不可约多项式和极小多项式
极小多项式
极小多项式？
在抽象代数中，一个域上的代数的元素之极小多项式（或最小多项式）是它满足的最低次多项式。
此概念对线性代数与代数扩张的研究极有助益。
1.形式定义
设为域，为有限维-代数。
对任一元素，集合张出有限维向量空间，所以存在非平凡的线性关系：
可以假设，此时多项式满足。
根据多项式环里的除法，可知这类多项式中只有一个次数最小者，称之为的极小多项式。
由此可导出极小多项式的次数等於，而且可逆若且唯若其极小多项式之常数项非零，此时可以表成的多项式。
2,矩阵的极小多项式
考虑所有矩阵构成的-代数，由於，此时可定义一个矩阵之极小多项式，而且其次数至多为；事实上，根据凯莱-哈密顿定理，可知其次数至多为，且其根属於该矩阵的特徵值集。
极小多项式是矩阵分类理论（约当标准形、有理标准形）的关键。
3,极小多项式与代数扩张
设为的有限扩张，此时可视为有限维-代数。
根据域的性质，极小多项式必为素多项式。
元素的迹数及范数等不变量可以从极小多项式的系数读出。
不可约多项式
第一章 多项式
定理1.6.1：若不可约多项式 p ( x ) 是 f ( x ) 的k重因式（k>1），则 p ( x ) 是 f ′ ( x ) 的k-1重因 式，特别多项式 f ( x ) 的单因式不是 f ′ ( x ) 的因 式。 证：
故 f ( x ) 在Q上的标准分解式为
3
f ( x ) = ( x 1) ( x 2 2 )
第一章
多项式
问题：多项式 f ( x ) 在 F [ x ] 中没有重因式， f ( x ) 在 F [ x ] 中是否也没有重因式？ 由于多项式 f ( x ) 的导数以及两个多项式互素 与否在由数域F过渡到含F的数域 F 时并无改变， 故 f ( x ) 有没有重因式不因数域的扩大而改变。
于是： 1、判别 f ( x )有没有重因式，只要求 f ( x ) , f ′ ( x ) 的最大公因式 d ( x ) , f ( x ) 的重因式的重数恰好是 d ( x ) 中重因式的重数加1。此法不能求 f ( x ) 的单因式。 2、分离重因式，即求 f ( x ) 的所有不可约的单 因式：
f ( x ) = pk ( x ) g ( x ) ,
= p k 1 ( x ) kp′ ( x ) g ( x ) + p ( x ) g ′ ( x )
f ′ ( x ) = kp k 1 ( x ) p′ ( x ) g ( x ) + p k ( x ) g ′ ( x )
p ( x) g ( x), p ( x) p′ ( x ) ,
9q x+ p 2p
27q 2 p+ 4 p2
不可约多项式的判定及应用(黄嘉盛)详解
不可约多项式的判定及应用摘 要多项式理论是高等代数的重要组成部分，而不可约多项式是多项式中重要的概念. 本文主要对有理数域上不可约多项式的判别方法进行整理归纳, 较为系统的给出不可约多项式的判定方法。
对于一般的不可约多项式的判定有Eisenstein 判别法、Kronecker 判别法、Perron 判别法、Browm 判别法等。
研究了各判定方法的等价和包含关系。
此外，我们还给出了不可约多项式的一些应用。
关键词不可约多项式；判定方法；应用2. 不可约多项式的概念及性质2.1 整除的概念设P 是一个数域，对于[]P x 中任意两个多项式()f x 与()g x ，其中()0g x ≠，一定有[]P x 中的多项式()q x ，()r x 存在，使得()()()()f x q x g x r x =+成立，其中(())(())r x g x ∂<∂或者()0r x =，并且这样的()q x ，()r x 是唯一决定的。
定义2.1 数域P 上的多项式()g x 称为能整除()f x ，如果有数域P 上的多项式()h x 使等式()f x =()()g x h x成立，我们用“()g x |()f x ”表示()g x 整除()f x ，用“()g x ()f x ”表示()g x 不能整除()f x 。
定理 2.1[1] 对于数域P 上的任意两个多项式()f x ,()g x ,其中()g x 0≠,()g x |()f x 的充分必要条件是()g x 除()f x 的余式为零。
证明: 如果()r x = 0那么()f x =()()q x g x ,即()g x |()f x 。
反过来，如果()g x |()f x ，那么()f x =()()q x g x =()()q x g x +0，即()r x = 0。
注1: 带余除法中()g x 必须不为零。
下面介绍整除性的几个常用性质:（1） 如果()f x |()g x ,()g x |()f x ,那么()()f x cg x =，其中c 为非零常数。
不可约多项式本源多项式
有限域第一次大作业一、实验内容（1）构造有限域202F .（2）找到有限域202F 上的任意元素的极小多项式；（3）找到2F 上的一个本原多项式。
二、算法设计（1）我们知道有限域()n q F q p =的表达有三种形式：()i {}q q F ααα==，α为 ()q h x x x =-的根；()ii []()()()[],p q p F x F f x F x n f x =∈的次不可约多项式； ()iii {}0,q q F F α=U 为上的一个生成元；在这里我们主要通过找到2F 上的一个20次可约多项式来构造有限域202F ，并进行相应的运算。
由于只要找到一个2F 上的不可约多项式，我们采用的算法：()a 随机生成一个20次2F 上的多项式，()b 判断多项式为不可约的，pari 代码见附录1；通过pari 我们得到了一个20次的不可约多项式()(x)f ，则[]()2(x)F x f 即为我们想要的有限域，在这有限域上可以直接进行相应的代数运算，pari 代码见附录2；（2）找到有限域202F 上的任意元素α的极小多项式()f x 的思路第一步：通过元素α的共轭元个数来判断极小多项式()f x 的次数；第二步：通过α的共轭元生成极小多项式()f x ；第三步：进一步判断该元素α是否为本原元，若是，则生成的极小多项式()f x 就是2F 上的本原多项式。
pari 代码见附录3；（3）由于上述方法（2）生成的极小多项式不一定是本原多项式，因此，我们还给出一个能找到上的本原多项式的方法，该方法也是基于随机生成多项式并判断是否为本原多项式，我们知道一个n 次不可约多项式()f x 是本原多项式的条件是其周期达到最大1n p -，由于()()11n p f x x --，所以只要11n k p p p -=L 时，若()|f x ()11 1,,n i p p x i k -⎛⎫ ⎪-= ⎪⎝⎭L ，则()f x 就是本原多项式，所用的算法思路如下第一步：随机产生一个2F 上的20次多项式()f x ；第二步：利用方法一判断该多项式()f x 是否为不可约的；第三步：进一步判断该多项式()f x 是否为本原多项式。
不可约多项式的判定及应用(黄嘉盛)详解
不可约多项式的判定及应用多项式理论是高等代数的重要组成部分，而不可约多项式是多项式中重要的概念.本文主要对有理数域上不可约多项式的判别方法进行整理归纳，较为系统的给出不可约多项式 Perron 判别法、Browm 判别法等。
研究了各判定方法的等价和包含关系。
此外，我们还给 出了不可约多项式的一些应用。
关键词不可约多项式；判定方法；应用2.不可约多项式的概念及性质2.1整除的概念设P 是一个数域，对于P[x]中任意两个多项式f(x)与g(x)，其中g(x)H0，定有P[x]中的多项式q(x)， r(x)存在，使得f(x) =q(x)g(x)+ r(x)成立，其中c(r(x))<c(g(x))或者r(x)=0,并且这样的q(x)，r(x)是唯一决定的。
定义2.1数域P 上的多项式g(x)称为能整除f(x)，如果有数域P 上的多项式h(x)使等式f (x) = g(x)h(x)我们用g(x)|f(x) ”表示g(x)整除f(x)，用g(x) f (x) ”表示g(x)不能整除 f (x)。
定理2.1⑴ 对于数域P 上的任意两个多项式f(x) , g(x),其中的判定方法。
对于一般的不可约多项式的判定有 Eisenstein 判别法、Kronecker 判别法、 成立，H0, g(x) | f (x)的充分必要条件是g(x)除f (x)的余式为零。
证明：如果r(x) = 0那么f(x) = q(x)g(x),即g(x) | f (x)。
反过来，如果g(x) | f(x)，那么 f(x) = q(x)g(x) = q(x)g(x) +0, 即卩 r(x) = 0。
注1:带余除法中g(x)必须不为零。
F 面介绍整除性的几个常用性质：(1)如果 f(x) | g(x), g(x) | f (x)，那么 f(x)=cg(x)，其中 c 为非零常数。
(2)如果 f(x) | g(x), g(x) |h(x)，那么 f(x) | h(x)(整除的传递性)。
第一讲-高等代数选讲之多项式理论
4、一元多项式环 所有系数在数域P中的一元多项式全体称为数域P 上的一元多项式环，记为 P x ，称P为 P x 的系数域。 5、一元多项式环的有关结论 多项式的加、减、乘运算对P x 封闭，且多项式的 加法、乘法均满足交换律与结合律，乘法对加法满足分 配率，乘法还满足消去律。 6、注意零多项式和零次多项式的区别。 零次多项式：不为零的常数 零多项式：常数零
练习：
当a, b, c取何值时，多项式 f x 与g x 相等？
2
其中f x x 5, g ( x) ax 2 bx 1 cx 2 x 2
P4 例1.2.2 1.2.3
例3设 f ( x)是非零实系数多项式， k 是一个 k f ( f ( x ) f ( x) ，则 f ( x) 为零次 正整数，且 k f ( x ) x 多项式或者 。
其中 c 为任意常数。 （10）多项式 f x 与cf x 有相同的因式与倍式； （11）两个多项式之间的整除关系不因系数域的扩大 而改变。 5、综合除法 设以 g x x a 除 f x an xn an1xn1 a1x a0 , 所得的商 q x bn1xn1 b1x b0 ，及余式 r x c0 , 则 比较 f x q x g x r x 两端同次幂的系数得 bn1 an , bn2 an1 abn1,, b0 a1 ab1, c0 a0 ab0
一元多项式的内容十分丰富，重点是整除与因式分 解的理论，最基本的结论是带余除法定理、最大公因式 存在定理、因式分解唯一性定理。在学习的过程中，如 能把握这两个重点和三大基本定理，就能够整体把握一 元多项式的理论。 对于多元多项式，则要理解 n 元多项式、对称多项 式等有关概念，掌握对称多项式表成初等对称多项式的 多项式的方法。
2.有限域上的不可约多项式有限域上的不可约多项式
定理1：若n次整系数多项式f(x)∈Z[x]在有理 数域 Q 上可约，则 f(x) 在整数环 Z 上一定可约。 定 理 2( 艾 森 斯 坦 (Eisenstein) 判 别 法 ) ： 设 f(x)=a0+a1x+…+anxn 是 整 系 数 多项 式 ， 若 能 找到一个素数p，使得 (1)p不能整除an； (2)p|a0,a1,┅,an-1； (3)p2不能整除a0； 那么，f(x)在有理数域上不可约。
5.子群与陪集 概念,定理,陪集的实质 正规子群 6.商群与群同态基本定理 7.环的基本概念 环的零元,环的单位元,交换环 在环中讨论元素可逆 1-un=(1-u)(1+u+u2++un-1) 8.特征数 整环的特征数 9.子环，理想，商环 主理想,主理想环 10.多项式环
11.扩域与单扩域 线性空间与域的关系 素域 12.代数元与代数扩域 极小多项式 13.根域 根域的存在性与唯一性(同构意义下) 14.有限域，形式微商 15.本原元与本原多项式
二、证明及判别、计算 1.群 群？ 元素阶与群的阶 陪集与划分,拉格朗日定理应用,特别是补充证明的一些结论。 子群，正规子群的验证和证明 设 是群G上的等价关系 ,并且对于 G的任意三个元素 a,x,x‘， 若axax’则必有x x‘。证明：与G中单位元等价的元素全体 构成G的一个子群。 H={xG|xe} 对任意的xH，xe=xe=xx-1，因此有 ex-1，所以x-1H， 对任意的x,yH，有xe，ye， 即x-1xy=eye=x-1x，因此有xyxe， 所以xyH 用群同态基本定理证明群同构
不可约多项式精品PPT课件
我们感兴趣的是，除了平凡因式外，f x
还有没有其他的因式？
一、不可约多项式 1、定义
定义1.5.1 设 f x 是 Px 中次数大于零的多项式，
如果在 Px 中，f x 只有平凡因式，则称 f x 在数域
F上不可约。若 f x 除平凡因式外，在 Px 中还有
解：利用带余除法，知 x 1, x 1 都是 f x 的因式，
即有 x2 1 f x。
在Qx上 f x x2 1 x2 2 x 1 x 1 x2 2
在Rx上 f x x2 1 x2 2 (x 1)(x 1)(x 2)(x 2)
如何知道 x a 是不是 f x 的一个因式？
若 p x f x ，又 p x 不可约。
由性质2， p x, f x 1. pu fv 1, pgu fgv g
px gx.
推论： 若 p x 不可约且 p x f1 x
则 p x 必整除某个 fi x,1 i s.
二、因式分解
fs x.
问题： f x Px, f 0, f x 是否可分解为
不可约多项式的乘积？
定理1.5.1：Px 中任一个nn 0 次多项式 f x
都可以分解成 Px 中不可约多项式的乘积。
证（归纳法）： n=1时，命题显然成立。 假设命题对一切小于n的多项式成立，则当
f x n 时，
1、若 f x 不可约成立；
2、若 f x 可约，f x g x h x g n, h n.
由假设知 g x, h x 均可分解为不可约多项式的乘积。
问题：多项式 f x 分解成不可约多项式的乘积
是否唯一？
若 f x p1 x p2 x pr x, 取 c1c2 cr 1.
第一章 高等代数多项式ppt课件
定义3：若P是一个，且b≠0，有a/b ∈P，则称数集P是一个 数域。
例如：有理数集Q、实数集ppt精R选、版 复数集C都是数域。
9
多项式
§1 数环和数域
例 4 证明 Q (2 ) { a b2|a ,b Q }是一个数域。
例 5 设 P 1{ ab2|a,b Q }P 2 { ab3|a,b Q } P { a b 2 c3 d 6 |a ,b ,c ,d Q }
零多项式：系数全为0的多项式，即f (x)=0。对零多项式不
定义次数，因此，在使用次数符号时，总假定f (x)≠0。
首一多项式：首项系数为pp1t精的选版多项式。
13
多项式
二、多项式的运算
§2 一元多项式的定义和运算
定义4：设
f(x)anxnan1xn1 a1xa0,
g(x)bmxmbm 1xm 1 b1xb0,
34多项式因式分解定理不可约多项式的性质性质1若px是不可约多项式则只有c性质2若px是不可约多项式则对任意的多项式f性质3若px是不可约多项式且对任意两个多项式f推论1若px是不可约多项式且px35多项式设px为数域p上的次数大于零的多项式
高等代数
高等代数
Higher Algebra
湖南大学数学与计量经济学院
性质2 对任意的f (x)，g(x)∈P [x]，若f (x) | g(x)，且g(x) | f (x) 那么f (x) = cg(x)和g(x) = df (x)，其中c，d为非零常数。
性质3 对任意的f (x)，g(x)，h(x)∈P [x]，若f (x) | g(x)，且 g(x) | h(x)，那么f (x) | h(x) 。(整除的传递性)
x2 2在有理数范围内不能进行因式分解，但在实域
不可约多项式和极小多项式
不可约多项式和极小多项式多项式是数学中重要的概念，它是由各种系数和指数构成的函数，可以用来描述很多数学模型和问题。
不可约多项式和极小多项式是多项式的两个重要概念，对于理解多项式的性质和应用具有重要意义。
一、不可约多项式的概念及性质不可约多项式是指一个多项式不能够分解为两个多项式的乘积，其中两个多项式的次数均小于原来的多项式。
由此可以知道，不可约多项式是多项式分解的最小单位，因为所有的多项式都可以分解为若干个不可约多项式的乘积。
例如，多项式x^2+1就是一个不可约多项式，因为它不能够被分解成两个次数小于2的多项式的乘积。
不可约多项式具有以下的性质：1.不可约多项式的次数必须大于等于2，因为1次多项式和常数函数都可以被分解为两个次数小于2的多项式的乘积。
2.每个不可约多项式都是唯一的，这是由于它的分解方式是唯一的。
3.每个多项式都可以分解为若干个不可约多项式的乘积，这是多项式分解定理的基础。
二、极小多项式的概念及性质极小多项式是指一个线性变换在某个向量空间上的约化矩阵的最小不可约多项式，它描述了向量空间中的每个向量在这个线性变换下的特征，因此对于矩阵和向量空间的研究非常重要。
给定一个向量空间V和它上面的线性变换A，如果存在一个非零向量v属于V，使得对于任意的k≥0，都有A^kv=0，那么v被称为A 的一个特征向量，A^k的零空间被称为A的第k个特征空间。
如果存在一个特征向量v，使得它所在的特征空间不等于任何一个前面的特征空间，那么这个特征向量所在的特征空间就是A的不变子空间，它可以分解为一个约化矩阵。
极小多项式具有以下的性质：1.A的约化矩阵的极小多项式是唯一的，因为如果两个多项式都是它的极小多项式，那么它们的度数必须相等，因此它们必须是相等的。
2.如果一个多项式是A的约化矩阵的极小多项式，那么它就是A 的不变子空间的刻画，因为它的次数是最小的不可约多项式。
3.极小多项式可以用来求解矩阵的特征值和特征向量，因为它的零点就是A的特征值，并且每个特征值对应的特征向量都在A的不变子空间中。
不可约多项式
不可约多项式在数学中，由若干个单项式相加组成的代数式叫做多项式（若有减法：减一个数等于加上它的相反数）。
多项式中的每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高项次数，就是这个多项式的次数不可约多项式是一种重要的多项式，它在多项式环中有类似于素数在整数环中的地位。
概念不可约多项式，顾名思义即不能写成两个次数较低的多项式之乘积的多项式。
有理系数的多项式，当不能分解为两个次数大于零的有理系灵敏多项式的乘积时，称为有理数范围内“不可约多项式”。
相应地可以定义实数系数或复数系数的不可约多项式。
“不可约”的意义随系数范围而不同。
X2-2在有理数范围内是不可约多项式，但在实数范围内就是可约多项式了。
一种重要的多项式。
它在多项式环中有类似于素数在整数环中的地位。
对于数域P上的任意多项式f(x)，P中非零数c与cf(x)总是f(x)的因式。
这两种因式称为f(x)的平凡因式，亦称当然因式。
其他的因式，称为f(x)的非平凡因式，亦称非当然因式。
设p(x)为P上的一个次数大于零的多项式，如果在P上p(x)只有平凡因式，则称p(x)在P上(或P[x]中)不可约，亦称p(x)是P上的不可约多项式，或既约多项式;如果p(x)除平凡因式外，在P上还有其他因式，则称p(x)在P上(或在P[x]中)可约，亦称p(x)是P上的可约多项式。
一个多项式是否可约，与其基域有关。
例如，x-2在有理数域上不可约，但在实数域上可约，因为此时它有非平凡因式x+与x-。
数域P上的不可约多项式有如下的基本性质：1。
若p(x)不可约，且c≠0，c∈P，则cp(x)也不可约。
2。
若p(x)不可约，f(x)是任一多项式，则(p(x)，f(x))=1或者p(x)|f(x)。
3。
若p(x)不可约，且p(x)|f(x)g(x)，则p(x)|f(x)或者p(x)|g(x)。
不可约多项式整除任意多项式的概念
不可约多项式整除任意多项式的概念随着数学的不断发展，不可约多项式整除任意多项式的概念逐渐成为了数学研究中的一个重要课题，在代数学、数论和计算机科学等领域都有着广泛的应用。
本文将深入探讨不可约多项式整除任意多项式的概念，阐明其理论意义和实际应用。
一、不可约多项式的定义我们来回顾一下不可约多项式的定义。
在代数学中，如果一个多项式不能被分解为两个次数更低的非零多项式的乘积，则称其为不可约多项式。
不可约多项式在数论、代数几何和编码理论等领域有着重要的应用，因此对其性质和特征进行研究具有重要意义。
二、不可约多项式整除的概念对于两个多项式P(x)和Q(x)，如果存在另一个多项式R(x)，使得P(x)=Q(x)·R(x)，则称P(x)可整除Q(x)，记作Q(x)|P(x)。
而对于不可约多项式来说，如果一个不可约多项式整除任意多项式，其特性将会是怎样呢？三、质数环中的不可约多项式整除在质数环中，不可约多项式的整除性质更加复杂和多样化。
对于给定的质数p，我们可以考察在有限域Fp上的多项式环中的不可约多项式。
通过适当的构造和分解，可以得到不可约多项式对其他多项式的整除规律，这为解决一些数论和计算机科学中的问题提供了重要的数学工具。
四、应用举例1. 数论领域通过对不可约多项式整除的相关性质进行研究，可以在数论领域中应用到素性测试以及大整数的分解等问题上。
在RSA公钥密码系统中，不可约多项式整除的概念被广泛应用于加密算法的设计和安全性分析中。
2. 代数几何领域在代数几何领域，不可约多项式整除的概念被应用于构造椭圆曲线密码系统和几何编码理论等方面。
通过对不可约多项式整除性质的研究，可以设计更加安全和高效的密码算法，并在信息传输和存储中发挥重要作用。
五、不可约多项式整除的研究现状目前，关于不可约多项式整除的研究还存在一些未解决的问题和挑战。
在高维空间中的多项式整除性质、不可约多项式整除与素数分解的关系等方面仍然需要更加深入和系统的研究。
如何判别一个多项式不可约
探索不可约多项式的 应用
除了在数学理论研究中的应用外 ，不可约多项式在实际应用中也 有着广泛的应用前景。例如，在 计算机科学、信息编码等领域中 ，不可约多项式可以用于构造一 些特殊的函数和编码。
推广判别不可约多项 式的方法
目前我们判别不可约多项式的方 法主要适用于有限域上的多项式 ，对于其他情况是否适用还需要 进一步的研究和探索。因此，推 广判别不可约多项式的方法也是 未来的一个研究方向。
判别二次多项式
对于形如 $ax^2 + bx + c$ 的二次多项式，如果判别式 $Delta = b^2 - 4ac$ 小于0 ，则该多项式不可约。
判别三次多项式
对于形如 $ax^3 + bx^2 + cx + d$ 的三次多项式，如果无法通过因式分解或使用其 他方法证明其不可约，则该多项式可能可约。
THANKS
谢谢您的观看
不可约多项式是整环上的 不可约元，即它不能被其 他非零元素整除。
不可约多项式在整环中是 不可约元，因此它在整环 中是不可约的。
不可约多项式是素数，即 它没有除了1和自身以外 的因数。
不可约多项式在整环中是 不可约的，因此它在整环 中是不可约的。
03
判别多项式不可约的方法
辗转相除法
辗转相除法是一种通过连续除法来判别多项式是否可约的方法。
数学研究
判别多项式是否可约在数学领域 具有重要研究价值，有助于深入 理解多项式的性质和结构。
算法设计
在实际应用中，多项式不可约的 判别方法可以用于设计高效的算 法，例如在符号计算、数值分析 等领域。
教育教学
对于学习数学的学生来说，掌握 多项式不可约的判别方法有助于 提高数学素养和解题能力。
复数域上的不可约多项式
复数域上的不可约多项式
不可约多项式是指在复数域上的多项式，它不能被分解为两个或多个复数域上的多项式的
乘积。
它们是复数域上的最基本的多项式，它们的系数可以是任意复数，而不仅仅是实数。
不可约多项式的最基本的例子是一元多项式，它可以表示为：
P(z) = a_0 + a_1z + a_2z^2 + ... + a_nz^n
其中，a_0，a_1，a_2，...，a_n是复数，z是复数变量。
不可约多项式的应用非常广泛，它们可以用来描述复数域上的函数，例如，可以用不可约
多项式来描述复数域上的椭圆函数，也可以用不可约多项式来描述复数域上的指数函数。
此外，不可约多项式还可以用来描述复数域上的复数函数，例如，可以用不可约多项式来
描述复数域上的正弦函数和余弦函数。
不可约多项式也可以用来描述复数域上的线性系统，例如，可以用不可约多项式来描述复
数域上的线性方程组。
此外，不可约多项式还可以用来描述复数域上的矩阵，例如，可以
用不可约多项式来描述复数域上的矩阵的特征值和特征向量。
不可约多项式也可以用来描述复数域上的概率分布，例如，可以用不可约多项式来描述复
数域上的正态分布。
此外，不可约多项式还可以用来描述复数域上的统计模型，例如，可
以用不可约多项式来描述复数域上的回归模型。
总之，不可约多项式在复数域上具有重要的应用，它们可以用来描述复数域上的函数、线性系统、矩阵、概率分布和统计模型等。
因此，不可约多项式在复数域上具有重要的理论
意义和实际应用价值。
论有限域上的多项式
１ 分 圆 多项 式
分圆多项式对于研究有限域的结构 ， 不可约多项式的构造等问题至关重要 ， 下面介绍它 的定义。
定义 １ 令 是一个特征为Ｐ的域 ， 是一个不能被Ｐ ｎ 整除的正整数 ，是域 上的一个 ｎ 次本原单位根 ，
那 么 称多项 式
ｎ
Ｑ（）＝ ＝１，ｎ １（ ） 上的ｎ 分圆 项 ｄ（，）＝ 一 为 次 多 式。 ｊ ｊｎ
上 的极 小 多项式 。
定理 ５ （ １ 次首项系数为 １ ｎ ≥ ） 的多项式ｆ∈Ｆ Ｉ ］ Ｆ 上 的本原多项式当且仅当（ ） ０ 是 ｘ 是 一１ ）
的一个本原元 ， 而且满足 模 ）同余 的某个元素的最小正整数 ｒ＝ （ 一１／ ｑ一１ 。 ｑ ）（ ） 一旦 在 上 是本原的， 我们有 ＝（ ） ０ （ ｏ （ ） 。 一１ ） ｍ ａ ｘ ） ｆ
实际上 ， 就是域 上所有 Ｉ Ｑ（ ） ＇ ｔ 次本原单位根的多项式。 定理 １ 上的 Ｉ次分圆域 ’多项式 一１ ＇ ｔ （ 在 上的分裂域） 是 的一个单代数扩域。 而且 （ ） ｉ 如果 为有理数域， 那么分圆多项式 Ｑ （ ） 在 上是不可约的 ， ｎ Ｋ （ ） ［ ） ］＝ Ｉ 。 （ ｔ ＇ （ 如果 Ｋ ＝ ，ｃ（ ，）＝１那么 Ｑ （ 分解为 上 （ ） ｄ 五） ｇｄ ９ｒ ｔ ， ） ｎ ／ 个首项系数为 １ 次数均 ｄ 的不同的 不 可约多项式之积 ， 是其中任意一个不可约多项式在 上的分裂域 ， Ｋ’ 而且 ［ ｎ Ｋ （ ） ］＝ｄ 这里 ｄ ， 是满足 ９ ＝１ ｍ ｄ ）的最小正整数 。 （ ｏｎ 定理 ２ 有限域 是它的任何子域上的 ９—１ 次分圆域。
收稿 日期 ＂０ ６１ －０ － ０ —２２ ２ 作者简介 ： 唐再良（ ９８一 ）， ， １ ５ 男 副教授 ， 研究方 向： 代数和方程
有限域上本原多项式与不可约多项式判定
（2）（结合性） ， ， ，有 ；
（3）在 中有一个元素 ，对 中任意元素 ，有 ，元素 称为单位元；
（4）对 中任一元素 ，都存在 中的一个元素 ，使得 ， 称为可逆元， 称谓 的逆元，记作 ，
则称 关于“ ”形成一个群（Group），记作 ， ，通常在不混淆的情况下省略“ ”，用 来表示一个群， 也简记为 。
关键词：有限域 不可约多项式 本原多项式
A
Weintroducethe basic knowledge of finitefieldstheoryin the frontof this paper. According to the knowledgeoffinite fields,wediscussanefficient algorithm, which is used to determine whether a polynomial over finite fields is irreducible (primitive) or not, proposed byWangXin and WangXinMei in [1]. Three conditionsare proposedby itasanecessary and sufficient conditionto determineirreducible polynomialsoverthe finite field. And under the preconditionthat thepolynomialisirreducibleoverfinite fields, thealgorithmproposes aconditionas the necessary and sufficient conditionto determinewhether a polynomial isprimitiveor not over finite fields.In the latter part,byusingMicrosoft Visual Studio 2008 software,we makethe mode operations, multiplicationoperations, fast exponential algorithm,Euclidalgorithm, integer factorization algorithm modules come true in c++ language. And finally achievedthe decisionmethodproposed byWangXinandWangXinMeiin[1], realizedthe determinationthatwhether the polynomialover finite fields is irreducible (primitive) or not.
上不可约多项式的判断和寻找
4. 欧拉函数
定义4.1：对于n 1,令 表示 [1,n]内与n互素的整数个数。 定义 函数Φ称为欧拉函数。 性质4.1：对所有n ≥ 5的整数，有 性质 . Φ ( n) > n
≥
Φ (n )
(6 ln(ln n))
F 性质4.2： q 是一个阶q-1为的循环群。因此对任意 a ∈ Fq 性质q 有 a = a。 性质4.3：设 f ( x) ∈ Z p [ x] 是次数为 m 的不可约多项式，则 性质 Z p [ x] f ( x)是一个阶为 p m 的有限域，多项式的加法与乘法 是模 f (x) 的运算。 性质4.4：对每一个m ≥ 1,在 Z p 中存在一个次数为m的首一 性质 不可约多项式。所以，每一个有限域都有一个多项式基表 示。
随机生成一个上的首一不可约多项式
算法7.2 算法
输入: 输入: 素数 p 和正整数 m . 输出: 输出: Z p [x]中次数为 m 的首一不可约多项式 f ( x ) . 1.重复如下操作 重复如下操作: 1.重复如下操作: 的一个首一多项式) 1.1 (随机生成 Z p [x] 中的次数为 m 的一个首一多项式) 在0和p-1之间随机选择整数 a0 , a1 , a2 ,L , am −1 , a0 ≠ 0. f (x ) f (x) = xm + a(m −1)xm−1 +L+ a2x2 + a1x + a0 . 设 是多项式 用算法1.5测试f(x) 1.5测试f(x)是否在 上不可约. 1.2 用算法1.5测试f(x)是否在 Z p 上不可约.直到找到一 个不可约的 f ( x ) . 2.返回 2.返回 ( f ( x )) .
.
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高等代数ppt课件北大版第一章多项式.ppt
q1( x) c1 p1( x), c1 0 (1)两边消去 q1( x), 即得
p2( x) ps ( x) c11q2( x) qt ( x)
由归纳假设有 s 1 t 1, s t.
§1.5 2024/9/27 因式分解定理
数学与计算科学学院
2. 标准分解式： 对 f ( x) P[x], f ( x) 1,
实际上，对于一般的情形普通可行的分解多项 式的方法是不存在的．而且在有理数域上，多项 式的可约性的判定都是非常复杂的．
§1.5 2024/9/27 因式分解定理
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2 设对次数低于n的多项式结论成立．
下证 f ( x) n 的情形.
若 f ( x)是不可约多项式. 结论显然成立．
若 f ( x)不是不可约多项式，则存在 f1( x), f2( x),
且 ( fi ( x)) n, i 1,2 使 f ( x) f1( x) f2( x)
由归纳假设 f1( x), f2( x)皆可分解成不可约多项式的积.
例如，若 f ( x), g( x)的标准分解式分别为
f
(
x
)
ap1r1
(
x)
p r2 2
(
x
)
g(
x
)
bp1l1
(
x)
p l2 2
(
x)
psrs ( x), ri 0 psls ( x), li 0
则有
f ( x), g( x) p11 ( x) p22 ( x) pss ( x),
i min ri ,li , i 1,2, , s
f ( x) 总可表成
f
(
x)
cp1r1
不可约多项式的判定及应用(黄嘉盛)课件
不可约多项式的判定及应用摘 要多项式理论是高等代数的重要组成部分，而不可约多项式是多项式中重要的概念. 本文主要对有理数域上不可约多项式的判别方法进行整理归纳, 较为系统的给出不可约多项式的判定方法。
对于一般的不可约多项式的判定有Eisenstein 判别法、Kronecker 判别法、Perron 判别法、Browm 判别法等。
研究了各判定方法的等价和包含关系。
此外，我们还给出了不可约多项式的一些应用。
关键词不可约多项式；判定方法；应用2. 不可约多项式的概念及性质2.1 整除的概念设P 是一个数域，对于[]P x 中任意两个多项式()f x 与()g x ，其中()0g x ≠，一定有[]P x 中的多项式()q x ，()r x 存在，使得()()()()f x q x g x r x =+成立，其中(())(())r x g x ∂<∂或者()0r x =，并且这样的()q x ，()r x 是唯一决定的。
定义2.1 数域P 上的多项式()g x 称为能整除()f x ，如果有数域P 上的多项式()h x 使等式()f x =()()g x h x成立，我们用“()g x |()f x ”表示()g x 整除()f x ，用“()g x ()f x ”表示()g x 不能整除()f x 。
定理 2.1[1] 对于数域P 上的任意两个多项式()f x ,()g x ,其中()g x 0≠,()g x |()f x 的充分必要条件是()g x 除()f x 的余式为零。
证明: 如果()r x = 0那么()f x =()()q x g x ,即()g x |()f x 。
反过来，如果()g x |()f x ，那么()f x =()()q x g x =()()q x g x +0，即()r x = 0。
注1: 带余除法中()g x 必须不为零。
下面介绍整除性的几个常用性质:（1） 如果()f x |()g x ,()g x |()f x ,那么()()f x cg x =，其中c 为非零常数。
高等代数第五版第二章 多 项 式
第二章 多 项 式§2.1 一元多项式的定义和运算2.1.1 教学目的2.1.1.1 掌握多项式、多项式相等、多项式次数的概念。
2.1.1.2 掌握多项式加法、减法与乘法的法则和性质。
2.1.2 教学重点多项式的概念，多项式的运算法则和性质。
2.1.3 教学难点对多项式形式表达式的理解。
2.1.4 教学过程本节所说的R ，指的是含1的数环。
一、一元多项式的一些基本概念Def 1： 数环R 上文字x 的多项式或一元多项式指的是形式表达式 n n 2210x a x a x a a ++++ （1） 这里n 是非负整数，0a ，1a ，…，a n 是R 中的数。
在（1）中0a 叫零次项或常数项，i i x a 叫i 次项，i a 叫i 次项的系数， 一元多项式常用f(x)、g(x)表示.Def 2： 若是数环R 上两个多项式f(x)和g(x)有完全相同的项或者只差一些系数为零的项，则称f(x)=g(x).如 1+0x+5x 2+0x 3=1+0x+5x 2=1+5x 2 ，3+1x+2x 2=3+x+2x 2≠3+x+x 2 Def 3：在多项式中n n 2210x a x a x a a ++++ ，若a n ≠0，n n x a 叫多项式的最高次项，非负整数n 叫多项式的次数多项式f(x)的次数记作0∂（f(x)）. 零多项式记为0且是唯一不定义次数.所以以后谈到多项式)x (f 的次数时总假定0)x (f ≠。
非零常数是零次多项式，它的次数为0，有次数。
二、多项式的运算 （一）运算的定义设nn x a x a x a a x f ++++= 2210)(， 或∑==ni ii x a x f 0)(mm x b x b x b b x g ++++= 2210)(, 或∑==mj j j x b x g 0)(； 是数环R 上两个多项式，并且m ≤n ，则定义：一）加法f(x)+g(x)=(a 0+b 0)+(a 1+b 1)x+…+(a m +b m )x m +…+(a n +b n )x n当m<n 时取b m+1=…=b n =0，或∑=+=+ni ii i x b a x g x f 0)()()(. 二）减法设f(x)=a 0+a 1x+…+a n x n ，把－f(x)=－a 0－a 1x －…－a n x n 叫f(x)的负多项式，则定义：f(x)－g(x)=f(x)+(－g(x))，或∑=-=-n i ii i x b a x g x f 0)()()(1）在Def1中文字x 不一定代表“数”，可以是一个矩阵A ，或一个变换等，因此不能把x 当作“未知数”2）“n 为非负整数”说明表达式x 1x ,x 1+等都不是多项式。
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不可约多项式和极小多项式
不可约多项式和极小多项式是数学中的两个重要概念，它们在代数学、数论和计算机科学等领域得到广泛应用。
不可约多项式是指在给定域上不能被分解为两个或多个次数更低的多项式的多项式，而极小多项式则是指在给定线性空间上的一个元素的最小的首一不可约多项式。
在代数学中，不可约多项式是研究域的结构和扩张的基础，而极小多项式则是研究线性变换和矩阵的算法的基础。
在数论中，不可约多项式是研究数域和代数数的基础，而极小多项式则是研究离散对数算法和椭圆曲线加密算法的基础。
在计算机科学中，不可约多项式和极小多项式在编码理论、卷积码、纠错码等方面都有广泛的应用。
因此，不可约多项式和极小多项式的研究不仅是代数学、数论和计算机科学等学科的基础，也是许多实际应用的关键。
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