二次剩余的判定及应用

二次剩余的判定及应用

【摘要】通过讨论形式如X2一a( mod m)的同余式，引出二次剩余的概念，应用数论中常用的函数（勒让德符号和雅可比符号）去讨论二次同余式中m是单质数的情形和一般的情形，并利用其解二次同余式。

【关键词】二次剩余；二次同余式；勒让德符号；二次反转定律引言

数论是数学本科的基础课程之一，是学习数学的必修课程之一。数论问题的丰富性，多样性及解题所具有的高度技巧对培养灵活创新的思维品质，逻辑思维，发散思维能力，系统的掌握各种数学思维，都是必不可少的。本文针对数论中一般二次同余式的解法问题进行总结概括。为了找到更为简单，有效地解一般二次同余式的方法，主要通叙述定理和举例，总结说明了欧拉判别条件，勒让德符号在解一般二次同余式时的具体应用以及一般二次同余式的解和解数问题。

1．一般二次同余式二次同余式最基本的形式：

我们知道，解同余式(1)归结到m为素数的情形，因为m=2时，解同余式(1)变得极为容易，所以着重讨论m=p的情形，这里p是一个奇素数。

定义1：设m >1，若(1)有解，则a叫做模m的二次剩余；若

无解，则a叫做模m的二次非利余。

2．单质数的二次剩余的判定

2.1欧拉判别条件。讨论p是单质数的二次剩余和二次非剩余，即讨论形如：

x-21 ,53,-21,-53(mod 64)

是所求的四个解。

结论

二次剩余的判定问题等价于判断一般二次同余式X2 -a( mod p)，(a，p) =1是否有解的问题。而当p取不同的数时，解决问题的方法不同。本文针对不同情况，运用了不同的方法，从而更简便地得出判断结果。单质数的二次剩余判定可以利用欧拉判别条件，勒让德符号

和二次反转定律，合数模的二次剩余也可以转化成单质数的二次剩余进行判定。