网格生成

2
( 2 ) ( 1 ) R L ( ) R1 R 2 [1 f ( )]R1 f ( ) R 2 (1 2 ) ( 2 1 )
x( ) [1 f ( )]x(1 ) f ( ) x( 2 ) y ( ) [1 f ( )] y (1 ) f ( ) y( 2 )
( xx yy ) ( xx yy )

J
2

2 J
2


J
2
( xx yy ) ( xx yy )
假设ξ,η是物理平面上Poisson方程的解，即有
2 P( , ), 2 Q( , )
δ(y)
M. Faghri, E. M. Sparrow & A. T. Prata, Finite-difference Solutions of Convection-diffusion Problems in Irregular Domains, Using a Nonorthogonal Coordinate Transformation, Numerical Heat Transfer, pp. 183-209,1984
网格生成
物理平面
R(ξ,η) R(x,y)
计算平面
网格生成的已知条件：物理平面上求解区域边界上的节点 是给定的，而在计算平面上网格一般总是均匀分布的。 网格生成的实质：如果把物理平面上节点的位置[以其矢 径R(x,y) 作代表]看成是计算平面上ξ,η的函数，则所谓网 格生成就是已知计算平面边界上每一点的R(ξ,η) ，而要确 定计算区域内每一节点相应的R(ξ,η) 。
通过对边界上已知值进行插值，是获得区域内各节点 的R(ξ,η) 值的一种最简易、直接的方法。这种网格生成方 法就是要找出合适的插值函数。由于这时用以生成网格的 表达式都是一些代数方程，称之为代数法。 代数法: (1)边界规范法; (2)双边界法; (3)无限插值法。
如果把计算平面上的ξ,η坐标视为物理平面上的两个求解 变量，并用微分方程来规定(ξ,η)与(x,y)的关系，通过求解 微分方程的边值问题来建立内部节点的对应关系。按所 (ξ,η)在物理平面上说满足的微分方程类型，有双曲线方程， 抛物线方程和椭圆型方程。（参阅陶老师的计算传热学近 代进展，p34-37） 椭圆型方程: (1)拉普拉斯方程; (2)泊松方程。
2 x 2 y
y y J
2 2
x x J
2 2

J2
x
y
y J
) (
)

J
2
2 2 x y
x x y y x2 y2
2 2 2 ( x2 y2 ) 2 ( x x y y ) ( x y )
j 1 2 2


M
)R( , j )
其中，L,M分别为ξ方向与η方向的区域长度，这样一种双 向插值方法称为无线插值法。
要实现边界上的拟合和内部的插值，构造的无限插值形式 为：
R TFI ( , )( , j ) Li ( ) L j ( ) R (i , j ) L M L M i 1 j 1 i 1 j 1
求解方程(1.12)就可以获得与计算平面上各节点(ξ, η)相对 应的物理平面上节点的坐标(x, y)，确定物理平面与计算 平面对应点的关系。
bk
bc1
bc2
onerow
bc3 onerow
bk
bc1
diameter
程序中的部分变量名
分布函数的选择 线性分布： s( )= tanh[q(1 )] 非线性分布：s( )=p (1 p){1 } tanh q subroutine strech(n,p,q,s)
所谓边界规范法，就是指通过一些简单的变换把物理平 面计算区域中不规则部分的边界转化为计算平面上的规 则边界的方法。
J. Prusa and L. S. Yao, Natural Convection Heat Transfer Between Eccentric Horizontal Cylinders, Journal of Heat Transfer， pp. 108-116,1983
N 2 RL ( ) Li ( )Ri L1 ( )R1 L2 ( )R2 L L L i 1
j ( 2 ) L1 ( ) , L2 ( ) L (1 2 ) L j 1 i j
2 j i
N



j i
j ( 1 ) (2 1 ) j 1 i j









L
) L1 (

M
) y( 2 ,1 ) ( L2

L
) L2 (

M
) y( 2 ,2 )]
采用线性插值，即
L1 ( ) (1 ) L

L2 ( ) L

L1 (

M
) (1 )
L2 (

M
)
x( , ) (1 ) x(1 , ) x( 2 , ) (1 ) x( ,1 ) x( , 2 ) [(1 )(1 ) x(1 ,1 ) (1 ) x(1 ,2 ) (1 ) x( 2 ,1 ) x( 2 ,2 )] y ( , ) (1 ) y(1 , ) y( 2 , ) (1 ) y( ,1 ) y( , 2 ) [(1 )(1 ) y (1 ,1 ) (1 ) y (1 , 2 ) (1 ) y ( 2 ,1 ) y( 2 , 2 )]
( xx yy ) ( xx yy )
(
2 x 2 y
y J
) (
2
x J x J
)
2

J2
x
y J
, y J , y
x J x J
x x y y (
2 xx 2 x2 2 x x x2 xx xx x 2 2 yy 2 y2 2 y y y yy yy y
2 2 2 2 2 xx yy x y 2 x2 2 x x x xx xx 2 y2 2 y y y yy yy 2 2 ( x2 y2 ) 2 ( x x y y ) ( x y )
10.4.2 对应关系的建立
引进任意函数
( x, y) ( , )
x x x x x x y y y y y y
N j i
N

Hermite插值（带导数的插值，以保证曲线的光滑性）
RH ( ) Hi ( )Ri H i ( )Ri ' L L i 1 i 1
N

N

其中插值函数为
Hi ( ) [1 2L ( )( i )]L ( ) L L L
' i 2 i


Hi( ) ( )L ( ) L L L
2 i

i

j ( 1 )…( i 1 )( i 1 )…( N ) Li ( ) L (i 1 )…(i i 1 )(i i 1 )…(i N ) j 1 i j
N j i
以Lagrange插值为例：
R L ( ) Li ( )Ri L i 1 其中插值函数为
j ( 1 )…( i 1 )( i 1 )…( N ) Li ( ) L (i 1 )…(i i 1 )(i i 1 )…(i N ) j 1 i j
代数法生成网格—无限插值方法
双边界法—单向插值方法 N N 2 RL ( ) Li ( )Ri L1 ( )R1 L2 ( )R2 L L L i 1 如果在ξ,η两个方向上分别应用Lagrange线性插值，即
R L ( , ) Li ( )R(i , ) L i 1 R L ( , ) L j (

2

J
2
2

2 J
2


J
2
P Q

x
2
x
J y J
2

2 x J J
2

x
J y J
2 2
Px Qx 0 Py Qy 0
y
2
2 y
2

x 2 x x J 2 ( Px Qx ) y 2 y y J 2 ( Py Qy )









L
) L1 (

M
)R(2 ,1 ) ( L2

x( , ) L1 ( ) x(1 , ) L2 ( ) x( 2 , ) L1 ( ) x( ,1 ) L2 ( ) x( ,2 ) L L M M [( L1 ) L1 ( ) x(1 ,1 ) ( L1 ) L2 ( ) x(1 ,2 ) L M L M ( L2
小结：1. 对于边界为不规则的二维通道，只要规定 了不规则边界（仅限两边）上y与x之间的关系式， 都可以用这种方法进行变换。 2. 不适用于大于两边不规则边界的情形。
代数法生成网格—双边界法
1. 插值方法的回顾 就插值涉及的空间维数而言：单向插值；多向插值。