大学物理第1章 质点运动学习题解答

第1章 质点运动学习题解答

1-9 质点运动学方程为k j e i e r t t ˆ2ˆˆ22++=- .⑴求质点轨迹；⑵求自t= -1到t=1质点的位移。

解：⑴由运动学方程可知：1,2,,22====-xy z e y e x t t ，所以，质点是在z=2平面内的第一像限的一条双曲线上运动。

⑵j e e i e e r r r ˆ)(ˆ)()1()1(2222---+-=--=∆

j i ˆ2537.7ˆ2537.7+-=。所以，位移大小：

︒

==∆∆=︒

==∆∆=︒

=-=∆∆==+-=∆+∆=∆900arccos |

|arccos z 45)22

arccos(||arccos y 135)22

arccos(||arccos x ,22537.72537.7)2537.7()()(||2222r z

r y r x y x r

γβα轴夹角与轴夹角与轴夹角与

1-10 ⑴k t j t R i t R r ˆ2ˆsin ˆcos ++= ，R 为正常数，求t=0,π/2时的速度和加速度。⑵k

t j t i t r ˆ6ˆ5.4ˆ332+-= ，求t=0,1时的速度和加速度（写出正交分解式）。 解：⑴k

j t R i t R dt r d v ˆ2ˆcos ˆsin /++-== j

R a k i R v i

R a k j R v j t R i t R dt v d a t t t t ˆ|,ˆ2ˆ|,ˆ|,ˆ2ˆ|.ˆsin ˆcos /2/2/00-=+-=-=+=∴--======ππ ⑵

k

t j dt v d a k t j t i dt r d v ˆ36ˆ9/,ˆ18ˆ9ˆ3/2+-==+-== ； k

j a k j i v j a i v t t t t ˆ36ˆ9|,ˆ18ˆ9ˆ3|,ˆ9|,ˆ3|1100+-=+-=-======

1-12质点直线运动的运动学方程为x=acost,a 为正常数，求质点速度和加速度，并讨论运动特点（有无周期性，运动范围，速度变化情况等）

解：t a dt dv a t a dt dx v t a x x x x cos /,sin /,cos -==-=== 显然，质点随时间按余弦规律作周期性运动，运动范围：

a a a a v a a x a x x ≤≤-≤≤-≤≤-,,

1-13图中a 、b 和c 表示质点沿直线运动三种不同情况下的x-t 图像，试说明每种运动的特点（即速度，计时起点时质点的位置坐标，质点位于坐标原点的时刻）

解：质点直线运动的速度 dt dx v /=，在x-t 图像中为曲线斜率。由于三种图像都是直线，因此三种运动都是匀速直线运动，设直线与x 轴正向夹角为α，则速度t x tg v ∆∆==/α

对于a 种运动：

s tg t m x s m tg v x t 55.113020|,20|,/312000=︒==-=︒===

对于b 种运动：

s tg t m x ms tg v x t 32.1730/10|,10|,3/330001-≈︒-===︒===-

对于c 种运动：

m tg x s t ms tg v t x 254525|,25|,145001-=︒-===︒===-

1-14质点从坐标原点出发时开始计时，沿x 轴运动，其加速度a x = 2t (cms -2)，求在下列两种情况下质点的运动学方程，出发后6s 时质点的位置、在此期间所走过的位移及路程。⑴初速度v 0=0；⑵初速度v 0的大小为9cm/s ，方向与加速度方向相反。

解：2

00

,2,

20

t v v tdt dv tdt dt a dv x t

v v x x x x

+====⎰⎰

33100

20

00

2

0,,)(t

t v x dt t dt v dx dt t v dt v dx t

t x

x +=+=+==⎰⎰⎰ ⑴cm

x t x t v v x 726)6(;,02

3133120=⨯====时， cm x S m x x x 7272)0()6(===-=∆∆路程

⑵t t x t v v x 9,9933

120-=-=-=时， cm x x x 18)0()6(=-=∆

令v x =0，由速度表达式可求出对应时刻t=3，由于3秒前质点沿x 轴反向运动，3秒后质点沿x 轴正向运动，所以路程：

cm x x x x x x S 543618)393(218)

3(2)6(|)3()6(||)0()3(|3

3

1=+=⨯-⨯-=-=-+-=

t(s)

1-15飞机着陆时为尽快停止采用降落伞制动，刚着陆时，t=0时速度为v 0，且坐标x=0，假设其加速度为 a x = - bv x 2，b=常量，求飞机速度和坐标随时间的变化规律。

解：bt v dt b dv v dt bv dt a dv x

x

v v x t

v v x x x x x -=--=-==--⎰⎰00

|,,1

2

2

bt v v v v bt v bt v bt v v x x x v 0

000001,1,1

1,11+=

++=-=- )

1ln(1

,

1)

1(11,10000000000bt v b

x bt v bt v d b bt v dt v dx bt v dt v dt v dx t t

x x +=++=+=+==⎰⎰⎰

1-16在195m 长的坡道上，一人骑自行车以18km/h 的速度和-20cm/s 2的加速度上坡，另一自行车同时以5.4km/h 的初速度和0.2m/s 2的加速度下坡，问：⑴经多长时间两人相遇？⑵两人相遇时各走过多长的路程？

解：以上坡者出发点为原点沿其前进方向建立坐标o-x ，用脚标1表示上坡者，用脚标2表示下坡者。

两人的加速度实际上是相同的：221/2.0s m a a -==

s

m h km v v s m h km v v x x x x t /5.1/4.5,/5/18195,00202101202101-=-==========时，初始条件：

根据匀变速直线运动公式：

2221

2022

2111011.05.11951951.05t

t t a t v x t t t a t v x --=++=-=+= ⑴令x 1=x 2，可求得相遇时间：5t=195-1.5t, t=195/6.5=30s

⑵对于上坡者，在相遇期间做的不一定是单方向直线运动，据上坡者的速度表达式：v 1=5-0.2t ，令v 1=0，求得对应时刻t=25s ，所以，上坡者在25s 前是在上坡，但25s 后却再下坡。因此，上坡者在30s 内走过的路程：

m

x x x x x x S 65)301.0305()251.0255(2)30()25(2|)25()30(||)0()25(|2

2

1111111=⨯-⨯-⨯-⨯=-=-+-=

对于下坡者，因为做单方向直线运动，所以30s 内走过的路程：

m x x x x S 13560195)30()0(|)0()30(|22222=-=-=-=

x

0 a 1