计量经济学 第二章习题

1．最小二乘法对随机误差项u作了哪些假定？说明这些假定条件的意义。

答：假定条件：(1)均值假设：E(u i)=0,i=1,2,…；(2)同方差假设：Var(u i)=E[u i-E(u i)]2=E(u i2)=σu2 ,i=1,2,…；(3)序列不相关假设：Cov(u i,u j)=E[u i-E(u i)][u j-E(u j)]=E(u i u j)=0,i≠j,i,j=1,2,…；(4)Cov(u i,X i)=E[u i-E(u i)][X i-E(X i)]=E(u i X i)=0；(5)u i服从正态分布, u i～N(0,σu2)。

意义：有了这些假定条件，就可以用普通最小二乘法估计回归模型的参数。

2．阐述对样本回归模型拟合优度的检验及回归系数估计值显著性检验的步骤。

答：样本回归模型拟合优度的检验：可通过总离差平方和的分解、样本可决系数、样本相关系数来检验。

回归系数估计值显著性检验的步骤：(1)提出原假设H0 ：β1=0；(2)备择假设H1 ：β1≠0；(3)计算t=β1/Sβ1；(4)给出显著性水平α，查自由度v=n-2的t分布表，得临界值tα/2(n-2)；(5)作出判断。

如果|t|<tα/2(n-2)，接受H0 :β1=0，表明X对Y无显著影响，一元线性回归模型无意义；如果|t|>tα/2(n-2)，拒绝H0 ，接受H1:β1≠0，表明X对Y有显著影响。

4.试说明为什么∑e i2的自由度等于n-2。

答：在模型中，自由度指样本中可以自由变动的独立不相关的变量个数。

当有约束条件时，自由度减少，其计算公式：自由度=样本个数-受约束条件的个数，即df=n-k。

一元线性回归中SSE残差的平方和，其自由度为n-2,因为计算残差时用到回归方程，回归方程中有两个未知参数β0和β1，而这两个参数需要两个约束条件予以确定，由此减去2，也即其自由度为n-2。

5.试说明样本可决系数与样本相关系数的关系及区别，以及样本相关系数与β^1的关系。

答：样本相关系数r的数值等于样本可决系数的平方根，符号与β1相同。

但样本相关系数与样本可决系数在概念上有明显的区别，r建立在相关分析的理论基础之上，研究两个随机变量X与Y之间的线性相关关系；样本可决系数r²建立在回归分析的理论基础之上，研究非随机变量X对随机变量Y的解释程度。

6.已知某市的货物运输量Y(万吨)，国内生产总值GDP(亿元，1980年不变价)1985~1998年的样本观测值见下表(略)。

Dependent Variable: Y Method: Least Squares Date: 10/07/16 Time: 00:47 Sample: 1985 1998 Included observations: 14Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C 12596.27 1244.567 10.12101 0.0000 GDP26.954154.1203006.5417920.0000R-squared 0.781002 Mean dependent var 20168.57 Adjusted R-squared 0.762752 S.D. dependent var 3512.487 S.E. of regression 1710.865 Akaike info criterion 17.85895 Sum squared resid 35124719 Schwarz criterion 17.95024 Log likelihood -123.0126 Hannan-Quinn criter. 17.85050 F-statistic 42.79505 Durbin-Watson stat 0.859998Prob(F-statistic)0.000028(1) 一元线性回归方程 Y t =12596.27+26.95415GDP (2) 对回归方程的结构分析126.95β∧=是样本回归方程的斜率，它表示某市的边际货运运输倾向，说明年GDP 每增加一亿元就增加26.95万吨的货物运输量；012596.27β∧=是样本回归方程的截距，它表示不受GDP 影响的货物运输量；01ββ∧∧的符号和大小均符合经济理论和目前某市的实际情况。

(3)统计检验2r 检验：20.78r =，说明总离差平方和的78%被样本回归直线解释了，有22%未被解释，样本回归直线对样本点到拟合优度比较好。

显著性水平 0.05α=，查自由度v=14-2=12的t 分布表，得临界值t 0.025(12)=2.18 t 0=10.1>t 0.025(12)，t 1=6.5>t 0.025(12)，回归系数显著不为零，回归模型中应包含常数项，GDP 对Y 有显著影响。

(4)预测区间1980~2000当2000年的时候GDP 为620亿元时，运输量预测值为OY =29307.84万吨计算得到：280.93X =21277340ix=∑213262.66e s =则：()222211e i X X s n x σ∧⎡⎤-⎢⎥=++⎢⎥⎣⎦∑=15403.69 0022,O Y Y t Y t αασσ∧∧∧∧⎡⎤⎢⎥∈-+⎢⎥⎣⎦即[]29037.28,29578.40O Y ∈7. 我国粮食产量Q （万吨）、农业机械总动力X1（万瓦时）、化肥施用量X2（万吨）、土地灌溉面积X3（千公顷）1978~1998年样本观测值见下表。

（略） （1）我国粮食产量Q （万吨）和农业机械总动力X1（万瓦时）1） 估计模型Dependent Variable: Q Method: Least Squares Date: 10/07/16 Time: 01:42 Sample: 1978 1998 Included observations: 21Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C 40772.47 1389.795 29.33704 0.0000 X10.0012200.0019090.6391940.5303R-squared 0.021051 Mean dependent var 40996.12 Adjusted R-squared -0.030473 S.D. dependent var 6071.868 S.E. of regression 6163.687 Akaike info criterion 20.38113 Sum squared resid 7.22E+08 Schwarz criterion 20.48061 Log likelihood -212.0019 Hannan-Quinn criter. 20.40272 F-statistic 0.408568 Durbin-Watson stat 0.206201Prob(F-statistic)0.530328估计一元回归模型：011t t t Q X e αα∧∧=++即样本回归模型为：140774.470.00122t tQ X ∧=+2)对估计结果作结构分析10.00122α∧=是样本回归方程的斜率，说明农业机械总动力每增加1万瓦时我国粮食产量就增加0.00122万吨；040772.47α∧=是样本回归方程的截距，它表示不受农业机械总动力影响的粮食总量；01αα∧∧的符号和大小均符合经济理论和我国的实际情况。

3）对估计结果进行统计检验2r 检验：20.02r =，说明总离差平方和的2%被样本回归直线解释了，有98%未被解释，样本回归直线对样本点到拟合优度很差。

T 检验：给出显著水平0.05α=，查自由度v=19的t 分布表，得()0.02519 2.09t =，023.34 2.09t =>，故回归系数均显著为零，回归模型中应包含常数项，X1对Q 无显著影响.（2） 我国粮食产量Q （万吨）和化肥施用量X2（万吨） 1)作散点图并估计模型估计一元回归模型：012tt t Q X e ββ∧∧=++Dependent Variable: Q Method: Least Squares Date: 10/07/16 Time: 01:51Sample: 1978 1998 Included observations: 21Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C 26925.65 915.8657 29.39912 0.0000 X25.9125340.35642316.588510.0000R-squared 0.935413 Mean dependent var 40996.12 Adjusted R-squared 0.932014 S.D. dependent var 6071.868 S.E. of regression 1583.185 Akaike info criterion 17.66266 Sum squared resid 47623035 Schwarz criterion 17.76214 Log likelihood -183.4579 Hannan-Quinn criter. 17.68425 F-statistic 275.1787 Durbin-Watson stat 1.264400 Prob(F-statistic) 0.000000即样本回归模型为：226925.65 5.91t tQ X ∧=+2)对估计结果作结构分析1 5.91β∧=是样本回归方程的斜率，说明化肥施用量每增加1万吨我国粮食产量就增加5.91万吨；026925.65β∧=是样本回归方程的截距，它表示不受化肥施用量影响的粮食总量；01ββ∧∧的符号和大小均符合经济理论和我国的实际情况。

3）对估计结果进行统计检验2r 检验：20.94r =，说明总离差平方和的94%被样本回归直线解释了，有6%未被解释，样本回归直线对样本点到拟合优度很高。

T 检验：给出显著水平0.05α=，查自由度v=19的t 分布表，得()0.02519 2.09t =，029.40 2.09t =>，1 5.91 2.09t =>，故回归系数均显著不为零，回归模型中应包含常数项，X2对Q 有显著影响.（3） 我国粮食产量Q （万吨）和土地灌溉面积X3（千公顷） 1)作散点图并估计模型 估计一元回归模型：013tt t Q X e γγ∧∧=++Dependent Variable: Q Method: Least Squares Date: 10/07/16 Time: 01:55 Sample: 1978 1998 Included observations: 21Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C -49865.39 12638.40 -3.945545 0.0009 X31.9487000.2706347.2004980.0000R-squared 0.731817 Mean dependent var 40996.12 Adjusted R-squared 0.717702 S.D. dependent var 6071.868 S.E. of regression 3226.087 Akaike info criterion 19.08632 Sum squared resid 1.98E+08 Schwarz criterion 19.18580 Log likelihood -198.4064 Hannan-Quinn criter. 19.10791 F-statistic 51.84718 Durbin-Watson stat 0.304603 Prob(F-statistic) 0.000001即样本回归模型为：349865.39 1.9487t t Q X ∧=-+ 2)对估计结果作结构分析1 1.95γ∧=是样本回归方程的斜率，说明土地灌溉面积每增加1千公顷我国粮食产量就增加1.95万吨；049865.39γ∧=-是样本回归方程的截距，它表示不受化肥施用量影响的粮食总量；3）对估计结果进行统计检验2r 检验：20.73r =，说明总离差平方和的73%被样本回归直线解释了，有27%未被解释，样本回归直线对样本点到拟合优度较好。