞ b ❖ 2、我市12日的最高气温为10℃，如果设这一天某一时刻 的气温是t ℃，那么你能用式子表示t的范围吗？
3.教学难点
不等式的基本性质1的理解与正确运用。
-
5
1.教学流程
三、课堂结构设计
▪ 能力培养归纳小结
三
不等式的基本性质教学课件
2023《不等式的基本性质教学课件ppt》contents •不等式的定义和表示方法•不等式的基本性质•不等式的解法•不等式的应用•不等式的历史和未来发展•课后习题与答案目录01不等式的定义和表示方法1不等式的定义23不等式是表示两个数或两个式子之间不相等关系的数学符号。
不等式的定义包括算术不等式、几何不等式、函数不等式等。
不等式的种类描述两个数或式子之间的数量关系，可以反映事物的某些性质和规律。
不等式的意义一般用“>”、“<”、“≥”、“≤”等符号来表示两个数或式子之间的大小关系。
不等式的表示方法数学符号如x > 3，a < b等都是不等式。
举例说明不等式的两边同时加上或减去同一个数或式子，不等号的方向不变。
注意问题03解题步骤首先分析问题中涉及的变量及其关系，然后建立相应的不等式模型，最后解不等式得到所需的结果。
如何使用不等式进行数学建模01建立数学模型通过建立不等式模型，可以描述实际问题中变量之间的关系，反映事物的规律和性质。
02实例说明如实际生活中的购物问题、投资问题等都可以通过建立不等式模型来分析解决。
02不等式的基本性质总结词基础且重要详细描述不等式的传递性是不等式基本性质的核心内容之一，它表明如果a>b和c>d，那么ac>bd。
这个性质在解决一些复杂不等式问题时非常有用，需要学生熟练掌握。
不等式的传递性总结词基础且常用详细描述不等式的可加性表明，如果a>b，c>d，那么a+c>b+d。
这个性质在解决一些实际问题时非常常用，如比较两个商品的价格等。
不等式的可加性重要但较难理解总结词不等式的可乘性表明，如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd。
这个性质在解决一些复杂不等式问题时需要逆用，同时需要注意乘积为负的情况。
详细描述不等式的可乘性总结词易忽视但有技巧详细描述不等式的可除性表明，如果a>b>0，c>d>0，那么ad>bc。
不等式的性质课件1.ppt
课堂练习：
2. 若a < 0，－1 < b < 0，则有( D ) A．a > ab > ab2 B．ab2 > ab > a C．ab > a > ab2 D．ab > ab2 > a
分析：利用作差比较法判断a，ab， ab2的大小即可．
分析：也可取特殊值判断a，ab，ab2 的大小即可．
小结：
2
2
2
2
2)a,b R,下 面 四 个 命 题 ：
(1)a b 0 a2 b2 (2) a c a bc b
(3)ac2 bc 2 a b (4)a b 0 b 1 a
其中真命题是( D )
A.(1)和(2)
B.(1)和(3)
C.(2)和(4)
D.(3)和(4)
3.若a b,则 下 列不 等 式 中
一定成立的是( C )
A. 1 1
a B.
1
ab b
C.(1 )a ( 1 )b 22
D.log2 (a b) 0
例2已知a b 0,c d 0,
e 0.求证: e e ca db
证明 :
a
c
b d
00
c
a
d
b
0
1 1 0
db ca e e 0
e0
db ca
比较大小
正值不等式乘方、开方、倒数
an bn (n N,且n 1)
a b 0 n a n b (n N,且n 1)
1/a 1/b
例题讲解：
例1: 1)角，满 足 ,
2
2
则 的取值范围是( B )
A. B. 0
C. D.
不等式的基本性质ppt课件
你有什么发现？ 当不等式的两边同乘同一个正数时,不等号的方 向不__变__;而乘同一个负数时,不等号的方向_改__变__.
8
不等式的两边都乘（或都除以）同一个正数，所
得的不等式仍成立; （不等号方向不变）
不等式的两边都乘（或都除以）同一个负数，必 须把不等号的方向改变，所得的不等式成立.
（不等号方向改变）
当不等式两边加或减去同一个数时,不等号的方向_不__变__
5
不等式的两边都加上（或 都减去）同一个数，所得到的 不等式仍成立. 即 如果a＞b，那么a+c＞b+c，a-c＞b-c； 如果a＜b，那么a+c＜b+c，a-c＜b-c.
6
不等式的基本性质2的证明: 如果a＞b，那么a+c＞b+c，a-c＞b-c； 如果a＜b，那么a+c＜b+c，a-c＜b-c.
23
例5、若 x y ，且 (a 3)x (a 3) y 求 a 的取值范围。
解：∵x＜y， （a-3）x＞（a-3）y ∴a-3＜0 （不等式性质3） ∴a＜3 （不等式性质2）
24
例6、某品牌计算机键盘的单价在60元至70元之 间，买3个这样的键盘需要多少钱？（用适当的 不等式表示）
依据__不__等__式__的__基_本__性__质. 3
(2)若 -2 x≤1,两边同除以-2,得X_≥__－__1_/_2_,依据 _不__等__式__的__基__本性质3 ；
（3）若-m>5，则m < -5.（依据 不等式的基本性）质3 （4）已知x>y，那么－3x < －3y
（依据 不等式的基本性质3 ）
解：设计算机键盘的单价为x元， 由题意得：
60≤X≤70
8
不等式的两边都乘（或都除以）同一个正数，所
得的不等式仍成立; （不等号方向不变）
不等式的两边都乘（或都除以）同一个负数，必 须把不等号的方向改变，所得的不等式成立.
（不等号方向改变）
当不等式两边加或减去同一个数时,不等号的方向_不__变__
5
不等式的两边都加上（或 都减去）同一个数，所得到的 不等式仍成立. 即 如果a＞b，那么a+c＞b+c，a-c＞b-c； 如果a＜b，那么a+c＜b+c，a-c＜b-c.
6
不等式的基本性质2的证明: 如果a＞b，那么a+c＞b+c，a-c＞b-c； 如果a＜b，那么a+c＜b+c，a-c＜b-c.
23
例5、若 x y ，且 (a 3)x (a 3) y 求 a 的取值范围。
解：∵x＜y， （a-3）x＞（a-3）y ∴a-3＜0 （不等式性质3） ∴a＜3 （不等式性质2）
24
例6、某品牌计算机键盘的单价在60元至70元之 间，买3个这样的键盘需要多少钱？（用适当的 不等式表示）
依据__不__等__式__的__基_本__性__质. 3
(2)若 -2 x≤1,两边同除以-2,得X_≥__－__1_/_2_,依据 _不__等__式__的__基__本性质3 ；
（3）若-m>5，则m < -5.（依据 不等式的基本性）质3 （4）已知x>y，那么－3x < －3y
（依据 不等式的基本性质3 ）
解：设计算机键盘的单价为x元， 由题意得：
60≤X≤70
不等式的基本性质 课件
不等式的基本性质
1、不等式的概念: 同向不等式； 异向不等式; 同解不等式．
2、比较两个实数大小的主要方法: (1)作差比较法：作差——变形——定号——下结论； (2)作商比较法：作商——变形——与1比较大小——下 结论． 大多用于比较幂指式的大小．
类比等式的基本性质，不等式有哪些基本 性质呢？
a b 0 a b; a b 0 a b; a b 0 a b.
上述结论是用类比的方法得到的，它们一定是 正确的吗？你能够给出它们的证明吗？
以性质（3）为例给出证明：
（3）a b a c b（c 可加性）;
证明：（1）先证明：a b ac bc
a b a-b 0
ab .
dc
证明：1 1 c d c d 0 1 1 0
d c dc
dc
1 1 0又a b 0 a b 0
dc
dc
故 a,c<d<0,e<0,求证：
a
e
c
b
e
d
证明： a b 0,c d 0a c b d
则 1 1 bacd 0 a c b d (a c)(b d )
不等式的基本性质
（1）a b b a(对称性）; （2）a b,b c a （ c 传递性）; （3）abacb（ c 可加性）;
单向性 双向性
ab,cd acbd; （4）ab,c0acbc;ab,c0acbc;
ab0,cd 0acbd;
（5）ab0,nN,n1an bn;
（6）a b 0,nN ,n 1 n a n b.
例 4．“已知－π2≤α≤π2，－π2≤β≤π2”，求α＋2 β，α－2 β的取
值范围．
解：∵－π2≤α≤π2， －π2≤β≤π2， ∴－π≤α＋β≤π.∴－π2≤α＋2 β≤π2. 又∵－π2≤α≤π2，－π2≤－β≤π2， ∴－π≤α－β≤π.∴－π2≤α－2 β≤π2. ∴α＋2 β、α－2 β的取值范围均为[－π2，π2]．
1、不等式的概念: 同向不等式； 异向不等式; 同解不等式．
2、比较两个实数大小的主要方法: (1)作差比较法：作差——变形——定号——下结论； (2)作商比较法：作商——变形——与1比较大小——下 结论． 大多用于比较幂指式的大小．
类比等式的基本性质，不等式有哪些基本 性质呢？
a b 0 a b; a b 0 a b; a b 0 a b.
上述结论是用类比的方法得到的，它们一定是 正确的吗？你能够给出它们的证明吗？
以性质（3）为例给出证明：
（3）a b a c b（c 可加性）;
证明：（1）先证明：a b ac bc
a b a-b 0
ab .
dc
证明：1 1 c d c d 0 1 1 0
d c dc
dc
1 1 0又a b 0 a b 0
dc
dc
故 a,c<d<0,e<0,求证：
a
e
c
b
e
d
证明： a b 0,c d 0a c b d
则 1 1 bacd 0 a c b d (a c)(b d )
不等式的基本性质
（1）a b b a(对称性）; （2）a b,b c a （ c 传递性）; （3）abacb（ c 可加性）;
单向性 双向性
ab,cd acbd; （4）ab,c0acbc;ab,c0acbc;
ab0,cd 0acbd;
（5）ab0,nN,n1an bn;
（6）a b 0,nN ,n 1 n a n b.
例 4．“已知－π2≤α≤π2，－π2≤β≤π2”，求α＋2 β，α－2 β的取
值范围．
解：∵－π2≤α≤π2， －π2≤β≤π2， ∴－π≤α＋β≤π.∴－π2≤α＋2 β≤π2. 又∵－π2≤α≤π2，－π2≤－β≤π2， ∴－π≤α－β≤π.∴－π2≤α－2 β≤π2. ∴α＋2 β、α－2 β的取值范围均为[－π2，π2]．
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教学目标
知识与技能：理解不等式的三个基本性质
会运用不等式的基本性质进行不等式变形
过程与方法：激趣、类比，并鼓励学生不断探索，积累经验，
逐步提高自己分析问题的能力。
情感、态度与价值观：
培让学生通过类比，体会知识的迁移过程。 体验数学的价值，建立信心。
二、教学目标、重难点
• 教学重点：不等式的基本性质 • 教学难点：不等式的基本性质3较为复杂，例题
cc
3、习题巩固、知识应用
填空1
(1)∵0___<__1 ∴a___<___a+1
（依据 不等式的基本性质2 ）
(2)∵(a-1)2 _≥____0 ∴(a-1)2-2__≥___-2
（依据不等式的基本性质2 ）
(3) ∵x2 +1__>_ 0，0__>__－y2－1， ∴x2+1__>__－y2－1
授课年级：八年级 教 材：数学（浙教版）
我的说课流程 教学背景分析
教学目标、重难点 教学过程设计 教学设计反思
一、教学背景分析
1、教材地位分析 本节课选自浙教版《义务教育课程标准实验教科
书》八上第三章第二节。 是在学生学习了等式的基本性质并认识了不等式
后来研究不等式的基本性质，是后续学习解不等式的 依据。
基本性质2 如果a=b，那么 a+c=b+c，a-c=b-c
③若x=y，则3x__=__3y
基本性质3 如果a=b，且c≠0， 那么 ac=bc，
ab cc
数形结合 平移思想 分类讨论
不等式
若a＜b，b＜c，则a_?___c。
ab
c
如果a>b，那么
a+c__?__b+c，a-c__?__b-c
c
c
一、教学背景分析
2、学情分析： 教学对象是崇德实验中学八年级学生，学生基础
较好，同时已经过一年初中数学思维训练，已有一定 知识储备，也已经初步具备类比、数形结合的能力， 但对知识的迁移能力、深入探究能力较弱，所以在教 学设计上不仅要巩固基础，更需考虑对知识的变式运 用，提升思维的高度。
二、教学目标、重难点
（依据不等式的基本性质1 ）
3、习题巩固、知识应用
填空2
1.若x+1>0，两边同时减去1, 得__x_>_-_1__ ， 依据 不__等_式__的__基_本__性_质__2__
2.若 2x＞-6,两边同除以2, 得_X__>_－__3__, 依据 _不__等_式__的_基__本__性_质__3___. 3.若 -0.5 x≤1,两边同乘以-2, 得__X_≥_－__2__, 依据 _不__等__式_的__基_本__性_质__3__ ；
解法一：∵2＞1，a＜0，
∴2a＜a（不等式的基本性质3） 解法二：在数轴上分别表示2a和a的点（a＜0），
如图. 2a位于a的左边，所以2a＜a
∣a∣
∣a∣
2a
a
0
解法三：∵ a＜0, ∴ a+a ＜ a
数学思想：分类 讨论
∴2a<a(不等式的基本性质2）
解法四： ∵2a-a=a<0 ∴2a<a
4、变式训练、专项突破
3、习题巩固、知识应用
填空3 已知a＜b, 1、用“＜”或“＞”号填空： ①a-3 < b-3 ②6a < 6b ③-a > -b
④a-b < 0 ⑤6-3a > 6-3b
2、(2x-3)a>(2x-3)b,则x的取值范围是_x_<_1_._5_
4、变式训练、专项突破
例1 、已知a<0 ，试比较2a与a的大小.
若x>y,请比较(a-3)x与(a-3)y的大小
解：当a>3时，
∵a-3＞0，x＞y，∴(a-3)x＞(a-3)y 当a＝3时， ∵a-3=0， ∴(a-3)x=(a-3)y=0 当a＜3时， ∵a-3＜0，x＞y，∴(a-3)x＜(a-3)y
5、知识迁移、实际应用
老王和小张在同一家公司工作.老王每月的工资比小张高, 但不到他的两倍.新一年开始时,公司给他们同时加薪10％, 问加薪后老王的工资仍比小张的工资高,但低于两倍吗? 请说明理由. 如果每人各加薪200元呢?
一题多解及变式的分类讨论，学生缺乏这方面 的经验
三、教学过程设计
1 类比旧知、导出新知 2 组织探究、总结规律
习题巩固、知识应用 3
变式训练、专项突破
4
知识迁移、实际应用
5
1、类比旧知、导出新知
等式
①若a=b，b=c，则a__=__c 基本性质1 若a=b，b=c，则a=c
②若x=y，则x+5__=__y+5
b b+c
a a+c
如果a>b，且c≠0，
那么 ac__?__bc，
a __?__ b cc2、Fra bibliotek织探究、总结规律
不等式基本性质1: a<b，b<c a<c
不等式基本性质2: a>b a±c>b±c a<b a±c <b±c
不等式基本性质3: a>b且c>o a>b且c<o
ac bc, a b ac bc, ca bc
四、教学设计反思
1、贯穿一个原则——以学生为主体 2、突出一个思想——类比化归（数形结合） 3、体现一个价值——数学建模 4、渗透一个意识——应用数学
谢谢大家！
知识与技能：理解不等式的三个基本性质
会运用不等式的基本性质进行不等式变形
过程与方法：激趣、类比，并鼓励学生不断探索，积累经验，
逐步提高自己分析问题的能力。
情感、态度与价值观：
培让学生通过类比，体会知识的迁移过程。 体验数学的价值，建立信心。
二、教学目标、重难点
• 教学重点：不等式的基本性质 • 教学难点：不等式的基本性质3较为复杂，例题
cc
3、习题巩固、知识应用
填空1
(1)∵0___<__1 ∴a___<___a+1
（依据 不等式的基本性质2 ）
(2)∵(a-1)2 _≥____0 ∴(a-1)2-2__≥___-2
（依据不等式的基本性质2 ）
(3) ∵x2 +1__>_ 0，0__>__－y2－1， ∴x2+1__>__－y2－1
授课年级：八年级 教 材：数学（浙教版）
我的说课流程 教学背景分析
教学目标、重难点 教学过程设计 教学设计反思
一、教学背景分析
1、教材地位分析 本节课选自浙教版《义务教育课程标准实验教科
书》八上第三章第二节。 是在学生学习了等式的基本性质并认识了不等式
后来研究不等式的基本性质，是后续学习解不等式的 依据。
基本性质2 如果a=b，那么 a+c=b+c，a-c=b-c
③若x=y，则3x__=__3y
基本性质3 如果a=b，且c≠0， 那么 ac=bc，
ab cc
数形结合 平移思想 分类讨论
不等式
若a＜b，b＜c，则a_?___c。
ab
c
如果a>b，那么
a+c__?__b+c，a-c__?__b-c
c
c
一、教学背景分析
2、学情分析： 教学对象是崇德实验中学八年级学生，学生基础
较好，同时已经过一年初中数学思维训练，已有一定 知识储备，也已经初步具备类比、数形结合的能力， 但对知识的迁移能力、深入探究能力较弱，所以在教 学设计上不仅要巩固基础，更需考虑对知识的变式运 用，提升思维的高度。
二、教学目标、重难点
（依据不等式的基本性质1 ）
3、习题巩固、知识应用
填空2
1.若x+1>0，两边同时减去1, 得__x_>_-_1__ ， 依据 不__等_式__的__基_本__性_质__2__
2.若 2x＞-6,两边同除以2, 得_X__>_－__3__, 依据 _不__等_式__的_基__本__性_质__3___. 3.若 -0.5 x≤1,两边同乘以-2, 得__X_≥_－__2__, 依据 _不__等__式_的__基_本__性_质__3__ ；
解法一：∵2＞1，a＜0，
∴2a＜a（不等式的基本性质3） 解法二：在数轴上分别表示2a和a的点（a＜0），
如图. 2a位于a的左边，所以2a＜a
∣a∣
∣a∣
2a
a
0
解法三：∵ a＜0, ∴ a+a ＜ a
数学思想：分类 讨论
∴2a<a(不等式的基本性质2）
解法四： ∵2a-a=a<0 ∴2a<a
4、变式训练、专项突破
3、习题巩固、知识应用
填空3 已知a＜b, 1、用“＜”或“＞”号填空： ①a-3 < b-3 ②6a < 6b ③-a > -b
④a-b < 0 ⑤6-3a > 6-3b
2、(2x-3)a>(2x-3)b,则x的取值范围是_x_<_1_._5_
4、变式训练、专项突破
例1 、已知a<0 ，试比较2a与a的大小.
若x>y,请比较(a-3)x与(a-3)y的大小
解：当a>3时，
∵a-3＞0，x＞y，∴(a-3)x＞(a-3)y 当a＝3时， ∵a-3=0， ∴(a-3)x=(a-3)y=0 当a＜3时， ∵a-3＜0，x＞y，∴(a-3)x＜(a-3)y
5、知识迁移、实际应用
老王和小张在同一家公司工作.老王每月的工资比小张高, 但不到他的两倍.新一年开始时,公司给他们同时加薪10％, 问加薪后老王的工资仍比小张的工资高,但低于两倍吗? 请说明理由. 如果每人各加薪200元呢?
一题多解及变式的分类讨论，学生缺乏这方面 的经验
三、教学过程设计
1 类比旧知、导出新知 2 组织探究、总结规律
习题巩固、知识应用 3
变式训练、专项突破
4
知识迁移、实际应用
5
1、类比旧知、导出新知
等式
①若a=b，b=c，则a__=__c 基本性质1 若a=b，b=c，则a=c
②若x=y，则x+5__=__y+5
b b+c
a a+c
如果a>b，且c≠0，
那么 ac__?__bc，
a __?__ b cc2、Fra bibliotek织探究、总结规律
不等式基本性质1: a<b，b<c a<c
不等式基本性质2: a>b a±c>b±c a<b a±c <b±c
不等式基本性质3: a>b且c>o a>b且c<o
ac bc, a b ac bc, ca bc
四、教学设计反思
1、贯穿一个原则——以学生为主体 2、突出一个思想——类比化归（数形结合） 3、体现一个价值——数学建模 4、渗透一个意识——应用数学
谢谢大家！