勾股定理综合性难题习题

勾股定理复

习

1. 直角三角形的面积为S，斜边上的中线长为d，则这个三角形周长为（）（A）d2 S 2d （B）. d2 S d （C）2 d2 S 2d （D） 2 d2 S d

2. 如图，A、B两个村子在河CD的同侧，A B两村到河的距离分别为AC=1km BD=3km CD=3km现

在河边CD上建一水厂向A B两村输送自来水，铺设水管的费用为20000元/千米，请你在CD选择水厂位置Q使铺设水管的费用最省，并求出铺设水管的总费用F。

2 2 2

3. △ ABC中，BC a , AC b , AB c ,若/ c=90°,如图（1）,根据勾股定理，则a b c ,若

2 2 2

△ ABC不是直角三角形，如图（2）和图（3），请你类比勾股定理，试猜想 a b与c的关系，并证明你的结论•

4. 如图，A市气象站测得台风中心在A市正东方向300千米的B处，以10 7千米/时的速度向北偏西60°的BF方向移动，距台风中心200?千米范围内是受台风影响的区域.

（1）A市是否会受到台风的影响？写出你的结论并给予说明；

（2）如果A市受这次台风影响，那么受台风影响的时间有多长？

课堂练习：

1、将一根24cm的筷子，置于底面直径为15cm,高8cm的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度为hem则h的取值范围是（）.

A. h< 17cm

B. h>8cm

C. 15cm< h< 16cm

D. 7cm< h< 16cm

2如图，已知：一U U ,上-U 二叮，-；二二丄J三于p.求证：—’丄二.

3已知：如图，/ B=Z D=90，/ A=60°, AB=4, CD=2

求：四边形 ABCD 勺面积

【答案】由于厂门宽度是否足够卡车通过，只要看当卡车位于厂门正中间时其高度是否小于 CH 如

图所示，点D 在离厂门中线0.8米处，且CDL AB, 与地面交于H. 解：OC= 1米（大门宽度一半），

OD= 0.8米 （卡车宽度一半） 在Rt △ OCD 中，由勾股定理得：

CD=‘— ＜

，!

丄. 6米，

C H=0 . 6 + 2 . 3 = 2 . 9（米）＞2 . 5（米）. 因此高度上有0.4米的余量，所以卡车能通过厂门.

5、如图，公路 MN 和公路PQ 在点P 处交汇，且/ QPN= 30。，点A 处有一所中学，AP = 160m 。假设拖 拉机行驶时，周围100m 以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路

MN 上沿PN 方向行驶时，学校是

4. 一辆装满货物的卡车，其外形高 2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图的某工厂，问这辆卡车

能否通过该工厂的厂门？ A

C

FT

否会受到噪声影响？请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为18km/h,那么学校受影响的时间

为多少秒?

同理，拖拉机行驶到点D处学校开始脱离影响，那么，AD= 100（m）, BD= 60（m）,

• CD= 120(m) o

拖拉机行驶的速度为：18km/h = 5m/s t = 120nr^ 5m/s= 24s。

思路点拨：（1）要判断拖拉机的噪音是否影响学校A, 实质上是看A到公路的距离是否小于100m,小于100m则受影响，大于100m则不受影响，故作垂线段AB并计算其长度。（2）要求出学校受影响的时间，实质是要求拖拉机对学校A的影响所行驶的路程。因此必须找到拖拉机行至哪一点开始影响

学校，行至哪一点后结束影响学校。

解析：作AB丄MN垂足为B o

在Rt A ABP 中，ABP= 90°,/ APB= 30 ,AP = 160,

100(m),

• AB=二AP= 80o （在直角三角形中，30

•••点A到直线MN的距离小于100m,

•••这所中学会受到噪声的影响。

所对的直角边等于斜边的一半）如图，假设拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶到点C处学校开始受到影响，那么AC=

由勾股定理得：BC2= 1002-802= 3600, • BC = 60o

答：拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校会受到噪声影响，学校受影响的时间为6、如

图所示，△ ABC是等腰直角三角形，AB=AC D是斜边BC的中点，E、F分别是AB AC边上的点,

且DEI DF,若BE=12 CF=5求线段EF的长

思路点拨：现已知BE、CF,要求EF,但这三条线段不在同一三角形中，所以关键是线段的转化,

根据直角三角形的特征，三角形的中线有特殊的性质，不妨先连接AD.

解：连接AD

因为/ BAC=90 , AB=AC 又因为ABC的中线,

所以AD=DC=D.BAD丄BC.

且/ BAD/ C=45°

因为/ EDA/ ADF=90 . 又因为/ CDF/ ADF=9C°

所以/ EDA/ CDF 所以△ AED^A CFD( ASA).

所以AE=FC=5

同理：AF=BE=12 在Rt △ AEF中，根据勾股定理得：

口」二上:匚丄，所以EF=13

总结升华：此题考查了等腰直角三角形的性质及勾股定理等知识。通过此题，我们可以了解：当已知的线段和所求的线段不在同一三角形中时，应通过适当的转化把它们放在同一直角三角形中求解。

7如图，在等腰厶ABC中,/ ACB=9C , D E为斜边AB上的点，且/ DCE=45

求证：D E=A D+B E。

24秒。