初中数学整式乘除培优讲义(含解析)

初中数学整式乘除培优
考试要求:
知识点汇总：
模块一壽的运算
需的运算
概念：求〃个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幕，在/中，α叫做底数, n叫做指数. 含义：水中，"为底数，〃为指数，即表示α的个数，/表示有刃个α连续相乘.
例如：3'表示3×3×3×3×3 , (一3f 表示(一3)x(-3)x(-3)x(-3)x(-3) , -3'表示 -
(3×3×3×3×3)
5. . 2x2x2x2x2
z2 < . . 2 2 2 2 2 2
7 7 7 7 7 7 7 7
特别注意负数及分数的乘方，应把底数加上括号.
“奇负偶正” 口诀的应用：
口诀“奇负偶正”在多处知识点中均提到过，它具体的应用有如下几点：
⑴多重负号的化简，这里奇偶指的是“一”号的个数，例如：一[-(一3)] = -3； -[+(-3)] = 3・⑵有理数乘法，当多个非零因数相乘时，这里奇偶指的是负因数的个数，正负指结果中积的符号，例如：(—3) × (—2) × (—6) = —36,而(—3) × (—2) X (+6) = 36 ・
⑶有理数乘方，这里奇、偶指的是指数，当底数为负数时，指数为奇数，则嫌为负；指数为偶数，则幕为正，
例如：(一3)‘ = 9 , (一3)、= 一27 ・
特别地：当“为奇数时，(一")”=一『：而当“为偶数时，(-a)n =a n・
负数的奇次幕是负数，负数的偶次幕是正数
正数的任何次幕都是正数，1的任何次幕都是1,任何不为O的数的O次幕都是
⑴・
(1)同底数幕相乘・
同底数的彖相乘，底数不变，指数相加.用式子表示为：
(m√ι都是正整数)・
(2) 策的乘方.
幕的乘方的运算性质：幕的乘方.底数不变，指数相乘.用式子麦示为: (町=旷(m 9n 都是正整数)・ ⑶积的乘方.
积的乘方的运算性质：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的無相乘•用 式子表
示为： (ab)n ≈a fl h fl
(“是正整数)・ (4)同底数彖相除・
同底数的幕相除，底数不变，指数相减.用式子表示为:
模块二整式的乘法
⑴单项式与单项式相乘：系数、同底数幕分别相乘作为积的因式，只有一个单项式里含有的 字
母，则连同它的指数作为积的一个因式・
以下举例说明单项式与单项式相乘的规则如下：Ub • 3a 2b y c 2
= 3a^c 2
,两个单项式的系数分 别为1和3,乘积的系数是3,两个单项式中关于字母α的幕分别是α和/,乘积中d 的幕 是才,同理，乘积中b 的幕是戻，另外，单项式“b 中不含C 的幕，而3i l 2b i c 2
中含¢2,故乘 积中含疋・ ⑵单项式与多项式相乘：单项式分别与多项式中的每一项相乘，然后把所得的积相加，
公式为：m(a + b + c) = ma + mb + me ,其中加为单项式，a+b + c
为 多项式.
⑶多项式与多项式相乘:将一个多项式中的每一个单项式分别与另一个多项式中的每一个单 项式相乘，然
后把积相加，公式为：(∕π + n)(a + b) = ma + mb + Ha + Hh
模块三整式的除法
(1) 单项式除以单项式^系数、同底数的幕分别相除作为商的因式，对于只在被除式中含有 的字
母，則连同它的指数作为商的一个因式•如：3a 2b 3c 2
*ab = 3ab 2c 2
,被除式为3a 2b 3c 2
, 除式为肪，系数分别为3和1,故商中的系数为3, α的彖分别为/和α,故商中α的 幕为∕τ=α,同理，〃的幕为，，另外，被除式中含Y,而除式中不含关于c ・的策，故 商中e 的幕为c'・
(2) 多项式除以单项式：多项式中的每一项分别除以单项式，然后把所得的商相加， 公式为：(" + b + c ∙)÷∙m = "*"2 + b*m + c*"?,其中加为单项式，a + h + c 为多项式.
(3) 多项式除以多项式后有专题介绍.
模块四平方差公式
(a+ h){a-b) = a 2 -h 2
平方差公式的特点：即两数和与它们差的积等于这两数的平方差。

(1)
左边是一个二项式相乘，这两项中有一项完全相同，另一项互为相反数。

(π≠0 , In , ⑸规定 π0
= l (α≠O);
“都是正整数) (α≠0, P 是正整数)・
(2)右边是乘方中两项的平方差(相同项的平方减去相反项的平方)。

注意：(1 )公式中的G和〃可以是具体的数也可以是单项式或多项式。

如：
(d + 2)(r∕-2) = «2 -4 ； (x + 3y)(x-3y)=x? -9y2: (a + h + c){a + b-c) = (U + h)2 -C2；
(a3+b5)(a3-b5) = a6-b w t>
(2)不能直接运用平方差公式的，要基于转化变形，也可能运用公式。

如：
97 × 103 = ( 1OO - 3)( 1OO + 3) = 9991 ；(α + b)^b + a) = (a + b)(a -b) = a2-b2.
模块五完全平方公式
(a+b)2=a2 + 2ab+b2; (a-b)2 =a2-2ab + b11即两数和(或差)的平方，等于
它们的平方和加上(或减去)它们积的2倍。

完全平方公式的特点：左边是一个二项式的完全平方，右边是一个二次三项式，其中有两项是公式左边二项式中的毎一项的平方，另一项是左边二项式中二项乘积的2倍，可简单概括为口诀：“首平方，尾平方，首尾之积2倍加减在中央S
注意：(1)公式中的“和b可以是单项式，也可以是多项式。

(2) 一些本来不是二项式的式子的平方也可以利用完全平方公式来计算，如：
(a+b + c)2=[(α + Z?) +CF =(a + b)2+2(a + b)×c + c1
=a2 + 2ab + b2 + 2ac + 2bc + c2 =U I +b2 + C2 + 2ab + 2ac + IbC
立方和公式：(a+b)(a2 -Ub + h2) = U S + b' J
立方差公式：(ii-b)(a2 + ah + b2) = a" -b' ;
和的完全立方公式：(<∕ + ∕√ =a3+3a2b + 3ab2 +b3；
差的完全立方公式：(a - b)' =/ -3∕b + 3ub~ - c'・
例题精讲：
板块一：幕的运算
【例1】已知“ =5 b = -∖.“为正整数，你能求出a2n+2b2n b2的值吗？
【解析】幕运算的综合应用
【答案】a2^2b2n b2≈(ab^2
∣2"∙ 2
当a1^1b2n b2≈(ab)2^2^9原式= 5×
【例2】若(9x2)3∙⅛ =4,求P的值
【解析】略
【答案 1 (9√)3∙ψ8 =[(3x)2 J-(I)8=1(√)2 Λ(√)2=36
/. X3= ±6
【例3】已知—b互为相反数Od互为倒数，兀的绝对值等于2, 试求：X2 - (a + h + Cd)X + (U + b)2∞∙' + (-α∕)20°3的值.
【解析】由题意可知a + b = O 9 Cd= 1 , x = ±2
x2-(a + b + Cd)X+ (α + b)200i + (-cd)20°3 = (±2)‘ 一(O + I)x(±2) + O2003 +
(-∖)20ai
当 X = 2 吋，A-2-(a + b + Cd)X + (a + b)2,xB + (-α∕)20°3 = 1
当 x = -2∏t, X2一(a + h + Cd)X + (U + b)2∞' + (-<γ∕)2αβ = 5
【答案】见解析
【例4】已知:
“ =2002 + 2001× 2002 + 2001× 2000' + …+ 2001 x 2OO22(XX)+ 2001× 20022∞,, b= 2002≡2试比较α与〃的大小・
【解析】变形α时，注意从简单情况入手找规律.
【答案】“ = /?
［例5 ］你能比较两个数20082∞9和2009z≡的大小吗？
为了解决这个问题，我们先写岀它的一般形式，即比较严与5 + 1)"的大小("是自然
数)，然后，我们分析n = 2, H =2, H =3,…中发现规律，经归纳，猜想得出结论・
⑴通过计算，比较下列各组中两个数的大小(在空格中填写“ > ”、“ =J 号)
φl2_21；② 2'_32；③3'_43；④4'_54：⑤5&_65∙∙∙
⑵从帝)题的结果丽归纳，而猜想出严诵5 + 1)”的齐、关系是_____________ •
⑶根据上而归纳猜想得到的一般结论，试比较下列两个数的大小2008'∞9 2009咖・【解析】从简单情况找规律.
【答案］(1XD12
<2I
;②23<32;③34>43;④45>54;⑤56>65
∙∙∙
(2) ∏n+l <(n + l)n (n = l 9 2), n"+, >(n + l)π (n≥3); (3)2∞82009 >2OO92008
.
【巩固】符号川表示正整数从1到刃的连乘积，读作卄的阶乘.例如5! = lx2x3x4x5•试比 较
3“与(n + l)!的大小(n 是正整数)
【解析】当 H = I 时，3M
=3, (n + l)!=l×2 = 2
当 n = 2Ht, 3π
=9 , (n + l)!=l×2×3 = 6 当农=3时.3π
=27, (n + l)! = l×2×3×4 = 24 当 ∏=43t, 了=81, (H + 1)! = 1×2×3×4×5 = 120 当 /7 = 5 Ht, 3“ =243, (H + 1)! = 6! = 720
当 n = l, 2, 3 时，3Λ
>(Λ + 1)!,当 n>3Bt3fl
<(w + l)l.
【答案】见解析
【巩固】比较/与(α为正数，"为正整数)的大小. 【解析】略
【答案】方法1T“>0, 〃为正整数，∆6∕π
>0,
√,+2=√-√,
, •••分三种情况：
当 a>∖i 則 / > 1, Ir>Cr : 当 a = ∖9 则 u 2=l, a^2 =a π
当 OVdVl,则 a 2
<∖ 9 则 a r ^2
<a n
・
方法 2 V a >09 ”为正整数，∙∙∙∕>0, T 一 = tr,
U n
•••分三种请况：①当 a>l f SU 2
>1, a n ^2>a n ;②当 U = I f 则 a 2 = ∖ , α
π+2
=απ
:
③当 0 — Vi, RU 2 <1,
2
< a n ・
【例6】 计算：2-22 -23 -24 -25 -26 -27 一28 -2® +2,
° = _____________
【解析】可直接计算求出结果，也可通过观察式子的特点，注意到2H)
询面为“ + ”号，提 取
公因式，再进行计算.
原式= 2l ° -29 -28 -27 -26 -25 -24 -23 -22
+2
= 29(2-1)-28 -27 -26 -25 -24 -23 -2Z
+2 .......... = 22(2-l) + 2 = 6
教师不防在此回忆巩固下面两个典型题目的计算： 厂 1 1 1 IIIII 1 IlI l l
2丿 刁+歹+尸+・・・+ 莎 +亍=厅+尹+歹+・・・+时 +歹+歹一亍=1一乔 ② 20+2I
+22 + 23 + 24+∙∙∙+2Π
=20+20+2I
+22+23+24 + (2)
-20=2
,HBl
-I 见解析
【例7】 已知：a n
=2> a m
=3, a k
=4,则a?"" 2k 的值为 ________________ 【解析】利用同底数彖的乘法和除法法则的逆运算进行计算. 【答案】当 a n
=2, a m
=3. a k
=4 l ⅛,
a
2n+m '2k
=a 2n
∙a m
÷a 2k
= (a n
) 2
∙a m
÷ (a k
) 2
=4×3÷16=4・
4
T ①
②③
【答案】
【例8】比较3555, 4444, 5333的大小关系，用大于号连接为____________ .
【解析】由于3个麻的底数与指数都不相同，观察发现，它们的指数有最大公约数111,所以逆用幕的乘方的运算性质，可将3个幕都转化为指数是Ill的幕的形式，然后只需比较
它们的底数即可.
【答案］V3555=35XlII= (35) 111=243111,
4444=44Xlll= (44) 111=256111,
5333=53x1II=(53)叫125】11,
又 V256>243>125,
Λ256111>243111>125111,
即 4444>3555>5B3.
【巩固】比较2100与375的大小2100 __________ 375.
【解析】把两个数化成指数相同底数不同的数，通过比较底数比较大小.
【答案］V21∞= (24) 25=162∖ 375= (33) 25=2725,且 1625 < 2725,
Λ2100<375・
【例9】比较3555, 4444, 5333的大小关系，用大于号连接为____________ .
【解析】由于3个纂的底数与指数都不相同，观察发现，它们的指数有最大公约数111,所以逆用嫌的乘方的运算性质，可将3个幕都转化为指数是Ill的幕的形式，然后只需比较
它们的底数即可.
【答案】•・•护S=35×111=(35)111=243111,
4444=44xl Il= (44) 111=256111,
5333=53XllI=(53)叫125】1】,
又 V256>243>125,
Λ256111>243111>125111,
即 4444>3555>5B3.
【巩固】比较2100与375的大小2100 __________ 375.
【解析】把两个数化成指数相同底数不同的数，通过比较底数比较大小.
【答案】∙∙∙2wo=≡ (24) 25=162S, 375= (33) 25=272∖且 1625<2725,
Λ2100<375•
【例10】比较下列各题中幕的大小.
⑴比较大小：U = -OA 2
9 〃 = -4巴2(-丄严，(I = C 丄)°・
4 4 ⑵LL 知“ =81" , b = 2741, c = 961
»比较d, b , C 的大小关系. (3) 比较2匕344 , 53
∖ 6"这4个数的大小关系・
(4) 15,6
与3屮的大小关系是1严 _____ 33° (填“ >”、“ < ”或).
(5) 已知 Λ∕=62∞,+72cm , 7V = 6≡5+72∞,
,比较 M 、N 的大小关系. ⑹已知P =畚,Q =器,比较P 、0的大小关系.
3≡> + [ a 2007
+1
⑺已知A = 討，B = =，试比较A 与〃的大小•
⑻对于“>b>c>o,加>心0(〃八〃是正整数)，比较汽r, /b, “V H
的大小 关系.
【解析】本题介绍了幕的大小比较常用的8个方法.
(1 )</ = —0.16 , b = —= —0.0625 , C = I6, d = 1 . a <b<d <c .直接计算. (2)W = (34)3,=3
,24
, h = (3
3)4,
=3,23 t C
= (32)6,=3
,22
,所以
a>b>c.比较指数.
⑶255
=(25),,
=32H
, 344
=(34),,=81,1, 533 =(53)u
=125n
, 622
= (62)n
=36", 32u
<36"<81,,
<12511
, 255
<622
<344
<533
.比较底数.
(4)15,6
<16l6
=2ω
・ 33l3
>32n
= 265
>2ω
,所以 1516
<33n .放缩. ⑸因为 M-N= 6如 + 7≡3
-(6≡,
+ 72
∞1
)= 6
2(XH
+ 72
∞5 - 6
2αB 一 72∞,
=6
2oω
(1-62
) + 72
∞∣(72
-1)=48X 72(IO,
-35×6≡,
>O , 所以M>N.作差.
⑹因为厶
竺』I=空—
Q
理 99° 9"
119
(7H 殳32∞6
=O ,则 A
= t
A
而]_ — • _ 亠 J — ' ______ — ____ ' ___ — 1 4_ \、1 }3L Tf
B^3t∕ + 1 9t∕ + l ^ (3" + l)2
^9√+6<∕ + l ^ 9√+6t∕ + Γ '
(8)因为 a>b>c>0 9 m >/?>0 (In , m + n-p = 0 为正整数)， 故可取 “ =3, Z? =
2 , c = l, tn =
3 , n = 2 , 则 √,
7∕=33
×22
=1O8 ,
h ,,c ,n =22×∖i =4 , Cv n =I 2×33 = 27 . 所 以
O m b n > c n a m >b n c m ・
见解析
板块二：整式的乘除
【例 11 】计算(2x+l)→(3x -2)×(6Λ-4)→(4x +2). 【解析】原式
=[(2x +1)→(4Λ + 2)] [(6Λ-4)→(3Λ∙ — 2)] =(2x + l)→[2(2% + !)] [2(3X
— 2)*(3x 一2)]
=1・
在乘除混合运算中，巧用结合律，有时可简化运算.
实际上，我们利用除法是乘法的逆运算，除以一个整式，相当于乘以该整式的倒数•
q 9° Q 9 X119 q 9° TF =^L T?= L 所以P=Q -作商. ->0, B = ^I>0.
3" +1 9“ +1 6/ + 1 3a + ∖ α + l)(9α + l) 9∕ + 10d + l
【答案】
通过约分，可更容易地解决问题・其解如下：原式= (2x + D×-J-×(6x-4)×-!—
3x-2 4x + 2 (2X +1).(6Λ-4)I
(3x-2)∙(4x + 2)
【答案】见解析【巩固】计•算：（3Ay）2（才2 一『2）_（4牙2y2）2壬字+9χ2/・
【解析】原式=9√y2（x2-y2）-16x4/ ÷8y2 +9x2/ =9x4y2 -9x2y4 -2x4y2+9√∕ =7x4y2
【答案】见解析
【例12】已知a=v5 - 1,贝∣J 2a3+7a2・2a - 12的值等于______ ・
【解析】将a = y∕5一1转化为(a+l) 2=5,再进一步转化a2+2a=4
将2a3 + Ja2一2“ 一 12转化为2/ + Aa2 + Ia + 3/ 一牝一 12,对前三项提取公因式2纸运用完全平方公式变为2a(a + ∖)2+3a2-4a-n
此时将(a+l) 2=5代入上式，变为3∕+6d-12,再对祈两项提取公因数2,变为 3(/+
2d) —12
此时将a2 + 2a = 4代入上式.最终问题得以解决.
【答案】解：由已知得(a+l) 2=5,所以a2+2a=4
則原式=2a3÷4a2+2a+3a2 - 4a - 12
=2a (a2+2a+l) +3a' - 4a - 12
=2a (a+l) '+3a' - 4a - 12
=2a×5+3a2 - 4a - 12
=3a2÷6a - 12
=3 (a2+2a) - 12
=3×4 - 12
=O
故答案0
【例 13】先化简♦英中 x=-l> y=l,则-2 (3x2 - xy) ÷^∙( - 6x2+3xy - 1) = __________ ・
【解析】此题多项式中含有括号，則先进行去括号，然后合并同类项得到最简式，最后将X, y 的值代入最简式求多项式的值.
［答案】解：原式=-(6x' - 2xy) + ( - 2x"÷xy - J)
=-6x'+2Xy - 2x~+xy -扌
=-8x^+3Xy -扌
当X=-L y=l吋,原式=-S - 3 -寺=-11吉・
【例14】先化简，再求值：
(1)若 a=2, b=-2, (2a⅛+2b2a) - [2 (a2b- 1) +3ab2+2]= _______________ :
(2)已知：A - 2B=7a2 - 7ab> 且 B= - 4a2+6ab+7,
φA=____________ ；
②若∣a+l∣+ (b-2) 2=0,则 A= ____________ ・
(3)已知多项式(2mx2-χ2+3x+l) - (5x2→y2+3x)化简后不含Q项.则多项
式 2m3 - [3m3 - (4m - 5) +ιn]=___________ .
【解析】(1) (2)关馋是化简，然后把给定的值代入求值.
(3)先化简，再根据不含F项，即疋项的系数为0,得关于m的方程.求解再代入多项
式2m3 -[3m3 -(4m-5) + m]化简求值.
【答案】解：(1)原Λ=2a⅛+2b2a - [2a2b - 2+3ab2+2]
=2a2b+2b2a - 2a⅛+2 - 3ab2 - 2
=-ab2当 a=2, b= - 2 时,原式=-2× ( - 2 ) 2= - 8・
(2)由题意知，A= (7a2-7ab) +2B
=(7a2- 7ab) +2 ( - 4a2+6ab+7)
=7a2 - 7ab - 8a2+12ab+14
=-a2+5ab+14
V∣a+l∣+ (b-2) 2=0,
∙'∙a+l=0, b - 2=0,即 a= - L b=2・
当 a= - L b=2 时，原式=-I- 10+14=3.
(3 ) (2mx2 - X2+3X+1)-(5x2 - 4y2+3χ)
=2mx2 - X2+3X+1 - 5x2+4y2 - 3x
=(2m - 6) x2+4y2+l
•••不含X2项
.φ. 2m - 6=0 > 解得 m=3 ・
∙'∙2m'・[3m' - (4m -5) +m]
=2m j - [3n? - 4m+5÷m]
=2m' - 3m'+4m - 5 -In
=-m'+3m - 5
当m=3时
原式=- 27+9 - 5=- 23 ・
【例 15】已知 2x+y=7, x2+y2=5t 则(4x+2y) 2 - 3x2 - y2+2 (1 - y2)的值为____________ ・【解析】把(4.r + 2y)2一3x2一y2 + 2(1-/)化简为[2(2Λ∙+y)f -3x2-y2+2-2y2,合并同类项得4(2x + y)2-3(x2 + y2) + 2, V2x+y=7, x2+y2=5,代入可求值.
【答案】解：原式=[2 (2x+y) J2 - 3X2 - y2+2 - 2y2
=4 (2x+y ) 2 - 3 (x2+y2 ) +2 V2x+y=7, x2+y2=5
•••原式=183.
【例 16】若 Y=箸■，则壬(9y-3) +33 (9y-3) = ________________ .
【解析】把原式去括号，合并同类项，再代入求值.
【答案】解：解法一：I (9y-3) +33 (9y- 3) =3y - l+297y - 99=3OOy - 100,
7∩∩Q
当尸塔孑时，原式=2009 - 100=1909・
解法二：I (9y-3) +33 ({9y- 3})
=(9y-3)(扣3)
=(9y-3) X晋
=30Oy- 100 (以下同法一)・
【例 17】计算:(1)(X5-1)÷(Λ∙-1); (2)(3X4-5√+Λ∙2+2)÷(X2+3).
【解析】⑴用竖式除法
A2+X÷1
X-I)A-3+0Λ∙2÷0Λ-1
Λ-3-√
X2 + Ox
兀一1
A-I
所以，商式为x2+x+l,余式为0.
3F-5x-8
(2) X2 + 3)3疋一5丘+十+0.丫 + 2
3疋 +9F
—5x* - 8A^*÷OX
—5x3— 1SX
-8A∙2+15Λ +2
-8十-24
15x+26
所以，商式为3Λ∙2-5X-8,余式为15x+26・
说明：多项式的除法总可以用竖式除法来计算•计算时注意降慕排列，缺项补0(或空位)，同次项对齐等等・
对多项式除法，我们有带余除法，即：被除式=除式X商式+余式，其中余式的最
鬲次数低于除式的最爲次数・当余式为O吋，我们也称除式整除被除式，用“除式I
被除式"表示・如⑴，我们可记^(A-I)I(X3-I):当余式不为O时，被除式不能整除被除
式：当余式为常数时，我们也称余式为余数.显然，当除式为一次多项式时，余式必
为常数・
后有专题讲解！
【答案】见解析
板块三：乘法公式
【例18】若×2+kxy+49y2是一个完全平方式，则k= ____________ .
【解析】这里首末两项是X和7y这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去X和7y枳的 2倍.
【答案】∙∙∙χ2+kxy+49y2是一个完全平方式，
Λ±2×x×7y=kxy,
.φ. k=±14 ・
【例19】已知m2+2km+16是完全平方式，则k= _______________ -
【解析】这里首末两项是m和4这两个数的平方.那么中间一项为加上或减去m和4积的 2倍. 【答案】∙.∙m2+2km+16是完全平方式，
Λ2kιn=±8m,
解得k=±4.
【例20】用简便方法计算：2∞12 - 4002×2000+20002= ____________ ・
【解析】观察可得原式可整理得：200P-2×2001×2000-20002r 2001和2000两数的平方和减去他们它们乘积的2倍，符合完全平方公式结构特紅，因此可应用完全平方公式进行
计算.
【答案】20012 - 2×2001×2000+20002,
=(2001 - 2000) 2,
=I2=I.
【例21】a2x2 - 4x+b2是一个完全平方式，则ab= _____________ ・
【解析】这里首末两项是ax和b这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去ax和b积的 2 倍，故2ab=±4, ab=±2 ・
【答案】中间一项为加上或减去ax和b积的2倍，
故2ab=±4,
ab=±2
故填±2.
【例22】用乘法公式计算：(1) 59.8×60.2= ___________ : (2) 1982
= ______________ ・ 【解析】(1) 59.8与60.2都与60差Oz 所以可变形为(60・0.2) (60+0.2)后利用平方 差公式
解题；
(2)中可变形为(200 - 2) 2后利用完全平方公式计算.
【答案】(1)原式=(60 - 0.2) (60+0.2)
=60— 0.22=3599.96 (2)原式=(200 - 2) 2
=2002
- 2×200×2+22=39204・
【例23】1232・122×124= ___________ ・
【解析】观察可得122=123 - 1, 124=123+1,代入原式后，配成平方差公式，应用该公式解 题
可得答案.
【答案】原式=1232
- (123 - 1) × (123+1) =1232
- (1232
- 1) =1.
【例24】
P 二
ψ
ζ=( )
612
-392
【解析】先根据平方差公式分别对分子、分母进行因式分解，然后计算即可. (53 +47)(53 ・ 47) (61 + 39)(61 - 39) 100X6 100X22
故选A.
【例25】推导(a + b)2+(b + c)2+(c + a)2
的展开式，并总结公式.
【解析】(d + by + (b + c)2
+(c + a)2
= 2(a 2
+ b 2
+ c 2
+ Ub + he + Ca)或 *[(“ + b)2
+(b + c)2 +(c + a)2] = 6∕2 +h 2 +c 2 + Clb + be + Ca • 帮助学生认淸每一项是由
哪一部分产生的！
【答案】见解析
3 AX — 11 7 Cx - 11
B 、
D 、 5_
H 2 H
【答案】 53三竺
612
-392
【巩固】根据例题结论请直接写岀下而式子的答案・
(∖)(a + b)2 + (h - c)2 +(c + a)2(2) (a + b)2 +(b-c)' +(c-d)'
【解析】(I)(U+ b)2 +(b-c)2 +(c + a)2 = 2(Cr +b2 +c2 +ab-bc + ca)
(2) (a + b)2 + (b — Cy + (c - a)2 = 2(a2 +b2 +c2 + Ub一be — Ca)
【答案】见解析
[巩固】填空：(1)^2+b2 + c2 -ab-be-ca = _______________________________ :
(2)Cr +b2 + c2 + Uh + be — Ca = ________________________ ；
(3)a2 +h2 + c2 - Uh + be _ Ca = ____________________________
【解析](1)1 [(α-b)2 +(b-c)? + (c-“)2]:
⑵ * [(" + b)2 +(b + c)2 +{c-a)2 J : (3)∙1[(" 一 b)2 +(b + c)2 +(c-a)2
【答案】见解析
【例26】推导(a + b + c)2 > (a + h + c + d)2的公式，比较(a + b)2 X (a + h + c)2 X (a + b + c +
d)2 的公式，并探索规律.
【解析】(a + b)2=a2+b2+2ab
(a+ h + c)2 = u2 +b2 + c2 + 2ab + 2hc + 2ca
(a + b + c + d)2 = (U + b)2 + 2(a + b)(c + d) + (c + J)2
=U2 + Iy +c2 +d2 + 2ab + 2cιc + 2cιd + Tbc + Uxl + 2ccl
观察上述三个公式，可发現如下规律：
一、项数：设字母(或者说元)的个数为“，则公式的展开式的项数为［丄。

丄丄n^n+1)
2
二、次数：每个公式的展开式中的每一项的次数均为2：
三、系数：每个公式中每个字母的二次项的系数为1,其余均为2.
根据上述规律，可写出任意个字母的完全平方公式.
【答案】见解析
【巩固】利用例题得出的规律推导(a + b + c-d)∖ (么+ —尸、(a + h + c + d + e)2的展开式.
【解析】令(“ + b + f + dγ = Cr + h2 +c2 + d2 + 2ah + 2ac + 2nd + 2bc + 2bd + 2cd中〃=—〃,
也就是以-〃替换d可得，
(a + b + c-d)2 = a2 + b1 +c2÷ cl2+ 2cιh + 2ac一2ad + 2bc- 2bd一2cd
同理可知.(U + /?-C-J)2 = / +h2+c2+ d2 + Zab一ICIC一ICUl一2bc- 2bd + led
根据例題中归纳出来的规律，(a + b + c + d+e)2的展开式共有15项，所有字母的二次项的系数
均为1,其他项的系数均为2,每一项的次数均为2,由上述特点可知
(a + b + c + d + e)2 = Cr + b2 +c2 +d2 +e2 + 2ab + 2ac + f Icid + 2ae + IbC + 2bd + 2/疋 + 2ccl + 2ce + 2de 【答案】见解析
[巩固](a + b-c + d-e)2 = ___________________________________________ .
【解析】U l +b2 + c2 + d2 +e2 + 2ab - 2ac + 2ad - 2cιe一2bc + 2hd — 2J^e — 2cd + 2ce - Ide . 【答案】见解析
板块四：立方公式
【例27】计算:ω(2m + n2)(4m2 - 2mn2 +n4) : (2)(3x2 -2y×9√ +6x2y + 4y2):
(3)(X m + Λ∙Π)(x2m -Z ln+x2n);⑷(Λ∙+2y)2・(十一2xy + 4y2)2:
【解析】(D(2∕w + ∕Γ)(4τn2 -2fnn2 +n4) = 8zn3+nβ :
(2) (3χ2一2y×9x4 + 6x2y + 4y2) = (3x2 )3 - (2y)' = 27√ 一 8/ :
(D (X m+ Λπ)(χ2m - X w,+X2JI) = (χ,it)3 + (Z)3= Λ∙m + √j,:
(2) (Λ∙ + 2y)2. (x2 - 2Λ>*+4y2 )2 = [(x + 2y)(x2-2Λ>→4∕)]2
=(x3 + 8y3 )2=√+l 6√∕ + 64y6
【答案】见解析
【巩固】利用立方和、立方差公式填空：
⑴(b - _____ )(4t∕2 + 2ab + b2) = lf - 8/ •
(2)(x + 3y)(x2一+ 9y2) = √ + 27∕:
(3)(m + 2n)( _ - Imn + ____ ) = nr + 8/?3・
【解析】⑴加：(2)3Λ), ： (3),n2, 4∕Γ .
【答案】见解析
【例28】已知.γ+y = l, Λ∙2+ y2 =2,求x6 + /的值.
【解析】由Xy = -^(X+y)2 -(χ2 + y2)J=--!-,
2 2
・・.√+/=(√)3+(r)3= (√ + √)3- 3A-2Γ(√+y2)=^.
【答案】见解析
【巩固】若a + b = 5,求/+戻+ 15"的值. 【解析】解法一：由a+b = 5f故
a3 + b^ = (U + b)(a2 -ab + b2) = (U + b)[(“ + b)2—乂力]=125-1 Sab
从而可知，/+戻+15" = 125
解法二：由a+ b = 5 ,故
(a + b)' = Cr + 3a2b + Sab2 + b' = a ++ 3ab(a + h) = / +1> +1 Sab = 125
【答案】见解析
课后作业：
【习题1】通过讣算几何图形的面积可表示一些代数恒等式，如图可表示的代数恒等式是 ( )
a
b
A. (a - b) 2=a'・ 2ab+b2B、(a+b) 2=a2+2ab+b2
C> 2a (a+b) =2,+2ab D、(a+b) (a - b) =a' - b-
【解析】由趣意知，长方形的面积等于长2a乘以宽(a+b),面积也等于四个小图形的面积之和，从而建立两种算法的等量关系.
【答案】解：长方形的面积等于：2a (a+b),
也等于四个小图形的面积之和：a2+a2+ab+ab=2a2÷2ab>
即 2a (a+b) =2a*+2ab・
故选C・
【习题2】若3小・2V-3Λ∙2Λ+, =22∙32,求X
【解析】麻的运算公式的综合运用
【答案】3小・2”一3「2如=3 (3x2)、一2 (3x2)” =(3x2)'
T+I.2Λ-3V .2^=2-32
V3
/.X = 2
［习题3】化简求值，貝中 X= - 2,y= - 3,则壬X ，- 4(x'+∣xy 2)+2(*xy 2
-討)= __________ 【解析】本题先去括号，再合并同类项，然后把给定的x 、y 的值代入求解即可. 【答案】解：原 Λ=∣∙X 2
- 4X 2
- ^xy 2
÷∣∙xy 2
- ∣x 2
=-61C - xy 2 (4 分)
当 X= ■ 2, y= ■ 3 吋,原式=-6×(-2)2
- (-2) × (-3) 2
=-6 ・
【习题4】若式子9x 2
+M+ 4是完全平方式，请你写岀所有满足条件的单项式
M ____________ ・
【解析】若把M 视为2"这一项，9X 2
+M+4 = (3X )2
+M+22
,此时M 可以为±12X :
9
81
若把9/视为2"这一项，9X 2+M+4 = M+22
+2×2×-X Z
,此时M 可以为;
4
16
7
4
若把4视为2"这一项，9X 2
+Λ∕+4 = (3X )2
+M+2×3X ×-,此时M 可以为 r ，
3x 9.厂
M 还可以是一9疋、7.
【答案】见解析
【习题5】itW ： (1)(3Λ-V + 5Z )2
;
(2)(Λ∙-5y-9)2
;
(4) __________________________________ 4〃广 +/厂 +16/” -4mn -SnP +16Prn = ( _________
【解析】⑴(3x- y + 5z)2
= 9x 2
+ y 2
+ 25z 2
-6小- IOyZ + 30M :
⑵(X- 5y- 9)2 =x 2
+ 25y 2
+ 81 — IOQ + 9Oy-18x ・ (3) →ι , , *c ；⑷2〃？，
【答案】见解析
【习题6】如果x 2
÷mx÷16是一个完全平方式，那么m= _____________ ・
【解析】这里首末两项是X 和4这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去X 和4积的2 倍，依此求出m
的值.
【答案】∙.∙χ2÷mx+16是一个完全平方式，
∙'∙这两个数是X 和4, .φ
.ιnx=±2×4∙x, 解得m=±8.
1 _ 3 + 1 -4 + /Z? 1 -6 +
2 C 1 -
_+ _____ 八
+ 4p)2
【习题7]计算：(1)(t∕ —-)(U + -)(t∕2——a +—)(t∕2 + -6/ + —)
3 3 3 9 3 9
(2)(/? + 3“)(9/ 一3ab + b2)
(3)(2a + h)2[4a2一 (加一沏了
⑷(“ + 2b)(a - 2b)(a4 -&防 + ∖6b4 )
【解析】⑴(d —丄)(" + 1)(/ —-</ + —)(t∕2+→∕+-) = (Ci一丄)("' + —) =^/6——^―:
3 3 3 9 3 9 27 27 729
(2)(b + 3a)(9a2一3ab + b2) = (h + 3a)(b2一3ah+ 9√) = Z?5+ (3r∕)3 =戻 + 27/:
(3)(加+ b)2[4∕ -(2α-⅛)b]2=(2a+b)2(4a2-2ab+b2)2
=(8/ + 戻 F = 64/ +16a y b3 + bβ :
⑷@ + 2b)(a一2b×α4一Sa2b2 +16b4) = (a2一4b2)3 =U b-∖2a4b2 + 48α2b4一64bβ.
【答案】见解析
【习题8】已知χ+y = 10, f+),=100,求X2 + y2的值.
【解析】由√ + / = (x+y)3 - 3xy(x+y) 9得 1000-3^x10 = 100,即 Ay = 30.
所以X2 + y2 =(x+y)2一2Q =40・
【答案】见解析。