(完整版)北师大版初二下册第一章、三角形证明讲义1-1

第一章、三角形的证明

知识归纳

1三角形全等的判定方法

SSS,SAS,ASA,AAS,证直角三角形全等除上述外还有HL (全等三角形的性质是对应边相等，对应角相等)

2 •等腰三角形的性质性质(1):等腰三角形的两个底角.

性质(2):等腰三角形顶角的 ___________ 、底边上的________ 、底边上的高互相重合.

3 •等边三角形的性质

等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°

4 •等腰三角形的判定

(1) 定义：有两条边________ 的三角形是等腰三角形.

(2) 等角对等边：有两个角 ________ 的三角形是等腰三角形.

5 •用反证法证明的一般步骤

(1) 假设命题的结论不成立；

⑵从这个假设出发，应用正确的推理方法，得出与定义、公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果；

(3) 由矛盾的结果判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确.

6 •等边三角形的判定

(1) 有一个角等于60。的_________ 三角形是等边三角形；

(2) 三边相等的三角形叫做等边三角形；

(3) 三个角相等的三角形是等边三角形；

(4) 有两个角等于60。的三角形是等边三角形.

7.直角三角形的性质及判定

性质(1):在直角三角形中，如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的______________ 性质(2):直角三角形的两个锐角互余.

判定：有两个角互余的三角形是直角三角形.

8勾股定理及其逆定理

勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的____________ .

逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是__________ 三角形.

9 •线段的垂直平分线的性质定理及判定定理

性质定理：线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离________ •

判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的___________________ 上.

［点拨］线段的垂直平分线可以看作和线段两个端点距离相等的所有点的集合.

10. 三线共点

三角形三条边的垂直平分线相交于__________ ，并且这一点到三角形三个顶点的距离____________ .

11. 角平分线的性质定理及判定定理

性质定理：角平分线上的点到这个角两边的距离_____________ .

判定定理：在一个角的内部，且到角的两边____________ 相等的点在这个角的平分线上.

［注意］角的平分线是在角的内部的一条射线，所以它的逆定理必须加上在角的内部”这个条件.

12. 三角形三条角平分线的性质

三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离_________ .

典例精讲

例1、如图1,5, △ ABC中，AB=AC , E是CA延长线上的点，EG丄BC于G,交AB于F,求证：△ AEF 是等腰三角形。

例2、如图 1.6 , △ ABC 中，D 是AB 上的点，AD=DB=CD，/ B=30 °。

求证：（1 ）△ ACD是等边三角形。；（2）/ ACB=90 ° （没有/ B=30 °的条件，/ ACB=90 °的结论是否成立？）

变式训练、证明：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于

例3、如图 1.7，在△ ABC 中，/ A: / B: / ACB=1 : 2: 3,求证：AB=4BD

例4、如图1.8，已知等边△ ABC，BD丄AC于D,延长BC到E,使CE=CD=1，连接DE,求：DE长

中，点0是AC边上一动点，过点0作直线MN // BC,与/ ACB的角平分线交于点E,与 / ACB的

外角平分线交于点

5、在"ABC

F,求证: OE=OF

N

DF AC于F

例6、如图所示，AB>AC , 于

E, 作，求证：BE=CF。

的平分线与BC的垂直平分线相交于D，过D作

例7、如图5,渔船在A处观测到东北方向有一小岛C,小岛周围4.8海里范围是水产养殖场，渔船沿北偏东30°航行10海里到达B处，在B处测得小岛C在北偏东60°方向上，这时渔船改变航线向正东方向航行，问：这艘渔船是否有进入水产养殖场的危险？

巩固练习

图所示的一块地，/

ADC=90°, AD=12m , CD=9m ,

AB=39m , BC=36m，求这块地的面积。

2、如图，一架2.5米长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AC上，这时梯足B到墙底端C的距离为0.7米，如果梯子的

顶端沿墙下滑0.4米，那么梯足将向外移多少米？

3、如图2-5所示.在等边三角形ABC中，AE=CD , AD , BE交于P点，BQ丄AD于Q.求证：BP=2PQ .

1、如

4、如图8, Rt△ ABC 中，AB=BC, / ABC=90 ° , BO 丄AC 于0,点P,D 分别在AO,BC 上，PB=PD,,DE 丄AC 于点E。求证：△ BPO PDE。

5、如图，△ ABC 中，AB= AC , P、Q、R 分别在AB、BC、AC 上, 且BP=CQ , BQ=CR。求证：点Q在PR的垂直平分线上。

6、如图，△ ABC中，AD为/ BAC的平分线，AD的垂直平分线

求证：/ B= / CAF A

EF交BC的延长线于点F,连接AF。

7、如图10,在厶ABC 中，/ C=2/ B, / 1 = / 2•求证：AB=AC+CD