寓数于形，以形解数----浅谈初中数学中的数形结合

寓数于形，以形解数 ----浅谈初中数学
中的数形结合
初中数学的教学有两条线：一条是明线，即数学知识。

一条是暗线，即数学思想方法。

数与形是现实世界中客观事物的抽象和反映，同时也是数学的基石。

数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微。

”可见数形结合的重要。

在初中数学教材中，从始至终都贯穿着数形结合的思想，因此，在数学教学中，数形结合的结果，更有利于学生理解数学知识，一旦学生形成了数形的思想方法，处理数学问题的能力就会更强。

一、数与代数中的数形结合
数和形是同一事物的两个方面，数是形的高度抽象，形是数的具体体现，数和形可以互相转化。

一般说来，依形想数，可使几何问题代数化；由数想形，可使代数问题几何化，这样数形结合相辅相成，既有利于培养解题思想，又有利于发展思维能力。

例1、一元二次方程解的意义：
ax2+bx+c=0(a≠0)是一元二次方程。

它的解可以理解为函数y= ax2+bx+c的图象与函数y=0，即x轴的交点的横坐标。

那么当公共点有两个时,对应的一元二次方程有两个不相等的实数解；当公共点只有一个时,对应的一元二次方程有两个相等的实数解；当没有公共点时,对应的一元二次方程没有实数解。

例：①x2-x-6=0，x
1=-2，x
2
=3，y=x2-x-6与x轴的公共点A(-2,0),B(3,0)。

②x2-2x+1=0，x
1=x
2
=1，y= x2-2x+1与x轴的公共点A(1,0)。

③x2+1=0，没有实数解，y= x2+1与x轴没有公共点。

图① 图② 图③
例2图形隐含条件：
例：在数轴上的位置如图，化简：|a-b|-|b-c|+2|a+c|。

解：∵b<0,c<0,b>c,a>b,|c|>|a|∴a-b>0,b-c>0,a+c<0。

|a-b|-|b-
c|+2|a+c|=(a-b)-(b-c)-2(a+c)
=-a-2b-c。

例3教师任意写出一个关于a和b的二次式，此二次式能分解成两个一次式的乘积，且各项系数都是正整数，如： a2+2ab+b2, 2 a2+5ab+2 b2等。

学生根据教师给出的二次式，选取相应种类和数量的卡片，尝试拼成一个矩形，讨论矩形的代数意义
学生在这一活动中能很好地体会代数与几何的联系，实现数量关系和图形性质的相应转化，这一活动达到了让学生手脑并用的目的，无疑对启迪学生的智慧起到助推器的作用。

例4、成下列计算，
1+2=?
1+2+3=?
1 +2+3+4=?
如果以1+2+3+4为例，
如图：由此可知，
1 +2+3+4=10=
1+2+3+4+5=?
1+2+3+ …+100=?
1+2+3+…+n=?
教师先让学生思考，让学生经历观察、比较、归纳、提出猜想的过程后提供
以上图形，运用图形的直观性帮助学生理解，使学生从数与形的联系中发现规律，让学生了解这两个代数知识的几何背景，感受数学的神奇魅力。

在“数与代数”的教学中，教师应强调数与形的结合，让学生建立由数想到形，由形想倒数的思想，这样可以加深学生对“数与代数”的理解和认识，如利
用图形理解完全平方公式、平方差公式，利用函数图像理解函数的变化趋势等都
是培养学生数形结合思想的极好的方法。

二、“空间与图形”中的数形结合
对于“数形结合”，教师要善于挖掘教材和生活中的素材，从形到数，揭示“形”中“数”的本质。

例5已知线段AB，在AB的延长线上取一点C，使CA=3AB.（1）线段CB是线
段AB的几倍？（2）线段AC是线段CB的几分之几？分析：本题若不画图，不好得到数量关系，但只要把图画出，其数量关系就一目了然。

由图可知：（1）2倍；（2）二分之三.
例6如图，是连接在一起的两个正方形，大正方形的边长是小正方形边长的
2倍。

问：若只许剪两刀应如何裁剪，使之能拼成一个新的大正方形？
对于这一问题学生往往采取实验的方法，这里裁一刀，那里试一剪，但却极少有人能在短时间内拼凑好。

如果对题目认真加以分析，我们不难发现，从已知到结论，图形虽然变了，但其中却还有没变的东西——面积，若设小正方形的面积为1，则其边长就是1，这样一来，我们仅需沿着图4中边长为的线段去考虑裁剪即可，而图中这样的线段没有几条，于是很快就能找到答案。

问题之所以能很快解决，关键是我们从问题“变”中看到了“不变”，从“形”的表面找到了“数”这一实质。

一个似乎是纯几何的问题，在“数”的引导下获得了最好的解决方式，这种由表及里，形中有数的思想方法，正是数学中“数形结合”的思想方法。

又如，以下几个题目也是数形结合的很好的例子。

例7（1）如图1，有一个“顽皮虫”想从点A沿棱长为1cm的正方体的表面爬到点B，求它所爬过的最短路程．
析解：欲求正方体表面上点A与点B的最短路程，直接求解有困难，我们把以点A与点B为顶点的相邻的某两个正方形展开，得到一个长方形（如图2），
由“两点之间线段最短”可知，“顽皮虫”在正方体表面上从点A爬到点B 的最短路程是图2中线段AB的长．由勾股定理得，（cm）．故“顽皮虫”爬过的最短路程为 cm．
（2）如图3，有一圆柱，它的高等于12cm，底面半径等于6cm，在圆柱的
下底面A点处有一只小蚂蚁，它想吃到上底面B点（距D点圆处）处的食物，需要爬行的最短距离是多少？（π取3）
析解：利用展开图将圆柱的侧面展开（如图4），易知蚂蚁在圆柱的表
面上从A点爬到B点所经过的最短路程是图4中线段AB的长．由条件知，底面
圆的周长＝2π×6＝2×3×6＝36（cm），所以（cm）．由勾股定理知，（cm）．故小蚂蚁需要爬行的最短距离是15cm．
（3）如图5，圆柱形玻璃容器的高为18cm，底面周长为60cm，在外
侧距下底1cm的点S处有一只蜘蛛，在与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距上
口1cm的点F处有一只苍蝇，试求急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛需要爬行的最短距离．
析解：将圆柱的侧面展开得到它的侧面展开图（如图6），CD∥AB，且AD＝BC＝底面周长，BS＝DF＝1cm.则蜘蛛所走的最短路线的长度即为线段SF的长
度．过S点作SM⊥CD，垂足为M点，由条件知，SM＝AD＝×60＝30，MC＝SB
＝DF＝1cm，所以MF＝18－1－1＝16cm，在Rt△MFS中，由勾股定理得
（cm）．故蜘蛛需要爬行的最短距离是34cm．
勾股定理的应用是非常广泛的，它可以帮助我们解决许多问题，在求几何体
表面上两点之间的最短距离时，我们可以通过把立体图形展成平面图形，利用勾
股定理求出几何体表面上两点之间的最短距离．
例9、（1）如图，用长30m的篱笆与一堵墙围一方土地，求篱笆能包围的土
地的最大面积。

(2）如图，用长30m的篱笆与两堵墙（两堵墙成120°角）围一方土地，求
篱笆能包围的土地的最大面积。

(3)如图8，用长12m的木方，做一个有一条横档的矩形窗子，围使透进的阳
光最多，应选择窗子的长宽各为多少m？
、
教学中，教师应该不失时机的让学生透过形的外表，触及其内在的数量关系，探索由形到数的联系与规律。

数形结合，不仅是一种重要的解题方法，而且是一种重要的思维方法，它在
中学数学中占有重要的地位.“数”和“形”是数学研究的两个侧面，它们互相
渗透，相互转化，使得以代数法研究几何，以几何法研究代数成为可能.若能把“数”与“形”很好地结合起来，那么一些看似复杂的问题就会迎刃而解.
三、“统计与概率”中的数形结合
新课标中的统计与概率，在内部编排和内容要求上却由所加强，真正让学生
经历统计的全过程，发现并提出问题，运用适当的方法，收集和整理数据，运用
合适的统计表统计图来展示数据做出决策。

概率是新增加的内容，其抽象性使它成为教学的难点，在计算简单事件的概
率时，采用画树状图的方法，树形结合，能收到化难为易的效果。

一个家庭有三个孩子，求下列事件的概率，正确的有（）个
①P（三个男孩）=
② P（两个男孩，一个女孩）=
③P（至少一个女孩）=
④P（两个女孩，一个男孩）=
⑤ P（至少两个男孩）=
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
解：我们做模拟实验：用1表示男孩，用2表示女孩，请看“树状图”三个
孩子的所有可能性排列顺序共有8种.
①P (三个男孩) =
②P（两个男孩，一个女孩）=
③P（至少一个女孩）=1- P (三个男孩)=1- =，
④P（两个女孩，一个男孩）= P（两个男孩，一个女孩）=
⑥P（至少两个男孩）= P（两个男孩，一个女孩）+ P (三个男孩)= +
=
故选A（其中②与④等可能的）．
说明：（1）上面四个错误选项是学生经常产生的误解．
（2）引申：由数字1，2可组成多少个有重复数字的三位数（8个），其中
两个2，一个1的概率为P（两个2，一个1）=
由于数形结合具有形象直观、易于接受的优点，它对于沟通中知识间的联系，活跃课堂气氛，开阔学生的思路，发展学生的潜能，提高学生的创造思维能力和
开拓精神，使学生充分张扬个性，充分发挥潜能，真正实现个体的最优化发展都
有很大帮助。