不定积分24个基本公式

不定积分24个基本公式
一、原函数不定积分的概念原函数的定义：
如果区间I上，可导函数F(x)的导函数为f'(x),即对任一
x∈I都有 F'(x)=f(x) 或 dF(x)=f(x) dx 那么函数F(x)就称为f(x)(或 f(x) dx)在区间 I 内的一个原函数。

原函数存在定理：
如果函数f(x)在区间 I 上连续，那么在区间 I 上存在可导
函数F(x)，使对任一x∈I都有 F'(x)=f(x).
简单地说：
连续函数一定有原函数。

不定积分的定义：
在区间 I 上，函数f(x)的带有任意常数项的的原函数称为
f(x)( f(x)dx ) 在区间 I 上的不定积分，记作∫ f(x)dx . 其中记号∫ 称为积分号，f(x)称为被积函数 f(x)dx 称为被积表达式，x 称为积分变量。

二、基本积分公式
三、不定积分的性质
设函数f(x)及g(x)的原函数存在，则∫ [ f(x) ± g(x)]
dx= ∫ f(x) dx ± ∫ g(x) dx 。

记：合拢的加减积分可以分开加减积分2. 设函数f(x)及g(x)的原函数存在，k为非零常数，则
∫ k f(x) dx=k ∫ f(x) dx
记者:非零常数乘以积分，可以把常数拿出来，乘以不定积分。

四、第一类换元积分法
设f(u)具有原函数，u=φ(x)可导，则有换元公式：
也叫做凑微分法
五、第二类换元积分法
设x=ψ(t)是单调的可导函数，并且ψ'(t)≠0，又设
f[ψ(t)]ψ'(t)具有原函数，则有换元公式
是x=ψ(x)的反函数。

三种常见的换元公式(注：利用三角形理解去记)
利用第二种换元积分法解出的常见的积分公式：
六、分部积分法
设函数u=u(x)及v=v(x)具有连续导数，则两个函数乘积的导数公式为 (uv)'=u'v+uv',移项，得： u v'=(u v)'-u' v
对这个等式两边求积分
∫ u v' dx=u v- ∫ u' v dx 称为分部积分公式
按零件的集成顺序集成:反对力量指的是三，意思是从后面集成容易，先集成那个。

积分顺序:三角函数，指数函数，幂函数，对数函数，最后是反三角函数。

七、有理函数的积分
1.复合函数积分利用换元法：∫ f[ g(x) ]dx, 令t=g(x) ,解出 x= u(t) ，t=g(x) 和x= u(t) 互为反函数，dx=u(t)dt 则∫f(t) du(t).
2.有理函数的积分
两个多项式的商 P(x) / Q(x) 称为有理函数，又称为有理分式。

当分子多项式P(x)的次数小于分母多项式的次数时，称这有理函数为真分式。

当分子多项式P(x)的次数大于分母多项式的次数时，称这有理函数为假分式。

如果分母Q(x)可以分解为两个多项式的乘积。

Q(x)=Q(x1)Q(x2) 且Q(x1)、Q(x2)没有公因式，可以拆分成两个真分式之和
P(x)/Q(x) = P1(x)/Q1(x) + P2(x)/Q2(x)。

例如：设有两个个因子 A，B满足
通过次幂的系数相等，有
A+B=1, -(2A+3B)=1,
解得
A=4, B=-3
3.可化为有理函数的积分(复杂的有理式)
利用代换积分法，一个量等于一个复数公式，求解反函数公式求积分。

以上内容纯属个人总结，不代表官方观点。

以上是不定积分的内容，经常考。

考虑到这一点，我们下次继续讨论定积分的内容。

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