第一型曲面积分

②第一类曲面积分的性质 (假定下面的面积分都存在)
(1)设, 为常数,则
[ f (x, y, z) g(x, y, z)]d S f (x, y, z)d S g(x, y, z)d S.



(2)可加性： 若曲面Σ可分为两片光滑曲面Σ1和Σ2 ,则
1
2
1
2
(C) zdv 4 zdv
1
2
(D) xyzdv 4 xyzdv
1
2
解: 由对称性,
xdv 0, xdv 0
1
2
z R2 x2 y2
ydv 0, ydv 0
1
2
xyzdv 0, xyzdv 0
Si
的面积,
分割
T
的细度
||
T
||
max
1i n
Si 的直径
，在
Si 上任取一点 (i ,i , i ) (i 1, 2, , n), 若存在极限
n
lim
||T||0 i1
f (i ,i , i )Si

I,
且与分割 T 及 (i ,i , i ) 的取法 无关, 则称此极限为
1
2
3、含绝对值函数的二重积分的计算
例1.计算 y x2 d . 其中 D : 1 x 1, 0 y 1.
D
解 先去掉绝对值符号，如图
y x2 d
D
D1
( x2 y)d ( y x2 )d
D1 D2
D3
D3 D2

e

y2
dy2

1 6
e1

[e y2
]
1 0
1 1 . 6 3e
2.二次积分
1
( A) dy
1
dx
0 y
f
(
x
f (x,
x
x, y)dx;
y)dy改1变积分y2 次序后为（y (B) dy f ( x, y)dx;
A）
0
y2
0
y
1
y
1
y
(C) 0 dy y f ( x, y)dx. (D) 0 dy y f ( x, y)dx;
f (x, y, z)d S f (x, y, z)d S f (x, y, z)d S.

1
2
(3)若在曲面Σ上，f ( x, y, z) g( x, y, z),则
o
y
其中, 表示 n 小块曲面的直径的 x
最大值 (曲面的直径为其上任意两点间距离的最大者).
定义1 设 S 是空间中可求面积的曲面, f ( x, y, z) 为
定义在 S 上的函数. 对曲面 S 作分割 T, 它把 S 分成
n 个小曲面块 Si (i 1, 2, , n), 以 Si 记小曲面块
f ( x, y, z) 在 S 上的第一型曲面积分, 记作
I f ( x, y, z)dS .
(1)
S
于是, 前述曲面块的质量由第一型曲面积分表示为:
m ( x, y, z)dS .
S
特别地, 当 f ( x, y, z) 1 时,曲面积分 dS 就是曲面
S
块 S 的面积.
例5. 设有空间闭区域1 (x, y, z) x2 y2 z2 R2, z 0 , 2 (x, y, z) x2 y2 z2 R2, x 0, y 0, z 0 ,则有 ( C )
(A) xdv 4 xdv （B） ydv 4 ydv
o
1
则
1
dx
1 x2e y2 dy
0
x
1
dy
y x2e y2 dx
0
0
e1 y2 1 y3dy
0
3
y x
x
1 1
32
e1 y2 y2dy2 1
0
6
1 y2de y2
0
1 y2e y2 1
6
0
1 0
0
2x
4
2x
D. dx f ( x, y)dy.
0
3 x
y
x y 3 x 2y
y1
(2,1)
o
x
4.设D (x, y) x2 y2 R2, y 0 , 则在极坐标系中二重积分
f ( x2 y2 )dxdy 可表示为( C )
D
1
dx
x2 ( x2 y)dy
1
dx
1 ( y x2 )dy
11.
1
0
1
x2
15
4、交换积分次序的方法
1.计算
1
dx
1 x2e y2dy
0
x
解 由于 e y2 dy是无法积出类型，则需交换积分次序， y
D：0 x 1, x y 1,
1
D D可改写为：0 y 1,0 x y,
dθ
4 r 2dr
0
1
D
2
4
(B) 0 dθ1 r dr
(C)
2
dθ
2 r 2dr
0
1
2
2
(D) 0 dθ1 r dr
6.将
1
dy
1 y2 f ( x, y)dx化为极坐标系下的二次积分
0
0

__0_2 _d___01__f _(__c_o_s__,__s_i_n__)__d______ .
第二十二章 曲面积分 §1 第一型曲面积分
一、第一型曲面积分的概念 二、第一型曲面积分的计算
一、第一型曲面积分的概念
引例: 设曲面形构件具有连续面密度
求质
量 M.
类似求平面薄板质量的思想, 采用 z (k ,k , k )
“大化小, 常代变, 近似和, 求极限”

的方法, 可得
n
M
k 1
o
x
3.I
1
dy
2y
f (x, y)dx
3
dy
3 y f (x, y)dx,则交换积分次序后为( C )
0
0
Байду номын сангаас
1
0
4
A. dx
x 2
f ( x, y)dy；
0
3 x
2
3 x
C.0 dxx f ( x, y)dy;
2
2
3 x
B. dx f (x, y)dy;
(A)

d
R f (r 2 )dr
0
0
（B）

2
d

R f (r2 )rdr
0
2
(C)

d
R f (r 2 )rdr
(D)
2
d
R f (r 2 )dr
0
0
0
0
C 5.设 D :1 x2 y2 4 ，则 x2 y2 dxdy （ ）
(A)
2