比例线段

第二节比例线段
教学目标
1.了解比例线段的概念；
2.掌握比例线段的性质；
3.了解并掌握黄金分割。

教学重点和难点
重点:：比例线段的性质．
难点：比例线段性质的应用．
1.比例线段的定义
引入
从上面的学习中看出，图形的相似与线段的长度比及比例有密切联系。

为了研究相似形，我们接下来先研究比例线段。

新授
一般来说，两个数或两个同类的量a与b相除，叫做a与b的比，记作a：b（或a
b
），其中
b≠0。

a除以b所得的商叫做比值。

如果a：b的比值等于k，那么a=kb。

特别的，两条线段的长度的比叫做两条线段的比。

求两条线段的比时，这两条线段必须用同样的长度单位来度量。

两条线段的比值总是正数。

（提问：为什么？因为线段的长度是正量）。

四条线段中，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。

用字母表示就是：如果a、b、c、d是比例线段，那么a c
b d
=（或a：b = c：d）。

其中，线段a、d是比例外项，线段b、c是比例内项，线段d是a、b、c的第四比例项。

举例说明：如图，DE是△ABC的中位线。

则线段DE与BC的比记作DE
BC
，其比值是
1
2
DE
BC
=。

又因为
1
2
AD
AB
=，所以
DE AD
BC AB
=，则线
段DE、BC、AD、AB是比例线段。

提问：请指出DE AD
BC AB
=中的比例外项、比例内项和线段DE、BC、AD的第四比例项。

练习 已知点B 在线段AC 上，BC=2AB 。

求下列各组线段的比值： （1）AB ：BC （2）AC ：AB （3）BC ：AC
2.比例线段的性质
提问：我们已经学过的比例线段有哪些基本性质？ 比例的基本性质：两个外项之积等于两个内项之积。

即
如果
a c
b d
=，那么ad=bc 。

运用比例的基本性质，还可以得到：如果
a c
b d
=，那么 b d a c =，a b c d =，c d a b
=…
比例的其他性质： 合比性质 如果a c b d =，那么a b c d
b d ++=。

① 如果a c b d =，那么a b c d
b d
--=。

②
证明：由已知
a c
b d =，不妨设比值为k ，即a c
b d
==k ，可得a=kb ，c=kd 。

所以 1a b kb b k b b ++==+，1c d dk d k d d
++==+ 因此，结论①成立。

类似可以证明结论②成立。

等比性质 如果
a c k
b d ==，那么如果a
c a c k b
d b d
+===+。

③ 提问：你能仿照证明合比性质的方法证明结论③成立吗？
等比性质还可以推广到任意有限多个相等的比的情形。

下面我们来学习比例的性质的应用。

例题 已知：如图，AD AE
DB EC
=。

求证：（1）
AB AC
DB EC
=
；（2）AB AC AD AE =.
证明：（1）∵AD AE
DB EC
=
， ∴AD DB AE EC
DB EC ++=
(合比性质) 即
AB AC
DB EC
=
（2）∵AD AE
DB EC
=
，∴DB EC AD AE = ∴
DB AD EC AE
AD AE
++=
（合比性质） 即 AB AC
AD AE
=
例题 已知345
a b c
==，a+b+c=24，求a 、b 、c 的值。

解：设
345
a b c
k ===，则 345
a b c
k ++=++（等比性质）
即
24
12
k =，∴k=2 ∴ a=6，b=8，c=10
注意：设比值为k 是比例线段题目中常用的方法。

练习
1.已知：如图，线段BD 与CE 相交于点A ，AD AE
BD CE
=。

求证：（1）
AD AE AB AC =；（2）AB AD
AC AE
=
2.已知x ：y=5：2，求（x+y ）:y 的值。

3.已知a ：b ：c=3：4：5，a+b+c=36，求a 、b 、c 的值。

例题 已知：如图，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，AOD BOC S S = 。

求证：
DO CO
OB OA
=
分析：从图中可以看出，△AOD 与△AOB 是分别以DO 、OB 为底边的同高的三角形；△BOC 与△AOB 是分别以CO 、OA 为底边的同高的三角形。

由于同高（或等高）的两个三角形的面积之比等于对应底边的比，因此可以把三角形的面积的比转化为对应底边的比。

证明：过点A 作AH ⊥BD ，垂足为点H 。

∵12AOD S DO AH =⋅ ，1
2AOB S OB AH =⋅ ，
∴
1
212
AOD
AOB
DO AH
S DO S OB OB AH ⋅==
⋅ 。

同理可得
BOC AOB S CO
S OA
= . ∵AOD BOC S S = , ∴DO CO
OB OA
=
三、黄金分割
例题 如图，已知线段AB 的长度是l ，点P 是线段AB 上的一点，PB AP
AP AB
=
，求线段AP 的长。

解：设线段AP 的长为x ，那么线段PB 的长为l x -。

由
PB AP
AP AB
=
，得到关于x 的方程 l x x
x l
-= 即 220x lx l +-=
解得 x =
因为 0x =
>，0x =<（舍去），
所以，线段AP 。

在比例式
PB AP
AP AB
=
中，两个内项都是线段AP ，这时线段AP 称为线段AB 与PB 的比例中项。

比例中项的定义：如果比例的两个内项（或两个外项）相同，那么这两个相同的项叫做比例中项。

如a ：b=b ：c （或b ：a=c ：b ）时，b 叫做a 、c 的比例中项。

这时2b a c =。

像例题中这样，如果点P 把线段AB 分割成AP 和PB （AP ＞PB ）两段，其中AP 是AB 和 PB 的比例中项，那么称这种分割为黄金分割，点P 称为线段AB 的黄金分割点。

一般来说，一条线段的黄金分割点有两个。

AP 与AB 称为黄金分割数（简称黄金数）。

黄金分割数是一个无理数，常取它的近似值0.618 。

黄金分割被广泛用在建筑设计、美术、音乐、艺术等方面.如在设计工艺品或日用品的宽和长时，常设计成宽与长的比近似为0.618,这样易引起美感；在拍照时，常把主要景物摄在接近于画面的黄金分割点处，会显得更加协调、悦目；舞台上报幕员报幕时总是站在近于舞台的黄金分割点处，这样音响效果就比较好，而且显得自然大方，等等.
练习
1.已知线段a=4厘米，c=9厘米，求线段a 和c 的比例中项b 。

2.已知线段MN 的长是2厘米，点P 是线段MN 的黄金分割点，则较长线段MP 的长是多少？
较短线段PN的长是多少？
比例线段（1）
知识要点归纳
一、两条线段长度的比叫做两条线段的比
二、在四条线段中，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，那么这四条线段叫做成
比例线段，简称比例线段。

三、比例的合比性质：
如果a c
b d
=，那么，
a b c d
b d
++
=，
a b c d
b d
--
=
四、比例的等比性质：
如果a c
k
b d
==，那么，
a c a c
k
b d b d
+
===
+
解析指点迷津
例1、在比例尺为1:40000的平面上，两地间距离为6cm，则两地间的实际距离是多少千米？
例2、已知：x：y=2:3，求（2x-y）：（x+2y）的值
例3（4x-3y）：（x+4y）=3:2，求x:y的值
例4如图，已知AO CO AB CD =,求证：AO CO
BO DO
=
思维能力拓展：
例5、三条线段的长分别为2cm ，3cm ，4cm ，再添一条线段，使这四条线段组成比例线段
例6 、已知ABC ∆与'''A B C ∆是相似图形，点A 对应点'A ，点B 对应点'B ，点C 对应点'
C ，AB ：''
A B =2:3。

ABC ∆的周长18cm ，求'''
A B C ∆的周长。

素质能力测试：
1、如果地图上A,B 两地的图距是8厘米，表示实际距离400千米的两地，那么实际距离是
1500千米的两地，在地图上的图距是（ ）厘米 2、 2x-3y=0，则
x
y
=（ ） 3、已知x ：y=4：5，则（3x-y ）：（x+y ）=（ ）
4已知a ，b ，c ，d 是比例线段，a=3cm ，b=5cm ，c=12cm ，则d=（ ） 5 已知：234
a b c
==，a+b+c=18cm ，求a+2b-c 6已知：a c b d =，求证：a c b a d c
=--
7如图，已知：
AE DF EB FC =,求证：AB DC
AE DF
=
拓展题
已知a ，b ，c 是非零实数，且满足a b c a b c a b c
c b a
+--+-++==。

求：()()()
a b b c c a abc
+++的值
比例线段（2）
知识要点归纳：
一、同高（或等高）的两个三角形的面积之比等于对应底边的比， 如图（1）：
ABD ADC S BD
S DC
=
如图（2）：若AD//BC,则
ADC ABC S AD
S BC
=
(1)
(2)
二、如果比例的两个内项（或两个外项）相同，那么这个相同的项叫做比例中项，如： a ：b=b ：c （或b ：a=c ：b ）时，b 叫做a 和c 的比例中项，这时2
b a
c =
三、如果点P 把线段AB 分割成AP 和BP(AP>BP)两段，其中AP 是BP 和AB 的比例中项，
那么称这种分割为黄金分割，点P 称为线段AB 的黄金分割点。

AP
与AB 称为黄金分割数，它是一个无理数，计算时通常取它的近似值0.618。

解析指点迷津：
例1 已知线段a=6cm ，b=8cm ，求线段a 和b 的比例中项
例2如图，已知：梯形ABCD 中，AD//BC.AC,BD 交于点O 。

2
2AOD S cm ∆=，2
4AOB S cm ∆= 求DOC S ∆,BOC S ∆的值
例3 已知线段MN 长为10厘米，点P 是线段MN 的黄金分割点，且MP>NP. (1)求MP,NP 的长度 （2）求
MP MN 、NP
MP
的值
思维能力拓展
例4如图，已知矩形ABCD 剪去一个正方形ABFE 后所剩的矩形EFCD 与原矩形是相似图形。

求原矩形的宽AB 与长BC 的比值。

素质能力测试
1、16和9的比例中项是（ ）
2、线段a=6cm ，b=24cm ，则a ，b 的比例中项是（ ）
3、b 是a 、c 的比例中项，a ：b=5:3，则c ：b=（ ）
4、点P 是线段AB 的黄金分割点，AB=a ，且AP>BP ，则AP=( ),BP=( )
5、点P 是线段AB 的黄金分割点，1,AB=( )
6、如图，已知：2
4ADE S cm ∆=,2
2DEB S cm ∆=,2
3BEC S cm ∆=,求证：AD AE
DB EC
=
7、已知梯形ABCD 中，AD//BC ，DOC S ∆=32
cm ，26BOC S cm ∆=. (1)分别求AOB ∆、AOD ∆的面积 （2）求
DO BO 和AO
OC
的值
作业
一、填空题
1.若4x=5y,则x∶y＝ .
2.若
345
x y z
==，则
:x y z y z x y x -++-= . 3.已知137
x y y
-，则x y y +的值为 .
4.已知34a b =，那么
a b
b
+= . 5.若
3a c e
b d f
===，且b+d+f=4，则a+c+e= . 6.若(x+y)∶y＝8∶3，则x∶y＝ . 7.若
35b a b =+，那么a
b
= .
8.已知△ABC和△A′B′C′，
3
''''''2
AB BC CA
A B B C C A
===，且A′B′+B′C′+C′A′＝
16cm.则AB+BC+AC＝ cm.
9.若a＝8cm，b＝6cm，c＝4cm，则a、b、c的第四比例项d＝ cm；a、c 的比例中项x＝ cm.
二、选择题
1.P在线段AB上，AP2＝AB·PB，若PB＝4，那么AP为( )
+2 +2 +1
2.如果四条线段a、b、c、d构成a c
b d
=，m＞0，那么推出下面的结论中，正确的个数
是( )
①a cm
b dm
=；②
7
7
a a cm
b b dm
+
=
+
；③
a c m
b d m
+
=
+
；④
a b
a cm
b dm
=
++
A.1
B.2
C.3
D.4
3.已知线段a＝3，b=6,c＝4，那么下面说法正确的是( )
A.线段a、b、c的第四比例项是a+b
B.线段a、b、c的第四比例项是1
3
(2a+3b)
C.线段a、b的比例中项是c
D.线段2a是线段b和c的比例中项
4.已知M是线段AB延长线上一点，且AM∶BM＝5∶2，则AB∶BM等于( )
A.3∶2
B.2∶3
C.3∶5
D.5∶2
三、解答题
1.已知C是线段AB上的点，D是AB延长线上的点，且AD AC
BD CB
=，如果AB＝6cm，AC
＝3.6cm，求AD和BD的长.
2.把长为7cm的线段进行黄金分割，则分成的较短的线段的长是多少？
3.在同一时刻物高与影长成比例，如果一教学楼右地面的影长为10m，同时高为1m的测杆的影长为50cm，那么教学楼的高是多少米?
答案：
一、填空题
1.5∶4
2.1 2
3. 27 7
4. 7 4
5.12
6.5∶3
7. 2 3
8.24
9.3，
二、选择题
1.C
2.C
3.B
4.A
三、解答题
1.12cm、12cm ；cm ；3.20m。