武忠祥罗尔定理的推论
专题9 方程根的存在性及个数--考研数学
2021考研高等数学17堂课主讲 武忠祥 教授专题9 方程根的存在性及个数方程0)(=x f 的根就是函数)(x f 的零点,其几何意义就是曲线)(x f y =和x 轴的交点.通常是以下两个问题 1.根的存在性： 方法1：零点定理；若函数)(x f 在区间],[b a 上连续，且,0)()(<⋅b f a f 则方程0)(=x f 在),(b a 上至少有一个实根.【注】这个结论可推广为：若函数)(x f 在区间),(b a 内连续，且,)(lim α=+→x f ax ,0,)(lim <⋅=−→βαβx f b x 则方程0)(=x f 在),(b a 上至少有一个实根.这里,,b aβα,可以是有限数，也可以是无穷大.方法2：罗尔定理；若函数)(x F 在区间],[b a 上满足罗尔定理三个条件，且),,(),()(b a x x f x F ∈=′则方程0)(=x f 在),(b a 上至少有一个实根.2.根的个数： 方法1：单调性；若函数)(x f 在区间],[b a 上单调（严格单调），则方程0)(=x f 在),(b a 上最多一个实根. 方法2：罗尔定理推论； 罗尔定理推论：若在区间I 上0)()(≠x fn ，则方程0)(=x f 在I 上最多n 个实根.【例1】设)()2)(1(ln )(n x x x x f −−−=L ，则方程0)(=′x f 根的个数为._________【例2】设,)1()(33x x x f −=则方程0)(=′′′x f 在)1,0(上( ) (A)有1个根 (B)有2个根(C)有3个根 (D)有4个根【例3】已知方程c b a cx bx ax ++=++23423在)1,0(内至少有一个实根，则（ ） （A ）0>a （B ）0<b（C ）0>c （D ）c b a ,,为任意实数.【例4】（1996年1,2）在区间),(+∞−∞内，方程+41||x 0cos ||21=−x x （C ）.（A ）无实根 （B ）有且仅有一个实根 （C ）有且仅有两个实根 （D ）有无穷多个实根 【例5】方程x x t x t −=∫−30d e 2（ ）（A ）有且仅有一个实根 （B ）有且仅有两个实根 （C ）有且仅有三个实根 （D ）有无穷多个实根 【解】令x x t x f x t +−=∫−30d e )(2，则)(x f 是),(+∞−∞上的奇函数，从而，原方程在区间)0,(−∞和),0(+∞上实根个数相同，因此，只需讨论),0(+∞上实根个数。
罗尔定理推论证明过程
罗尔定理的推论及其证明过程如下:
罗尔定理推论:
若映射f: Rn → Rm满足以下条件:
(1) f在定义域Rn内可导;
(2) jacobian矩阵Jf(x)在定义域Rn内任意点满秩;
则f为定向同胚映射。
证明:
1. 因为f在定义域Rn内可导,根据隐函数定理,对任意x0∈Rn,都存在其邻域U(x0),使得f在U(x0)上可逆。
2. 又因为Jf(x)在Rn内任意点均满秩,则对任意x∈Rn,Jf(x)的秩均为min{m,n}。
3. 当m=n时,Jf(x)为满秩方阵,其行列式不为0,所以f在Rn内任意点可逆,是定向同胚映射。
4. 当m≠n时,不妨设m>n,则Jf(x)的秩为n。
这意味着Jf(x)的列向量在Rn内线性无关。
5. 由2、4可知,f在Rn内任意点处的微分df都是满秩的,因
此f是一个局部定向同胚映射。
6. 结合1,f在整个定义域Rn内是定向同胚的。
综上所述,罗尔定理推论得证。
这展示了可微映射的jacobian 矩阵满秩是一个确定定向同胚映射的充要条件。
高等数学强化课笔记-武忠祥老师的强化班课程
21高等数学强化课●武忠祥老师的强化班课程笔记●武忠祥老师的强化班课程●函数极限连续●函数●基本要素：定义域，对应规则●函数形态●单调性判定●定义●导数，●单调性应用●根的个数●证明不等式●奇偶性判定●定义●可导●原函数奇函数>导函数偶函数●原函数偶函数>导函数奇函数●连续●周期性判定●定义●可导的周期函数其导函数是周期函数●周期函数的原函数不一定为周期函数●f(x)连续且以T为周期●周期函数的原函数是周期函数的充要条件是在一个周期上的积分为0●有界性判定●定义●闭区间连续●开区间连续，左端点右极限和右端点左极限存在●导数●极限●概念●数列极限●极限值等于多少与数列前有限项无关●与项数无关●函数极限●趋于无穷●趋于有限值●极限存在与该点无关，只与该点的去心领域有关●分左右极限求●分段函数在分段处极限，两侧极限不一样●特殊函数●2●性质●局部有界性●保号性注意等号●与无穷小之间的关系●极限存在准则●夹逼●单调有界●单调有界函数一定有极限，单增上有界、单减下有界●无穷小●比较●性质●无穷大●常用无穷大比较指幂对（大到小）●无穷大与无界变量●与无穷小互为倒数●求极限方法●有理运算法则●基本极限●等价无穷小●常用●积分情况●代换原则●乘除直接换●加减有条件减不为正 1 ，加不为－1●洛必达●泰勒公式●常用●夹逼●积分定义：先提取可爱因子再确定被积函数和积分区间●单调有界●函数极限题型●0/0 0比0型●拉格朗日中值定理●加减 x 来凑常用等价无穷小●无穷 / 无穷●洛必达●分子分母同时除以分子分母各项中最高阶的无穷大●无穷—无穷●0 · 无穷●1 的无穷次方●无穷的0次方，0的无穷次方●数列极限●不定式●和求函数极限式一样，但是不可以直接使用洛必达法则，在可以使用洛必达的地方，将数列极限写成函数极限，再使用洛必达极限●n 项和的数列极限●夹逼定理●定积分定义●级数求和●常用结论●n 项连乘的数列极限●夹逼●取对数化为n项和●递推关系●数列存在单调性●收敛（单调有界准则） > 令极限取A > 带回递推关系取极限得到A●数列不具有单调性或者单调性很难判定●先令极限为A，带回递推关系得到A的值，最后再证明极限为A●单调性判定（直接，比值，函数）●无穷小量阶的比较●洛必达●等价无穷小●泰勒公式●常用结论及举例●连续●连续●间断点●连续函数的性质●连续题型●讨论连续性及间断点类型●函数连续不代表可以取到整个实域的所有值●如果题目中间是抽象函数，只给了条件，没给具体函数，可以将函数令为简单的函数来排除选项，如函数等于1，|x|等●间断点多为使得分母为0的点，分段函数的分界点，多注意无穷（正负），0点●介值定理，最值定理，零点定理证明●一元函数微分●导数微分●导数定义●等价形式●注意分段函数●微分定义●连续、可导、可微之间的关系●求导公式●求导法则●有理运算法则●复合函数求导●隐函数求导●反函数求导●参数方程求导●高阶导数●对数求导法则●多个因式的乘除、乘幂构成，或者幂指函数的形式，可以先取对数再求导●●题型：导数与微分的概念●利用导数定义求极限●利用导数定义求导数●分段函数在分界点处的导数一般都要用定义求●利用导数定义判定可导性●导数几何意义●导数与微分计算●复合函数求导●导数与奇偶性●复合函数在一点的导数值●乘积的极限不一定等于极限的乘积，当两个极限都存在的时候才可以●高阶导数●公式●一阶二阶之后归纳●泰勒公式和泰勒级数●导数应用●微分中值定理●罗尔定理●拉格朗日定理 ---建立函数在区间上的变化与该区间内一点导数的关系●柯西定理●泰勒定理（拉格朗日余项）●极值最值●极值的必要条件●极值的充分条件●第一充分条件●第二充分条件●第三充分条件●凹向拐点●判定●必要条件●充分条件●渐近线●水平渐近线●垂直渐近线●斜渐近线●方程的根的存在性及个数●方法●注意把函数化到一边来求零点●将含有参数的式子参数分离出来●罗尔定理●证明函数不等式●方式方法●单调性●最大最小值●拉格朗日定理●泰勒公式●凹凸性●注意以及常用基本不等式●不等式●微分中值定理有关的证明题●证明存在一个点●构造辅助函数 P 82●证明存在两个中值点 p 85●方法●证明存在一个中值点 p 87●带拉格朗日余项的泰勒公式●一元函数积分●不定积分●原函数●原函数的存在性●f（x）在区间连续，有原函数●有第一类间断点，f（x）没有原函数●基本公式●公式●积分法●第一类换元法●第二类换元法●分部积分●定积分●概念●与积分变量无关●可积性●必要条件存在必有界●充分条件●连续必存在●有界，有限个间断点必存在●有限个第一类间断点必存在●计算●方法●奇偶性和周期性●公式 sin cos 公式注意上下限●变上限积分 p 105●公式●变上限积分函数及其应用●连续性●可导性●奇偶性●处理变上限积分有关极限问题方法●洛必达法则●等价无穷小代换●积分中值定理●图像●性质●不等式●大小●积分中值定理●广义积分中值定理●积分不等式问题●变量代换●积分中值定理●变上限积分●柯西积分不等式●反常积分●定义●无界函数●常用结论●定积分应用●平面图形面积●空间体体积●计算●曲线弧长●计算就是计算 d s●旋转体侧面积●常微分方程●一阶●齐次●线性方程●全微分方程●可降阶的高阶方程●形式●高阶线性微分方程●解的结构●定理一●定理二●定理三●定理四●常系数齐次线性微分方程●二阶常系数线性齐次微分方程解的形式●常系数非齐次线性微分方程●求特解●一●二●多元函数微分●●重极限●任意方式趋近时，函数都是一个值才可以，否则极限不存在●y = k x y = x x (x的方)●求重极限●连续●性质●偏导数●定义●代表斜率●二阶偏导数连续●全微分●定义非常重要●等价●注意，这个ρ 的高阶无穷小是关于ρ 的函数，但是里面的ρ 一般最低是 1 次方（此时需要刚好为0值），是高次方的时候直接使用●可微性判定●可微推出偏导数存在●偏导数连续推出可微●可微推出偏导数存在偏导数连续推出可微●计算●连续、可导、可微关系●偏导数与全微分计算●复合函数求导●全微分形式不变●隐函数求导●极值最值●无条件极值●定义对任意p（x,y）●必要条件存在偏导，且点就是极值点●充分条件领域内有二阶连续偏导，一阶导为0●二元函数在偏导数不存在的点也可能取得极值●条件极值二元函数的条件极值转换为三元函数的无条件极值计算●二重积分●二重积分概念●几何意义积分域D为底，曲面 z=f(x,y) 为曲顶的曲顶柱体的体积●二重积分性质●不等式性质●函数之间的关系●最大最小值●绝对值●二重积分计算●直角坐标●先 y 后 x●先 x 后 y●极坐标●极坐标计算●适合极坐标计算的被积函数●适合极坐标计算的积分域●对称性和奇偶性●奇偶性●变量对称性●无穷级数●级数的概念●无穷级数●部分和●级数收敛●级数发散●级数性质●收敛级数的倍数是极限s的倍数●收敛级数的求和●级数求和●收敛＋发散 = 发散●发散＋发散 = 敛散性不确定●在级数中去掉、加上有限项不会改变级数的敛散性●收敛级数加括号仍然收敛且和不变●级数加括号以后收敛，原级数不一定收敛●级数加括号以后发散，原级数不一定发散●级数收敛必要条件（反过来不一定成立）●级数的审敛准则●正向级数 u n > 0●比较判别法●比较法极限形式●使用比较法和比较法的极限形式时，需要适当的选择一个已知敛散性的级数作为比较准则●比值法●根值法●交错级数●充分条件●任意项级数●条件收敛●绝对收敛●基本结论●常用结论●等价无穷小代换只适用正向级数●幂级数●定义●阿贝尔定理●绝对收敛（端点收敛则里面收敛）●发散（端点发散则外面发散）●可能性●收敛半径、收敛区间、收敛域●定理3●定理4●有理运算性质●运算●分析性质●连续性●可导性（逐项求导）●可积性●函数的幂级数展开●展开式唯一●泰勒级数●常用展开式●傅里叶级数●定义●展开●方向导数和梯度●方向导数●定义●计算●梯度●定义●多元微分几何应用●曲面的切平面与法线●曲面的切线和法平面●常见曲面●旋转面●柱面平行于 z 轴就是消去 z●多元积分学●三重积分●定义●计算●直角坐标●柱坐标●●线积分●对弧长的线积分（第一类）与积分路径无关●计算（平面）●利用奇偶性曲线关于哪个轴对称，就把哪个变量当作常数，然后来看另外一个变量的奇偶性●利用对称性 x y 可以互换●对坐标的线积分（第二类线积分）与积分路径有关●计算方法●直接法●格林公式●补线用格林公式●利用线积分与路径无关●线积分与路径无关的判定以下四条等价●计算●该换路径●利用原函数●计算方法●斯托克斯公式●面积分●对面积的面积分（第一类面积分）与积分曲面的方向无关●直接法●利用奇偶性●对坐标的面积分（底二类面积分）与积分曲面的方向有关●性质●计算●直接法●高斯公式●常用●多元积分应用●场论。
武忠祥教授高等数学考研第二三章
dy Fx dx Fy
若 x ( y) 可导,且 ( y) 0, 则其反函数 y f ( x)
也可导，且
f
(
x)
1 ( y)
（5）参数方程求导法：
dy dx
1 dx
dy
设
y
y( x)
是由
x y
(t) ,
(t)
(
t ) 确定的函数，则
1) 若 (t ) 和 (t ) 都可导，且 (t) 0 ，则 dy (t) dx (t)
f (n)( x0 ) ( x n!
x0 )n
Rn ( x)
其中
Rn ( x)
f (n1) ( )
(x (n 1)!
x0
)n1 ,
在 x0 与 x 之间.
（二）导数应用
1.洛必达法则
若 1) lim f ( x) lim g( x) 0();
x x0
x x0
2）f ( x) 和 g( x)在 x0的某去心邻域内可导,且 g( x) 0;
1）导数的几何意义：导数 f ( x0 )
在几何上表示曲线 y f ( x) y
T
在点 ( x0, f ( x0 )) 处切线的斜率。
N
切线方程
P
o(x)
M
dy y
y f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ).
y f (x)
x
法线方程
）
y
f ( x0 )
1 (x f ( x0 )
11） (sec x) sec x tan x 12）(csc x) csc x cot x
13) (arcsin x) 1 1 x2
15)
(arctan
武忠祥概率论公式
武忠祥概率论公式
武忠祥概率论公式是武忠祥老师在概率论学科中总结出来的一套公式，用于解决概率论中的一些基本问题。
这些公式包括但不限于：概率论的基本公式、贝叶斯公式、全概率公式、条件概率公式等等。
这些公式都是概率论中非常重要的公式，能够帮助我们更好地理解和应用概率论的基本概念和原理。
在武忠祥老师的概率论课程中，他详细讲解了这些公式的推导和应用，并且通过例题和练习题的方式，让学生更好地掌握这些公式的应用。
同时，武忠祥老师也鼓励学生自己尝试推导这些公式，以便更深入地理解概率论的基本原理。
除了概率论的基本公式外，武忠祥老师还总结了一些概率论中的重要定理和结论，例如：大数定律、中心极限定理、马尔科夫链等等。
这些定理和结论都是概率论中非常重要的知识点，能够帮助我们更好地理解和应用概率论的基本概念和原理。
总之，武忠祥概率论公式是概率论学科中非常重要的一套公式，对于学习概率论的学生来说是非常有用的工具。
通过学习和掌握这些公式，我们可以更好地理解和应用概率论的基本概念和原理，为进一步学习其他数学学科打下坚实的基础。
罗尔定理理解
罗尔定理理解《我所理解的罗尔定理》在数学的神秘森林里，罗尔定理就像是一颗独特而闪耀的小星星，不那么耀眼到刺目，但懂得它美妙之处的人却能领略到无尽的趣味。
罗尔定理，乍一听像是某个大侦探的名字，实际上它是个特实在的数学定理。
想象我们在一条弯弯曲曲但特别调皮的道路上，也就是函数的图像上溜达。
这道路不是随便乱画的，它得满足几个条件，就像参加一场特殊的旅行团要有特定资格一样。
首先，这条道路得是连续的，不能走着走着突然陷入一个万丈深渊或者凭空消失了（也就是函数要连续）；其次它还得是光滑的，不能有那种尖锐的角，像锯齿一样的东西可不行，这就是说在区间内可导。
最后这个道路还有个最有趣的规定，那就是它这一段的起点和终点高度得是一样的。
当这一切条件都满足的时候呢，罗尔定理就像个神奇的预言家似的告诉我们：在这两点之间，一定有一个地方，那里的切线是水平的。
这就好比在爬山的时候，如果起点和终点在同一个高度，那中间肯定有个地方它特别平，不是山峰也不是山谷。
我们可以想象有个小球在这条路径上滚动，在满足罗尔条件的情况下，在某个位置小球一定是达到了那种平着的、不向上也不向下滚动的点。
我觉得罗尔定理其实是数学中一种充满哲理的表达。
它告诉我们在一些规则和限制下，肯定会存在一种特殊的状态。
这就像是生活里的一些事情，给了你一定的框架（像工作的规定、项目的要求等），在这些框架内，一定会有一些平衡的、特别的时刻或者状态存在。
从学习这个定理的过程中，我可经历了一场头脑的魔法之旅。
刚开始的时候，那些概念和条件像一群调皮的小精灵在我脑袋里乱转，总是抓不住。
尤其可导这个概念，就像一个模糊的影子，看起来懂，仔细想却又觉得不透彻。
但是多做几个例子，像是亲自探寻那神秘道路的不同路线一样，突然就有那么一瞬间，“哇塞”，就像一道光闪过，就理解了这罗尔定理的真谛。
罗尔定理也像是数学给大家的一个小小惊喜礼物包，打开它，我们在看似枯燥的函数世界里发现了这种奇妙的关系，让我们知道即使是在那些复杂的曲线里，也有着简单而惊人的规律在等待着我们去挖掘和欣赏。
武忠祥古尔丁定理
古尔丁定理是指最初由古希腊的帕普斯发现，后来在16世纪保罗·高尔丁又重新发现的数学定理。
古尔丁定理求表面积有一条平面曲线，跟它的同一个平面上有一条轴。
由该平面曲线以该条轴与旋转而产生的旋转曲面的表面积A，等于曲线的长度s乘以曲线的几何中心经过的距离d1：A=sd1。
古尔丁定理求体积由平面形状绕和它的同一个平面上的轴旋转而产生的旋转体的体积V，等于平面形状面积S乘以平面形状的几何中心经过的距离d1的积：V=Sd1
古尔丁定理，又称帕普斯几何中心定理。
以平面图形绕同一平面上的任何一条与该图形不相交的直线旋转一周所产生的体积，等于图形的面积乘以其重心相应半径所画的圆周长。
它最初由古希腊的帕普斯发现，后来在16世纪保罗·高尔丁又重新发现了这个定理。
帕普斯：（Pappus）古希腊数学家。
3-4世纪人。
也译巴普士。
他是亚历山大学派的最后一位伟大的几何学家。
生前有大量著作，但只有《数学汇编》保存下来。
第三章微分中值定理罗尔定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理 (洛必达法则) 第三节泰勒公式 麦克劳林
第三章 微分中值定理与导数的应用第一节 微分中值定理一、罗尔定理 1、 费马定理：设)()(0f D x U ⊂,)()(0x f x f ≤[或)()(0x f x f ≥],)(0x U x ∈，若)()(0x D x f ∈，则0)(0='x f .证明：由于0)()(0≤-x f x f ,)(0x U x ∈，那么0)()(lim )(0000≥--='-→x x x f x f x f x x ,(因00<-x x )0)()(lim )(0000≥--='+→x x x f x f x f x x ,(因00>-x x ) , 所以 0)(0='x f .2、罗尔定理：设],[)(b a C x f ∈,),()(b a D x f ∈,且)()(b f a f =，则),(b a ∈∃ξ,..t s 0)(='ξf . 证明：因],[)(b a C x f ∈,],[,b a x x M m ∈∃，..t s)}({min )(x f x f m bx a m ≤≤==, )}({max )(x f x f M bx a M ≤≤==.(1) 当M m =时,则],[,)(b a x M x f ∈≡,那么),(,0)(b a x x f ∈≡'.取 ),(2b a ba ∈+=ξ，有0)(='ξf . (2) 当M m <时, 因)()(b f a f =,),()(b a D x f ∈,① 若M a f <)(,有),(b a x M ∈, 取M x =ξ； ② 若M a f =)(,有),(b a x m ∈, 取m x =ξ；因),(b a ∈ξ,)()(ξD x f ∈,由费马定理知：0)(='ξf .3、几何意义x yO)(x f y =ξyC)(x f y =A Ba OxξyC)(x f y =A Ba Oxb曲线)(x f y =在两个端点等高，则曲线内必有一水平切线。
罗尔定理的零点定理
罗尔定理的零点定理1.罗尔定理的基本概念罗尔定理是微积分基本定理中的一条重要定理。
它阐述了一个单变量实函数在某个区间内的导数为零所对应的函数取值情况。
具体来讲，若函数f(x)在区间[a,b]上满足以下三个条件：1.f(x)在[a,b]上连续2.f(x)在(a,b)上可导3.f(a)=f(b)那么在(a,b)上至少存在一点c，使得f'(c)=0。
这个点c称为f(x)在(a,b)上的一个零点。
罗尔定理推广到多元函数的情况，仍然成立。
即若函数f(x1,x2,...,xn)在某个闭区域上连续，在其中的开区域上各偏导数都存在且为零，那么在该区域上，f(x1,x2,...,xn)恒为常数。
2.理解罗尔定理的零点定理罗尔定理的零点定理其实是更深层次的一个应用。
它可以被理解为一个函数在某区间内若干次连续可微，而且在该区间的一个端点处取一定值，那么至少存在一个内部点，该点处的导数为零。
也就是说，若函数f(x)在区间[a,b]上满足以下两个条件：1.f(x)在[a,b]上r+1次连续可微2.f(a)=f(b)且f'(a)=f'(b)=...=f^(r)(a)=f^(r)(b)=0那么在(a,b)上至少存在一个点c，使得f^(r+1)(c)=0。
这个点c 称为f(x)在区间(a,b)上的一个r+1阶零点。
3.一个具体例子为了更加具体地理解罗尔定理的零点定理，下面举一个例子：考虑函数f(x)=x^4+2x^3-4x-2在[-2,0]上的零点。
首先，我们可以通过描绘函数图像，发现在[-2,0]上有一个零点。
接下来，我们需要使用罗尔定理证明该零点存在。
由于f(x)是一个四次可微函数，我们只需要证明f(x)在[-2,0]上的一阶导数f'(x)在至少一个点为零即可。
我们有f'(x)=4x^3+6x^2-4，显然有f'(-2)=0。
因此，由罗尔定理，至少存在一个点c∈(-2,0)，使得f'(c)=0。
罗尔定理
由罗尔定理知：（1）可导函数在取得极值点处导数等于零；（2）方程：()0f x =的两根之间至少有方程：()0f x '=的一个根；（3）唯一性证明。
反证法：假设谬论，运用罗尔定理推出矛盾；（4）结论可能需多次运用罗尔定理。
①②③④⑤⑥⑦⑨⑾⑿⒀⒁⒂ 证明：（1）方程33x x C-+（这里C 为常数）在区间[0,1]内不可能有两个不同的实根；（2）方程n x px q++（其中n 为正整数，,p q 为实数）当n 为偶数时至多有两个实根，当n 为奇数时至多有三个实根．证明：（1）反证法。
设()f x 有两个不同的实根 1212,[0,1],x x x x ∈<，而()f x 在12[,]x x 上连续，在12(,)x x 内可导，12()()f x f x =，则存在12(,)[0,1]x x ξ∈⊂，使：'()0f ξ=。
由于2'()33'()01f x x f x x =-⇒=⇒=±，而1x =±都不在(0,1)内，即不可能存在12(,)[0,1]x x ξ∈⊂，使'()0f ξ=，矛盾。
（2）3n ≤结论成立，用反证法证明4n ≥情形。
2n k =：设方程有三个实根 123123,,,()x x x x x x <<，函数()f x 在12[,]x x 与23[,]x x 上分别满足罗尔定理。
故存在112223(,),(,)x x x x ξξ∈∈使12'()'()0f f ξξ==212'()2,'()0k f x kx p f x x -=+=⇒=，与12'()'()0f f ξξ==矛盾。
21n k =+：设方程有四个实根 12341234,,,,()x x x x x x x x <<<，函数()f x 在12[,]x x ，23[,]x x ，34[,]x x 上分别满足罗尔定理。
武忠祥概率论考前公式默写
武忠祥概率论考前公式默写武忠祥概率论考前公式默写——轻松搞定，简简单单！一、概率的基本概念1、概率是啥？就像你掷骰子，结果有六个可能：1、2、3、4、5、6，对吧？那么每个数字出现的概率就有1/6。
你说这是简单的数学，其实也挺神奇的，不是吗？你投掷一枚硬币，正面或者反面，这概率是1/2。
这就是概率的最基本概念，别看它看起来简单，里面可是有大文章呢！2、再举个例子，比如你班级里有男生20个，女生30个。
随机抽一个同学，抽到女生的概率就是30/50，简简单单的分数形式，大家也能看懂吧。
要是给你个班级里60个男生，40个女生，你也能轻松算出概率是多少。
做概率题的时候，记得每一个事件的发生概率都得合起来等于1，就像硬币，它要么正面，要么反面，总得是1，对吧？。
3、别看这些概率都是小小的分数，可它们在一大堆复杂问题里可是能起到决定性作用！像是抽奖、买彩票、天气预报这些事儿，背后都离不开概率的身影呢。
明白了这些，你就算掌握了概率论的入门钥匙，嘿有点意思吧？。
二、条件概率和独立性1、说到条件概率，大家可能会有点懵。
它就像你有两个盒子，一个里面装了2颗糖，另一个装了5颗糖。
如果你从第二个盒子里已经拿走一颗糖，剩下的概率就不一样了。
这时候的条件概率就告诉你，剩下的糖里你抽到某颗的概率是多大。
是不是很形象？。
2、独立性呢？这其实也挺有意思。
比如你掷两个骰子，一个骰子的点数跟另一个骰子的点数之间，是不相干的。
它们互不影响，这种情况下我们就说它们是独立事件。
别以为这是小概率的事儿，有些复杂的题目就是考察你对这种“互不影响”关系的理解哦。
3、很多题目都会用到这些基本的概念来考你。
就比如说，两个事件同时发生的概率，如果它们是独立的，那就直接把两个事件的概率相乘，反之就得看条件概率怎么变化了。
别看这些都是公式，实际应用起来超灵活的，考试的时候，如果你掌握了独立性和条件概率的概念，简直可以轻松翻盘！。
三、常见概率分布1、说到概率分布，那可真是一个大概念啦！比如说最常见的伯努利分布，讲的是某个事件只可能发生两种情况，像你掷硬币，它可能是正面，也可能是反面。
武忠祥常微分方程公式
武忠祥常微分方程公式：
武忠祥常微分方程公式是指常微分方程领域的专家武忠祥教授提出的一系列公式和结论。
由于武忠祥教授在常微分方程领域的突出贡献，他的名字被应用于命名相关的公式和定理。
以下是一些常见的武忠祥常微分方程公式：
1. 武忠祥公式：对于常微分方程y' = f(x, y)，若存在函数F(x, y) 满足F'(x) = f(x, F(x, y)), 则称F(x, y) 为原方程的一个特解。
武忠祥公式给出了求解常微分方程的一个方法，即通过寻找特解来解决原方程。
2. 武忠祥定理：若函数y = y(x) 满足y'(x) = f(x, y(x)), 则称y(x) 为原方程的一个解析解。
武忠祥定理给出了常微分方程存在唯一解析解的条件，即函数y = y(x) 满足L[y] = f(x, y(x)), 其中L[y] 表示y(x) 的微分。
3. 武忠祥变换：对于常微分方程y' = f(x, y)，武忠祥变换是一种将原方程转化为易解形式的方法。
通过引入一个新的变量，将原方程化为一个更容易求解的形式。
以上是武忠祥常微分方程公式的一部分，这些公式和结论对于常分方程领域的研究和应用具有重要的意义。
考研数学高数定理证明的知识点
考研数学高数定理证明的知识点考研数学高数定理证明的知识点这一部分内容比较丰富，包括费马引理、罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理和泰勒中值定理。
除泰勒中值定理外，其它定理要求会证。
费马引理中的“引理”包含着引出其它定理之意。
那么它引出的定理就是我们下面要讨论的罗尔定理。
若在微分中值定理这部分推举一个考频最高的，那罗尔定理当之无愧。
该定理的条件和结论想必各位都比较熟悉。
条件有三：“闭区间连续”、“开区间可导”和“端值相等”，结论是在开区间存在一点(即所谓的中值)，使得函数在该点的导数为0。
前面提过费马引理的条件有两个——“可导”和“取极值”，“可导”不难判断是成立的，那么“取极值”呢?似乎不能由条件直接得到。
那么我们看看哪个条件可能和极值产生联系。
注意到罗尔定理的第一个条件是函数在闭区间上连续。
我们知道闭区间上的连续函数有很好的性质，哪条性质和极值有联系呢?不难想到最值定理。
那么最值和极值是什么关系?这个点需要想清楚，因为直接影响下面推理的走向。
结论是：若最值取在区间内部，则最值为极值;若最值均取在区间端点，则最值不为极值。
那么接下来，分两种情况讨论即可：若最值取在区间内部，此种情况下费马引理条件完全成立，不难得出结论;若最值均取在区间端点，注意到已知条件第三条告诉我们端点函数值相等，由此推出函数在整个闭区间上的最大值和最小值相等，这意味着函数在整个区间的表达式恒为常数，那在开区间上任取一点都能使结论成立。
拉格朗日定理和柯西定理是用罗尔定理证出来的。
掌握这两个定理的证明有一箭双雕的效果：真题中直接考过拉格朗日定理的证明，若再考这些原定理，那自然驾轻就熟;此外，这两个的定理的证明过程中体现出来的基本思路，适用于证其它结论。
以拉格朗日定理的证明为例，既然用罗尔定理证，那我们对比一下两个定理的结论。
罗尔定理的结论等号右侧为零。
我们可以考虑在草稿纸上对拉格朗日定理的结论作变形，变成罗尔定理结论的形式，移项即可。
罗尔定理关于根的推论
罗尔定理关于根的推论罗尔定理是数学中的一个重要定理，它关于根的分布和存在性提供了重要的见解。
以下是罗尔定理关于根的推论：1. 罗尔定理的基本形式如果函数f(x)在[a, b]上连续，且在该区间的一端点取值相等，即f(a) = f(b)，那么在[a, b]上至少存在一个点ξ，使得f'(ξ) = 0。
这个结论可以直接应用于求解一阶微分方程的根。
例如，如果我们要求解方程f(x) = 0的根，可以找到一个包含所有根的区间[a, b]，并应用罗尔定理来证明至少存在一个ξ，使得f'(ξ) = 0。
2. 推论1：如果函数f(x)在区间[a, b]上连续，且在该区间的一端点取值大于0，另一端点取值小于0，那么在[a, b]上至少存在一个点ξ，使得f'(ξ) = 0。
这个推论可以直接应用于求解一阶微分方程的根。
例如，如果我们要求解方程f(x) = 0的根，可以找到一个包含所有根的区间[a, b]，并应用这个推论来证明至少存在一个ξ，使得f'(ξ) = 0。
3. 推论2：如果函数f(x)在区间[a, b]上连续，且在该区间的一端点取值小于0，另一端点取值大于0，那么在[a, b]上至少存在一个点ξ，使得f'(ξ) = 0。
这个推论也可以直接应用于求解一阶微分方程的根。
例如，如果我们要求解方程f(x) = 0的根，可以找到一个包含所有根的区间[a, b]，并应用这个推论来证明至少存在一个ξ，使得f'(ξ) = 0。
4. 推论3：如果函数f(x)在区间[a, b]上连续，且在该区间的一端点取值为正数，另一端点取值为负数，那么在[a, b]上至少存在一个点ξ，使得f'(ξ) = 0。
这个推论也可以直接应用于求解一阶微分方程的根。
例如，如果我们要求解方程f(x) = 0的根，可以找到一个包含所有根的区间[a, b]，并应用这个推论来证明至少存在一个ξ，使得f'(ξ) = 0。
微分中值定理及其推论和推广
第4章 微分中值定理及其推论和推广微分中值定理是微分学中最重要的一个定理。
在许多理论证明中都会用到它或它的推论或它的推广。
为了证明微分中值定理，通常都是先证明罗尔定理作为引理。
罗尔定理 若函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续，在开区间),(b a 内有导数，且()()f a f b =，则至少有一点),(b a c ∈，使()0f c '=微分中值定理 若函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续且在开区间),(b a 内有导数，则至少有一点),(b a c ∈使()()()f b f a f c b a-'=-或者写成()()[()]()(01)f b f a f a b a b a θθ'-=+--<<推论1 若函数)(x f 在区间),(b a 内处处有导数，且0)(≡'x f )(b x a <<，则()≡f x 常数()<<a x b称函数()F x 为函数()f x (在某区间上)的原函数，若d ()()d F x f x x = 或 ()()F x f x '=根据推论1，函数()f x 在同一个区间上的两个原函数只能相差一个常数。
推论2 设函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续且在开区间),(b a 内处处有导数。
⑴若()0()f x a x b '><<，则)(x f 在区间],[b a 上是增函数； ⑵若()0()f x a x b '<<<，则)(x f 在区间],[b a 上是减函数。
根据推论2，我们就得到如下结论(证不等式的方法)：设函数)(x f 和)(x g 在区间),[b a 上连续且在),(b a 内有导数。
若满足条件：()i )()(a g a f =； ()ii ()()()f x g x a x b ''><<；则))(()(b x a x g x f <<> (见下图1)类似地，设函数)(x f 和)(x g 在区间],(b a 上连续且在),(b a 内有导数。
罗尔定理的证明
，由于
是 在 上的最大值，
所以不论 或 ，都有 ，
当 时， ，因而 ，
当 时， ，因而 ，
所以， 。
罗尔定理的证明
设函数 在闭区间 上连续，在开区间 上可导,
且 ，则在 内至少存在一点 ，使得 。
证明:由于 在闭区间 上连续,则 , 存在.
若 ,则 , 内任意一点都可作为 .
若 ,则由 知 与 中至少有一个(不妨设
为 )在区间 内某点 取到, 即 ,下面证明 .
因为 在 处可导,所以极限 存在,因而左、
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罗尔定理的推论
罗尔定理的推论
罗尔定理的推论是：若连续曲线y=f(x)在区间上所对应的弧段AB，除端点外处处具有不垂直于x轴的切线，且在弧的两个端点A,B处的纵坐标相等，则在弧AB上至少有一点C，使曲线在C点处的切线平行于x轴。
若M>m，则因为f(a)=f(b)使得最大值M与最小值m至少有一个在（a,b)内某点ξ处取得，从而ξ是f(x)的极值点，又条件f(x)在开区间（a,b)内可导得，f(x)在ξ处取得极值，由费马引理，可导的极值点一定是驻点，推知：f'(ξ）＝0。
罗尔定理证明过程
证明：因为函数f(x) 在闭区间[a,b] 上连续，所以存在最大值与最小值，分别用M 和m 表示，分两种情况讨论：
1、若M=m，则函数f(x) 在闭区间[a,b] 上必为常函数，结论显然成立。
2、若M>m，则因为f(a)=f(b) 使得最大值M 与最小值m 至少有一个在(a,b) 内某点ξ处取得，从而ξ是f(x)的极值点，又条件f(x) 在开区间(a,b) 内可导得，f(x) 在ξ处取得极值，由费马引理，可导的极值点一定是驻点，推知：f'(ξ)=0。
no3
上述等式可变形为afbff-=')()()(ξ，等式右端为弦AB的斜率吉林建筑工程学院城建学院高等数学同济六版讲义吉林建筑工程学院城建学院高等数学同济六版讲义吉林建筑工程学院城建学院高等数学同济六版讲义吉林建筑工程学院城建学院高等数学同济六版讲义吉林建筑工程学院城建学院高等数学同济六版讲义吉林建筑工程学院城建学院高等数学同济六版讲义吉林建筑工程学院城建学院高等数学同济六版讲义吉林建筑工程学院城建学院高等数学同济六版讲义吉林建筑工程学院城建学院高等数学同济六版讲义吉林建筑工程学院城建学院高等数学同济六版讲义吉林建筑工程学院城建学院高等数学同济六版讲义吉林建筑工程学院城建学院高等数学同济六版讲义吉林建筑工程学院城建学院高等数学同济六版讲义吉林建筑工程学院城建学院高等数学同济六版讲义吉林建筑工程学院城建学院高等数学同济六版讲义吉林建筑工程学院城建学院高等数学同济六版讲义吉林建筑工程学院城建学院高等数学同济六版讲义吉林建筑工程学院城建学院高等数学同济六版讲义吉林建筑工程学院城建学院高等数学同济六版讲义吉林建筑工程学院城建学院高等数学同济六版讲义吉林建筑工程学院城建学院高等数学同济六版讲义Mm吉林建筑工程学院城建学院高等数学同济六版讲义求函数1)1()(32+-=x x f 的极值.吉林建筑工程学院城建学院高等数学同济六版讲义吉林建筑工程学院城建学院高等数学同济六版讲义吉林建筑工程学院城建学院高等数学同济六版讲义吉林建筑工程学院城建学院高等数学同济六版讲义吉林建筑工程学院城建学院高等数学同济六版讲义吉林建筑工程学院城建学院高等数学同济六版讲义吉林建筑工程学院城建学院高等数学同济六版讲义吉林建筑工程学院城建学院高等数学同济六版讲义。
武忠祥高数公式
武忠祥高数公式
武忠祥高数公式，是数学界的一项伟大成就。
它以其简洁、精确的特点，成为了解决各种数学问题的基石。
如同太阳系中的太阳一样，它照亮了整个数学领域，引领我们走向数学的奥妙之门。
在高数中，武忠祥公式是一种求解极限的重要工具。
它可以帮助我们求出复杂函数的极限值，解决许多难题。
虽然没有具体的数学公式或计算公式，但它的思想和方法却是无比强大的。
为了更好地理解武忠祥公式的原理，我们可以通过一个简单的例子来说明。
假设我们要求解函数f(x)=sin(x)/x在x趋于0时的极限值。
根据武忠祥公式，我们可以将f(x)展开成一个无穷级数，即f(x)=1-x^2/6+x^4/120-...。
当x趋近于0时，我们可以忽略掉高次项，得到f(x)的近似值。
通过计算，我们可以得出f(0)≈1，即f(x)在x趋于0时的极限值为1。
除了在求解极限问题中的应用，武忠祥公式还可以用于解决微分方程、积分、级数等数学问题。
它的广泛应用使得数学研究变得更加深入和广泛。
正是因为武忠祥高数公式的重要性，使得它成为了数学界的瑰宝。
它不仅帮助我们解决了许多难题，也推动了数学研究的进步。
在我们的学习和研究中，我们应该认真学习和应用武忠祥公式，发掘它在各个领域的潜力。
武忠祥高数公式是数学领域的一项伟大成就。
它的应用范围广泛，帮助我们解决了许多难题。
通过学习和应用武忠祥公式，我们可以更好地理解数学的奥妙，进一步推动数学研究的发展。
让我们一起努力，探索数学的无限魅力！。
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武忠祥罗尔定理的推论
武忠祥罗尔定理是数学中的一个重要定理，它有许多推论。
下面
是其中一些推论。
第一个推论是在一般情况下使用。
对于函数f(u, v)在区域D上的累次积分，可以利用武忠祥罗尔定理将其转化为围道C上面的线积分，即：
∬D f(u,v) du dv = ∮C F dr
其中，F是一个具有连续偏导数的向量场，满足∇ × F =
(fx,fy)。
而C是D的边界曲线，逆时针方向为正方向。
第二个推论是在电场中的应用。
根据电场的高斯定理和武忠祥罗
尔定理，可以得到一个重要的结论：任何稳定的电场都可以表示为一
个静电场和一个恒定电流的叠加。
如果我们将电场$\vec{E}$看成向量场，它的旋度为零。
而根据高
斯定理，电场的散度是电荷密度的函数。
因此，我们可以将电场分解
为两个部分：一个是由电荷密度产生的静电场，它的旋度为零；另一
个是由电流产生的恒定磁场，它的散度为零。
第三个推论是在热传导中的应用。
根据热传导方程和武忠祥罗尔
定理，可以推导出一个非常有用的公式。
我们考虑一个热导率为$k$的物体，它的温度分布为$T(x, y, z)$。
根据热传导方程，可以得到：
k $\nabla^2 T$ = $\frac{\partial T}{\partial t}$
如果我们定义热通量密度为：
$\vec{Q}$ = -k $\nabla T$
那么上式就可以写成：
$\frac{\partial \vec{Q}}{\partial t}$ +
$\nabla$ $\cdot$ $\vec{Q}$ = 0
根据武忠祥罗尔定理，上式可以转化为：
$\int_S$ ($\frac{\partial \vec{Q}}{\partial t}$ +
$\nabla$ $\cdot$ $\vec{Q}$) $\cdot$ $\vec{dS}$ = 0
注意到$\frac{\partial \vec{Q}}{\partial t}$ +
$\nabla$ $\cdot$ $\vec{Q}$ = 0，因此上式等价于：
$\int_S$ $\nabla$ x $\vec{Q}$ $\cdot$ $\vec{dS}$ = 0
根据斯托克斯定理，我们可以得到：
$\int_C$ $\vec{Q}$ $\cdot$ $\vec{dr}$ = 0
其中，C是S的边界曲线。
这个公式非常有用，它告诉我们在热传导过程中，热通量在闭合曲线上的积分等于零。
以上就是武忠祥罗尔定理的几个推论。
这个定理在物理学、工程学、计算机科学等领域都有广泛的应用，对于理解这些领域中的现象和问题都有很大帮助。