Mander约束混凝土模型
横向约束对混凝土性能的影响分析
＿ｒｅ＞１ 时 ：
ｆ、９ 、
ＣＤ段 为 二次抛 物 线 。
直线 段公 式 为 ：
＝ ｔ３＂ 一
，
一 ｓ，）
曲线 段公 式 为 ：
－（嚣 １＋０．６ｓｉｎ（丌嚣 ］］
（４）
张 秀琴模 型表 明 了配箍 率 的提 高 ，可 明 显改 善｝昆
＝ （嚣 丁
其中：ｒ／＝１＋√ ／ 。
者 一
㈩
其中， “ ｓｅｃ２ ： 意０“ ０ 一ｚ 蠹０ ０ｌ一ｏ“ ；
置为卸载线 的初始切线模 量 ，ｆ ｌ＂ｕ、ｅ 为卸载点 的 应力 、应变 ，ｓ 为卸载时的残余 塑性应变 。
③再加载曲线由两部分构成 ，其 中ｓｃ段为直线 ，
③再加载曲线ＢＤ的公式为 ： ｏｒｅ １ 时 ：
析 对 比试验 结果 ，提 出如 图２所 示模 型 。
①骨架 曲线ＯＮＡＤ段 的公式为 ：
厶
：
一 １＋ｘ
（２）
Ｍ 一 ：
作者简 介 ：苏仁 智（１９９０－），男 ，福建泉州人 ，毕业 于华南理工 大学建 筑 与 土木 工程专业 ，工程硕 士。主要从事结构检测 、大型结构的施工监控 和健康监 测等 工作和研 究。
钢筋混凝土构件受到轴 向压力作用使其混凝土 产生侧 向变形 ，由于箍 筋的横 向约束作用 ，限制 了混 凝土的侧 向变形 ，由于箍筋与混凝土相互作用 ，使得 混 凝土 处 于三 向受 压 的空 间应 力 状态 ，该 部 位混 凝 土 称为横 向约束混凝土。一般情况下箍筋对横向混凝土 的侧 向压力远小于其受到的轴 向压力 ，在箍筋的横 向 约束 下 ，混 凝土 强 度得 到提 高 。
(完整版)Xtract参数说明
Ucfyber 参数说明在Ucfyber 中，混凝土所用模型是Mander 模型，各参数说明如下：1.Mander confine concrete--约束混凝土(1).28days compressive strength 'c f指所应用的混凝土28天抗压强度，为标准值，可以由规范中查询。
这里用的是混凝土圆柱体。
我国的规范应用的是立方体强度(指混凝土标号)。
二者的换算关系为'0.85c S f R =(2).Tension strength指所应用的混凝土的抗拉强度，在进行弯矩曲率分析计算时，一般不考虑混凝土的抗拉，所以为0。
(3).Confine concrete strength: 'cc f指约束混凝土的峰值纵向压应力，在谢旭的书中，图为p155图7.3。
其计算情况分为两种情况① ．圆形截面''''2 1.254l cc cc f f f f ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ 在上面的公式中:'c f —无约束混凝土的圆柱体的抗压强度，常用的单位是Mpa,混凝土立方体标准试件的强度与其他各种试件强度之间的换算关系：'0.85c S f R =，其中s 是混凝土的标号。
'l f —有效横向约束应力，''2yh sp l e f A f K D S =，其中：e K 是截面的有效约束系数。
圆形截面取0.95；yh f 是圆形或螺旋钢筋的屈服强度(钢筋的设计强度)，可以查规范；sh A 是圆形或螺旋钢筋截面总面积(单位为mm 的平方．上下单位统一即可．可以约掉)，即纵向钢筋的总面积—g nA ；'D 是圆形或螺旋钢筋的环的直径。
如下图所示:S 是纵向箍筋的间距。
②矩形截面矩形截面在两个主轴方向的有效约束应力分别为:'lx e x yh f K f r =贩, 'ly e y yh f K f r =贩其中: e K —截面的约束混凝土的系数。
约束混凝土损伤塑性模型的研究
约束混凝土损伤塑性模型的研究葛康;陈世鸣【摘要】混凝土损伤塑性模型经常用于混凝土结构的动力损伤分析中,目前国内外针对此模型的研究还仅限在未约束混凝土中,探讨了基于我国现行设计规范中所提供的混凝土单轴本构模型、未约束混凝土塑性损伤模型理论与约束混凝土的单向受压本构模型,提出了适用于约束混凝土的损伤塑性模型,并通过对约束混凝土柱实例进行分析,为进一步将该损伤模型应用于约束混凝土结构的非线性损伤分析提供了参考依据.【期刊名称】《结构工程师》【年(卷),期】2015(031)001【总页数】7页(P14-20)【关键词】混凝土;本构关系;塑性损伤模型;约束混凝土【作者】葛康;陈世鸣【作者单位】同济大学结构工程与防灾研究所,上海200092;同济大学结构工程与防灾研究所,上海200092【正文语种】中文随着现代复杂高层结构的日益增多，传统的弹性设计和分析方法已不能满足混凝土结构设计的需要。
在现有抗震规范中也建议对于不规则且具有明显薄弱部位可能导致重大地震破坏的建筑结构，应运用有限元分析软件进行罕遇地震作用下的弹塑性变形和受力分析。
其中在通用有限元分析软件中提供的多种混凝土材料模型中，损伤塑性模型[1-3](Concrete Damaged Plasticity(CDP) Model)可以模拟出混凝土材料的拉裂和压碎等力学现象，并考虑了混凝土材料的损伤效应，非常适合模拟在动力作用下的混凝土结构行为。
但目前国内外针对该模型的研究和应用仅局限于未约束的普通混凝土材料，在约束混凝土结构分析中还未涉及。
本文基于我国现行混凝土设计规范中提供的未约束混凝土的单轴本构模型、受压受拉塑性损伤因子、约束混凝土的受压本构模型，提出了适用于约束混凝土的塑性损伤模型，为约束混凝土结构的非线性损伤分析提供参考依据。
通用有限元分析软件ABAQUS中的塑性损伤模型是由Lubliner[4]提出并由Lee J 和Fenves G L[5]改进的塑性损伤模型，一般可用来模拟混凝土和其他脆性材料在与中等围压条件(围压通常小于单轴抗压强度的五分之一)下不可逆损伤特性。
桥梁桩基础地震作用下不同桩土模型比较研究
桥梁桩基础地震作用下不同桩土模型比较研究王立忠;管仲国;李建中【摘要】Two finite element models were created considering the soil-pile interaction in different ways. One of them considered the interaction to be elastic during the whole process while the other regarded it nonlinear. Pushover analysis and nonlinear time history analysis were both conducted to compare the difference between the two models. The results showed that it is conservative to simulate the real soil-pile interaction by using simplified elastic model when the pile foundation is in minor damage.%对实际工程中某一单墩结构分别建立考虑弹性桩土相互作用和考虑非线性桩土相互作用的模型,对这两种模型分别进行pushover分析以及非线性时程分析,探讨了两种模型的差异.分析结果表明:当桩基础在地震作用下发生轻微损伤时,采用简化弹性模型模拟地震作用下桩土相互作用要过于保守.【期刊名称】《结构工程师》【年(卷),期】2011(027)006【总页数】6页(P89-94)【关键词】群桩基础;pushover分析;非线性时程分析;弹性桩土相互作用;非线性桩土相互作用【作者】王立忠;管仲国;李建中【作者单位】同济大学桥梁工程系,上海200092;同济大学桥梁工程系,上海200092;同济大学桥梁工程系,上海200092【正文语种】中文1 引言桥梁基础破坏是地震的重要震害现象之一。
(完整版)Xtract参数说明
XTRACT 参数说明在xtract 中，混凝土所用模型是Mander 模型，各参数说明如下：1.Mander confine concrete--约束混凝土(1).28days compressive strength 'c f指所应用的混凝土28天抗压强度，为标准值，可以由规范中查询。
这里用的是混凝土圆柱体。
我国的规范应用的是立方体强度(指混凝土标号)。
二者的换算关系为'0.85c S f R =(2).Tension strength指所应用的混凝土的抗拉强度，在进行弯矩曲率分析计算时，一般不考虑混凝土的抗拉，所以为0。
(3).Confine concrete strength: 'cc f指约束混凝土的峰值纵向压应力，在谢旭的书中，图为p155图7.3。
其计算情况分为两种情况①．圆形截面''''2 1.254l cc cc f f f f 骣÷ç÷ç=-÷ç÷ç÷桫 在上面的公式中:'c f —无约束混凝土的圆柱体的抗压强度，常用的单位是Mpa,混凝土立方体标准试件的强度与其他各种试件强度之间的换算关系：'0.85c S f R =，其中s 是混凝土的标号。
'l f —有效横向约束应力，''2yh sp l e f A f K D S =，其中：e K 是截面的有效约束系数。
圆形截面取0.95；yh f 是圆形或螺旋钢筋的屈服强度(钢筋的设计强度)，可以查规范；sh A 是圆形或螺旋钢筋截面总面积(单位为mm 的平方．上下单位统一即可．可以约掉)，即纵向钢筋的总面积—g nA ；'D 是圆形或螺旋钢筋的环的直径。
如下图所示:S 是纵向箍筋的间距。
②矩形截面矩形截面在两个主轴方向的有效约束应力分别为:'lx e x yh f K f r =贩, 'ly e y yh f K f r =贩其中: e K —截面的约束混凝土的系数。
mander约束【混凝土】本构模型
1 横向配筋的作用混凝土结构中的配筋有两种：直接钢筋和间接钢筋。
直接配筋即沿构件轴力或主应力方向设置的纵向钢筋，直接承担拉力或者压力，钢筋的应力与轴力方向一致；间接配筋又称横向配筋，沿与压应力与最大主压应力垂直的方向设置，通过约束混凝土的横向变形，提高轴向抗压承载力。
横向配筋有多种，比如螺旋（圆形）箍筋、矩形箍筋、钢管、焊接网片等。
其主要作用是约束其内部混凝土的横向变形，使之处于三轴受压应力状态，从而提高了其强度和变形能力。
下面就箍筋对混凝土的约束作用做以简单分析。
箍筋的作用有许多种，•抗剪。
除了直接承受剪力外，还间接限制了斜裂缝的开展宽度，增强了腹部混凝土的骨料咬合力；还约束了纵筋对混凝土保护层的撕脱，增大了钢筋的销栓力；同时，纵筋与腹筋形成的骨架使内部混凝土受到约束，这也有利于抗剪；•通过减小纵筋的自由长度，防止纵筋受力后压屈，充分发挥其抗压强度，同时也起到固定纵筋位置的作用；•对于密排箍筋，通过约束核心区混凝土，提高了混凝土的抗压强度及延性（极限变形能力）；•长期荷载作用下，可以承受因混凝土收缩和环境湿度变化等产生的横向应力，以防止或减少纵向裂缝；其中，通过约束核心区混凝土，提高受压混凝土的抗压强度及延性，对于地震区的混凝土结构尤为重要。
适当地增加箍筋和改进构造形式成为提高结构抗震性能的最简单、经济和有效的措施之一。
2 影响箍筋约束作用的因素箍筋对约束混凝土的增强作用，除了受被约束混凝土自身强度的影响外，主要取决于它能够施加在核心区混凝土表面的约束力的大小。
约束力越大，对混凝土的增强就越多。
约束力主要受以下几个因素影响：•体积配箍率。
体积配箍率隐含反应了四个因素：箍筋强度、直径、间距及（计算配箍方向的）核心区宽度（对于螺旋或圆形配箍的圆形截面，指核心区直径）。
箍筋的强度和直径直接决定了箍筋所能提供的约束力的大小，箍筋间距及核心区宽度则影响约束力在相邻箍筋间的分布。
对于矩形截面，通常两个方向上的尺寸和配箍形式不一样，因此提供的约束力也不一样，所以应分别计算两个方向的配箍率。
mander本构模型
Mander 本构模型在杆系混凝土有限元分析中，应该如何考虑箍筋对受压构件截面核心区混凝土的约束作用呢？直接在模型中建立箍筋的方法显然是不经济的，可以通过混凝土的应力-应变全曲线方程来反应箍筋的作用，即采用约束混凝土本构模型。
下面主要介绍Mander 等提出的约束混凝土模型，它既适用圆形箍筋，也适用矩形箍筋。
如下图所示，它基于Popovics （1973）提出的方程，适合于低应变率（准静态）和循环加载。
著名的截面分析软件XTRACT 即采用此模型。
受压区f c =xrf cc′r −1+x r其中，f cc ′为约束混凝土强度（将在后面定义）x =εc εcc其中，εc 为混凝土的纵向压应变：εcc =εco [1+5(f cc′f co′−1)]其中，f co ′和εco 为对应未约束混凝土的抗压强度和峰值应变，可取，εco =0.002. r =E c E c −E sec，其中E c =5000√f c ′(Mpa)为混凝土的切线模量（ACI ）规范 E sec =f cc′εcc为混凝土的割线模量。
对于保护层混凝土，假定其应力-应变曲线在ε>2εcc 后为直线，应力在剥落应变εsp 处减小为零。
混凝土的压缩应变εcu 可按下式计算，εcu =0.004+1.4εsu ρ′f y f cc′其中，εsu 为箍筋拉断时的应变； ρ′为箍筋的体积配筋率； f y 为箍筋的屈服强度；约束混凝土强度的确定分两个步骤： （1） 有效约束压力与有效约束系数 在相邻箍筋间的各个截面上，约束压力的大小是不同的，中间截面最小，箍筋所在截面最大。
为简化计算，假设核心区混凝土表面的约束压力均匀分布，于是通过对钢筋和核心区混凝土的隔离体建立静力平衡方程，可以求得此均布压力， 圆形截面：f l′=12k e ρs f yℎ矩形截面：f lx ′=k e ρx f yℎ f ly ′=k e ρy f yℎ其中，f yℎ为箍筋的屈服强度；ρs ，ρx ，ρy 分别为圆形截面，矩形截面x 方向、矩形截面y 方向体积配箍率。
UCfber在钢筋混凝土截面弯矩_曲率计算中的应用
4 混凝土二次衬砌
为保证二次衬砌进度，并做到内实、外美，采用
2 台 9m 长整体钢模衬砌台车，台车总重量达 60t，主 骨架部分在厂家生产，现场安装后，焊接顶面钢板， 为保证模板周转使用不变形，采用 8mm 厚钢板，现 场安装需要一个月时间。二次衬砌要做到仰拱先行 创造环境，适时衬砌保安全。7 月初开始衬砌，在雨 季前完成进出口二次衬砌，施工安全得到保证。
Moment/kN*m Moment/kN*m
244800。如果该桥梁在罕遇地震顺桥向作用下，固定 墩墩底截面弯矩小于 92710，则说明固定墩墩底截 面处于弹性工作状态；如果固定墩墩底截面弯矩大 于 92710 但小于 476000，说明固定墩墩底截面已经 达到屈服状态但是尚未破坏，上述两种状态证明该
ρx，ρy—分别为箍筋在 x, y 的体积含筋率。由公
式（5）计算。
ρx
=
Asx s×dc
(5a)
ρy
=
Asy s×bc
(5b)
其中：
dc —矩形截面沿 Y 轴方向算到箍筋外缘的宽；
bc —矩形截面沿 X 轴方向算到箍筋外缘的宽；
S—纵向箍筋的间距。
算出 f′lx 和 f′ly 之后，就可以利用约束应力与约
开裂弯矩 /kN·m 28460 77040 67690 144900 92710 186300
表 1 各墩墩底截面弯矩 - 曲率计算结果
开裂曲率 /rad·m-1 1.237e-4 4.837e-5 1.124e-4 4.747e-5 9.684e-5 4.539e-5
屈服弯矩 /kN·m 90100 237500 171300 375000 223200 476000
Midas抗震帮助
CHANG’AN UNIVERSITY桥梁工程系DEPARTMENT OF BRIDGE ENGINEERING1写在前面的话吾尝终日坐而论道，欲达师之所命，然则回视来路，喟叹师目标之远大，飘飘乎如遗世而独立，自知生性愚钝，淼淼乎似沧海一栗，虽鞠躬尽瘁终不能达其万一。
何解？吾生也有涯，而知也无涯，试问孰能遍知古今？路漫漫其修远兮。
念至此，心中抑郁之情稍解，思及离别将之，吾虽未成大器，尚愿得著一文以慰后世来者，遂成此文。
憾白驹过隙，仓促而就，恐错误百出，贻笑大方，见谅。
或曰：而立之年而知天命，足以。
CHANG ’AN UNIVERSITY桥梁工程系 DEPARTMENT OF BRIDGE ENGINEERING2 Midas 接触单元2.1 Midas 粘弹性消能器模型——边界条件——一般连接特性值在civil 中的粘弹性消能器同时拥有粘性（与变形速度成比例而产生的力）和弹性（与变形成比例而产生的力）。
主要用于增大结构的消能能力，减小由地震、缝等引起的动力反应，从而提高结构的安全性和实用性。
粘弹性消能器(Viscoelastic Damper)在六个自由度上由线性弹簧和(非)线性阻尼器并联后与线性弹簧串联而成。
MIDAS/Civil 提供3种粘弹性消能器模型。
2.1.1 Maxwell 模型如下图所示，线性弹簧与阻尼器串联的模型，适用于流动粘弹性装置。
Maxwell 模型的力－变形关系式如下：d d b b 0d f=c sign d =k d v （） d k ：粘弹性消能器的刚度d c ：粘弹性消能器的阻尼常数b k ：连接构件的刚度s ：定义粘弹性消能器的非线性特性的常数d ：单元两节点间的变形d d ：粘弹性消能器的变形b d ：连接构件的变形输入d k 并将d k 输入为0。
CHANG’AN UNIVERSITY桥梁工程系DEPARTMENT OF BRIDGE ENGINEERING实际模型概念图图1.6CHANG’AN UNIVERSITY桥梁工程系DEPARTMENT OF BRIDGE ENGINEERING图1.7消能器阻尼（Cd）：输入消能器的阻尼。
毕业设计桥墩抗震设计参考
第7章 桥梁抗震设计示例目前，桥梁工程的抗震设计一般有两种思路：一是采用“抗震”对策进行设计，致力于为结构提供较强的抵抗地震作用的能力；二是采用减隔震的概念进行设计，致力于减小结构的地震反应，以保证结构的安全。
本章将采用上述两种对策对一座四跨连续梁桥进行纵桥向的抗震设计，着重介绍计算设计部分。
其中，“抗震”设计部分采用两种方法进行，即根据现行《公路工程抗震设计规范》（以下称“规范”）进行设计，和采用能力设计方法进行延性设计。
最后，对采用两种对策的抗震设计进行比较分析。
7.1 桥梁结构简介某一四跨连续梁桥，跨径组合为m 254⨯（见图7.1）。
上部结构为预应力混凝土连续箱梁，宽12m ，高1.25m 。
箱梁的混凝土用量为0.6m 3/(m 2桥面)，桥面铺装厚13cm ，三道防撞栏杆质量共2.6t/m 。
采用双柱式桥墩，墩柱采用1.2⨯1.05m 的实心钢筋混凝土截面，横向间距桥梁上部结构的质量为：t m s 14601006.14100)6.25.21208.05.21227.0(=⨯=⨯+⨯⨯+⨯⨯=根据“规范”，所有墩柱质量可换算为墩顶的集中质量，为：t m p 6.82680625.524.0)]5.6476(5.235.15.1[24.0=⨯⨯=⨯+⨯⨯⨯⨯⨯=η可见，p m η仅为s m 的2.1％，所以在地震反应分析中，墩身惯性力可以忽略不计。
7.2 地震动输入本桥可采用反应谱法进行地震反应分析，因此采用地震加速度反应谱作为地震动输入。
根据《中国地震动参数区划图》的规定，该桥址场地的地震加速度峰值为0.2g ，即水平地震系数为0.2。
本连续梁桥为城市高架桥中的一联，结构重要性系数取1.3。
桥址场地属于“规范”II 类场地，反应谱曲线见图3.8，特征周期为0.3s ，下降段的反应谱值为：98.03.025.2⎪⎭⎫⎝⎛⨯=T β7.3 “抗震”设计在静力设计中，多跨连续梁桥常采用的梁墩连接方式为：仅在中墩设固定支座，其余墩上均设滑动支座。
Mander及规范本构
0.93880018
ε
xσ
1.8 0.75 0.008 300 20.1 30.45719
0.007153
22416.51 4258.06
1.234495
0.12 0.017238
0.00001 0.001398 0.223879 0.0005 0.069902 9.664502
0.001 0.139805 16.29281 0.0015 0.209707 20.75584
0.002 0.27961 23.79194 0.0025 0.349512 25.88681
0.003 0.419414 27.34957 0.0035 0.489317 28.37855
0.004 0.559219 29.10353 0.0045 0.629121 29.61134
2.21519 -5.0841 11.30096 227.1492 11.30096
2.531646 -18.8881 9.652686 194.019 9.652686
2.848101 -35.1772 8.372628 168.2898 8.372628
3.164557 -53.69 7.364551 148.0275 7.364551
构
6.012658 -277.239 3.417762 68.69701 3.417762
62.0329114 -303.611 3.220664 64.73535 3.220664
6.64557 -329.331 3.044633 61.19712 3.044633
61.5962025 -354.137 2.886516 58.01896 2.886516
OpenSees中Mander模型用于模拟钢筋混凝土柱滞回性能的适用性
OpenSees中Mander模型用于模拟钢筋混凝土柱滞回性能的适用性赵金钢;杜斌;占玉林【摘要】对OpenSeS软件提供的Concrete04和Concrete07两种基于Mander模型开发的混凝土本构模型的计算原理和参数取值进行详细的归纳;并建立有限元模型,对钢筋混凝土柱进行滞回性能分析.同时选取不同的塑性铰长度和等效刚度计算公式,分析其对钢筋混凝土柱滞回性能计算结果的影响.研究表明:采用Concrete07模型和中国规范给出的塑性铰长度计算公式,对钢筋混凝土柱滞回性能模拟的稳定性较好;不同的等效刚度取值对钢筋混凝土柱滞回性能计算结果的影响较小.%The calculation principle and parameter valuation for two concrete constitutive models Concrete04 and Concrete07 provided by software OpenSees and developed on the basis of Mander model were summed up in detail,and finite element models were established to analyze the hysteretic behavior of reinforced concrete columns.Meantime,the influence of several computational formulas selected for calculation of plastic hinge length and effective stiffness on the computation result of hysteretic behavior of reinforced concrete columns was analyzed,also.The research shows that the stability of simulation for hysteretic behavior of reinforced concrete columns by using the Concrete07 model and the computation formula of plastic hinge length stipulated by Chinese norm will be better and the valuation of different effective stiffness will have little effect on the computation result of hysteretic behavior of reinforced concrete columns.【期刊名称】《兰州理工大学学报》【年(卷),期】2017(043)005【总页数】7页(P127-133)【关键词】钢筋混凝土柱;塑性铰长度;等效刚度;滞回性能;OpenSees【作者】赵金钢;杜斌;占玉林【作者单位】贵州大学土木工程学院,贵州贵阳550025;贵州大学土木工程学院,贵州贵阳550025;西南交通大学土木学院,四川成都610031;陆地交通地质灾害防治技术国家工程实验室,四川成都610031【正文语种】中文【中图分类】TU311;TU375.3混凝土是由多种材料组成的多相复合材料，力学性能复杂，难以建立精确的本构模型.1984年Mander等[1]在对31个不同配筋、不同形状，接近足尺的墙、柱试件进行轴向破坏试验研究的基础上提出了Mander模型.该模型可以充分反映箍筋对混凝土的约束作用和处于三向应力作用下的混凝土延性[2]，广泛适用于各种截面. OpenSees是一款由PEER开发的开源软件平台，具有非常突出的动力非线性处理能力.OpenSees提供了Concrete04和Concrete07两种基于Mander模型的混凝土本构模型.本次研究首先对Concrete04和Concrete07本构模型的计算原理和参数取值进行汇总归纳，然后分别采用这两种本构模型对选取的钢筋混凝土柱拟静力构件建立有限元模型.通过数值模拟结果与试验结果的对比分析，研究两种混凝土本构模型在模拟钢筋混凝土结构动力非线性分析中的适用性，同时分析塑性铰长度和等效刚度的不同计算公式对钢筋混凝土柱滞回性能计算结果的影响.根据文献[1]，Mander模型混凝土轴向压应力fc计算公式如下：式中：为约束混凝土抗压强度；混凝土轴向压应变，为非约束混凝土抗压强度;r=,Esec为混凝土割线模量,Esec=.1) 圆形截面对于圆形截面(如图1a所示)，箍筋约束区混凝土的有效侧压力为=keρsfyh/2式中：fyh为箍筋的屈服强度,MPa；ρs为箍筋体积配筋率，ρs=·；ke为有效约束系数，ke=,Ae为侧面有效约束面积，Ae=k,Acc为约束区混凝土面积，Acc=(1-ρcc)；ds为圆形箍筋或螺旋箍筋的中心直径；s′为箍筋纵向净距；s为箍筋纵向间距；k对于圆形箍筋取2，对于螺旋箍筋取1；ρcc为纵筋与核心混凝土的面积比率，ρcc=；Ash为箍筋截面面积；Ast为纵筋截面面积.因此，箍筋约束区混凝土有效侧压力可表示为2) 矩形截面对于矩形截面(如图1b所示)，侧面有效约束面积Ae为式中：为相邻纵筋的横向间距；bc和dc分别为矩形截面两个方向的箍筋长度. 约束区混凝土面积Acc为矩形截面不同方向的有效侧压力数值不同(见图1b)，x和y方向的有效侧压力可以表示为式中：ρx=,Asx为x方向的横向钢筋面积；ρy=,Asy为y方向的横向钢筋面积.3) 约束混凝土的抗压强度对于采用螺旋或圆形箍筋等有效侧压力相等的约束混凝土抗压强度的计算公式，由文献[1]可知为矩形截面约束混凝土的抗压强度的值，需要通过查找文献[1]中提供的约束强度计算图来确定，但是该方法非常复杂并需要多次迭代.Mander等在文献[3]中提出的Chang-Mander模型中给出了约束混凝土抗压强度的近似计算公式，采用该公式可以方便地计算矩形截面约束混凝土的抗压强度.计算公式为式中和B是考虑由箍筋约束效应引起混凝土强度提高的参数.A=6.888 6-(0.606 9+17.275r)e-4.989r,B=-5,和是混凝土两个方向的有效约束应力.OpenSees提供的Concrete04模型,当混凝土弹性模量E0=5 000时，Concrete04模型受压骨架曲线就变为Mander模型；Concrete07模型是基于Waugh[4]修改后的Chang-Mander模型的混凝土模型，并可考虑箍筋约束效应.1) Concrete04模型Concrete04模型是以Popovice提出的可以考虑约束效应的混凝土模型为基础开发的，并且卸载和重加载规则按Filippou修正后的Karsan-Jirsa模式确定，同时该模型考虑了混凝土受拉力学性能.Concrete04模型受压骨架曲线如图2所示.Concrete04模型受压骨架曲线应力-应变为式(1～7).Concrete04模型中，约束混凝土的极限压应变εu为第一根箍筋断裂时混凝土的压应变(如图2所示).根据文献[2]，εu按下式计算取值：式中：εsu为箍筋的极限拉应变，其余符号意义同前.通常典型εu值约为非约束混凝土的4～16倍.Concrete04模型受拉区上升段的拉伸弹性模量与原点切线刚度E0一致；过了峰值点后，混凝土开裂进入下降段，下降段采用指数形式，如下式所示：OpenSees中，Concrete04模型参数格式如下：uniaxialMaterial Concrete04 $matTag $fpc $epsc0 $epsU $E0 $ft $epst0 $beta其中：$fpc $epsc0 $epsU的意义如图2所示，$epst0=2$ft/$E0.根据文献[5]，$beta取0.1.2) Concrete07模型Concrete07模型考虑因素全面，对于普通和高强混凝土均适用，并可考虑箍筋约束效应.Concrete07模型应力-应变关系如图3所示.Concrete07模型不考虑箍筋约束效应作用时：ε0=1/4/1 152.7,E0=8 2003/8,ft=0.62,εt=2ft/E0,r=/5.2-1.9,xp=2,xn=2.3.Concrete07模型考虑箍筋约束效应作用的约束混凝土抗压强度采用式(8)计算.约束抗压强度对应的应变为对于普通箍筋(fy≤413.7 MPa)，k2=5k1；对于高强箍筋(fy>413.7 MPa)，k2=3k1.对于约束混凝土非线性下降段的参数r，Waugh建议按下式计算：OpenSees中，Concrete07模型参数格式如下：uniaxialMaterial Concrete07 $matTag $fpc $epsc0 $E0 $ft $epst $xp $xn $r 其中：$xp为受拉中直线段下降段开始的应变点的无量纲值；$xn为受压中直线段下降段开始的应变点的无量纲值；$r为控制非线性下降段的参数.钢筋混凝土柱有限元模型应能正确反映纵向钢筋的屈曲现象，否则难以准确模拟出钢筋混凝土柱在反复荷载作用下强度和刚度的退化行为[6].OpenSees平台提供的ReinforcingSteel钢筋材料模型可以较为准确地反映钢筋的实际应力-应变关系，并且可以考虑钢筋的等向强化、初始屈服流幅、Bauschinger效应、钢筋屈曲或循环加载导致的强度和刚度退化以及钢筋断裂等现象.OpenSees提供的基于柔度法的塑性铰单元是一种精度较高且计算成本较低的梁柱单元.因此，采用塑性铰单元和ReinforcingSteel钢筋材料模型分别与Concrete04模型、Concrete07模型结合建立有限元模型，进行钢筋混凝土柱滞回性能分析.国内外学者开展了大量钢筋混凝土柱的拟静力试验，研究钢筋混凝土结构的动力非线性性能.本次分别选用清华大学开展的钢筋混凝土框架柱拟静力试验[7]、Tanaka 等[8]开展的矩形截面钢筋混凝土柱、Lehman等[9]和Kunnath等[10]分别开展的圆形截面钢筋混凝土柱拟静力试验中的部分试件进行数值模拟.选用钢筋混凝土柱的主要设计参数见表1.根据保护层混凝土和核心区混凝土的特性，采用Concrete04模型和Concrete07模型对每个钢筋混凝土柱试验模型分别建立有限元模型，进行滞回性能分析，对比研究基于Mander模型的Concrete04模型和Concrete07模型对钢筋混凝土柱滞回性能模拟的差异，为钢筋混凝土结构动力非线性分析提供参考.Concrete04模型和Concrete07模型对矩形截面钢筋混凝土柱的核心区约束混凝土的抗压强度均采用式(8)计算.试验测试结果与数值模拟结果对比如图4所示.由图4可见，Concrete04模型和Concrete07模型均可以较好地体现钢筋混凝土柱的捏缩效应和滞回特性；Concrete07模型对边柱的计算结果更接近试验结果，而Concrete04模型的模拟峰值承载力和加/卸载刚度均大于Concrete07模型计算结果；Concrete04模型和Concrete07模型对5号柱、430号柱和A2号柱的计算结果基本一致，均能很好地模拟试件的滞回性能.塑性铰长度和等效刚度是进行钢筋混凝土柱延性和塑性性能计算分析的重要参数.下面分析这些影响因素的不同取值对钢筋混凝土柱滞回性能的影响.1) 塑性铰长度取值的影响在侧向力作用下，钢筋混凝土柱底部区域易进入塑性状态，形成塑性铰，并产生较大的非弹性变形.准确地计算钢筋混凝土柱的塑性铰长度对于计算分析其滞回性能是非常重要的.国内外学者提出了多种塑性铰长度计算公式，由于每种公式都有一定的使用范围，因此有必要对这些公式进行对比分析.限于篇幅，选取4种有代表性的塑性铰长度计算公式对钢筋混凝土柱滞回性能进行对比分析.计算公式见表2.滞回性能对比如图5所示.注：L为柱高；db为纵筋直径；fy为纵筋屈服强度；k1对于软钢为0.7，对于冷加工钢为0.9；k3=0.9-；z为临界截面到反弯点的距离；h0为柱截面有效高度；c为极限弯矩作用下截面中和轴的深度；为混凝土圆柱体抗压强度.由图5可见，采用中国规范给出的塑性铰长度计算公式，4个钢筋混凝土柱滞回性能的计算结果与试验结果均拟合较好；采用Baker模型430号柱的模拟结果在加载后期峰值响应和卸载刚度均大于试验结果；采用Sawyer模型边柱的模拟结果在加载后期峰值响应小于试验结果，而卸载刚度大于试验结果；采用Berry模型430号柱的模拟结果在加载后期峰值响应小于试验结果，而A2号柱的模拟结果在加载后期峰值响应大于试验结果.因此，采用中国规范给出的塑性铰长度计算公式对于钢筋混凝土柱滞回性能的模拟来说较为稳定.2) 等效刚度取值的影响文献[11]中指出，E2地震作用下，对于延性构件取毛截面计算出的结构变形偏小，偏不安全，取开裂的后截面等效刚度进行计算分析是合理的.选取有代表性的3种等效刚度计算公式(见表3)，对钢筋混凝土柱试件的滞回性能进行对比分析，判断不同等效刚度取值对钢筋混凝土柱滞回性能的影响.滞回性能对比如图6所示.注：μ为轴压比；P为轴压力；Ag为柱毛截面面积；为混凝土圆柱体抗压强度；db为纵筋直径；D为截面高度；L为柱高度；ρl为纵筋配筋率；EIeff为截面等效刚度；EcIg为毛截面刚度.由图6可见，分别采用3种等效刚度计算公式得到的钢筋混凝土柱滞回曲线基本一致，并且均可以较好地体现钢筋混凝土柱的捏缩效应和滞回特性.因此，计算时可以根据所知条件，选择方便计算的等效刚度计算公式.对OpenSees提供的2种基于Mander模型的Concrete04和Concrete07混凝土本构模型的计算原理和具体参数取值进行详细归纳，并对4个钢筋混凝土柱拟静力试验试件进行数值模拟对比，同时分析采用塑性铰长度和等效刚度的不同计算公式对钢筋混凝土柱滞回性能计算结果的影响，得出以下结论.1) Concrete04和Concrete07模型均可以体现钢筋混凝土柱的捏缩效应和滞回特性，但是Concrete07对混凝土影响因素考虑较全面，对4个试件滞回性能的计算结果与试验结果更接近，稳定性更好.2) 采用中国规范给出的塑性铰长度计算公式，4个钢筋混凝土柱滞回性能的计算结果与试验结果均拟合较好，对钢筋混凝土柱滞回性能的模拟更为稳定.3) 采用3种等效刚度计算公式得到的钢筋混凝土柱滞回曲线基本一致.可以根据已知条件，选择方便计算的等效刚度计算公式进行钢筋混凝土柱的滞回性能分析.致谢：本文得到贵州大学引进人才项目(201517)和四川省高等学校绿色建筑与节能重点实验室开放课题(szjj2016-096)的资助，在此表示感谢.【相关文献】[1] MANDER J B,PRIESTLEY M J N,PARK R.Theoretical stress-strain model for confined concrete [J]. 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Mander约束混凝土模型
Mander约束混凝土模型Mander 约束混凝土模型（1988）(J.B. Mander, M.J.N. Priestly, R. Park. Theoretical Stress-Strain Model for Confined Concrete[J]. Journal of Structural Division, ASCE, V ol.114, No.8, pp.1804~1826,August,1988)基本参数：应力——应变曲线：单一曲线描述，当cu c εε≤≤0时，r cc c xr xr f +-=1σ 约束混凝土相对应变：ccc x εε= 约束混凝土应力——应变曲线系数：sec E E E r c c -=素混凝土弹性模量（MPa ）：c c f E 5000= 约束混凝土峰值割线模量：cc cc f E ε=sec约束混凝土抗压强度：-++-=c l c l c cc f f f f f f 294.71254.2254.1（圆形截面）约束混凝土极限应变：cc huyh s cu f f ερε4.1004.0+= 约束混凝土峰值应变：-+=151c cc pc cc f f εε 有效约束应力：圆形截面径向约束应力l f （Mpa ）：yh s e l f k f ρ21= 矩形截面x 方向约束混凝土有效约束应力（Mpa ）：yh x e lx f k f ρ=矩形截面y 方向约束混凝土有效约束应力（Mpa ）：yh y e lx f k f ρ=（矩形截面）圆形截面体积配箍率：sd dA sh s 42ππρ=矩形截面x 方向体积配箍率：sB A sx x '=ρ 矩形截面y 方向体积配箍率：sD A sy y '=ρ 有效约束系数：cce e A A k = 圆形截面有效混凝土核心面积：224 ??'-=s d A e π 矩形截面有效混凝土核心面积：()??? ??''-??? ?''-'-''=∑=D s B s W D B A n i i e 2121612 ()c cc cc A A ?-=ρ1符号说明：cc f ：约束混凝土抗压强度 cc ε：约束混凝土峰值应变cu ε：约束混凝土极限应变s ρ：横向钢筋体积配箍率yh f ：横向钢筋屈服强度hu ε：横向钢筋极限应变ccc x εε=：约束混凝土相对应变 c f ：混凝土单轴抗压强度pc ε：素混凝土峰值受压应变，一般002.0=pc ε l f ：约束混凝土侧向压应力Mpa lx f ：x 方向约束混凝土有效约束应力Mpa ly f ：y 方向约束混凝土有效约束应力Mpa e k ：有效约束系数A：有效混凝土核心面积eA：矩形截面平行x方向横向钢筋总面积sxA：矩形截面平行y方向横向钢筋总面积syB'：矩形截面约束混凝土核心宽度，至约束钢筋中心D'：矩形截面约束混凝土核心长度，至约束钢筋中心W'：约束钢筋净间距is'：约束钢筋垂直净间距（中心距离s）。
Midas抗震帮助
Midas抗震帮助CHANG’AN UNIVERSITY桥梁工程系 DEPARTMENT OF BRIDGE ENGINEERING1 写在前面的话吾尝终日坐而论道，欲达师之所命，然则回视来路，喟叹师目标之远大，飘飘乎如遗世而独立，自知生性愚钝，淼淼乎似沧海一栗，虽鞠躬尽瘁终不能达其万一。
何解,吾生也有涯，而知也无涯，试问孰能遍知古今,路漫漫其修远兮。
念至此，心中抑郁之情稍解，思及离别将之，吾虽未成大器，尚愿得著一文以慰后世来者，遂成此文。
憾白驹过隙，仓促而就，恐错误百出，贻笑大方，见谅。
或曰:而立之年而知天命，足以。
CHANG’AN UNIVERSITY桥梁工程系 DEPARTMENT OF BRIDGE ENGINEERING2 Midas接触单元2.1 Midas粘弹性消能器模型——边界条件——一般连接特性值在civil中的粘弹性消能器同时拥有粘性(与变形速度成比例而产生的力)和弹性(与变形成比例而产生的力)。
主要用于增大结构的消能能力，减小由地震、缝等引起的动力反应，从而提高结构的安全性和实用性。
粘弹性消能器(Viscoelastic Damper)在六个自由度上由线性弹簧和(非)线性阻尼器并联后与线性弹簧串联而成。
MIDAS/Civil提供3种粘弹性消能器模型。
2.1.1 Maxwell模型如下图所示，线性弹簧与阻尼器串联的模型，适用于流动粘弹性装置。
Maxwell模型的力,变形关系式如下:，d， f=csignd=kd()ddbbv0k:粘弹性消能器的刚度 dc:粘弹性消能器的阻尼常数 dk:连接构件的刚度 bs:定义粘弹性消能器的非线性特性的常数d:单元两节点间的变形d:粘弹性消能器的变形 dd:连接构件的变形 bkk输入并将输入为0。
ddCHANG’AN UNIVERSITY桥梁工程系 DEPARTMENT OF BRIDGE ENGINEERING实际模型概念图图1.6CHANG’AN UNIVERSITY桥梁工程系 DEPARTMENT OF BRIDGE ENGINEERING图1.7消能器阻尼(Cd):输入消能器的阻尼。
Ucfyber
在 Ucfyber 中，混凝土所用模型是 Mander 模型，各参数说明如下：
1.Mander confine concrete--约束混凝土
(1).28days compressive strength f c' 指所应用的混凝土 28 天抗压强度，为标准值，可以由规范中查询。这里用的是混凝土圆柱 体。我国的规范应用的是立方体强度(指混凝土标号)。二者的换算关系为 f c' = 0.85 RS (2).Tension strength 指所应用的混凝土的抗拉强度，在进行弯矩曲率分析计算时，一般不考虑混凝土的抗拉，所 以为 0。
假定 e > 2eco 时， f c ® 0 ，此时无约束混凝土的应变达到碎裂应变， eco 为无约束混凝 土的圆柱体抗压所对应的纵向压应变， 一般取 0.002， 所以 esp 一般 默认值是 0.006。 ⑸post crushing strength:后继碎裂应变，一般不考虑，默认为 0。 (6)failure strain:破坏应变 这个应变值主要是控制程序分析何时终止， 如果用户分析的是无约束混凝土的截面， 该值设 为 0.004，如果用户分析的不仅仅是保护层的碎裂，还要进行约束混凝土的分析，则该值设 为 1。 ⑺concrete elastics modulus( Ec ):混凝土弹性模量。
3.Bilnear steel model：不考虑强化阶段的双直线型模型
①Yield stress f y :钢筋的屈服强度(设计强度)，即 s sy ②Failure strain esu :钢筋断裂时的应变，即钢筋的极限拉应变（0.15） 。 ③Elastic modulus Es :钢筋的弹性模量。 ④Material Hardening:指钢筋进入屈服阶段后，直线的斜率，即 Es' ，一般取 0.01 Es 。这里指 的就是 Es' / Es ，即默认的 0.01 。
mander 有效约束系数
mander 有效约束系数Mander有效约束系数在结构力学中，Mander有效约束系数是用来评估钢筋混凝土结构中混凝土的受限程度的一个重要指标。
Mander有效约束系数与结构的受力性能密切相关，能够准确描述混凝土的受力状态，对于结构的安全性和可靠性具有重要意义。
Mander有效约束系数的定义如下：对于一个截面，Mander有效约束系数可以用来表示混凝土的受限程度。
当混凝土受到约束时，其受力能力会得到一定程度的提高。
Mander有效约束系数的取值范围为0到1，数值越大说明混凝土受到的约束越大，其受力能力也相应增加。
Mander有效约束系数的计算方法是基于混凝土的应力应变关系和截面形状的几何参数。
在计算过程中，需要考虑混凝土的材料性质、截面的几何形状以及受力状态等因素。
通过计算得到的Mander有效约束系数可以用来评估混凝土的受力性能，为结构的设计和分析提供依据。
Mander有效约束系数的应用广泛，可以用于评估钢筋混凝土结构的抗震性能、承载力和变形性能等方面。
在结构的设计和施工过程中，合理地选择和控制Mander有效约束系数的取值，对于提高结构的安全性和可靠性具有重要意义。
在实际工程中，为了保证结构的安全性和可靠性，需要根据具体的设计要求和工程环境，合理选择Mander有效约束系数的取值。
对于抗震设计来说，通常会采用较大的Mander有效约束系数，以增加结构的抗震能力。
而对于承载力设计来说，可以根据结构的实际情况选择合适的Mander有效约束系数，以保证结构的承载能力满足设计要求。
Mander有效约束系数是评估钢筋混凝土结构受力性能的重要指标，其取值可以用来描述混凝土的受限程度。
合理选择和控制Mander有效约束系数的取值，对于提高结构的安全性和可靠性具有重要意义。
在工程设计和施工中，需要根据具体情况合理选择Mander有效约束系数的取值，以保证结构的受力性能满足设计要求。
通过合理应用Mander有效约束系数，可以提高结构的抗震能力、承载能力和变形性能，从而确保结构的安全可靠运行。
Xtract参数说明
XTRACT 参数说明在xtract 中，混凝土所用模型是Mander 模型，各参数说明如下：1.Mander confine concrete--约束混凝土(1).28days compressive strength 'c f指所应用的混凝土28天抗压强度，为标准值，可以由规范中查询。
这里用的是混凝土圆柱体。
我国的规范应用的是立方体强度(指混凝土标号)。
二者的换算关系为'0.85cS f R(2).Tension strength指所应用的混凝土的抗拉强度，在进行弯矩曲率分析计算时，一般不考虑混凝土的抗拉，所以为0。
(3).Confine concrete strength: 'cc f指约束混凝土的峰值纵向压应力，在谢旭的书中，图为p155图7.3。
其计算情况分为两种情况 ①．圆形截面''''''7.942.25412 1.254l l cccc cf f ff f f在上面的公式中:'c f —无约束混凝土的圆柱体的抗压强度，常用的单位是Mpa,混凝土立方体标准试件的强度与其他各种试件强度之间的换算关系：'0.85cS f R ，其中s 是混凝土的标号。
'l f —有效横向约束应力，''2yh sp l ef A f K D S，其中：e K 是截面的有效约束系数。
圆形截面取0.95；yh f 是圆形或螺旋钢筋的屈服强度(钢筋的设计强度)，可以查规范；sh A 是圆形或螺旋钢筋截面总面积(单位为mm 的平方．上下单位统一即可．可以约掉)，即纵向钢筋的总面积—g nA ；'D 是圆形或螺旋钢筋的环的直径。
如下图所示:S 是纵向箍筋的间距。
②矩形截面矩形截面在两个主轴方向的有效约束应力分别为:'lxexyh f K f , 'lyeyyh f K f其中: e K —截面的约束混凝土的系数。
mander 约束混凝土单轴受压本构模型计算
mander 约束混凝土单轴受压本构模型计算下载温馨提示:该文档是我店铺精心编制而成，希望大家下载以后，能够帮助大家解决实际的问题。
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箍筋约束超高性能混凝土本构模型
箍筋约束超高性能混凝土本构模型祁婷; 马恺泽; 刘房添【期刊名称】《《科学技术与工程》》【年(卷),期】2019(019)029【总页数】6页(P213-218)【关键词】超高性能混凝土; 应力-应变曲线; 峰值应力; 峰值应变; 综合约束系数【作者】祁婷; 马恺泽; 刘房添【作者单位】长安大学建筑工程学院西安710000【正文语种】中文【中图分类】TU375.3超高性能混凝土(ultra-high performance concrete, UHPC)是一种超高强、高韧性、高耐久性的新型水泥基复合材料[1]。
与普通混凝土相比具有抗压强度高、延性好、耐久性能优异等特点，适用于各类重载高层结构，在土木工程领域中具有广阔的应用前景。
约束混凝土是指利用外部约束，使核心混凝土处于三向受压状态，改善其自身原有的受力性能，以提高其抗压强度和变形能力[2]。
许多学者对箍筋约束混凝土的力学性能及变形能力进行了大量的研究试验，并提出本构模型。
过镇海等[3]提出箍筋约束混凝土本构模型，但其忽略了混凝土受拉和箍筋布置形式对约束混凝土的影响。
赵作周等[4]收集国内外箍筋约束高强混凝土的试验数据共44组，通过分析拟合，提出特征点计算方法及本构模型，最后通过试验验证了其准确性。
Ali等[5]通过收集多组试验数据，总结分析了现有模型的局限性，并在此基础上，提出基于尺寸效应影响的应力-应变关系曲线模型。
此外，文献[6—10]也对约束混凝土的本构关系进行了深入研究。
然而，关于箍筋约束UHPC的应力-应变关系曲线模型却研究较少。
UHPC作为一种新型的混凝土材料，内含钢纤维，可以对UHPC产生有效的约束作用，明显改善其力学性能和抗震性[11,12]，具有广阔的应用前景，对其力学性能及应力-应变本构关系的研究无疑将推动其进一步发展。
Milad等[13]通过对6个UHPC 柱进行轴心受压试验，分别研究了箍筋间距、配箍形式对UHPC柱力学性能的影响，并指出考虑钢纤维影响的约束高强度混凝土约束模型可适用于约束UHPC模型。
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Mander 约束混凝土模型（1988）
(J.B. Mander, M.J.N. Priestly, R. Park. Theoretical Stress-Strain Model for Confined Concrete[J]. Journal of Structural Division, ASCE, V ol.114, No.8, pp.1804~1826,August,1988)
基本参数：
应力——应变曲线：
单一曲线描述，
当cu c εε≤≤0时，r cc c x
r xr f +-=1σ 约束混凝土相对应变：cc
c x εε= 约束混凝土应力——应变曲线系数：sec E E E r c c -=
素混凝土弹性模量（MPa ）：c c f E 5000= 约束混凝土峰值割线模量：cc cc f E ε=
sec
约束混凝土抗压强度：
⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-++-=c l c l c cc f f f f f f 294.71254.2254.1（圆形截面） 约束混凝土极限应变：
cc hu
yh s cu f f ερε4.1004.0+= 约束混凝土峰值应变：⎥⎦⎤⎢⎣
⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=151c cc pc cc f f εε 有效约束应力：
圆形截面径向约束应力l f （Mpa ）：yh s e l f k f ρ2
1= 矩形截面x 方向约束混凝土有效约束应力（Mpa ）：yh x e lx f k f ρ=
矩形截面y 方向约束混凝土有效约束应力（Mpa ）：yh y e lx f k f ρ=（矩形截面） 圆形截面体积配箍率：s
d dA sh s 42
ππρ=
矩形截面x 方向体积配箍率：s
B A sx x '=ρ 矩形截面y 方向体积配箍率：s
D A sy y '=ρ 有效约束系数：cc
e e A A k = 圆形截面有效混凝土核心面积：2
24⎪⎭⎫ ⎝⎛'-=s d A e π 矩形截面有效混凝土核心面积：()⎪⎭⎫ ⎝⎛''-⎪⎭⎫ ⎝
⎛''-⎥⎦⎤⎢⎣⎡'-''=∑=D s B s W D B A n i i e 2121612 ()c cc cc A A ⨯-=ρ1
符号说明：
cc f ：约束混凝土抗压强度 cc ε：约束混凝土峰值应变 cu ε：约束混凝土极限应变 s ρ：横向钢筋体积配箍率 yh f ：横向钢筋屈服强度
hu ε：横向钢筋极限应变
cc
c x εε=：约束混凝土相对应变 c f ：混凝土单轴抗压强度 pc ε：素混凝土峰值受压应变，一般002.0=pc ε l f ：约束混凝土侧向压应力Mpa lx f ：x 方向约束混凝土有效约束应力Mpa ly f ：y 方向约束混凝土有效约束应力Mpa e k ：有效约束系数
e A ：有效混凝土核心面积 sx A ：矩形截面平行x 方向横向钢筋总面积 sy A ：矩形截面平行y 方向横向钢筋总面积 B '：矩形截面约束混凝土核心宽度，至约束钢筋中心 D '：矩形截面约束混凝土核心长度，至约束钢筋中心 i W '：约束钢筋净间距 ：约束钢筋垂直净间距（中心距离s ）。