罗默《高级宏观经济学》(第3版)课后习题详解(第7章 消 费)

罗默《高级宏观经济学》（第3版）第7章 消 费

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7.1 生命周期储蓄（Modigliani and Brumberg ，1954）。考虑一个个人，他的生命期限由0至T ，终生效用由()()0d T

t U u C t t ==⎰给出，其中，()·0u ' >，()·0u '' <，这个人的收入0Y gt +，其中0t R ≤≤，并且R t T ≤≤退休年龄R 满足0R T <<。利率为0，这个人没有初始财富，不存在不确定性。

（a ）这个人的终生预算约束是什么？

（b ）这个的效用最大化的消费路径()C t 是什么？

（c ）作为t 的函数的个人财富路径是什么？ 答：（a ）对于这个人而言，他终生消费的现值必须小于或等于终生收入的现值（个人并没有原始财富），从而有：

()()0

d d T

T

t t C t t Y t t ==≤⎰

⎰ （1）

由于此人的收入为()()00Y t Y gt t R =+ ≤≤，()()0Y t R t T = ≤≤，所以他收入的现值为：

()()22000000

11d d 22R

T

R

t t t Y t t Y gt t Y t gt RY gR ===⎡

⎤=+=+=+⎢⎥⎣⎦⎰⎰ 因此，这个人的终生预算约束为：

()2

00

1d 2

T

t C t t RY gR =≤+⎰ （2） （b ）因为()·0u '' <，且利率和贴现率都为零，所以效用最大化问题简化为要求消费保

持不变。预算约束意味着每一时点的消费等于终生收入除以生命的长度。

由（a ）可知，终生收入为201

2

RY gR +，因而不变的消费水平为：

012R C Y gR T ⎡⎤=

+⎢⎥⎣⎦

（3） 此外，也可以利用变分法、拉格朗日方法求出上述结论。

（c ）在任何时刻t ，此人的财富是从时期0到时期t 的储蓄，即：

()()0

d t

t W t S T A T ==

⎰ （4）

其中，S 代表储蓄，W 代表财富。t 时期的储蓄等于收入和消费之差，即：

()()()S t Y t C t =- （5）

因而储蓄可以表示为：

()0

0Y gt C t R S t C R t T

⎧+- ≤<⎪=⎨- ≤≤⎪⎩，

， （6） 当0t R ≤<时，财富为：

()()00

2020d d 1021

2

T

T

T T W t S T T Y gT C T

t

Y T gT CT T Y t gt Ct

==⎡⎤=

=+-⎣⎦

⎡⎤ =+-⎢⎥

=⎣⎦ =+-⎰⎰

从而可得：

()012W t t Y gt C ⎡⎤

=+-⎢⎥⎣⎦

（7）

当R t T ≤≤时，财富为：

()()()d t

T R

W t S T T W R ==

+⎰ （8）

其中，()W R 是此人退休时的财富。将t R =代入（7）式可得：

()012W R R Y gR C ⎡⎤

=+-⎢⎥⎣⎦

（9）

由于()()0/1/2C R T Y gR =+⎡⎤⎣⎦，所以（9）式可以表示为：

()T W R R C C R ⎡⎤

=-⎢⎥⎣⎦

（10）

（10）式简化为：

()()W R T R C =- （11）

上式表明：由于此人退休后没有收入，所以退休后的消费必须由工作时期积累的财富来维持。由于()T R -是退休后的时间，又由于此人每时期消费C ，所以退休时的财富必须等于()T R C -。

将（11）式以及()()T R t T C S =-≤≤代入（8）式，得：

()()()()()d t

T R

W t T R C C T

T R C C t R T t C

==--

=--- =-⎰

因此，一旦当前的收入超过了终生的平均收入，此人开始有正的储蓄。财富在退休时达

到最大值，然后逐渐下降以维持消费。在生命终结的时刻T ，财富降为0。如图7-1所示。

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图7-1 生命周期中的消费、收入和财富

图7-1（a ）描述了收入和消费作为时间的函数，假定在0时刻收入超过了不变的消费水平。加粗的线条表示消费在退休之前为0Y gt +，而退休之后就一直为0。消费始终为C 。

图7-1（b ）描述了财富作为时间的函数图像。财富曲线的斜率等于储蓄。在工作期间财富增加，因为收入高于消费；财富在退休时刻达到最大值()T R C -。在退休之后，财富以不变的比例下降直至生命结束时降为零。给定财富函数的形状，生命周期中这种财富积累形式称为驼峰型储蓄。

7.2 农民的平均收入低于非农民的平均收入，但前者年度的波动更大。根据这一点，永久性收入假说在预测农民和非农民的估计消费函数时有何不同？

答：因为暂时收入的均值为0，可以将平均收入解释为平均永久收入，因此平均而言，农民的永久性收入低于非农民的永久性收入，即P

P

F NF Y Y <。农民逐年的收入波动更大意味着

农民的暂时收入的方差大于非农民的暂时收入的方差，即()()var var T T

F NF Y Y >。

考虑下面的回归方程：

i i i C a bY e =++ （1）

其中i C 是当前消费，根据永久性收入假说由P Y 来决定：P C Y =；i Y 是当前收入，是永久性收入和暂时收入之和：P T Y Y Y =+。最小二乘回归的关于b 的估计值为：

()()()

var var var P P T Y b Y Y =

+ （2）

只要()var P Y 在两组中是相同的，则()()var var T T

F NF Y Y >意味着估计的斜率系数对于农民

应当小一些。农民的当前收入的边际增加的影响小于非农民的。根据永久收入假说，这是因为当前收入的增加很大程度上是由于暂时收入的增加。因此，对农民的影响小于对非农民的影响。

对于常数项的最小二乘估计是：

()1P

a b Y =- （3）

农民比非农民平均拥有更低的永久性收入，使得估计的常数项更小。不过b 对农民而言