《直线方程的点斜式、斜截式、两点式和截距式》教案(公开课)
《直线方程的五种形式省公开课获奖课件说课比赛一等奖课件
1、设A、B是x轴上旳两点，点P旳横坐标为2，且
│PA│=│PB│，若直线PA旳方程为x-y+1=0，则直线
PB旳方程是—
x+y-5=0
2、求过点A(5,2)且在两坐标轴上截距互为相反数 旳直线方程
3、已知直线L: x y 1
m 4m
1）若直线旳斜率是2，求m旳值
2）若直线l与两坐标轴旳正半轴围成三角形旳 面积最大，求此直线旳方程
y0 x0 5 0 4 0
y 5x 4
措施小结已知两点坐标，求直线方程旳措施：
y=kx+b(k<0,b<0
课堂练习
(1)若直线 x=1 的倾斜角为 ，则
A．等于 0
B．等于 4
C．等于 2
D．不存在
(2)如右图,直线 l1 , l2 , l3 的斜率分别为 k1, k2 , k3 ,则
A． k1 k2 k3
B． k3 k1 k2
C． k3 k2 k1
D． k1 k3 k2
（x1≠x2, y1≠y2 ），求经过这两点旳直线方程？
k y2 y1 x2 x1
代入y y0 k(x x0 )得
y
P1(x1，l y1)【注意y】 当y1 直yx线22 没xy斜11 (率x 或x1斜) 率为0时，
P2(x2，y2)
不能用两点式来表达；
x
两点式：y y1 y2 y1
（2） 斜率是-2，在y轴上旳截距是4；
答案： y -2x 4
2.两点式:已知直线 l 经过点p1(x1, y1)和p2 (x2 y2 ) (x1≠x2)求直线 l旳方程.
y y1 x x1 y2 y1 x2 x1 这个方程是由直线上两点拟定旳，叫做 直线方程旳两点式。
《第1课时直线的点斜式方程与斜截式方程》教学设计
《第1课时直线的点斜式方程与斜截式方程》教学设计一、问题引入请同学们思考:1.在直角坐标系内确定一条直线,需要几个条件?2.求直线斜率的方法有哪些?3.已知直线l 的斜率k ,且直线l 经过点()000,P x y ,如何求直线l 的方程?设计意图:引导学生复习旧知,提出问题,引入新课题.二、探索研究(一)直线的点斜式方程1.循序渐进:思考1:设12,l l 是平面直角坐标系中的直线,分别判断满足下列条件的12,l l 是否唯一.如果唯一，作出相应的直线,并思考直线上任意一点的坐标(,)x y 应该满足什么条件.（1）已知1l 的斜率不存在;（2）已知1l 的斜率不存在且1l 过点(2,1)A -;（3）已知2l 的斜率为3;（4）已知2l 的斜率为3且2l 过点(1,2)B .教师提出问题,学生分组进行思考讨论,教师让学生行口答,并给予点评.教师:不难看出,满足条件(1)的直线1l 有无数条,但满足条件(2)的直线1l 是唯一的,如图所示.此时若(,)x y 为直线1l 上的点,则必有2x =-;另外,任意横坐为2-的点,一定都在直线1l 上.满足条件(3)的直线2l ,只要倾斜角为60︒即可,因此2l 也有无数条.满足条件(4)的直线2l 是唯一的,如图(2)所示.此时若(,)P x y 为直线2l 上不同于B 的点,则BP k即21y x -=-,化简可得21),y x -=-容易验证,(1,2)B 的坐标也能使上式成立,因此直线2l 上的点都使得上式成立;另外,如果,x y 能使得上式成立,即要么(,)P x y 就是点(1,2)B ,要么BP k =也就是说,点P 一定在直线2l 上.思考2：（2）中直线1l 上点的坐标与方程2x =-的解有什么关系?（4）中直线2l 上点的坐标与方程2y -=1)x -的解有什么关系?由此你能得出什么结论?教师提出问题,学生进行思考,教师让同学回答,并给出一般结论.教师:一般地,如果直线l 上点的坐标都是方程(F x ,)0y =的解,而且以方程(,)0F x y =的解为坐标的点都在直线l 上,则称(,)0F x y =为直线l 的方程,而直线l 称为方程(,)0F x y =的直线.此时,为了简单起见,“直线l ”也可说成“直线(,)0F x y =”,并记作:(,)0l F x y =.思考3:设点()000,P x y 为直线l 上一定点,而且知道的l 斜率信息,我们怎样得到直线l 的方程?教师提出问题,学生进行思考讨论并进行回答.教师:（1）如果直线l 的斜率不存在,则直线l 的方程为0.x x =（2）如果直线l 的斜率存在且为k ,设(,)P x y 为直线l 上不同于0P 的点,则0P P k k =,即00y y k x x -=-,化简可得 ()00y y k x x -=-.①而且()000,P x y 的坐标也能使上式成立;另外,如果,x y 能使得上式成立,则要么(,)P x y 就是点()000,P x y ,要么0P Pk k =,也就是说,点P 一定在直线l 上,从而①就是直线l 的方程.因为方程①由直线上一点和直线的斜率确定,所以通常称为直线的点斜式方程.思考4:你能用方向向量来推导直线的点斜式方程吗?教师提出问题,学生进行思考讨论并进行回答.教师:直线的点斜式方程还可以用方向向量来得到:如果已知()000,P x y 是直线l 上一点,而且l 的斜率为k ,则直线的一个方向向量为(1,)a k =;另一方面,设(P x ,y )为平面直角坐标系中任意一点,则P 在直线l 上的充要条件是0P P 与a 共线,又因为()000,P P x x y y =--,所以()00y y k x x -=-.思考5:直线的点斜式方程能否表示坐标平面上的所有直线呢?引导学生分组讨论,然后说明理由,使学生掌握直线的点斜式方程的适用范围.教师:归纳总结:1.点斜式方程的局限性:只能表示斜率存在的直线,不能表示与x 轴垂直的直线.2.经过点()000,P x y 的直线有无数条,可分成两类:①斜率存在的直线(如图),方程为()00y y k x x -=-;斜率不存在的直线(如图):0x x =.（二)直线的斜截式方程思考6:已知直线l 的斜率为k ,且与y 轴的交点为(0,b),求直线l 的方程.学生独立求出直线l 的方程:y kx b =+.②在此基础上,教师给出截距的概念,引导学生分析方程②由哪两个条件确定,让学生理解斜截式方程概念的内涵.教师:一般地,当直线l 既不是x 轴也不是y 轴时:若l 与x 轴的交点为(,0)a ,则称l 在x 轴上的截距为a ;若l 与y 轴的交点为(0,)b ,则称l 在y 轴上的截距为b .一条直线在y 轴上的截距简称为截距.方程y kx b =+由直线的斜率和截距确定,因此通常称为直线的斜截式方程.思考7:观察方程y kx b =+,它的形式具有什么特点?直线y kx b =+在y 轴上的截距是什么? 使学生理解“截距”与“距离”两个概念的区别.教师:从直线的截距式方程y kx b =+,可以方便地看出直线的斜率k 和截距b .思考8:你如何从直线方程的角度认识一次函数y=kx b+?直线方程中k和b的几何意义是什么?你能说出一次函数21,3,3=-==-+的截距吗?y x y x y x使学生进一步加深对直线截距式方程的认识和理解.三、应用举例（一)点斜式方程应用举例例1 已知直线l经过点P,且l的斜率为k,分别根据下列条件求直线l的方程：（1）(0,3),2P k=-.P k=;(2)(1,0),3解（1）根据已知可得直线l的点斜式方程为-=⨯-32(0)y x化简得23=+.y x（2）根据已知可得直线l的点斜式方程为0y x=-+.-⨯-,化简得33y-=(3)(1)x教师可以找两个同学上黑板完成,其他同学在练习本上完成,完成后教师进行讲解.（二)斜截式方程应用举例例2 已知直线l经过点(2,3)P-,且l的倾斜角为45︒,求直线l的方程,并求直线l的截距.解因为直线l的斜率tan451k=︒=,所以可知直线l的方程为-=⨯--，31[(2)]y x即5=+.因此直线l的截距为5.y x学生思考讨论并上台讲解,教师给予点评.四、小结归纳教师引导学生概括：（1）本节课我们学习了哪些知识点？（2）直线方程的点斜式、斜截式的特点和适用范围是什么？（3）求一条直线的方程，要知道什么条件？五、课后作业教材第85页练习A第1~4题.板书设计教学研讨本节内容由8个思考问题构成，每个思考问题要给学生充分的讨论探究时间，这样设计有助于学生自主学习能力的提高.对于例题，这里选择了教材上的例题，数量和难度都有些不足，建议教师可以再安排一些难度较大的例题.。
直线的点斜式方程(公开课)
直线方程种类
两点式方程
通过两点确定一条 直线。
截距式方程
通过 $x$ 轴和 $y$ 轴上的截距确定一 条直线。
点斜式方程
通过一点和斜率确 定一条直线。
斜截式方程
通过斜率和 $y$ 轴 上的截距确定一条 直线。
一般式方程
通过任意两个不共 线的点确定一条直 线。
点斜式方程概念
点斜式方程是一种特殊的直线方程， 它通过一点 $(x_1, y_1)$ 和斜率 $m$ 来确定一条直线。
垂直
如果两条直线的斜率互为负倒 数，则它们垂直。
04
点斜式方程在生活实际问题 中应用
路程、速度、时间问题
01
路程问题
利用点斜式方程，可以根据已知的起点和终点，以及两点之间的斜率
（速度）来求解物体移动的路程。
02 03
速度问题
在直线运动中，速度可以表示为位移（路程）与时间的比值。通过点斜 式方程，我们可以根据已知的两点（起点和某一时刻的位置）来求解物 体的平均速度或瞬时速度。
使用点斜式方程
将已知的点和斜率代入点斜式方程 y - y1 = m(x - x1)，其中 (x1, y1) 是已知点的坐标，m 是斜率。
求解方程
通过代入 x 的值，可以求得对应的 y 值，从而得到直线上的其他点。 连接这些点即可绘制出直线。
判断点是否在直线上
已知直线方程和一个点的坐标，将点 的坐标代入直线方程。
02
03
04
利用斜率公式，$k = frac{y_2 - y_1}{x_2 x_1}$，计算直线的斜率。
当$x_1 = x_2$时，直线 垂直于x轴，斜率不存在。
当$x_1 neq x_2$时， 利用斜率公式计算得到 斜率。
《直线的方程点斜式》课比赛教案
《直线的方程点斜式》优质课比赛教案第一章：教学目标1.1 知识与技能（1）理解直线的点斜式的定义和几何意义；（2）学会用点斜式求直线的方程；（3）能够运用点斜式解决实际问题。
1.2 过程与方法（1）通过实例直观感知直线的点斜式；（2）利用数学软件或图形计算器验证点斜式的正确性；（3）通过合作交流，探索点斜式的应用。
1.3 情感、态度与价值观（1）培养学生的逻辑思维能力和创新能力；（2）培养学生合作交流的团队精神；（3）激发学生对数学的兴趣，感受数学的美。
第二章：教学重难点2.1 教学重点（1）直线的点斜式的定义和几何意义；（2）用点斜式求直线的方程；（3）点斜式在实际问题中的应用。
2.2 教学难点（1）理解直线的点斜式的推导过程；（2）灵活运用点斜式解决实际问题。
第三章：教学准备3.1 教具准备（1）黑板、粉笔；（2）数学软件或图形计算器；（3）直角坐标系模型。
3.2 学具准备（1）笔记本；（2）直尺、圆规；（3）练习题。
第四章：教学过程4.1 导入新课（1）利用实例引导学生直观感知直线的点斜式；（2）提出问题，激发学生思考：如何用点斜式表示直线？4.2 探究新知（1）引导学生通过合作交流，探索直线的点斜式；（2）讲解直线的点斜式的定义和几何意义；（3）演示直线的点斜式的推导过程；（4）引导学生学会用点斜式求直线的方程。
4.3 巩固练习（1）利用数学软件或图形计算器验证点斜式的正确性；（2）完成练习题，巩固所学知识。
4.4 拓展与应用（1）引导学生运用点斜式解决实际问题；（2）学生展示成果，互相评价。
第五章：教学反思5.1 课堂效果评价（1）学生对直线的点斜式的理解和运用程度；（2）学生合作交流的能力；（3）学生对数学的兴趣和积极性。
5.2 教学方法改进（1）针对学生的实际情况，调整教学方法；（2）注重个体差异，关注学生的成长；（3）不断反思，提高自身教学水平。
第六章：教学评价6.1 评价目标（1）学生能理解直线的点斜式方程的定义和应用；（2）学生能运用点斜式方程解决实际问题；（3）学生能够通过合作交流，提高分析和解决问题的能力。
直线的点斜式方程与斜截式方程教案
直线的点斜式方程与斜截式方程教案直线的点斜式方程与斜截式方程教案一、教学目标学生能够： 1. 理解直线的点斜式方程和斜截式方程的概念； 2. 掌握如何通过已知条件确定直线的点斜式方程和斜截式方程； 3. 能够相互转化点斜式方程与斜截式方程； 4. 应用所学知识解决实际问题。
二、教学内容1. 直线的点斜式方程• 1.1 定义：直线的点斜式方程表示为y−y1=k(x−x1)，其中(x1,y1)是直线上的已知点，k是直线的斜率。
• 1.2 推导：假设直线上有一点(x,y)，斜率为k，则可以得到点斜式方程。
2. 直线的斜截式方程• 2.1 定义：直线的斜截式方程表示为y=kx+b，其中k是直线的斜率，b是直线与y轴的截距。
• 2.2 推导：假设直线上有一点(x,y)，斜率为k，并考虑直线与y轴的截距为b，可以得到斜截式方程。
3. 点斜式方程与斜截式方程的相互转化• 3.1 从点斜式方程到斜截式方程的转化：将点斜式方程中的表达式整理，消去括号后化简，得到斜截式方程。
• 3.2 从斜截式方程到点斜式方程的转化：观察斜截式方程的形式，确定点斜式方程中的已知点和斜率。
三、教学步骤1. 引入介绍直线的点斜式方程和斜截式方程的定义和推导过程，并讲解本节课的教学目标。
2. 点斜式方程与斜截式方程的讲解与演示• 2.1 详细解释点斜式方程的定义和推导过程，带入示例进行讲解。
• 2.2 详细解释斜截式方程的定义和推导过程，带入示例进行讲解。
• 2.3 对比两种方程的特点，让学生理解它们之间的关系。
3. 点斜式方程与斜截式方程的相互转化练习让学生通过练习，掌握点斜式方程和斜截式方程之间的相互转化方法。
4. 实际问题解决提供实际问题，让学生应用所学知识解决问题，加深对直线方程的理解和应用能力。
5. 总结与拓展总结本节课的重点内容和要点，并展开讨论直线的其他方程形式。
四、课堂作业1.完成教学步骤中的练习题；2.思考并总结其他直线方程的形式。
直线的点斜式方程与斜截式方程教案(一)
直线的点斜式方程与斜截式方程教案(一)教案：直线的点斜式方程与斜截式方程一、概述本节课主要介绍直线的点斜式方程与斜截式方程的概念及求解方法，以及如何在坐标平面中绘制直线。
二、学习目标1.了解直线的点斜式方程与斜截式方程的含义及公式；2.能够根据给定的直线上的一点和斜率求解直线的点斜式方程；3.能够根据给定的直线在坐标轴上的截距求解直线的斜截式方程；4.能够在坐标平面中用点斜式方程和斜截式方程绘制直线。
三、教学内容及步骤1.直线的点斜式方程–点斜式方程的定义：y−y1=k(x−x1)，其中(x1,y1)为直线上的一点，k为直线的斜率。
–求解步骤：•已知直线上的一点(x1,y1)和斜率k；•代入点斜式方程，得到直线的方程。
2.直线的斜截式方程–斜截式方程的定义：y=kx+b，其中k为直线的斜率，b 为直线在纵轴上的截距。
–求解步骤：•已知直线的斜率k和截距b；•将斜率k和截距b代入斜截式方程，得到直线的方程。
3.绘制直线–使用点斜式方程：•确定一点(x1,y1)和斜率k；•选取适当的x值，计算对应的y值；•将得到的点(x,y)连接起来，绘制直线。
–使用斜截式方程：•确定斜率k和截距b；•选取适当的x值，计算对应的y值；•将得到的点(x,y)连接起来，绘制直线。
四、教学示例给定直线上一点A(2, 3)和斜率k=2，求直线的点斜式方程和斜截式方程，并在坐标平面上绘制该直线。
1.点斜式方程的求解：–点斜式方程：y−y1=k(x−x1)–将点A(2, 3)和斜率k=2代入，得到方程：y−3=2(x−2)–化简得到点斜式方程：y−3=2x−4–整理得到点斜式方程：y=2x−12.斜截式方程的求解：–斜截式方程：y=kx+b–已知斜率k=2和点A(2, 3)，代入得到方程：3=2(2)+b–求解得到截距b= -1–整理得到斜截式方程：y=2x−13.绘制直线：–表示直线的点对：(0, -1), (1, 1), (2, 3), (3, 5), (4,7)等；–将这些点用直线连接起来，得到一条斜率为2的直线。
《直线的方程点斜式》课比赛教案
《直线的方程点斜式》优质课比赛教案第一章：引言1.1 课程背景本节课将介绍直线的方程点斜式。
直线是几何中的基本元素，而直线的方程点斜式是描述直线位置和性质的重要工具。
通过学习直线的方程点斜式，学生可以更好地理解和运用直线的相关知识。
1.2 教学目标引导学生理解直线的方程点斜式的概念和意义；教授学生如何应用直线的方程点斜式解决实际问题；培养学生的逻辑思维和解决问题的能力。
第二章：直线的方程点斜式定义2.1 直线方程的概念回顾直线的方程一般形式：Ax + By + C = 0，其中A、B、C为常数，且A和B 不为0。
2.2 点斜式的定义定义：直线的方程点斜式是指用直线上一点和该点斜率来表示直线方程的形式。
公式：y y1 = m(x x1)，其中m为直线的斜率，(x1, y1)为直线上的一个点。
第三章：直线的方程点斜式推导3.1 直线的斜率回顾斜率的定义和计算公式：斜率m = (y2 y1) / (x2 x1)，其中(x1, y1)和(x2, y2)为直线上的任意两点。
3.2 直线的方程点斜式推导过程已知直线上的一个点(x1, y1)和斜率m，如何得到直线的方程点斜式？将斜率代入点斜式公式，得到y y1 = m(x x1)。
第四章：直线的方程点斜式应用4.1 求直线的方程已知直线上的一个点和斜率，如何写出直线的方程点斜式？根据点斜式公式，将已知点(x1, y1)和斜率m代入，得到直线的方程。
4.2 求直线上某点的坐标已知直线的方程点斜式，如何求直线上某点的坐标？将已知点的坐标代入直线的方程点斜式，解方程得到直线上该点的坐标。
第五章：直线的方程点斜式综合练习5.1 练习题1：求直线的方程已知直线上的一个点(2, 3)和斜率m = 2，写出直线的方程点斜式。
5.2 练习题2：求直线上某点的坐标已知直线的方程点斜式为y 3 = 2(x 1)，求直线上的点(4, y)的坐标。
第六章：直线的方程点斜式与一般式的转换6.1 一般式与点斜式的关系回顾直线的方程一般式：Ax + By + C = 0，其中A、B、C为常数，且A和B 不为0。
《直线的两点式方程》示范公开课教学课件【高中数学苏教版】
直线的两点式方程
1.掌握直线方程的两点式的形式特点及适用范围； (重点、难点 )2.了解直线方程截距式的形式特点及适用范围；3.掌握中点坐标公式；(重点)4.通过四种形式方程的对比，掌握类比思想。
学习目标
上节课我们学习了直线方程的点斜式，请问点斜式方程是什么？利用点斜式解答如下问题：
已知直线经过P1(1,3)和P2(2,4)两点,求直线的方程。
当y1= y2时方程为：y=y1或y=y2
研探新知
y
解：将A(a，0），B（0，b)的坐标代入两点式得：
例1 已知直线l 与x轴的交点为A(a,0),与y轴的交点为B(0,b)其中a≠0,b≠0,求直线l 的方程。
例题讲解
直线的截距式方程
直线方程由直线在x轴和y轴的截距确定，所以叫做直线方程的截距式方程。
在y轴上的截距
在x轴上的截距
截距式适用于横、纵截距都存在且都不为0的直线。
研探新知
根据下列条件求直线方程，并画出图形：(1)在x 轴上截距是2，在y轴上截距是3；
(2)在x 轴上截距是-5，在y轴上截距是6。
研探新知
例2 已知三角形的三个顶点A(-5,0),B(3,3),C(0,2)，求BC边所在直线的方程，以及该边上中线所在直线的方程。
解：过B(3,-3),C(0,2)的两点式方 程为：
这就是BC边所在直线的方程。
例题讲解
例题讲解
如图,已知正方形的边长是4，它的中心在原点，对角线在坐标轴上，求正方形各边及对称轴所在直线的方程。
o
Q
M
P
D
C
B
A
N
例题讲解
例题讲解
1.求经过下列两点的直线方程:
课堂训练
《直线的点斜式方程》教学设计（优质课）
直线的点斜式方程（一）教学目标 1．知识与技能（1）理解直线方程的点斜式、斜截式的形式特点和适用范围； （2）能正确利用直线的点斜式、斜截式公式求直线方程； （3）体会直线的斜截式方程与一次函数的关系）体会直线的斜截式方程与一次函数的关系.. 2．过程与方法在已知直角坐标系内确定一条直线的几何要素——直线上的一点和直线的倾斜角的基础上，通过师生探讨，得出直线的点斜式方程，学生通过对比理解“截距”与“距离”的区别 3．情态与价值观通过让学生体会直线的斜截式方程与一次函数的关系，进一步培养学生数形结合的思想，渗透数学中普遍存在相互联系、相互转化等观点，使学生能用联系的观点看问题渗透数学中普遍存在相互联系、相互转化等观点，使学生能用联系的观点看问题..（二）教学重点、难点：（1）重点：直线的点斜式方程和斜截式方程）重点：直线的点斜式方程和斜截式方程.. （2）难点：直线的点斜式方程和斜截式方程的应用）难点：直线的点斜式方程和斜截式方程的应用.. （三）教学设想 教学环节教学环节 教学内容教学内容师生互动师生互动设计意图设计意图 复习引入复习引入 1．在直角坐标系内确定一条直线，应知道哪些条件？件？学生回顾，并回答并回答. . 然后教师指出，指出，直线的方程，直线的方程，直线的方程，就是直线就是直线上任意一点的坐标上任意一点的坐标((x , y )满足的关系式足的关系式. .使学生在已有知识和经验的基础上，探索新知.概念形成概念形成 2．直线l 经过点P 0 (x 0, y 0)，且斜率为k . 设点P (x ,y )是直线l 上的任意一点，请建立x ，y 与k ，x 0, y 0之间的关系学生根据斜率公式，可以得到，当x ≠x 0时，0y y k x x-=-，即y – y 0 = k (x – x 0)（1） 老师对基础薄弱的学生给予关注、关注、引导，引导，使每个学生都能推导出这个方程推导出这个方程. .培养学生自主探索的能力，并体会直线的方程，就是直线上任意一点的坐标点的坐标((x ,y )满足的关系式，从而掌握根据条件求直线方程的方法方法. .3．（1）过点P 0 (x 0,y 0)，斜率是k 的直线l 上的点，其坐标都满足方程（1）吗？）吗？学生验证，教师引导学生验证，教师引导. .使学生了解方程为直线方程必须满足两个条件条件. .（2）坐标满足方程（）坐标满足方程（11）的点都在经过P 0 (x 0,y 0)，斜率为k 的直线l上吗？上吗？学生验证，教师引导教师引导. . 然后教师指出方程（师指出方程（11）由直线上一定点及其斜率确定，所以叫做直线的点斜式方程，简称点斜式(point slope form).使学生了解方程为直线方程必须满足两个条件条件. . 概念深化概念深化4．直线的点斜式方程能否表示坐标平面上的所有直线呢？有直线呢？学生分组互相讨论，然后说明理由理由. .使学生理解直线的点斜式方程的适用范围斜式方程的适用范围. .5．（1）x 轴所在直线的方程是什么？Y 轴所在直线的方程是什么？（2）经过点P 0 (x 0, y 0)且平行于x 轴(即垂直于y 轴)的直线方程是什么？（3）经过点P 0 (x 0, y 0)且平行于y 轴(即垂直于x 轴)的直线方程是什么？么？教师引导学生通过画图分析，求得问题的解决求得问题的解决..进一步使学生理解直线的点斜式方程的适用范围，掌握特殊直线方程的表示形式方程的表示形式. .应用举例应用举例教师引导学生分析要用点斜学生会运用点斜式方6．例1. 直线l 经过点P 0 (– 2，3)3)，，且倾斜角a = 45°45° . . 求直线求直线l 的点斜式方程，并画出直线l .式求直线方程应已知哪些条件？题目那些条件已经直接给予，那些条件还有待已去求. 在坐标平面内，要画一条直线可以怎样去画直线可以怎样去画..例1 解析：直线解析：直线l 经过点P 0 (–2，3)3)，斜率，斜率k = tan45°=1代入点斜式方程得y – 3 = x + 2画图时，只需再找出直线l 上的另一点P 1 (x 1，y 1)，例如，取x 1= –1，y 1 = 4，得P 1 的坐标为（–坐标为（– 1 1，4），过P 0 ，P 1的直线即为所求，如右图的直线即为所求，如右图. .程解决问题，清楚用点斜式公式求直线方程必须具备的两个条件：（1）一个定点； （2）有斜率）有斜率. . 同时掌握已知直线方程画直线的方法线的方法. .概念深化概念深化7．已知直线l 的斜率为k ，且与y 轴的交点为轴的交点为(0, (0,b )，求直线l 的方程的方程. .学生独立求出直线l 的方程：y = k x kx +b （2） 再此基础上，教师给出截距的概念，概念，引导学生分析方程引导学生分析方程引导学生分析方程（（2）由哪两个条件确定，让学生理解斜截式方程概念的内涵解斜截式方程概念的内涵. . 引入斜截式方程，让学生懂得斜截式方程源于点斜式方程，是点斜式方程的一种特殊情形.8．观察方程y = kx + b ，它的形式具有什么特点？点？学生讨论，教师及时给予评价.深入理解和掌握斜截式方程的特点？式方程的特点？ 9．直线y = k x kx +b 在x 轴上的截距是什么？轴上的截距是什么？学生思考回答，教师评价学生思考回答，教师评价. .使学生理解“截距”与“距离”两个概念的区xy 64 2 1–1 –2 0P 0P 1别.方法探究方法探究1010．．你如何从直线方程的角度认识一次函数y =kx + b ？一次函数中k和b 的几何意义是什么？你能说出一次函数y = 2x – 1，y = 3x ，y = –x + 3图象的特点吗？吗？ 学生思考、讨论，教师评价学生思考、讨论，教师评价. . 归纳概括归纳概括. .体会直线的斜截式方程与一次函数的关系程与一次函数的关系. .应用举例应用举例1111．例．例2 已知直线已知直线l 1：y = k 1 + b 1，l 2：y 2 = k 2 x + b 2. 试讨论： （1）l 1∥l 2的条件是什么？么？（2）l 1⊥l 2的条件是什么？教师引导学生分析：用斜率判断两条直线平行、垂直结论断两条直线平行、垂直结论. . 思考（思考（11）l 1∥l 2时，k 1，k 2；b 1，b 2有何关系？（有何关系？（22）l 1⊥l 2时，k 1，k 2；b 1，b 2有何关系？在此由学生得出结论；l 1∥l 2Ûk 1 = k 2，且b 1≠b 2；l 1⊥l 2Ûk 1k 2= –1. 例2 解析：解析：（1）若l 1∥l 2，则k 1 = k 2，此时l 1、l 2与y轴的交点不同，即b 1 =b 2；反之，k 1 = k 2，且b 1 = b 2时，l 1∥l 2 .于是我们得到，对于直线于是我们得到，对于直线l 1：y = k 1x + b 1，l 2：y = k x kx +b 2 l 1∥l 2Ûk 1 = k 2，且b 1≠b 2；l 1⊥l 2Ûk 1k 2 = –1.掌握从直线方程的角度判断两条直线相互平行，或相互垂直；进一步理解斜截式方程中k ，b 的几何意义的几何意义. .1212．．课堂练习第100页练习第1，2，3，4题.学生独立完成，教师检查反馈.巩固本节课所学过的知识知识. .归纳归纳1313．小结．小结．小结教师引导学生概括：（1）本节课我们学过哪些知识点；（2）直线方程的点斜式、斜截式的形式特点和适用范围是什么？（3）求一条直线的方程，要知道多少个条件？要知道多少个条件？使学生对本节课所学的知识有一个整体性的认识，了解知识的来龙去脉龙去脉. . 课后作业课后作业 见习案 3.2的第一课时的第一课时 学生课后独立完成学生课后独立完成. .巩固深化巩固深化备选例题例1 求倾斜角是直线求倾斜角是直线31y x =-+的倾斜角的114，且分别满足下列条件的直线方程是，且分别满足下列条件的直线方程是. .（1）经过点(3,1)-； （2）在y 轴上的截距是–轴上的截距是–5. 5.【解析】∵直线31y x =-+的斜率3k =， ∴其倾斜角a =120=120°° 由题意，得所求直线的倾斜角11304a a ==.故所求直线的斜率13tan 303k ==. （1）∵所求直线经过点(3,1)-，斜率为33，∴所求直线方程是31(3)3y x +=-，即3360x y --=. （2）∵所求直线的斜率是33，在y 轴上的截距为–轴上的截距为–55， ∴所求直线的方程为353y x =-， 即33150x y --= 【点评】（1）由于点斜式与斜截式方程中都是用斜率k 来表示的，故这两类方程不能用于垂直于x 轴的直线轴的直线..如过点如过点(1(1(1，，2)2)，倾斜角为，倾斜角为9090°的直线方程为°的直线方程为x– 1 = 0. （2）截距和距离是两不同的概念，y 轴上的截距是指直线与y 轴交点的纵坐标，x 轴上的截距是指直线与x 轴交点的横坐标轴交点的横坐标..若求截距可在方程中分别令x = 0或y = 0求对应截距求对应截距. .例2 直线直线l 过点P (–2，3)3)且与且与x 轴，y 轴分别交于A 、B 两点，若P 恰为线段AB 的中点，求直线l 的方程的方程. .【解析】设直线l 的斜率为k ， ∵直线l 过点过点((–2，3)3)，，∴直线l 的方程为y – 3 = k [x – (–2)]2)]，令，令x= 0，得y = 2k + 3；令y = 0得32x k=--.∴A 、B 两点的坐标分别为A 3(2,0)k--，B (0(0，，2k + 3). ∵AB 的中点为的中点为((–2，3)∴32023,2202332k k k ì--+ï=-ï=íï++=ïî解之得 ∴直线l 的方程为33(2)2y x -=+，即直线l 的方程为3x – 2y +12 = 0.。
高二数学7.2《两点式、截距式》教案(湘教版必修三)
第二课时 直线的方程－两点式、截距式●教学目标1. 掌握直线方程两点式的形式特点及适用范围;2. 了解直线方程截距式的形式特点及适用范围.●教学重点直线方程的两点式●教学难点两点式推导过程的理解●教学方法学导式●教学过程1、创设情境直线l 过两点A （1,2），B （3,5），求直线l 的方程。
回忆：直线方程的点斜式、斜截式直线方程的点斜式： y ―y 1 =k( x ―x 1)直线的斜截式：y = kx + b解：∵直线l 过两点A （1,2），B （3,5）∴直线l 的斜率k = (5―2)/(3―1)∴直线l 的方程是y ―2 = [(5―2)/(3―1)](x ―1)即：(y ―2)/ (5―2)= (x ―1) / (3―1)2、提出问题：直线l 过两点A （x 1,y 1），B （x 2,y 2），(x 1≠x 2)求直线l 的方程。
),(2121121121y y x x x x x x y y y y ≠≠--=--猜想： 推导:因为直线l 经过点A （x 1,y 1），B （x 2,y 2），并且x 1≠x 2，所以它的斜率1212x x y y k --=.代入点斜式, 得)(112121x x x x y y y y ---=-. 3、解决问题直线方程的两点式:),(2121121121y y x x x x x x y y y y ≠≠--=-- 其中（),(),,2211y x y x 是直线两点的坐标.说明:①这个方程由直线上两点确定;②当直线没有斜率(21x x =)或斜率为)(021y y =时,不能用两点式求出它的方程. 两点式的变形式：(x 2―x 1)(y ―y 1) = (y 2―y 1)(x ―x 1).特殊情况，若直线l 过点（a,0），（0，b ），(ab ≠0)则直线l 的方程是什么？分析：代入两点式有 a a x b y --=--000，整理得1by a x =+ 直线方程的截距式:1=+b y a x ,其中a ,b 分别为直线在x 轴和y 轴上截距. 说明:①这一直线方程由直线在x 轴和y 轴上的截距确定,所以叫做直线方程的截距式; ②求直线在坐标轴上的截距的方法：令x = 0得直线在y 轴上的截距；令y= 0得直线在x 轴上的截距。
《6.2.2 直线的点斜式方程与斜截式方程》教学设计教学反思-2023-2024学年中职数学高教版2
《直线的点斜式方程与斜截式方程》教学设计方案（第一课时）一、教学目标1. 掌握直线的点斜式方程和斜截式方程的概念。
2. 能够根据已知条件熟练求出直线的方程。
3. 理解直线方程在实际问题中的应用。
二、教学重难点1. 教学重点：掌握直线的点斜式方程和斜截式方程的求解方法。
2. 教学难点：将实际问题转化为数学问题，建立合适的数学模型。
三、教学准备1. 准备教学用具：黑板、粉笔、几何模型。
2. 准备教学资料：相关例题、练习题。
3. 准备教学视频：关于直线方程在实际问题中应用的视频。
4. 设计教学方案：按照知识体系，合理安排授课内容。
四、教学过程：本节内容分为两个部分，首先是导入新课，然后是新课讲授。
在讲授过程中，注重与学生互动，引导学生思考和探索问题，并适当使用多媒体教学技术，增强教学效果。
（一）导入新课1. 回顾上节课的内容，引导学生回顾直线方程的一般式、斜截式以及截距式，为新课做好铺垫。
2. 提出实际问题：如一直线过点（3,2），倾斜角为45度，请学生求出这条直线的方程。
通过实际问题引导学生思考，引入本节课的主题。
3. 引入概念：点斜式和斜截式。
简单介绍这两种方程的由来和特点。
（二）新课讲授1. 点斜式方程的推导：（1）引导学生思考如何根据已知条件写出直线方程。
（2）教师演示如何根据已知条件和直线的倾斜角等参数写出点斜式方程。
（3）请学生尝试自己写出其他情况的点斜式方程，并加以解释。
2. 斜截式的推导：（1）提出问题：如何将点斜式方程转化为斜截式？（2）引导学生思考，并使用多媒体展示两种转化过程，帮助学生理解。
（3）请学生尝试自己写出其他情况的斜截式方程，并加以解释。
3. 对比两种方程：（1）请学生对比两种方程的形式和特点，并思考它们之间的联系和区别。
（2）请学生举例说明在什么情况下使用哪种方程更合适。
4. 应用举例：（1）请学生根据所学知识，求出一些已知直线倾斜角和截距的直线方程。
（2）教师给出一些实际应用问题，如直线经过某点且与某段线段相交，请学生求出对应的直线方程。
《直线方程的点斜式、斜截式、两点式和截距式》教案(公开课)
《直线方程的点斜式、斜截式、两点式和截距式》教案(公开课)直线方程的点斜式、斜截式、两点式和截距式引言：本次公开课的教案将介绍直线方程的几种常用表示方法，包括点斜式、斜截式、两点式和截距式。
通过教学的方式，学生将学习如何将直线的几何特征与数学方程相对应，从而更好地理解和运用直线方程。
本教案分为四个部分，分别对应于不同的直线方程形式，每个部分包含示例和练习，以促进学生的理解和掌握。
一、点斜式点斜式是直线方程的一种常见表示方法，它用一点和直线的斜率来描述直线的位置和倾斜程度。
点斜式的一般形式为 y - y1 = k(x - x1)，其中 (x1, y1) 是直线上的一点，k 是直线的斜率。
示例：假设直线上的一点为 A(2, 3)，斜率为 1/2。
我们可以使用点斜式来表示直线的方程：y - 3 = 1/2(x - 2)练习：请根据给定的点斜式方程，确定直线上的点和斜率，并画出直线。
1. y - 4 = 2(x - 1)2. y + 2 = -1/3(x - 5)二、斜截式斜截式是描述直线方程的常用形式之一，它用直线与 y 轴的交点和直线的斜率来表示直线的位置和倾斜程度。
斜截式的一般形式为 y = kx + b，其中 k 是直线的斜率，b 是直线与 y 轴的交点。
示例：设直线与 y 轴的交点为 B(0, -2)，斜率为 -3/4。
我们可以使用斜截式来表示直线的方程：y = -3/4x - 2练习：请根据给定的斜截式方程，确定直线与 y 轴的交点和斜率，并画出直线。
1. y = 2x + 32. y = -1/2x - 4三、两点式两点式是直线方程的另一种表示形式，它使用直线上的两个点来确定直线的位置。
两点式的一般形式为 (y - y1)/(y2 - y1) = (x - x1)/(x2 -x1)，其中 (x1, y1) 和 (x2, y2) 是直线上的两个点。
示例：假设直线上的两个点为 A(1, 2) 和 B(3, 4)。
直线的点斜式方程教案公开课
直线的点斜式方程教案公开课引言本节课将介绍直线的点斜式方程，通过直观的实例和图示帮助学生理解和掌握这一重要的数学概念。
本课适用于中学数学教学，通过理论与实践相结合的方式，旨在提高学生对直线方程的认识和应用能力。
教学目标在本课结束时，学生将能够： 1. 了解直线的点斜式方程的定义； 2. 掌握求解点斜式方程的方法； 3. 运用点斜式方程解决实际问题。
教学准备为了保证教学顺利进行，教师需要准备以下材料：- 黑板/白板、粉笔/马克笔；- 教学课件或投影仪； - 直线图示和实例题目； - 学生练习册。
教学步骤步骤一：引入首先，教师可以通过举一个简单的例子引起学生对本课内容的兴趣。
例如：一个直线上有两个点A(x1, y1)和B(x2, y2)，通过这两个点可以唯一确定一条直线。
但是，如果只给出直线上有一点A(x1, y1)和斜率k，你能求出直线的方程吗？这将引出点斜式方程的概念，为接下来的学习做铺垫。
步骤二：点斜式方程的定义教师向学生介绍点斜式方程的定义。
点斜式方程是一种表示直线的方程形式，它由直线上的某一点和直线的斜率共同确定。
点斜式方程的一般形式为：y - y1 = k(x - x1)其中，(x1, y1)是直线上的某一点，k是直线的斜率。
步骤三：求解点斜式方程教师通过数学推导和具体实例，向学生介绍如何求解点斜式方程。
首先，教师可以从点斜式方程的一般形式入手，提醒学生需要明确直线上的一个点和直线的斜率。
然后，通过代入已知点的坐标和斜率的值，计算得出方程的具体形式。
接着，教师可给出一些实例题目，引导学生进行练习。
例如：已知直线上有一点A(2, 4)，斜率为3/2，求解直线的点斜式方程。
步骤四：运用点斜式方程解题在学生理解并掌握了点斜式方程的求解方法后，教师可引导学生通过实际问题来应用所学知识。
教师可以提供一些与点斜式方程相关的实际问题，例如： A、已知水平距离为6米的斜面的坡度是20度，求斜面的方程。
B、已知直线上经过点(4, -7)，并且与x轴的夹角为60度，求直线的方程。
《直线方程的点斜式、斜截式、两点式和截距式》教案（公开课）
《直线⽅程的点斜式、斜截式、两点式和截距式》教案（公开课）《直线⽅程的点斜式、斜截式、两点式和截距式》教案⼀、教学⽬标(⼀)知识教学点在直⾓坐标平⾯内，已知直线上⼀点和直线的斜率或已知直线上两点，会求直线的⽅程；给出直线的点斜式⽅程，能观察直线的斜率和直线经过的定点；能化直线⽅程成截距式，并利⽤直线的截距式作直线．(⼆)能⼒训练点通过直线的点斜式⽅程向斜截式⽅程的过渡、两点式⽅程向截距式⽅程的过渡，训练学⽣由⼀般到特殊的处理问题⽅法；通过直线的⽅程特征观察直线的位置特征，培养学⽣的数形结合能⼒．(三)学科渗透点通过直线⽅程的⼏种形式培养学⽣的美学意识．⼆、教材分析1．重点：由于斜截式⽅程是点斜式⽅程的特殊情况，截距式⽅程是两点式⽅程的特殊情况，教学重点应放在推导直线的斜截式⽅程和两点式⽅程上．2．难点：在推导出直线的点斜式⽅程后，说明得到的就是直线的⽅程，即直线上每个点的坐标都是⽅程的解；反过来，以这个⽅程的解为坐标的点在直线上．的坐标不满⾜这个⽅程，但化为y-y1=k(x-x1)后，点P1的坐标满⾜⽅程．三、活动设计分析、启发、诱导、讲练结合．四、教学过程(⼀)点斜式已知直线l的斜率是k，并且经过点P1(x1，y1)，直线是确定的，也就是可求的，怎样求直线l的⽅程(图1-24)？设点P(x，y)是直线l上不同于P1的任意⼀点，根据经过两点的斜率公式得注意⽅程(1)与⽅程(2)的差异：点P1的坐标不满⾜⽅程(1)⽽满⾜⽅程(2)，因此，点P1不在⽅程(1)表⽰的图形上⽽在⽅程(2)表⽰的图形上，⽅程(1)不能称作直线l的⽅程．重复上⾯的过程，可以证明直线上每个点的坐标都是这个⽅程的解；对上⾯的过程逆推，可以证明以这个⽅程的解为坐标的点都在直线l上，所以这个⽅程就是过点P1、斜率为k的直线l的⽅程．这个⽅程是由直线上⼀点和直线的斜率确定的，叫做直线⽅程的点斜式．当直线的斜率为0°时(图1-25)，k=0，直线的⽅程是y=y1．当直线的斜率为90°时(图1-26)，直线的斜率不存在，它的⽅程不能⽤点斜式表⽰．但因l上每⼀点的横坐标都等于x1，所以它的⽅程是x=x1．(⼆)斜截式已知直线l在y轴上的截距为b，斜率为b，求直线的⽅程．这个问题，相当于给出了直线上⼀点(0，b)及直线的斜率k，求直线的⽅程，是点斜式⽅程的特殊情况，代⼊点斜式⽅程可得：y-b=k(x-0)也就是上⾯的⽅程叫做直线的斜截式⽅程．为什么叫斜截式⽅程？因为它是由直线的斜率和它在y轴上的截距确定的．当k≠0时，斜截式⽅程就是直线的表⽰形式，这样⼀次函数中k和b的⼏何意义就是分别表⽰直线的斜率和在y轴上的截距．(三)两点式已知直线l上的两点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)，(x1≠x2)，直线的位置是确定的，也就是直线的⽅程是可求的，请同学们求直线l 的⽅程．当y1≠y2时，为了便于记忆，我们把⽅程改写成请同学们给这个⽅程命名：这个⽅程是由直线上两点确定的，叫做直线的两点式．对两点式⽅程要注意下⾯两点：(1)⽅程只适⽤于与坐标轴不平⾏的直线，当直线与坐标轴平⾏(x1=x2或y1=y2)时，可直接写出⽅程；(2)要记住两点式⽅程，只要记住左边就⾏了，右边可由左边见y就⽤x代换得到，⾜码的规律完全⼀样．(四)截距式例1 已知直线l在x轴和y轴上的截距分别是a和b(a≠0，b≠0)，求直线l的⽅程．此题由⽼师归纳成已知两点求直线的⽅程问题，由学⽣⾃⼰完成．解：因为直线l过A(a，0)和B(0，b)两点，将这两点的坐标代⼊两点式，得就是学⽣也可能⽤先求斜率，然后⽤点斜式⽅程求得截距式．引导学⽣给⽅程命名：这个⽅程是由直线在x轴和y轴上的截距确定的，叫做直线⽅程的截距式．对截距式⽅程要注意下⾯三点：(1)如果已知直线在两轴上的截距，可以直接代⼊截距式求直线的⽅程；(2)将直线的⽅程化为截距式后，可以观察出直线在x轴和y轴上的截距，这⼀点常被⽤来作图；(3)与坐标轴平⾏和过原点的直线不能⽤截距式表⽰．(五)例题例2 三⾓形的顶点是A(-5，0)、B(3，-3)、C(0，2)(图1-27)，求这个三⾓形三边所在直线的⽅程．本例题要在引导学⽣灵活选⽤⽅程形式、简化运算上多下功夫．解：直线AB的⽅程可由两点式得：即 3x+8y+15=0这就是直线AB的⽅程．BC的⽅程本来也可以⽤两点式得到，为简化计算，我们选⽤下⾯途径：由斜截式得：即 5x+3y-6=0．这就是直线BC的⽅程．由截距式⽅程得AC的⽅程是即 2x+5y+10=0．这就是直线AC的⽅程．(六)课后⼩结(1)直线⽅程的点斜式、斜截式、两点式和截距式的命名都是可以顾名思义的，要会加以区别．(2)四种形式的⽅程要在熟记的基础上灵活运⽤．(3)要注意四种形式⽅程的不适⽤范围．五、布置作业1．(1.5练习第1题)写出下列直线的点斜式⽅程，并画出图形：(1)经过点A(2，5)，斜率是4；(4)经过点D(0，3)，倾斜⾓是0°；(5)经过点E(4，-2)，倾斜⾓是120°．解：2．(1.5练习第2题)已知下列直线的点斜⽅程，试根据⽅程确定各直线经过的已知点、直线的斜率和倾斜⾓：解：(1)(1，2)，k=1，α=45°；(3)(1，-3)，k=-1，α=135°；3．(1.5练习第3题)写出下列直线的斜截式⽅程：(2)倾斜⾓是135°，y轴上的截距是3．4．(1.5练习第4题)求过下列两点的直线的两点式⽅程，再化成截距式⽅程，并根据截距式⽅程作图．(1)P1(2，1)、P2(0，-3)；(2)A(0，5)、B(5，0)；(3)C(-4，-3)、D(-2，-1)．解：(图略)六、板书设计。
《直线的点斜式方程》教学设计(优质课)
直线的点斜式方程（一）教学目标1．知识与技能（1）理解直线方程的点斜式、斜截式的形式特点和适用范围；（2）能正确利用直线的点斜式、斜截式公式求直线方程；（3）体会直线的斜截式方程与一次函数的关系.2．过程与方法在已知直角坐标系内确定一条直线的几何要素——直线上的一点和直线的倾斜角的基础上，通过师生探讨，得出直线的点斜式方程，学生通过对比理解“截距”与“距离”的区别.3．情态与价值观通过让学生体会直线的斜截式方程与一次函数的关系，进一步培养学生数形结合的思想，渗透数学中普遍存在相互联系、相互转化等观点，使学生能用联系的观点看问题.（二）教学重点、难点：（1）重点：直线的点斜式方程和斜截式方程.（2）难点：直线的点斜式方程和斜截式方程的应用.（三）教学设想教学环节教学内容师生互动设计意图复习引入1．在直角坐标系内确定一条直线，应知道哪些条件？学生回顾，并回答. 然后教师指出，直线的方程，就是直线上任意一点的坐标(x, y)满足的关系式.使学生在已有知识和经验的基础上，探索新知.概念形成2．直线l经过点P0(x0,y)，且斜率为k. 设点P(x, y)是直线l上的任意一点，请建立x，y与k，x, y0之间的关系.学生根据斜率公式，可以得到，当x≠x0时，0y ykx x-=-，即y–y0 = k (x–x0)（1）老师对基础薄弱的学生给予关注、引导，使每个学生都能推导出这个方程.培养学生自主探索的能力，并体会直线的方程，就是直线上任意一点的坐标(x, y)满足的关系式，从而掌握根据条件求直线方程的方法.3．（1）过点P0(x0, y0)，斜率是k的直线l上的点，其坐标都满足方程（1）吗？学生验证，教师引导.使学生了解方程为直线方程必须满足两个条件.（2）坐标满足方程（1）的点都在经过P0 (x0,y)，斜率为k的直线l 上吗？学生验证，教师引导. 然后教师指出方程（1）由直线上一定点及其斜率确定，所以叫做直线的点斜式方程，简称点斜式(point slope form).使学生了解方程为直线方程必须满足两个条件.概念深化4．直线的点斜式方程能否表示坐标平面上的所有直线呢？学生分组互相讨论，然后说明理由.使学生理解直线的点斜式方程的适用范围. 5．（1）x轴所在直线的方程是什么？Y轴所在直线的方程是什么？（2）经过点P0 (x0, y0)且平行于x轴(即垂直于y轴)的直线方程是什么？（3）经过点P0 (x0, y0)且平行于y轴(即垂直于x轴)的直线方程是什么？教师引导学生通过画图分析，求得问题的解决.进一步使学生理解直线的点斜式方程的适用范围，掌握特殊直线方程的表示形式.应用举例教师引导学生分析要用点斜学生会运用点斜式方6．例1. 直线l经过点P(–2，3)，且倾斜角 = 45° . 求直线l的点斜式方程，并画出直线l. 式求直线方程应已知哪些条件？题目那些条件已经直接给予，那些条件还有待已去求. 在坐标平面内，要画一条直线可以怎样去画.例1 解析：直线l经过点P0(–2，3)，斜率k = tan45°=1代入点斜式方程得y– 3 = x + 2画图时，只需再找出直线l上的另一点P1 (x1，y1)，例如，取x1= –1，y1 = 4，得P1的坐标为（– 1，4），过P0 ，P1的直线即为所求，如右图.程解决问题，清楚用点斜式公式求直线方程必须具备的两个条件：（1）一个定点；（2）有斜率. 同时掌握已知直线方程画直线的方法.概念深化7．已知直线l的斜率为k，且与y轴的交点为(0,b)，求直线l的方程.学生独立求出直线l的方程：y = kx + b（2）再此基础上，教师给出截距的概念，引导学生分析方程（2）由哪两个条件确定，让学生理解斜截式方程概念的内涵.引入斜截式方程，让学生懂得斜截式方程源于点斜式方程，是点斜式方程的一种特殊情形.8．观察方程y= kx+ b，它的形式具有什么特点？学生讨论，教师及时给予评价.深入理解和掌握斜截式方程的特点？9．直线y = kx + b在x轴上的截距是什么？学生思考回答，教师评价.使学生理解“截距”与“距离”两个概念的区xy6421–1–2 0P0P1别.方法探究10．你如何从直线方程的角度认识一次函数y =kx + b？一次函数中k和b的几何意义是什么？你能说出一次函数y = 2x– 1，y = 3x，y= –x + 3图象的特点吗？学生思考、讨论，教师评价.归纳概括.体会直线的斜截式方程与一次函数的关系.应用举例11．例2 已知直线l1：y = k1+ b1，l2：y2 = k2x + b2. 试讨论：（1）l1∥l2的条件是什么？（2）l1⊥l2的条件是什么？教师引导学生分析：用斜率判断两条直线平行、垂直结论.思考（1）l1∥l2时，k1，k2；b1，b2有何关系？（2）l1⊥l2时，k1，k2；b1，b2有何关系？在此由学生得出结论；l1∥l2⇔k1 = k2，且b1≠b2；l1⊥l2⇔k1k2 = –1.例2 解析：（1）若l1∥l2，则k1 = k2，此时l1、l2与y轴的交点不同，即b1 = b2；反之，k1 = k2，且b1 = b2时，l1∥l2 .于是我们得到，对于直线l1：y = k1x + b1，l2：y = kx+ b2l1∥l2⇔k1 = k2，且b1≠b2；l1⊥l2⇔k1k2 = –1.掌握从直线方程的角度判断两条直线相互平行，或相互垂直；进一步理解斜截式方程中k，b的几何意义.12．课堂练习第100页练习第1，2，3，4题.学生独立完成，教师检查反馈.巩固本节课所学过的知识.备选例题例1 求倾斜角是直线1y =+的倾斜角的14，且分别满足下列条件的直线方程是. （1）经过点1)-； （2）在y 轴上的截距是–5.【解析】∵直线1y =+的斜率k = ∴其倾斜角α=120°由题意，得所求直线的倾斜角11304αα==.故所求直线的斜率13tan 303k ==.（1）∵所求直线经过点1)-∴所求直线方程是1y x +=360y --=. （2）∵所求直线的斜率是y 轴上的截距为–5， ∴所求直线的方程为5y x =-， 3150y --= 【点评】（1）由于点斜式与斜截式方程中都是用斜率k 来表示的，故这两类方程不能用于垂直于x 轴的直线.如过点(1，2)，倾斜角为90°的直线方程为x – 1 = 0.（2）截距和距离是两不同的概念，y 轴上的截距是指直线与y 轴交点的纵坐标，x 轴上的截距是指直线与x 轴交点的横坐标.若求截距可在方程中分别令x = 0或y = 0求对应截距.例2 直线l 过点P (–2，3)且与x 轴，y 轴分别交于A 、B 两点，若P 恰为线段AB 的中点，求直线l 的方程.【解析】设直线l 的斜率为k ， ∵直线l 过点(–2，3)，∴直线l 的方程为y – 3 = k [x – (–2)]，令x = 0，得y = 2k + 3；令y = 0得32x k=--.∴A 、B 两点的坐标分别为A 3(2,0)k--，B (0，2k + 3). ∵AB 的中点为(–2，3)∴32023,2202332k k k ⎧--+⎪=-⎪=⎨⎪++=⎪⎩解之得 ∴直线l 的方程为33(2)2y x -=+，即直线l 的方程为3x – 2y +12 = 0.。
《直线的方程点斜式》课比赛教案
《直线的方程点斜式》优质课比赛教案第一章：导入教学目标：1. 引导学生回顾已学的直线方程知识，为新课的学习做好铺垫。
2. 激发学生对直线方程点斜式的兴趣，培养学生的探究精神。
教学内容：1. 复习直线方程的斜截式。
2. 引出直线方程点斜式。
教学过程：1. 复习直线方程的斜截式：y = kx + b（k为斜率，b为截距）。
2. 提问：能否用斜截式表示一条直线，当已知直线上一点和斜率时？3. 引导学生思考，引出直线方程点斜式。
第二章：直线方程点斜式的定义及形式教学目标：1. 使学生掌握直线方程点斜式的定义及形式。
2. 培养学生运用点斜式解决实际问题的能力。
教学内容：1. 直线方程点斜式的定义。
2. 直线方程点斜式的形式：y y1 = k(x x1)（已知直线上的点A(x1, y1)和斜率k）。
教学过程：1. 讲解直线方程点斜式的定义。
2. 推导直线方程点斜式的形式。
3. 举例说明如何运用点斜式求解直线方程。
第三章：直线方程点斜式的应用教学目标：1. 使学生掌握直线方程点斜式在实际问题中的应用。
2. 培养学生的实际问题解决能力。
教学内容：1. 运用直线方程点斜式解决实际问题。
2. 直线方程点斜式在几何、物理、工程等方面的应用。
教学过程：1. 讲解直线方程点斜式在实际问题中的应用。
2. 举例说明直线方程点斜式在几何、物理、工程等方面的应用。
第四章：直线方程点斜式的拓展教学目标：1. 使学生了解直线方程点斜式的拓展知识。
2. 培养学生对直线方程点斜式的深入理解。
教学内容：1. 直线方程点斜式的拓展知识。
2. 直线方程点斜式与其他直线方程之间的关系。
教学过程：1. 讲解直线方程点斜式的拓展知识。
2. 分析直线方程点斜式与其他直线方程之间的关系。
第五章：课堂练习与总结教学目标：1. 巩固学生对直线方程点斜式的掌握。
2. 培养学生的总结能力。
教学内容：1. 课堂练习。
2. 学生总结直线方程点斜式的知识点。
教学过程：1. 布置课堂练习，让学生运用直线方程点斜式解决问题。
优质课直线方程的点斜式和斜截式教案
优质课直线方程的点斜式和斜截式教案第一篇：优质课直线方程的点斜式和斜截式教案§1.2.1直线方程的点斜式和斜截式一、教学目标 1．知识与技能（1）理解直线方程的点斜式、斜截式的形式特点和适用范围；（2）能正确利用直线的点斜式、斜截式公式求直线方程；（3）体会直线的斜截式方程与一次函数的关系. 2．过程与方法在已知直角坐标系内确定一条直线的几何要素—直线上的一点和直线的倾斜角的基础上，通过师生探讨，得出直线的点斜式方程，学生通过对比理解“截距”与“距离”的区别. 3．情感、态度与价值观通过让学生体会直线的斜截式方程与一次函数的关系，进一步培养学生数形结合的思想，渗透数学中普遍存在相互联系、相互转化等观点，使学生能用联系的观点看问题.通过平行直线系，感受数学之美，激发学习数学的积极主动性。
二、教学重难点1.教学重点：直线的点斜式方程和斜截式方程.2.教学难点：直线的点斜式推导过程中直线与方程对应关系的理解.三、教学过程（一）设疑自探：预习课本P65-67,回答下列问题：问题1：过定点P（x0,y0）的直线有多少条？倾斜角为定值的直线有多少条？确定一条直线需要什么样的条件？问题2：若直线l经过点P0(x0,y0),斜率为k, 这条直线上的任意一点P（x,y）的坐标x与y之间满足什么关系呢？所得到方程与直线l有什么关系呢？由此你能推出直线的点斜式方程吗？（二）自主检测：1、（1）已知直线的点斜式方程是y-2=x-1,那么直线的斜率为___,倾斜角为___. （2）已知直线方程是x y10,那么直线的斜率为____,倾斜角为______.2、写出下列直线的点斜式方程: （1）经过点A（3，-1）,斜率是2；（2）经过点B(2,2)，倾斜角为30°；（3）经过点C（0，3），倾斜角是0°；（4）经过点D（-4，-2）,倾斜角是12022（三）例题解析例1、写出下列直线的方程，并画出图形：（1）经过点P（1,3），斜率是1；（2）经过点Q（-3,1），且与x轴平行；（3）经过点R（-2,1），且与x轴垂直；（4）经过两点A(5,0),B(3,3).四、质疑再探：1、根据例2思考讨论（1）什么是直线的斜截式？（2）b 的几何意义是什么？（3）由直线的斜截式方程你能想到我们学过的哪类函数，它们之间又有什么关系呢？（4）点斜式与斜截式有什么联系？在表示直线时又有什么区别呢？例2、如果直线l的斜率为k,且与y 轴的交点为(0,b),:你能求出直线l的方程吗？变式：直线y=2x-3的斜率和在y轴上的截距分别为2、根据例3思考讨论任何一条直线都能用点斜式或斜截式方程表示吗？2例3、求过两点（m,2）,(3,4) 的直线的点斜式方程.（四）课堂小结：1、通过本节课你学习到了那些知识？（1）直线方程的点斜式；（2）直线方程的斜截式；（3）直线方程的点斜式和斜截式的关系以及适用范围.2、本节课用了哪些数学思想？数形结合、分类讨论思想（五）当堂演练：1、已知直线l的方程为x y b0(b R),则直线l的倾斜角为（） A、30 B、45 C、135 D、与b有关2、过点P(2,0)，斜率是3的直线的方程是（） A、y3x2B、y3x 2 C、y3(x2)D、y3(x2)3、经过点(2,1)，倾斜角为60的直线方程是（） A、y13(x2) B、y1C、y13(x2)D、y13(x2) 33(x2)34、直线l的倾斜角为45，且过点(4,1)，则这条直线被坐标轴所截得的线段长是5、求斜率为直线y3x1的斜率的倒数，且分别满足下列条件的直线方程. （1）经过点(4,1)；（2）在y轴上的截距为10.第二篇：直线的斜截式方程教案直线的斜截式方程教学目标1、进一步复习斜率的概念，了解直线在y轴上的截距的概念；2、李姐直线直线的斜截式方程与点斜式方程的关系；3、初步掌握斜截式方程及其简单应用；4、培养学生应用公式的能力。
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《直线方程的点斜式、斜截式、两点式和截距式》教案
一、教学目标
(一)知识教学点
在直角坐标平面内，已知直线上一点和直线的斜率或已知直线上两点，会求直线的方程；给出直线的点斜式方程，能观察直线的斜率和直线经过的定点；能化直线方程成截距式，并利用直线的截距式作直线．
(二)能力训练点
通过直线的点斜式方程向斜截式方程的过渡、两点式方程向截距式方程的过渡，训练学生由一般到特殊的处理问题方法；通过直线的方程特征观察直线的位置特征，培养学生的数形结合能力．
(三)学科渗透点
通过直线方程的几种形式培养学生的美学意识．
二、教材分析
1．重点：由于斜截式方程是点斜式方程的特殊情况，截距式方程是两点式方程的特殊情况，教学重点应放在推导直线的斜截式方程和两点式方程上．2．难点：在推导出直线的点斜式方程后，说明得到的就是直线的方程，即直线上每个点的坐标都是方程的解；反过来，以这个方程的解为坐标的点在直线上．
的坐标
不满足这个方程，但化为y-y1=k(x-x1)后，点P1的坐标满足方程．
三、活动设计
分析、启发、诱导、讲练结合．
四、教学过程
(一)点斜式
已知直线l的斜率是k，并且经过点P1(x1，y1)，直线是确定的，也就是可求的，怎样求直线l的方程(图1-24)？
设点P(x，y)是直线l上不同于P1的任意一点，根据经过两点的斜率公式得
注意方程(1)与方程(2)的差异：点P1的坐标不满足方程(1)而满足方程(2)，因此，点P1不在方程(1)表示的图形上而在方程(2)表示的图形上，方程(1)不能称作直线l的方程．
重复上面的过程，可以证明直线上每个点的坐标都是这个方程的解；对上面的过程逆推，可以证明以这个方程的解为坐标的点都在直线l上，所以这个方程就是过点P1、斜率为k的直线l的方程．
这个方程是由直线上一点和直线的斜率确定的，叫做直线方程的点斜式．当直线的斜率为0°时(图1-25)，k=0，直线的方程是y=y1．
当直线的斜率为90°时(图1-26)，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因l上每一点的横坐标都等于x1，所以它的方程是x=x1．
(二)斜截式
已知直线l在y轴上的截距为b，斜率为b，求直线的方程．
这个问题，相当于给出了直线上一点(0，b)及直线的斜率k，求直线的方程，是点斜式方程的特殊情况，代入点斜式方程可得：
y-b=k(x-0)
也就是
上面的方程叫做直线的斜截式方程．为什么叫斜截式方程？因为它是由直线的斜率和它在y轴上的截距确定的．
当k≠0时，斜截式方程就是直线的表示形式，这样一次函数中k和b的几何意义就是分别表示直线的斜率和在y轴上的截距．
(三)两点式
已知直线l上的两点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)，(x1≠x2)，直线的位置是确定的，也就是直线的方程是可求的，请同学们求直线l的方程．
当y1≠y2时，为了便于记忆，我们把方程改写成
请同学们给这个方程命名：这个方程是由直线上两点确定的，叫做直线的两点式．
对两点式方程要注意下面两点：(1)方程只适用于与坐标轴不平行的直线，当直线与坐标轴平行(x1=x2或y1=y2)时，可直接写出方程；(2)要记住两点式方程，只要记住左边就行了，右边可由左边见y就用x代换得到，足码的规律完全一样．
(四)截距式
例1 已知直线l在x轴和y轴上的截距分别是a和b(a≠0，b≠0)，求直线l的方程．
此题由老师归纳成已知两点求直线的方程问题，由学生自己完成．
解：因为直线l过A(a，0)和B(0，b)两点，将这两点的坐标代入两点式，得
就是
学生也可能用先求斜率，然后用点斜式方程求得截距式．
引导学生给方程命名：这个方程是由直线在x轴和y轴上的截距确定的，叫做直线方程的截距式．
对截距式方程要注意下面三点：(1)如果已知直线在两轴上的截距，可以直接代入截距式求直线的方程；(2)将直线的方程化为截距式后，可以观察出直线在x轴和y轴上的截距，这一点常被用来作图；(3)与坐标轴平行和过原点的直线不能用截距式表示．
(五)例题
例2 三角形的顶点是A(-5，0)、B(3，-3)、C(0，2)(图1-27)，求这个三角形三边所在直线的方程．
本例题要在引导学生灵活选用方程形式、简化运算上多下功夫．
解：直线AB的方程可由两点式得：
即 3x+8y+15=0
这就是直线AB的方程．
BC的方程本来也可以用两点式得到，为简化计算，我们选用下面途径：
由斜截式得：
即 5x+3y-6=0．
这就是直线BC的方程．
由截距式方程得AC的方程是
即 2x+5y+10=0．
这就是直线AC的方程．
(六)课后小结
(1)直线方程的点斜式、斜截式、两点式和截距式的命名都是可以顾名思义的，要会加以区别．
(2)四种形式的方程要在熟记的基础上灵活运用．
(3)要注意四种形式方程的不适用范围．
五、布置作业
1．(1.5练习第1题)写出下列直线的点斜式方程，并画出图形：
(1)经过点A(2，5)，斜率是4；
(4)经过点D(0，3)，倾斜角是0°；
(5)经过点E(4，-2)，倾斜角是120°．
解：
2．(1.5练习第2题)已知下列直线的点斜方程，试根据方程确定各直线经过的已知点、直线的斜率和倾斜角：
解：
(1)(1，2)，k=1，α=45°；
(3)(1，-3)，k=-1，α=135°；
3．(1.5练习第3题)写出下列直线的斜截式方程：
(2)倾斜角是135°，y轴上的截距是3．
4．(1.5练习第4题)求过下列两点的直线的两点式方程，再化成截距式方程，并根据截距式方程作图．
(1)P1(2，1)、P2(0，-3)；
(2)A(0，5)、B(5，0)；
(3)C(-4，-3)、D(-2，-1)．
解：
(图略)
六、板书设计。