第二章球面和共轴球面系统分析

要讨论成像规律，即像的虚实，成像的位置、正倒和大 小问题，必须计算出光线的走向，所以我们先讨论计算公式。 光线经过单个折射球面的情况如图所示。 包含光轴和物点的平面称为含轴面（纸面）或子午面。 计算的目的：光从何处来，经何处到哪里去（由此得出由物 点发出的光线经过系统后能否交到一点完善成像）？
首要问题：用什么量（怎样）来决定光线在空间中的位置？
对AEC应用正弦定理得 L r r Lr 即 sin I sin U 可求出I sin I sin （ U） r n 据折射定律 sin I ` sin I 可求出I ` n` 对AEC和A`EC应用外角定理 U I U ` I ` U ` U I I ` 可得到U ` sin I ' sin U ' sin I 在A ' EC中 ，利用正弦定律 L ' rr L ' r r sin U
从光轴起算，光轴转向光线（按锐角方向）， 顺时针为正，逆时针为负。
入射角、折射角 从光线起算，光线转向法线（按锐角方向）， 顺时针为正，逆时针为负。 ③ 光轴与法线的夹角（如） 从光轴起算，光轴转向法线（按锐角方向）， 顺时针为正，逆时针为负。
二、实际光线经过单个折射球面的光路计算
已知：折射球面曲率半径r，介质折射率n和n′，及物方坐标L和U。 求：像方L ′和 U ′。
共轴球面系统由许多单个球面构成，当计算出第一面后， 其折射光线就是第二面的入射光线。
U 2 U1; L2 L1 d1
再由相邻两折射球面间的关系，求出下一个球面的折 射光线。
第四节 球面反射镜成像
n n n n 成像公式： l l r

n n
1 1 2 l l r
2、轴向放大率：
说明：（1）α 恒为正，物点沿轴向移动时，其像点沿
同方向移动。 （2） 空间物体会变形。
3、角放大率
4、三者之间关系

5、拉格朗日-赫姆霍兹不变量
J nuy nuy
表征了光学系统的性能，是光学系统的重要指标
第三节 共轴球面系统
•光路计算实例
第二章：共轴球面光学系统
2.1 光线经过单个折射球面的 折射 2.2 单个折射球面的成像倍率 和拉赫不变量 2.3 共轴球面系统成像 2.4 球面反射镜
法国数学家、天文学家
第一节 单个折射球面的折射
大多数光学系统都是由折、反射球面或 平面组成的共轴球面光学系统。平面看成是 球面半径无穷大的特例，反射是折射在 时 n' n 的特例。可见，折射球面系统具 有普遍意义。物体经过光学系统的成像，实 际上是物体发出的光束经过光学系统逐面折、 反射的结果。
u ~ sin U i ~ sin I l~L
u ' ~ sin U ' i ~ sin I l ' ~ L'
公式：
i l r u r
n i n u u i i i
l r ri u
l
nlr nl n l r
轴上物点在近轴区成完善像,这个像点称高斯像点.
正负号规定： 为什么要规定正负号？ 如果r=100，则可能是 也可能是
所以应该规定正负号
1、线段
沿光轴方向线段（如 L（ L' ）、r） 光线传播由左向右，以折（反）射面顶 点为原点（起点），
顺光线传播方向为正；
逆光线传播方向为负。
垂轴线段
光轴以上为正； 光轴以下为负。
2、角度
孔径角 U 、U '
第二节 单个折射球面的成像倍率和 拉赫不变量
本节要解决的问题是：有限大的物体经过折射球面乃 至球面光学系统后的放大、缩小以及像的倒正、虚实。
一、单个折射面的成像
y nl 1、垂直放大率： y nl
（1） β>0，y 与 y同号，成正像，反之倒像。 （2） β>0，l 与 l 同号，物像虚实相反，反之虚实相同。 （3） |β|>1，放大像，反之缩小像。
1. 子午面内实际光线的光路计算公式，给出U、L，可算出 U′、 L′，以A为顶点，2U为顶角的圆锥面光线会聚与A′ 点。
2. L′=f(U、L)、U ′ =g(L、U),当L不变，只有U变化时，L ′ 也变化。说明“球差”的存在。
三、 近轴光线的光路计算
当 U 角很小时（指绝对值很小），这时 光线在很靠近光轴的区域内（此区域通常 称为近轴区），光线称为近轴光线。 此时，相应的 I 、I ' 、 U ' 等都比较小 sin x x ，( x 为弧度值) 用弧度值替换正弦值：
我们用两个量来表示一条光线： （1）A到O的距离OA，记作L，称为截距。
（2）光轴到光线的夹角，记作U，称为孔径角。
L、U 两量唯一地确定了一条光线在子午 面内（纸内）的位置。 计算的目的：
就是已知 L、Ｕ（光线从何处来）
n，求出像方截距 ' n、 经过已知的r、 L' 、像 方孔径角 U（光线到何处去） '
近轴光计算式可以简化： l u l u h 由前面公式可推出：
n n nu nu h r 1 1 1 1 n( ) n( ) Q r l r l
n n n n l l r
第一式中物、像孔径角的关系； 第二式表明了每面折射前后的 Q 不变，称为阿贝不 变量； 第三式表明了物、像位置关系 。
球面反射镜的拉赫不变量
J=uy=-u’y’
本章小结
1)对于任意实际光线，可以根据式(2-1)-(2-4)式求出其通过
光学系统后的出射光线的坐标。
2)对于近轴区域的光线，可以根据式(2.5)求出出射光线的坐 标；也可以直接采用式(2-9)求解。
3)光学系统有垂轴放大率、轴向放大率和角放大率。
4)共轴球面系统的物像空间不变量为nuy。 5)由于反射可以看作是n=-n′的特殊的折射，因此，只要在折 射公式中使得n′=-n，就可以直接得到反射公式。
y nl y nl dl nl 2 放大率公式: 2 dl nl u l u l
n
由反射定律可知： I = -I’,即反射光线与入射光 线 间 的 夹 角 为 -2I 。 当 物 点 位 于 球 心 时 ， 则 I = I’=0, 反射光线与入射光线的夹角为 。说明球面反 射镜曲率中心处物点发出的任何光线经反射后仍汇聚 于该点。
因此，我们首先讨论光线经过单个折射 球面折射的光路计算问题，然后再逐面过 渡到整个光学系统。 光线通过光学系统时是逐面折、反射， 设计计算也是逐面依次进行，故首先讨论 单个折射面。
球心 C，入射光 AE，法线EC，折射光 EA‘，I 、 I’为入射角和折射角，AC为光轴，O为球面顶点。
一、基本概念与符号规则