数学建模 运筹学模型(三)

运筹学模型（三）

二、分析判断题：

1.一家保姆公司专门向顾主提供保姆服务.根据估计，下一年的需求是：春季6000人日，夏季7500人日，秋季5500人日，冬季9000人日.公司新招聘的保姆必须经过5天的培训才能上岗，每个保姆每季度工作（新保姆包括培训）65天，保姆从该公司而不从顾主那里得到报酬，每人每月工作800元.春季开始时公司拥有120名保姆，在每个季度结束后，将有15%的保姆自动离职.

（1）如果公司不允许解雇保姆，请你为公司制定下一年的招聘计划.（建立数学模型）

（2）如果在每个季度结束后允许解雇保姆，请为公司制定下一年的招聘计划.（建立数学模型） 解：（1）设4个季度开始时公司新招聘的保姆数量分别为x 1， x 2， x 3， x 4人，4个季度开始时保姆总数量分别为S 1， S 2， S 3， S 4人.以本年度付出的总报酬最少（即4个季度开始时保姆总数量之和最小）为目标，则模型为

s .t .⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥+=+=+=+=+≥+≥+≥+≥+++=0,,,,,,,85.085.085.01205900065555006557500655600065min 432143214

34323212

11443322114

321S S S S x x x x x S S x S S x S S x S x S x S x S x S S S S S Z （2）设4个季度开始时公司新招聘的保姆数量分别为x 1， x 2， x 3， x 4人，4个季度结束时解雇的保姆数量分别为y 1， y 2， y 3， y 4人，4个季度开始时保姆总数量分别为S 1， S 2， S 3， S 4人.以本年度付出的总报酬最少（即4个季度开始时保姆总数量之和最小）为目标，则模型为

s .t .⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥-+=-+=-+=+=+≥+≥+≥+≥+++=0,,,,,,,,,,85.085.085.01205900065555006557500655600065min 432132143213

43423231212

11443322114

321S S S S y y y x x x x y x S S y x S S y x S S x S x S x S x S x S S S S S Z 2.在文字教材4.1中给出了营养配餐问题的数学模型

min Z=4x 1+3x 2

s .t .⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥+≥+≥+0,)3(,

4256)2(,4085)1(,5051021212121x x x x x x x x

其中21,x x 表示参与配餐的两种原料食品的采购量，约束条件（1）、（2）、（3）依次表示铁、蛋白质和钙的最低摄入量.并用图解法给出了其最优解T *)6,2(=x ，试分析解决下述问题：

（1）假如本题的目标函数不是求最小而是求最大值类型且约束条件不变，会出现什么结果？

（2）本题最后定解时，只用了直线（1）与直线（3），而直线（2）未用上，这件事说明了什么？试从实际问题背景给以解释.

解：（1）因为可行域的右上方无界，故将出现目标函数趋于无穷大的情形，结果是问题具有无界解；

（2）将最优解代入约束条件可知第二个约束条件为严格不等式，而其他为严格等式.这说明，铁和钙的摄入量达标，而蛋白质的摄入量超最低标准18个单位.

3.某公司经营的一种产品拥有四个客户，由公司所辖三个工厂生产，每月产量分别为3000，5000和4000件.公司已承诺下月出售4000件给客户1，出售3000件给客户2以及至少1000件给客户3，另外客户3和4都想尽可能多购剩下的件数.已知各厂运销一件产品给客户可得到的净利润如表1所示，问该公司应如何拟订运销方案，才能在履行诺言的前提下获利最多？

表1

单位：元/件

上述问题可否转化为运输模型？若可以则转化之（只需写出其产销平衡运价表即可），否则说明理由. 解：可以转化为运输模型，具体做法如下：

首先确定总的产销量. 总产量显然为12000件；总需求量中，客户3的需求量在保证已承诺给客户1和2的供给量7000件条件下，最多是5000件，而客户4则最多可得4000件.因此，总需求量按最高需求应为16000件，因而可视问题为供小于求的运输问题

其次，为产销平衡，虚设一个工厂4，其产量为4000件

再次，为确定需求量，将有最低需求与额外需求量的客户分别视为两个客户，并确定各自需求量，注意最低需求量不能由虚设工厂供给，从而可设其利润值是-M （M 是一个充分大的正数）. 综合上述讨论得产销平衡运价表如下：

表2

单位：元/件