苏教版高中数学(选修2-1)2(20190518172905)
苏教版高中数学选修(2-1)课件椭圆及其标准方程.pptx
1。画椭圆
1取一条一定长的细绳，把它的两端固定在画板的F1和F2两点， 当绳长大于F1和F2的距离时，用铅笔尖把绳子拉紧，使笔尖 在图板上慢慢移动，就可以画出一个椭圆。
若继续拉远两个端点的距离，直到把 绳子拉直，又会得到什么图形？
另外，如果将这两个点的距离拉大， 使其大于绳子的长度那又有怎样的结 果呢？
归纳总结： 当绳长大于两定点的距离时，
轨迹是椭圆； 当绳长等于两定点的距离时，
轨迹是以这两个定点为端点的线段； 当绳长小于两定点的距离时，
没有轨迹.
2椭圆的定义：
平面内与两个定点 F1 、F2 的距离的和
等于常数( 大于 新疆 王新敞 奎屯
) 的点的轨迹是椭圆．
F1F2
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点
4
（2） 25x216 y2400 y轴上； 0,3
（3 ）x2 y2 1(mn0)X轴上； mn ,0 mn
练习：
x2 y2 (1) 在椭圆 1中, a=_3__,b=_2__,
94
焦点位于__x__轴上，焦点坐标是(___5_,0_)_, (__5_,0_).
(2) 在椭圆16x2 7 y2 112 中，a=_4__, b=__7_,
间的距离叫做椭圆的焦距.
3.椭圆标准方程的推导
(1)复习回顾:求曲线方程的一般步骤是怎么样的?
建系设点 列式 坐标代换 化简 证明
(2)如何建系,使求出的方程最简呢?
有两种方案:
Y
Y
M
F1
M
F1
0 F2
X
0
X
方案一
F2 方案二
选定方案一:
(1)建系 如图所示,以F1, F2所在的直线为x轴,以线段F1F2的 中点为原点建立直角坐标系.
高中数学苏教版选修2-1课件：第2章2.1 圆锥曲线
椭圆的定义
已知△ABC中，B(－3，0)，C(3，0)，且AB，BC， AC成等差数列； (1)求证：点A在一个椭圆上运动； (2)写出这个椭圆的焦点坐标． (链接教材P27T1) [解] (1)证明：在△ABC中，由AB，BC，AC成等差数列 ⇒AB＋AC＝2BC＝12>BC满足椭圆定义，所以点A在以B，C 为焦点的椭圆上运动． (2)焦点坐标为(－3，0)，(3，0)．
ห้องสมุดไป่ตู้
2.已知直线l：x＋2y－3＝0，点F(2，1)，P为平面上一动点， 过P作PE⊥l于E，PE＝PF，则点P的轨迹为__抛__物__线______． 解析：∵点F(2，1)不在直线l上，且PE＝PF， ∴点P的轨迹为抛物线．
利用圆锥曲线的定义求轨迹
3.抛物线
平面内到一个定点F和一条定直线l(F不在l上)的距离相等的点 的轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物线的___焦__点_________， 定直线l叫做抛物线的_____准__线_______．
4.圆锥曲线 椭圆、双曲线、抛物线统称为__圆__锥__曲__线______．
1．平面内到两点F1(－3，0)，F2(3，0)的距离之和等于8的点 的轨迹是__椭__圆____．
第2章 圆锥曲线与方程
第2章 圆锥曲线与方程
2．1 圆锥曲线
第2章 圆锥曲线与方程
学习导航
1.掌握圆锥曲线的类型及其定义、几何图形和标准
学习 目标
方程，会求简单圆锥曲线的方程．(重点) 2．通过对圆锥曲线性质的研究，感受数形结合的 基本思想和理解代数方法研究几何性质的优越
性．(难点)
学法 指导
通过自己亲自动手尝试画图，发现圆锥曲线的形成 过程进而归纳出它们的定义，培养观察、辨析、归 纳问题的能力.
高中数学苏教版选修2-1第2章圆锥曲线与方程2.1 圆锥曲线教学课件共22张PPT含视频等素材 (4份打包)
(2)大球与截面相切，小球与截面相切.
我们研究重点是什么呢？
(1)圆锥与两球的切点集(C1, C2)； (2)截面与两球的切点(F1, F2)； 与截线(椭圆)上点的数量关系！
听恩格斯的话： 研究什么数量关系？
我们一起探索
第一步：在椭圆上任取一点，标记为B； 第二步：将椭圆上的点A与截线上的点A重合， 滚动椭圆，将点对应在截线上，也记为B； 第三步：直线OB与两圆弧C1， C2分别交于S，T； 第四步：测量BS， BT， BF1， BF2 ； 第五步：研究上述四个量之间的关系！
椭圆即扁圆
P Q
A
HO
B
我花了很大力气 才找到了可具操 作性的定义
AHQH·B2H为常数.
阿波罗尼奥斯(Apollonius of Perga，约公元 前262～190年)，古希腊数学家. 他的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的 科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽， 几乎使后人没有插足的余地.
我们一起联想
实验：在锥形瓶中注入一些有色 液体，通过不断调整锥形瓶的位 置，观察水面的图形.
问题：除了圆，椭圆，还可能什 么有图形呢？ 那让我们一起再来观察吧！
圆锥曲线
(苏教版选修2-1第2章)
什么是数学？
纯数学的对象是现实世界的空间 形式和数量关系.
——恩格斯
Friedrich Engels 1820-11-28－1895-8-5 德国思想家、哲学家、革命 家、教育家，军事理论家
我们的成长再现了历史的演变.
人的认识从感觉开始，再从
感觉上升到概念，最后形成思想。
康德《纯粹理性批判》
(摘自波利亚《数学的发现》第14章引言)
问题探索1
问题1：一张相纸长为12cm，宽为 8cm，在角落存在一个坏点，其距长 边2.2cm，距短边2cm. 要在正中洗 一个椭圆形照片，我们能不能避开这 个坏点呢？
苏教版高二数学选修2-1讲义(含答案)：第1部分 第2章 2.2 2.2.2 椭圆的几何性质
2．2.2椭圆的几何性质[对应学生用书P22]建立了椭圆的标准方程后，我们就可以通过方程研究椭圆的几何性质．以方程x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)为例，试着完成下列问题：问题1：方程中对x，y有限制的范围吗？提示：由y2b2＝1－x2a2≥0，得－a≤x≤a.同理－b≤y≤b.问题2：在方程中，用－x代x，－y代y，方程的形式是否发生了变化？提示：不变．问题3：方程与坐标轴的交点坐标是什么？提示：令x＝0，得y＝±b；令y＝0，得x＝±a；与x轴的交点为(a,0)，(－a,0)，与y轴的交点为(0，b)，(0，－b)．椭圆的几何性质焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)范围－a≤x≤a，－b≤y≤b －a≤y≤a，－b≤x≤b 顶点(±a,0)，(0，±b)(0，±a)，(±b,0)轴长短轴长＝2b，长轴长＝2a焦点(±c,0)(0，±c)焦距F1F2＝2c对称性对称轴x轴，y轴，对称中心(0,0)离心率e＝ca∈(0,1)1．椭圆的对称性椭圆的图像关于x轴成轴对称，关于y轴成轴对称，关于原点成中心对称．2．椭圆的离心率与椭圆形状变化间的关系(1)0<e<1，e越趋近于1，越扁，越趋近于0，越圆(可以根据字体1很扁、0很圆进行记忆)．(2)当e→0，c→0时，椭圆变圆，直至成为极限位置圆，此时也可认为圆为椭圆在e＝0时的特例．(3)当e→1，c→a，椭圆变扁，直至成为极限位置线段F1F2，此时也可认为F1F2为椭圆在e＝1时的特例．[对应学生用书P23]已知椭圆方程求几何性质[例1]求椭圆81x2＋y2＝81的长轴和短轴的长及其焦点和顶点坐标，离心率．[思路点拨]本题中椭圆的方程不是标准形式，故先化为标准形式后求出a，b，c，再根据焦点位置写出相应的几何性质．[精解详析]椭圆的方程可化为x2＋y281＝1，∴a＝9，b＝1，∴c＝81－1＝80＝4 5，∴椭圆的长轴和短轴长分别为18,2.∵椭圆的焦点在y轴上，故其焦点坐标为F1(0，－4 5)，F2(0,4 5)，顶点坐标为A1(0，－9)，A2(0,9)，B 1(－1,0)，B 2(1,0)，e ＝c a ＝4 59.[一点通] 求椭圆几何性质参数时，应把椭圆化成标准方程，注意分清焦点的位置，这样便于直观写出a ，b 的值，进而求出c ，写出椭圆的几何性质参数．1．若椭圆x 2m ＋y 24＝1的离心率为13，则m 的值为________．解析：当m >4时，由c 2＝a 2－b 2＝m －4， 得m －4m＝13.解得m ＝92. 当m <4时，由c 2＝a 2－b 2＝4－m ， 得4－m 2＝13，解得m ＝329. 答案：92或3292．求椭圆4x 2＋9y 2＝36的长轴长、焦距、焦点坐标、顶点坐标和离心率． 解：椭圆方程变形为x 29＋y 24＝1，∴a ＝3，b ＝2， ∴c ＝a 2－b 2＝9－4＝ 5.∴椭圆的长轴长和焦距分别为2a ＝6,2c ＝25， 焦点坐标为F 1(－5，0)，F 2(5，0)，顶点坐标为A 1(－3,0)，A 2(3,0)，B 1(0，－2)，B 2(0,2)，离心率e ＝c a ＝53.由椭圆的几何性质求标准方程[例2] 求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)长轴长为20，离心率等于45；(2)长轴长是短轴长的2倍，且过点(2，－6)．[思路点拨] 先确定椭圆的焦点位置，不能确定的要分情况讨论，然后设出标准方程，再利用待定系数法求出a 、b 、c ，得到椭圆的标准方程．[精解详析] (1)∵2a ＝20，e ＝c a ＝45，∴a ＝10，c ＝8，b 2＝a 2－c 2＝36.由于椭圆的焦点可能在x 轴上，也可能在y 轴上，所以所求椭圆的标准方程为x 2100＋y 236＝1或y 2100＋x 236＝1.(2)设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1或y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)．由已知a ＝2b ，①且椭圆过点(2，－6)，从而有 22a 2＋(－6)2b 2＝1或(－6)2a 2＋22b2＝1.② 由①②得a 2＝148，b 2＝37或a 2＝52，b 2＝13. 故所求椭圆的标准方程为x 2148＋y 237＝1或y 252＋x 213＝1.[一点通] 在求椭圆方程时，要注意根据题目条件判断焦点所在的坐标轴，从而确定方程的形式，若不能确定焦点所在的坐标轴，则应进行讨论．一般地，已知椭圆的焦点坐标时，可以确定焦点所在的坐标轴；而已知椭圆的离心率、长轴长、短轴长或焦距时，则不能确定焦点所在的坐标轴．3．已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为32，且G 上一点到G 的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的方程为________________．解析：由题意得2a ＝12，c a ＝32，所以a ＝6，c ＝33，b ＝3.故椭圆方程为x 236＋y 29＝1.答案：x 236＋y 29＝14．求满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点在y 轴上，焦距是4，且经过点M (3,2)； (2)离心率为513，且椭圆上一点到两焦点的距离的和为26.解：(1)由焦距是4可得c ＝2，且焦点坐标为(0，－2)，(0,2)． 由椭圆的定义知，2a ＝32＋(2＋2)2＋32＋(2－2)2＝8，所以a ＝4，所以b 2＝a 2－c 2＝16－4＝12.又焦点在y 轴上，所以椭圆的标准方程为y 216＋x 212＝1.(2)由题意知，2a ＝26，即a ＝13， 又e ＝c a ＝513，所以c ＝5，所以b 2＝a 2－c 2＝132－52＝144， 因为焦点所在的坐标轴不确定，所以椭圆的标准方程为x 2169＋y 2144＝1或y 2169＋x 2144＝1.与椭圆离心率有关的问题[例3] 已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2.P 是椭圆M 上的任一点，且PF 1·PF 2的最大值的取值范围为⎣⎡⎦⎤12c 2，3c 2，其中c 2＝a 2－b 2，求椭圆的离心率的取值范围．[思路点拨] 由P 是椭圆上一点，知PF 1＋PF 2＝2a ，进而设法求出PF 1·PF 2的最大值，再由已知的范围求出离心率e 的范围．[精解详析] ∵P 是椭圆上一点， ∴PF 1＋PF 2＝2a ，∴2a ＝PF 1＋PF 2≥2 PF 1·PF 2， 即PF 1·PF 2≤a 2，当且仅当PF 1＝PF 2时取等号． ∴12c 2≤a 2≤3c 2，∴13≤c 2a 2≤2， ∴13≤e 2≤2，∴33≤e ≤ 2. ∵0<e <1，∴33≤e <1， ∴椭圆的离心率的取值范围是⎣⎡⎭⎫33，1.[一点通]1．椭圆的离心率的求法： (1)直接求a ，c 后求e ，或利用e ＝1－b 2a 2，求出ba后求e . (2)将条件转化为关于a ，b ，c 的关系式，利用b 2＝a 2－c 2消去b .等式两边同除以a 2或a 4构造关于ca(e )的方程求e .2．求离心率范围时，常需根据条件或椭圆的范围建立不等式关系，通过解不等式求解，注意最后要与区间(0,1)取交集．5．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是________．解析：设椭圆的长轴长为2a ，短轴长为2b ，焦距为2c ， 则由已知得2a ＋2c ＝4b . 即a ＋c ＝2b ， 又a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝54b ，c ＝34b ，e ＝35.答案：356．椭圆M ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 为椭圆M 上任一点，且1PF u u u r ·2PF u u u r的最大值的取值范围是[c 2,3c 2]，其中c ＝a 2－b 2，则椭圆M 的离心率e 的取值范围是________．解析：设P (x ，y )、F 1(－c,0)、F 2(c,0)，则1PF u u u r ＝(－c －x ，－y )，2PF u u u r＝(c －x ，－y )， 1PF u u u r ·2PF u u u r＝x 2＋y 2－c 2，又x 2＋y 2可看作P (x ，y )到原点的距离的平方， 所以(x 2＋y 2)max ＝a 2，(1PF u u u r ·2PF u u u r)max ＝b 2，所以c 2≤b 2＝a 2－c 2≤3c 2，即14≤e 2≤12，所以12≤e ≤22.答案：⎣⎡⎦⎤12，22与椭圆相关的应用问题[例4] 某宇宙飞船的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆，设地球半径为R ，若其近地点、远地点离地面的距离分别大约是115R 、13R ，求此宇宙飞船运行的轨道方程．[思路点拨] 根据条件建立坐标系，设出椭圆方程，构造方程，求得宇宙飞船运行的轨道方程．[精解详析] 如图所示，以运行轨道的中心为原点，其与地心的连线为x 轴建立坐标系，且令地心F 2为椭圆的右焦点，则轨道方程为焦点在x 轴上的椭圆的标准方程，不妨设为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，则地心F 2的坐标为(c,0)，其中a 2＝b 2＋c 2，则⎩⎨⎧a －c ＝R ＋R15，a ＋c ＝R ＋R3，解得⎩⎨⎧a ＝65R ，c ＝215R .∴b 2＝a 2－c 2＝⎝⎛⎭⎫65R 2－⎝⎛⎭⎫215R 2＝6445R 2. ∴此宇宙飞船运行的轨道方程为 x 23625R 2＋y 26445R 2＝1. [一点通] 解决此类问题，首先要根据条件建立平面直角坐标系，将实际问题转化为有关椭圆的问题，再将条件转化为a ，b ，c 的关系，进而求出椭圆方程，解决其它问题．注意：(1)椭圆方程中变量的范围对实际问题的限制；(2)最后要将数学模型还原回实际问题作答．7．某航天飞行控制中心对某卫星成功实施了第二次近月制动，卫星顺利进入周期为3.5 h 的环月小椭圆轨道(以月球球心为焦点)．卫星远月点(距离月球表面最远的点)高度降至1 700 km ，近月点(距离月球表面最近的点)高度是200 km ，月球的半径约是1 800 km ，且近月点、远月点及月球的球心在同一直线上，此时小椭圆轨道的离心率是________．解析：可设小椭圆的长轴长为2a ，焦距为2c ，由已知得 2a ＝1 700＋2×1 800＋200，∴a＝2 750.又a＋2c＝1 700＋1 800，∴c＝375.∴e＝ca ＝3752 750＝322.答案：3 228．已知某荒漠上F1、F2两点相距2 km，现准备在荒漠上开垦出一片以F1、F2为一条对角线的平行四边形区域，建农艺园．按照规划，平行四边形区域边界总长为8 km.(1)试求平行四边形另两个顶点的轨迹方程；(2)问农艺园的最大面积能达到多少？解：(1)以F1F2所在直线为x轴，F1F2的中垂线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则F1(－1,0)，F2(1,0)．设平行四边形的另两个顶点为P(x，y)，Q(x′，y′)，则由已知得PF1＋PF2＝4.由椭圆定义知点P在以F1、F2为焦点，以4为长轴长的椭圆上，此时a＝2，c＝1，则b＝ 3.∴P点的轨迹方程为x24＋y23＝1(y≠0)，同理Q点轨迹方程同上．(2)S▱PF1QF2＝F1F2·|y P|≤2c·b＝23(km2)，所以当P为椭圆短轴端点时，农艺园的面积最大为2 3 km2.1．椭圆的顶点、焦点、中心坐标等几何性质与坐标有关，它们反映了椭圆在平面内的位置．2．椭圆的长轴长、短轴长、焦距、离心率等几何性质与坐标无关，它们反映了椭圆的形状．3．讨论与坐标有关的几何性质应先由焦点确定出椭圆的类型，不能确定的应分焦点在x轴上、y轴上进行讨论．[对应课时跟踪训练(九)]1．(新课标全国卷Ⅱ改编)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P是C 上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为________．解析：法一：由题意可设|PF 2|＝m ，结合条件可知|PF 1|＝2m ，|F 1F 2|＝3m ，故离心率e ＝c a ＝2c 2a ＝|F 1F 2||PF 1|＋|PF 2|＝3m 2m ＋m ＝33. 法二：由PF 2⊥F 1F 2可知P 点的横坐标为c ，将x ＝c 代入椭圆方程可解得y ＝±b 2a ，所以|PF 2|＝b 2a .又由∠PF 1F 2＝30°可得|F 1F 2|＝3|PF 2|，故2c ＝3·b 2a ，变形可得3(a 2－c 2)＝2ac ，等式两边同除以a 2，得3(1－e 2)＝2e ，解得e ＝33或e ＝－3(舍去)． 答案：332．(广东高考改编)已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1,0)，离心率等于12，则C 的方程是________________________________________________________________________．解析：依题意，设椭圆方程为x 2a 2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1，c a ＝12，c 2＝a 2－b 2，解得a 2＝4，b 2＝3.答案：x 24＋y 23＝13．曲线x 225＋y 29＝1与曲线x 225－k ＋y 29－k ＝1(k <9)的________相等．(填“长轴长”或“短轴长”或“离心率”或“焦距”)解析：c 2＝25－k －(9－k )＝16，c ＝4. 故两条曲线有相同的焦距． 答案：焦距4．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率是63，过椭圆上一点M 作直线MA ，MB 分别交椭圆于A ，B 两点，且斜率分别为k 1，k 2，若点A ，B 关于原点对称，则k 1·k 2的值为________．解析：设点M (x ，y )，A (x 1，y 1)，B (－x 1，－y 1)， 则y 2＝b 2－b 2x 2a 2，y 21＝b 2－b 2x 21a2.所以k 1·k 2＝y －y 1x －x 1·y ＋y 1x ＋x 1＝y 2－y 21x 2－x 21＝－b 2a 2＝c 2a 2－1＝e 2－1＝－13，即k 1·k 2的值为－13.答案：－135．设F 1，F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，P 为直线x ＝3a2上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率是________．解析：设直线x ＝3a2与x 轴交于点M ，则∠PF 2M ＝60°.由题意知，F 1F 2＝PF 2＝2c ，F 2M ＝3a2－c .在Rt △PF 2M 中，F 2M ＝12PF 2，即3a2－c ＝c .∴e ＝c a ＝34.答案：346．已知焦点在x 轴上的椭圆的离心率e ＝35，经过点A (5 32，－2)，求椭圆的标准方程．解：设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，则754a 2＋4b 2＝1.① 由已知e ＝35，∴c a ＝35，∴c ＝35a .∴b 2＝a 2－c 2＝a 2－(35a )2，即b 2＝1625a 2.②把②代入①，得754a 2＋4×2516a 2＝1，解得a 2＝25，∴b 2＝16，∴所求方程为x 225＋y 216＝1. 7．已知椭圆x 2＋(m ＋3)y 2＝m (m >0)的离心率e ＝32，求m 的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标．解：椭圆方程可化为x 2m ＋y 2mm ＋3＝1， 由m >0，易知m >m m ＋3， ∴a 2＝m ，b 2＝m m ＋3. ∴c ＝a 2－b 2＝m (m ＋2)m ＋3. 由e ＝32，得 m ＋2m ＋3＝32，解得m ＝1， ∴椭圆的标准方程为x 2＋y 214＝1. ∴a ＝1，b ＝12，c ＝32. ∴椭圆的长轴长为2，短轴长为1，两焦点坐标分别为F 1⎝⎛⎭⎫－32，0，F 2⎝⎛⎭⎫32，0， 顶点坐标分别为A 1(－1,0)，A 2(1,0)，B 1⎝⎛⎭⎫0，－12，B 2⎝⎛⎭⎫0，12. 8．若椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，点P 是椭圆上的一点，P 在x 轴上的射影恰为椭圆的左焦点，P 与中心O 的连线平行于右顶点与上顶点的连线，且左焦点与左顶点的距离等于10－5，试求椭圆的离心率及其方程． 解：令x ＝－c ，代入x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)， 得y 2＝b 2(1－c 2a 2)＝b 4a 2，∴y ＝±b 2a . 设P (－c ，b 2a)，椭圆的右顶点A (a,0)，上顶点B (0，b )． ∵OP ∥AB ，∴k OP ＝k AB ，∴－b 2ac ＝－b a， ∴b ＝c .而a 2＝b 2＋c 2＝2c 2，∴a ＝2c ，∴e ＝c a ＝22. 又∵a －c ＝10－5，解得a ＝10，c ＝5，∴b ＝5，∴所求椭圆的标准方程为x 210＋y 25＝1.。
高二数学苏教版选修2-1讲义：第1部分第1章1.2第二课时含逻辑联结词的命题的真假判断Word版含解
B A WO- 高额考点题组化.名师一点就通[pio][1] p q p q p⑴P 6< 5 q 6 6 ⑵Py 2x x 2 xq2 x x 2<0⑶Py cos x q[]P q[](1)Pq⑵ PqP qPqP⑶ PqPq[ ]⑴Pq⑵P q⑶%1P⑴p 2 a 1 1 q 2 3(2)P 2 2 5 q 3 2⑶P 1 {1,2}q {1}? {1,2}(4)P ?? {0} q ? {0}y cos xq p qP q P qP qP P qPP q PP q P2•分别指出下列命题的构成形式及各命题的真假：(1) 全等三角形周长相等或对应角相等；(2) 9的算术平方根不是一3;(3) 垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两段弧.解：(1)这个命题是p V q的形式，其中p：全等三角形周长相等，q：全等三角形对应角相等，因为p真q真，所以p V q为真.⑵这个命题是綈p的形式，其中p: 9的算术平方根是一3,因为p假，所以綈p为真.(3)这个命题是p A q的形式，其中p：垂直于弦的直径平分这条弦，q :垂直于弦的直径平分这条弦所对的两段弧，因为p真q真，所以p A q为真.［例2］已知p:函数y= x2+ mx+ 1在(-1,+^ )上单调递增，q：函数y= 4求+ 4(m —2)x+ 1大于零恒成立.若p或q为真，p且q为假，求m的取值范围.［思路点拨］由p或q为真，p且q为假，可判断p和q —真一假，进而求m的范围.［精解详析］若函数y= x2+ mx + 1在(—1, +^ )上单调递增，则—mm <—1,解得m》2, 即p：m>2;若函数y= 4*+ 4(m—2)x+ 1恒大于零，贝U △= 16(m—2)2—16<0，解得1<m<3，即q：1<m<3.因为p或q为真，p且q为假，所以p、q 一真一假，m> 2,当p真q假时，由弋得m> 3,m> 3或m<1,m<2,当p假q真时，由得1<m<2.(1<m<3,综上可知，m的取值范围是{m|m> 3或1<m<2}.［一点通］1 •含有逻辑联结词的命题p A q、p V q的真假可以用真值表来判断，反之根据命题p A q、p V q的真假也可以判断命题p、q的真假.2. 解答这类问题的一般步骤：(1)先求出构成命题p A q、p V q的命题p、q成立时参数需满足的条件；⑵其次根据命题p A q、p V q的真假判定命题p、q的真假；(3)根据p、q的真假求出参数的取值范围.3. 命题p ：关于x 的不等式x + 2ax + 4>0对一切x € R 恒成立；命题q :函数f(x)= — (5 — 2a)x 是减函数，若p 或q 为真，p 且q 为假，求实数a 的取值范围.解：由△= 4a 2— 16<0，得一2<a<2, 故命题p : — 2<a<2. 由 5 — 2a>1，得 a<2, 故命题q : a<2.若p 或q 为真，p 且q 为假，则「一 2<a<2,①p 真，q 假.则由* 得a € ?.a > 2,--a< — 2.综上可知，符合条件的 a 的取值范围为(一^，― 2)4. 已知a > 0,且1，设p :函数y = log a (x + 1)在x € (0,+^ )内单调递减，q ：曲线 y = x 2 + (2a — 3)x + 1与x 轴交于不同的两点，“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，求实数a 的取 值范围.解：当0v a v 1时，函数y = log a (x + 1)在(0,+^ )内单调递减；当 a > 1时，函数y = log a (x + 1)在(0，+8 )内不是单调递减的.曲线y = x 2 + (2a — 3)x + 1与x 轴交于不同的两点等价于 (2a — 3)2— 4>0,即a v 1或a >5 ⑴若p 为真且q 为假，即函数y = log a (x + 1)在(0，+^ )内单调递减，曲线 y = x 2+ (2a一 1 5 "I—3)x + 1与x 轴不交于不同的两点，贝U a € (0,1) A ^，2，即 a € 2，1]⑵若p 为假且q 为真，即函数y = log a (x + 1)在(0，+^ )内不是单调递减的，曲线 y = x 2 + (2a — 3)x + 1与x 轴交于不同的两点，则 a € (1，+^ )A 0, 1 U 5，+^ ，即a € I'5 +J 2，+综上可知，a 的取值范围为 寸，1 U |,+8 .[方法・规律■小结〕1.含逻辑联结词的综合问题，一般会出现“ p 或q ”为真，“p 或q ”为假，“p 且q ”为 真，“p 且q ”为假等这些条件，解题时应先将这些条件翻译成 p , q 的真假，p , q 的真假有 时是不确定的，需要讨论，然后当它们为假时，取其补集即可.2.相关结论：使“ p 或q ”为真的参数范围为使命题 p , q 分别为真的参数范围的并集,②p 假，q 真.a w - 2或a 》2 a<2,p q p qi p p q p p qa x 1.121.21 log a x log 1」2>log 1.11.21 2 a x <log a xpq3 p ax b>0 ix | x> b"a. ’qx(x a)(xb)<0{x|a<x<b}p qpqppa<0 a 0qa bpp4pq()p q p qpqpq.pqp qp q2pa>1xa >log a xq ama n a p aq(m n p q* N ) (p) ( q)(p) (q) p ( q)p qa 1.1x 2{a n }m n p q a nama paqd 0ama naPa qpqp qp ( q)p) ( q) (p) (( q)5. （湖北高考改编）在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次•设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围” 可表示为_____________ .①（綈p）V （綈q）;②p V （綈q）;③（綈p）A （綈q）;④p V q.解析：由题意可知，“至少有一位学员没有降落在指定范围”意味着“甲没有或乙没有降落在指定范围”，使用“非”和“或”联结词即可表示该复合命题为（綈p）V （綈q）.答案：①6•写出下列各组命题构成的“p或q”、“p且q”以及“非p”形式的命题，并判断它们的真假.（1）p：.5是有理数，q：,5是整数；（2）p：不等式x2—2x—3>0 的解集是（一8, —1）,q：不等式x2—2x—3>0的解集是（3,+8 ）.解：（1）p或q：5是有理数或.5是整数；p且q：5是有理数且.5是整数；非p: 5不是有理数.因为p假，q假，所以p或q为假，p且q为假，非p为真.（2）p或q：不等式x2—2x—3>0的解集是（―汽―1）或不等式x2—2x—3>0的解集是）；p且q：不等式x2—2x—3> 0的解集是（—8, —1）且不等式x2—2x—3> 0的解集是（3,+ 8 ）；非p:不等式x2—2x—3>0的解集不是（—8, —1）.因为p假，q假，所以p或q假，p且q假，非p为真.X—1|< 2,2 27.命题p：实数x满足x —4ax+ 3a <0（a>0），命题q :实数x满足x+ 3> 0.x—⑴若a = 1，且p A q为真，求实数x的取值范围；⑵若q?綈p,求实数a的取值范围.解：⑴由于a= 1,贝U x2—4ax+ 3a2<0? x2—4x+ 3<0? 1<x<3.所以p：1<x<3.2lx—1|W 2,解不等式组丿x+ 3 得2<x w 3,》0所以q：2<x w 3.2p q p q1<x<3<2<x<32<x 3x (2,3)(2) p x2 4ax 3a20 a>02 2x 4ax 3a 0? (x a)(x 3a) 0? x a x 3ap x a x 3aA {x|x a x 3a}(1) q 2<x 3B {x|2<x 3}q? P(1)P qa i a (1) P1.2a(a 1)2 4a212.a| a I- 1 a 1-[a| 3 a 1q1.3 a 3a 2 0<a 23[3x2(a 1)x a20 q y (2a2 a)x。
苏教版高二数学选修2-1教案(共144页)
第1课时 圆锥曲线[学习目标]1．理解椭圆、双曲线、抛物线的定义。
2．能依据圆锥曲线的定义判断所给曲线的形状。
[学习过程]一、课前自主探究我们知道，用一个平面截一个圆锥面，当平面经过圆锥面的顶点时，可得到两条相交直线，当平面与圆锥面的轴垂直时，截得的图形是一个圆，试改变平面的位置，观察截得的图形的变化情况。
回答问题：用平面去截圆锥面能得到哪些曲线？二、课内合作探究1．自主探究成果展示，形成知识结构学生讨论上述问题，通过观察,可以得到以下三种不同的曲线：对于Dandelin 双球理论只要让学生感知、认同即可。
（1）圆锥曲线的定义椭圆：平面内到两定点1F ，2F 的 等于常数（大于 ）的点的轨迹叫做椭圆， 叫做椭圆的焦点， 间的距离叫做椭圆的焦距。
对于第二种情形，平面与圆锥曲线的截线由两支曲线构成。
（类比椭圆的定义） 双曲线：平面内到两定点1F ，2F 的 等于常数（小于 ）的点的轨迹叫做双曲线， 叫做双曲线的焦点， 间的距离叫做双曲线的焦距。
对于第三种情形，平面与圆锥曲线的截线是一条曲线构成。
抛物线：平面内到一个定点F 和一条定直线L （ ）的距离 的点轨迹叫做抛物线， 叫做抛物线的焦点， 叫做抛物线的准线。
椭圆、双曲线、抛物线统称为圆锥曲线。
（2）圆锥曲线的定义式上面的三个结论我们都可以用数学表达式来体现：设平面内的动点为M 。
椭圆：动点M 满足的式子： . 双曲线：动点M 满足的式子： . 抛物线：动点M 满足的式子： .学习心得栏问题1：找出上述概念中的关键词． 问题2：如何理解椭圆的定义？问题3：如何理解双曲线的定义？问题4：如何理解抛物线的定义？2.典型例题，方法形成例1．A 、B 是两定点，且AB ＝2，动点M 到A 的距离为4，线段MB 的垂直平分线l 交MA 于P ，求证点P 的轨迹为椭圆，并指明其焦点。
变式：已知B 、C 是两个定点，BC ＝8，且△ABC 的周长等于18，顶点A 在什么曲线上运动?例2．如图，已知定圆F 1，定圆F 2，半径分别为r 1＝1，r 2＝2，动圆M 与定圆F 1，F 2都外切，试判断动圆圆心M 的轨迹。
苏教版高中数学选修2-1第二章 圆锥曲线与方程.docx
高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作第二章圆锥曲线与方程2.1圆锥曲线双基达标(限时15分钟)1．已知定点F1(－3，0)和F2(3，0)，动点M满足MF1＋MF2＝10，则动点轨迹是________．解析因为MF1＋MF2＝10，且10>F1F2，所以动点M轨迹是椭圆．答案椭圆2．已知点M(x，y)的坐标满足（x－1）2＋（y－1）2－（x＋3）2＋（y＋3）2＝±4，则动点M的轨迹是________．解析点(x，y)到(1，1)点及到(－3，－3)点的距离之差的绝对值为4，而(1，1)与(－3，－3)距离为42，由定义知动点M的轨迹是双曲线．答案双曲线3．到两定点F1(－3，0)，F2(3，0)的距离之差的绝对值等于6的点M的轨迹是__________．解析MF1－MF2＝±6，而F1F2＝6，轨迹为两条射线．答案两条射线4．若点M到F(4，0)的距离比它到直线x＋5＝0的距离小1，则点M的轨迹表示的曲线是________．解析由题意知M到F的距离与到x＝－4的距离相等，由抛物线定义知，M点的轨迹是抛物线．答案抛物线5．下列说法中正确的有________．(填序号)①已知F1(－6，0)、F2(6，0)，到F1、F2两点的距离之和等于12的点的轨迹是椭圆②已知F1(－6，0)、F2(6，0)，到F1、F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆③到点F1(－6，0)、F2(6，0)两点的距离之和等于点M(10，0)到F1、F2的距离之和的点的轨迹是椭圆④到点F1(－6，0)、F2(6，0)距离相等的点的轨迹是椭圆解析椭圆是到两个定点F1、F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹，应特别注意椭圆的定义的应用．①中|F1F2|＝12，故到F1、F2两点的距离之和为常数12的点的轨迹是线段F1F2.②中点到F1、F2两点的距离之和8小于|F1F2|，故这样的点不存在．③中点(10，0)到F1、F1两点的距离之和为（10＋6）2＋02＋（10－6）2＋02＝20>|F1F2|＝12，故③中点的轨迹是椭圆．④中点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线．故正确的是③.答案③6．已知动圆M过定点A(－3，0)，并且在定圆B：(x－3)2＋y2＝64的内部与其相内切，判断动圆圆心M的轨迹．解设动圆M的半径为r.因为动圆M与定圆B内切，所以MB＝8－r.又动圆M过定点A，MA＝r，所以MA＋MB＝8，故动圆圆心M的轨迹是椭圆．综合提高(限时30分钟)7．△ABC中，若B、C的坐标分别是(－2，0)，(2，0)，中线AD的长度为3，则A点的轨迹方程是________________________________________________________．解析∵B(－2，0)，C(2，0)，∴BC的中点D(0，0)设A(x，y)，又∵AD＝3，∴x2＋y2＝3(y≠0)所以A点的轨迹方程x2＋y2＝9(y≠0)．答案x2＋y2＝9(y≠0)8．已知动点M的坐标满足方程5x2＋y2＝|3x＋4y－12|，则动点M的轨迹是__________．解析 把轨迹方程5x 2＋y 2＝|3x ＋4y －12|写成x 2＋y 2＝|3x ＋4y －12|5.∴动点M 到原点 的距离与到直线3x ＋4y －12＝0的距离相等．∴点M 的轨迹是以原点为焦点，直线3x ＋4y －12＝0为准线的抛物线．答案 抛物线9．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，P 是侧面BB 1C 1C 内一动点．若点P 到直线BC 与直线C 1D 1的距离相等，则动点P 的轨迹是__________．解析 点P 到直线C 1D 1的距离就是点P 到点C 1的距离，所以动点P 的轨迹就是动点到 直线BC 与到点C 1的距离相等的点的轨迹，是抛物线的一部分．答案 抛物线的一部分10．已知点A (－1，0)、B (1，0)．曲线C 上任意一点P 满足P A →2－PB →2＝4(|P A →|－|PB →|)≠0.则曲线C 的轨迹是______．解析 由P A →2－PB →2＝4(|P A →|－|PB →|)≠0，得|P A →|＋|PB →|＝4，且4>AB .故曲线C 的轨迹是椭圆．答案 椭圆11．已知动圆与圆C ：(x ＋2)2＋y 2＝2相内切，且过点A (2，0)，求动圆圆心M 的轨迹． 解 设动圆M 的半径为r ，∵圆C 与圆M 内切，点A 在圆C 外，∴MC ＝r －2，MA ＝r ，∴MA －MC ＝2，又∵AC ＝4>2，∴点M 的轨迹是以C 、A 为焦点的双曲线的左支．12．如图所示，已知点P 为圆R ：(x ＋c )2＋y 2＝4a 2上一动点，Q (c ，0)为定点(c >a >0，为常数)，O 为坐标原点，求线段PQ 的垂直平分线与直线RP 的交点M 的轨迹．解 由题意，得MP ＝MQ ，RP ＝2a .MR －MQ ＝MR －MP ＝RP ＝2a <RQ ＝2c .∴点M 的轨迹是以R 、Q 为两焦点，实轴长为2a 的双曲线右支．13．(创新拓展)设Q是圆x2＋y2＝4上的动点，点A(3，0)，线段AQ的垂直平分线交半径OQ于点P.当Q点在圆周上运动时，求点P的轨迹．解因为线段AQ的垂直平分线交半径OQ于点P，所以P A＝PQ.而半径OQ＝OP＋PQ，所以OP＋P A＝2，且2>3＝OA，故点P的轨迹为椭圆(除去与x轴相交的两点)．。
高中数学苏教版选修2-1课件：第2章 圆锥曲线与方程2.2.2
m＝25， 或 n＝625.
2 2 x2 y x 故所求椭圆的标准方程为 ＋y2＝1 或 ＋ ＝1. 25 625 25
求离心率
x2 y2 (1)(2016· 安阳高二检测)如图 222，已知 F 是椭圆 2＋ 2＝1(a＞b＞ a b 0)的左焦点， P 是椭圆上的一点，PF⊥x 轴， OP∥AB(O 为原点), 则该椭圆的 离心率是______．
(2)由题意知焦点在 x 轴上， x2 y2 故可设椭圆的标准方程为 2＋ 2＝1(a>b>0)，且两焦点 a b 为 F′(－3，0)，F(3,0)． 如图所示， △A1FA2 为等腰直角三角形， OF 为斜边 A1A2 的中线，且|OF|＝c， |A1A2|＝2b，∴c＝b＝3，∴a2＝b2＋c2 ＝18. x2 y2 ∴椭圆的标准方程为 ＋ ＝1. 18 9
b 2 1－ a 求解；
3若已知 a，b，c 的关系，则可转化为 a，c 的齐次式，再 转化为含 e 的方程求解即可.
[ 再练一题] 3．A 为 y 轴上一点，F1，F2 是椭圆的两个焦点，△AF1F2 为正三角形，且 AF1 的中点 B 恰好在椭圆上，求此椭圆的离心率. 【导学号：09390026】
2
mm＋2 . m＋3
3 c 由 e＝ ，得 e＝ ＝ 2 a
m＋2 3 ＝ ，所以 m＝1. m＋3 2
2 y 所以椭圆的标准方程为 x2＋ ＝1. 1 4
1 3 所以 a＝1，b＝ ，c＝ ，所以椭圆的长轴长为 2，短轴长为 1；两焦点坐 2 2 标分别为
F1 － 3 3 ，0，F2 ，0；四个顶点坐标分别为 A1(－1,0)，A2(1,0)， 2 2
(2)如图所示，不妨设椭圆的焦点在 x 轴上，由条件得∠OAB＝30° ，OA＝a， OB＝b，
苏教版高中数学选修2-1空间向量.docx
高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作空间向量基础知识本单元是全章的重点，主要学习空间向量及其在立体几何中的初步应用，共有4个知识点：空间向量及其线性运算、共线向量与共面向量、空间向量的分解定理、两个向量的数量积.本单元的重点是：空间向量的运算和运算律；空间直线、平面的向量参数方程及线段中点的向量公式；空间向量基本定理及其推论；两个向量的数量积的计算方法及其应用；空间右手直角坐标系；向量的坐标运算和向量的夹角公式、距离公式.本单元的难点有：理解与运用空间直线、平面的向量参数方程及线段中点的向量公式；空间作图；两个向量数量积的几何意义以及把立体几何问题转化为向量计算问题；向量坐标的确定和向量夹角公式、距离公式的应用等.本单元把空间的平行(平移）性质转为向量表达式（共线、共面向量定理、向量数量积运算）和向量运算，使学习重点转到使用向量代数方法解决立体问题上来，这旨在培养使用向量代数方法解决立体几何问题的能力. 在第一单元空间平行（平移）概念的基础上，引入向量来解决立体几何问题，是综合推理训练转向代数推理训练，即用代数方法来研究解决立几问题，因此，要重视空间向量的概念、运算方法及其应用，侧重掌握向量这一工具的性质和用途.本单元所学的空间向量的知识容量大, 涉及的概念多, 公式多，因此，要抓住空间向量与平面向量之间存在的类似关系，能通过类比、比较，将所学的平面向量知识推广到空间，并通过应用逐步理解与掌握.本单元的主要知识有：1．共线向量共线向量定理：对空间任意两个向量a，b (b≠ 0 ), a∥b的充要条件是存在实数λ使a = λb.推论：如果l为经过已知点A且平行于已知非零向量a的直线，那么对任一点O，点P在直线l上的充分条件是存在实数t，满足等式→--OP=→--OA+t a. 其中向量a叫做直线l的方向向量，等式→--OP=→--OA+t a称为空间直线的向量参数表示式，若在l上取→--AB= a，则等式可化为→--OP=（1 – t )→--OA+t→--OB.2．共面向量称平行于同一平面的向量为共面向量.共面向量定理：如果两个向量不共线，则向量p与向量a,b共面的充要条件是存在实数对x,y，使p = x a + y b.推论：空间一点P位于平面MAB内的充分必要条件是存在有序实数对x, y，使→--MP=x→--MA+ y→--MB或对空间任一点O，有→--OP=→--OM+ x→--MA+ y→--MB.3．空间向量基本定理定理：如果三个向量a，b ,C不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x, y , z, 使p = x a + y b + z c.该定理表明：在空间，任意一个向量都可以由三个不共面的向量表示（生成），{ a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫基向量.推论：设O，A，B，C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的三个有序实数x, y , z，使→--OP= x→--OA+ y→--OB+ z→--OC.4. 两个向量的数量积空间两个向量非零向量a，b的夹角定义与平面向量类似，但记作<a，b>，通常规定0 ≤ < a，b> ≤π.空间两个非零向量a，b的数量积定义与平面向量也类似，但表达形式略有不同.a•b = |a||b |cos<a , b >.当<a , b >= 2π时，称向量a 与 b 互相垂直，记作a ⊥ b . 空间两个向量的数量积有类似于平面向量数量积的性质与运算律.5．空间向量的坐标运算与平面向量的坐标运算类似，引入空间向量的坐标运算.取空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长都为1，则这个基底叫单位正交基底，常常用{ i ，j ，k }表示；在空间取右手拇指指向x 轴的正方向，食指指向y 轴的正方向，中指指向z 轴的正方向的右手直角坐标系，设原点为O ；在右手直角坐标系中，取一个单位正交基底{ i ，j ，k }，使基向量 i ，j ，k 的方向分别为x, y , z 轴的正方向，由空间向量的基本定理可得：给定空间任意向量a , 存在唯一的有序实数组( a 1 , a 2 , a 3）使a = a 1i + a 2 j + a 3k ，有序数组( a 1 , a 2 , a 3）叫做向量a 在空间直角坐标系中的坐标，可简记为a = ( a 1 , a 2 , a 3）. 对空间任一点A ，对应一个向量→--OA ，于是存在唯一的有序实数组x, y , z 使→--OA = x i + y j + z k . 在单位正交其底i ，j ，k 中与向量 →--OA 对应的有序实数组（ x , y , z )，叫做点A 在此空间直角坐标系中的坐标，记作A （x , y , z ), 其中x, y , z 分别叫做点A 的横坐标，纵坐标与坚坐标.设a = ( a 1 , a 2 , a 3）， b = ( b 1 , b 2 , b 3）, 则有a ±b = ( a 1±b 1 , a 2±b 2 , a 3±b 3 );λa = ( λa 1 , λa 2 , λa 3） (λ ∈ R ) ;a •b = a 1b 1 + a 2b 2 + a 3b 3 ;a ∥b ⇔ a 1 = λb 1 , a 2= λb 2 , a 3 = λb 3(λ ∈R ), 或11b a =22b a =33b a ； a ⊥ b ⇔ a 1b 1 + a 2b 2 + a 3b 3 = 0|a | = 232221a a a ++;cos< a ，b > =||||b a b a ⋅=222221232221332211b b b a a a b a b a b a ++++++. 在空间直角坐标系中，若设A ( a 1 , a 2 , a 3），B ( b 1 , b 2 , b 3），则AB 两点之间的距离d A, B =233222211)b a ()b a ()b a (-+-+-.7. 平面的法向量垂直于平面的向量称为平面的法向量，即若向量a ⊥平面α, 则a 称为α的法向量. 例题解析例1 设O 为空间任意一点, 点G 是△ABC 的重心, 设→--OA = a , →--OB = b , →--OC = c , 求证: →--OG =31(a + b + c ). 证: 如图，设AM 是△ABC 的一条中线, 则→--AG = 32→--AM = 32•21(→--AB +→--AC )=31(b – a + c – a ). ∴ →--OG =→--OA +→--AG = a + →--AG = a +31(b – a + c – a ) =31(a + b + c ).说明 本题解决是空间问题, 但所用的则是平面向量的知识, 将空间问题分解为几个平面问题, 并在各个平面内分别使用平面向量知识，综合起来达到解决问题的目的，这是用向量知识解决空间问题的基本思路之一.例2 求证：如果两条直线同垂直于一个平面，则这两条直线平行.已知 如图，AA`⊥α，BB`⊥β，A, B 分别为垂足，求证：AA`∥BB`证：在平面α内过点A 作互相垂直的向量→--AC ，→--AD ，作基底向量{→--AC ，→--AD ，→--`AA }，用基底表示→--`BB 得： →--`BB = x →--AC +y →--AD +z →--`AA （ x, y , z ∈ R ),∴→--`BB •→--AC = x →--AC •→--AC +y →--AD •→--AC +z →--`AA •→--AC (1),（例1） （例2）→--`BB •→--AD = x →--AC •→--AD +y →--AD •→--AD +z →--`AA •→--AD (2).∵ BB`⊥AC, BB`⊥AD, AA`⊥AC, AA`⊥AD,∴→--`BB •→--AC =0, →--`BB •→--AD = 0, →--`AA •→--AC = 0, →--`AA •→--AD = 0.代入（1）（2）得x = 0, y = 0, ∴→--`BB = z →--`AA , ∴AA`∥BB`.说明 由空间不共面的三个向量构成一个基底，则空间任意一个向量均可用这个基底表示（生成），这是空间向量基本定理的作用，也是解决本题的突破口.两条向量(直线)垂直对应向量数量积为零, 为运用这个条件，需要在等式→--`BB = x →--AC +y →--AD +z →--`AA 两边同时 “点乘”→--AC 、→--AD ，这一方法在高一推导余弦定理时曾经接触过，也是解决本题的关键.例3 已知向量 a = ( 2 , 2, –1)，求与a 平行的向量的单位向量.分析：设与a 平行的单位向量为a 0，则有 a = ±| a |a 0，∵ | a | =222)1(22-++= 3, ∴a 0 = (32,32,–31)或a 0 = (–32,–32,31). 注意 与向量a 平行的向量的方向有两个，故需要添“±”号.例4 已知向量a = ( 4 , –3 , 2 ), 向量b 与三坐标轴成相等的锐角, 求向量a 在向量b 上的射影.解: 设向量b 与三坐标轴所成的角均为α, 由3cos 2 α= 1, 得cos α = ±33, ∵α为锐角, ∴cos α =33, ∴ b 的单位向量b 0 = (33, 33, 33). ∴ 向量a 在向量b 上的射影 a ·b 0 =334–3 + 332 = 3. 说明 设向量a 与b 的夹角为θ，则向量a 在向量b 上的射影等于| a |cos θ. 又设向量b 的单位向量为b 0，则有b = | b |b 0，则a ·b 0 = a ·||b b =||1b | a ||b |cos θ = | a |cos θ, 因此有“向量a 在向量b 上的射影为 a·b 0”的结论. 理解这个结论有助于提高解题速度.例5． 设点O 为空间任意一点，点A ，B ，C 是空间不共线的三点，又点P 满足等式：→--OP = x →--OA + y →--OB + z →--OC , 其中x, y , z ∈R , 求证： P ，A ，B ，C 四点共面的充要条件是x + y + z = 1.分析：需要分两方面来证，必要性即证: 若x + y + z = 1，则P ，A ，B ，C 四点共面，充分性即证: 若P, A, B, C 四点共面, 则有 x + y + z = 1.必要性证明考虑到x + y + z = 1可以减少一个变量, 而O 点可以通过向量减法消去,从而由向量共面定理获证.充分性只需证向量→--AP = λ→--AB +μ→--AC (λ , μ ∈R ), 注意到点O 的作用, 故有→--AP =→--OP – →--OA 等,证: 先证必要性: ∵x + y + z = 1, ∴ z = 1 – x – y ,∴→--OP = x →--OA + y →--OB + ( 1 – x – y )→--OC = x (→--OA – →--OC ) + y (→--OB – →--OC ) + →--OC = x →--CA + y →--CB + →--OC .即→--CP = x →--CA + y →--CB , 由共面向量定理知P, A, B , C 四点共面.再证充分性: 设x + y + z = k, 由条件 →--OP = x →--OA + y →--OB + z →--OC ,得: →--OP = x →--OA + y →--OB + ( k – x – y )→--OC = x(→--OA –→--OC ) + y(→--OB –→--OC ) + k →--OC = x(→--OA –→--OC ) + y(→--OB –→--OC ) + →--OC + (k – 1)→--OC .∴ →--OP –→--OC = x(→--OA –→--OC ) + y(→--OB –→--OC ) + (k – 1)→--OC ,即→--CP = x →--CA + y →--CB + (k – 1)→--OC ,∵ P, A, B , C 四点共面, 点O 为空间任意一点, ∴ 只能k = 1, 即x + y + z = 1. 综合上述, 命题成立.说明 本例所证的是一个用空间向量解决立几问题时常用的结论.例6 设有一个质点位于P 1 ( 1 , 3, –2)处, 现有大小为200g, 方向向量为 (cos60︒, cos60︒, cos45︒)的力→-F 作用于该点. 求该质点由P 1位移到P 2 ( 3 , 4 , –2 + 22)时, 力→-F所作的功(长度单位为cm).分析：设P 1到P 2的位移为→-S , 那么力→-F 所作的功为W = →-F ·→-S .解: ∵力→-F 的方向向量→-0F = ( cos60︒, cos60︒, cos45︒) = (21,21,22) ， 而 |→-F | = 200, 且有→-F = |→-F |→-0F = 200→-0F .∴→-F = (100, 100, 1002),又∵ →-S = ( 3 – 1 , 4 – 3 , –2 + 22 +2 ) = ( 2, 1 , 22).∴W = →-F ·→-S = 200 + 100 + 400 = 700 ( g · cm ) . 例7．设以空间直角坐标系的原点O 为始点的向量→--OA = a 与x 轴，y 轴，z 轴的交角分别为α，β，γ，称l = cos α , m = cos β , n = cos γ, 为向量a 的方向余弦，试证：l 2 + m 2 + n 2=1.分析：即证：cos 2α + cos 2β + cos 2γ = 1, 因此如何表示出cos α, cos β, cos γ 是关键，注意到→--OA •I = = |→--OA || I |cos α, 若设→--OA = a =（a 1 , a 2 , a 3 ) , 则有a 1 ·1+ a 2·0+ a 3·0= |a |coa α ， 可得coa α = ||1a a 1 , 同理可得coa β， coa γ. 证：设x, y , z 上的单位向量分别为： I = (1,0,0) , j = ( 0,1,0 ) , k = (0 , 0 ,1)又设→--OA = a =（a 1 , a 2 , a 3 ) ，由→--OA ·i = |a | | i | cos α = |a |coa α,得 a 1 ·1+ a 2·0+ a 3·0= |a |coa α ,∴ a 1= |a |coa α , ∴ coa α = ||1a a 1 , 同理 coa β = ||1a a 2 , coa γ = ||1a a 3 . ∴ cos 2α + cos 2β + cos 2γ = ||1a ( a 12+ a 22+ a 32)= 22||||a a =1 即l 2 + m 2 + n 2=1. (例7）请思考：若题设条件改为：设以空间直角坐标系的原点O为始点的向量→--OA= a与x轴，y轴，z轴的交角分别为α，β，γ，令l = pcosα , m = pcosβ , n = pcosγ. 则可证得什么结论？课堂训练1．设a = ( 3, 2 , 4 ), b = ( 2 , 0 , 1 ), c = ( –1, –1, 2 ). 则3a– 4b – 2c等于（ A ）(A) ( 3, 8 , 4 ). (B) (4, 1, 6 ) . (C) (3, 4, 4 ). (D) (–1, 8, 4).2．给定点A ( 3, –1, 0 )和向量→--AB= ( 2, 5 , –3), 则点B的坐标是( B ).(A) ( 1, –6, 3). (B) ( 5 , 4 , –3) .(C) (–1, 6, –3) . (D) ( 2, 5, –3) .3．如图ABCD – A1B1C1D1是平行六面体，给出下列命题:(1)→--1AC=→--AD+→--DC+→--1CC. (2)→--1AC=→--AB+→--AD+→--1AA.(3)→--1AC=→--AC+→--CD+→--1DC. (4)→--1AC=→--1AB+→--DB1+→--1AA.其中真命题的个数是( A )(A)4 (B)3 (D)2 (D)14．在平行六面体ABCD – A1B1C1D1中, 必有( C )(A)→--1AC=→--1CA. (B)→--1AC+→--1CA= 0.(C)→--1AC+→--1CA=→--1BD+→--1DB. (D)→--1AC+→--1CA=→--1BD+→--DB1.5．如图：已知ABCD是平行四边形，点O为空间任意一点，设→--OA= a，→--OB=b，→--OC=c，则向量→--OD用a、b、c表示为（ A ）. （A）a–b+ c. （B）a–b–c.(C)– a–b + c . (D)–a+ b–c.6．已知三个力→-1F= ( 1, 2 , 1 ),→-2F= (–1, –2, 3 ),→-3F= ( 2,2, –1), 则这三个力的合力为( A ).（第3题）（第5题）(A) (2, 2, 3 ). (B) ( 0 , 0 , 0 ). (C) 17 . (D) 0.7．在下列给出的各组向量中, 向量a 与b 共线的一组是 ( C )(A) a = ( 1, –3, 2 ), b = (–3, 2 , 1 ). (B) a = ( 4, –12, 3 ), b = (–1, 3 , 1 ) .(C) a = ( –1, 1, 2 ), b = (–21,21, 1 ). (D) a = (–2,2, 32), b = (–21,21,21). 8．已知向量 a = ( –2, 5, –4 ), b = (6, 0 , –3 ) , 则< a , b >的值等于 ( B ) (A)32π. (B)2π. (C)3π . (D) 6π. 9．已知向量a = 8i + 3k ，b = –i + 5j – 4k , 则a •b 等于 ( A )(A) –20 . (B) 7 . (C) 11. (D) 23 .10．已知a =（1, 2, 3 ) , b = ( 3, 0 , – 1), c = (–51, 1, –53), 则在以下结论中： （1）| a + b + c |=| a –b –c | ； （2）（a + b + c 2)= a 2 + b 2+ c 2；（3）（a •b ）•c = a • （b ·c ）； （4）（a + b ）·c = a ·（b –c ）, 不正确的有（ A ）. （A ）4个. （B ）3个 . （C ）2个 . （D ）1个.11．已知向量a = ( 2, –4, 3 ), b = ( 7 , –1, – 2), 则a – b = ( 5, 3 , –5) .12．已知点O 是正方体ABCD – A 1B 1C 1D 1的中心, 若→--AB = a ，→--AD = b , →--1AA = c ，则 →--AO = 21( a +b +c ) . 13．已知ABCD – A 1B 1C 1D 1是平行六面体, 若→--AB = a ，→--AD = b , →--1AA = c ，则→--1BD = b + c – a .14．已知向量a = ( 8, – 4, 1 ), b = (2 , 2 , 1 ),.则< a , b >的值等于arccos 277 . 15．平行六面体ABCD – A 1B 1C 1D 1中，AB = AD = AA 1 = 1，∠BAD = ∠BAA` = ∠DAA` = 60°，则AC 1的长度等于 6 .16．已知点P ( 2, –5, 3), 求(1) 点P 在三坐标轴上射影的坐标;(2) 点P 在坐标面xOy, yOz, zOx 上射影的坐标.( (1) x 轴 ( 2, 0 , 0 ); y 轴( 0 , –5, 0 ); z 轴 ( 0 , 0 3 ). (2) xOy: ( 2 , –-5, 0 ); yOz : ( 0 , –5,3); zOx: ( 2 , 0 , 3 ). )17．用向量证明顶点为A (5 , 2 , –1), B ( 1 , –3. 4 ), C 9 –2 , 1 , 3 ), D ( 2 , 6 , –2)的四边形是平行四边形.18．空间四边形OABC 中，M ，N 分别是边OA ，BC 的中点，点G 在MN 上，且MG = 2GN ，用基底{→--OA ，→--OB ，→--OC }表示向量→--OG . （ →--OG =61→--OA +31→--OB +31→--OC ） 19．(1)已知|a | = 3, | b | = 2, <a , b > =3π, 求a · b . ( 3 ) (2) 已知a = ( 1, 3, 5 ), b = ( –1, –3, 4 ), 求a · b . ( 10 )课后练习1．已知a = ( 2, –1, 2 ), b = (2, 2 , 1 ), 则以a , b 为邻边的平行四边形的面积是 ( C )(A) 65. (B)265. (C) 4 . (D) 8. 2．在单位正交基底{ i ，j ，k }下, 点A ( –2, 3, 1), 且存在唯一的有序实数组( 7, –2, 3)使得向量→--OB = 7i – 2 j + 3k ，则向量→--AB = ( A )(A) ( 9 , –5 , 2 ). (B) (–9, 5 , –1 ). (C) (–2, 3, 1 ). (D) ( 7, –2, 3 ). 3．若向量a = ( 1, λ, 2 ), b = (2, –1, 2 ), cos< a ，b > =98, 则实数λ的值为 ( D ) (A) 2. (B) –2. (C)–2或552. (D) 2或 –552. 4．下列各组向量中, 向量a , b , c 共面的一组是 ( B )(A) a = ( 4, 2, 1 ), b = (–1, 2 , 2 ), c = ( –1, 1 ; 5 ).(B) a = ( 1, 2, –3 ), b = (–2, –4 , 6 ) , c = ( 1, 0 ; 5 ).(C) a = ( 0, 0, 1 ), b = (–1, 0 , 0 ), c = ( 0, –1 ; 0 ). (D) a = ( –2, 3, 1 ), b = (3, –2 , –2 ), c = ( –1, 0 ; 2 ).5．已知非零向量 m = ( a 2 , 2 , a 2 + c 2 ) , n = ( b 2, – a 2b, 1 ) , 则m ⊥n 的充要条件是 ( C ) (A) a = c = 0且b = 1. (B) a = 0或c = 0 且b = 1. (C) a = 0或b = 1且c = 0 . (D) c = 0或b = 1且a = 0.6．如图, ABCD – A 1B 1C 1D 1是平行六面体，则下列错误的一个命题是( B ) (A) 存在唯一的实数对(x, y )使得 →--1AC = x →--AB +y →--AD . (B) 存在唯一的实数对(x, y )使得 →--AC = x →--AB +y →--1AA . (C) 存在唯一的有序实数组( x, y , z ), 使得→--1AC = x →--AB +y →--AD +z →--1AA .(D) 存在唯一的有序实数组( x, y , z ), 使得→--AC = x →--AB +y →--AD +z →--1AA .7．已知向量a = (1 , 3 , 2 ), b = (1 , 0 , 1 ), p = k a – 2b , q = 3a + 4b , 若p ∥q , 则实数k = –49. 8. 空间三点A (1 , –1, a ) , B ( 2, a , 0 ) , C ( 1 , a , – 2 ) , 若(→--AB –2→--AC )与→--BC 垂直, 则实数a 等于 –29. 9．已知两空间向量 a = (cos θ, 1, sin θ), b = ( sin θ , 1 , cos θ ), 则a + b 与a – b 的夹角的度数是 90° .10. 在平行六面体ABCD – A 1B 1C 1D 1中, 以顶点A 为端点的三条棱长都等于1, 且两两夹角都为60°, 则|→--1AC | = 6 .11．已知向量2 a + b = (0,–5,10)，c = (1,–2,–2)，a·c = 4，|b |=13，求b·c . （– 18） 12．在正方体1111D C B A ABCD -中, M ∈ A 1D , A 1M = 2MD , N ∈ CD 1 , CN = 2ND 1. 求证: MN D A 1⊥,MN C D 1⊥（第6题）→--MN == (–31,31,31) ，→--D A 1=(1, 0 ,1 ) ，→--C D 1= (0 , 1,–1)，→--MN ·→--D A 1=,01310311)31(=⨯+⨯+⨯- →--MN ·→--C D 1=,0)1(311310)31(=-⨯+⨯+⨯-13．求同时垂直于向量a = ( 2，1，3 )，b = ( 0，–5，1 )的单位向量c 0 .( 设 c 0 = ( cos α. cos β, cos γ ) . ，由a·c 0 =0，且a·c 0 =0， 解得。
【精品】高中数学苏教版选修2-1课件：2.1圆锥曲线课件(10张)
例2 如图所示,已知椭圆的方程为
x2 y2 1 4 3
, F1 , F 2
为椭圆的两个焦点， P点是椭圆上的一点，且
，
F PF 60 ，求F 1PF 2 的面积。 1 2
x y ( a b 0 ) 1 变式1已知椭圆的方程为 4 3 F1 , F2为椭圆的两个焦点， P点为椭圆上的一点，
y 0 x
图象
0
x
0
x
曲线
椭圆
y 0 x
双曲线
y
抛物线 y
x
图象
顶点 焦点 对称轴 离心率 准线 渐近线 焦半径
0
0
x
( a , 0 ), ( 0 , b )
(a,0)
(
( 0 ,0 )
p ,0 ) 2
2 2 2 2 ( c , 0 ), c a b ( c , 0 ), c a b
称为焦点三角形，解关于焦点三角形问 题时要充分利用椭圆的定义、三角形中的 正弦定理、余弦定理等知识。 练习
x2 y2 y2 2. 1 3. x 2 1 16 12 9 3 15 5. 4. 16 2
6、33 7、8
21 8. p 2
例题讲解 例1方程
x2 y2 1 表示焦点在x轴上的椭圆 m m 1
求m的取值范围？
2 2 x y 1 0 1 ) 已 知 焦 点 在 x 轴 上 的 椭 圆 1 的 离 心 率 e ， 变式1 ( m m 1 5 求 m 的 值 。
x轴，y轴
c e (0,1) a
a x c
c e ( 1 , ) a 2
y b x a
e 1
p x 2
苏教版高中数学选修2-1课件 2.1 圆锥曲线 课件2
4．抛物线定义中F∉l，若F∈l，则点的轨迹是经过点F且垂
直于l的直线．
课前探究学习
课堂讲练互动
题型一椭圆定义的应用
【例1】在△ABC中，B(－6，0)，C(0，8)，且sin B，sin A，sin C成等差数列． (1)顶点A的轨迹是什么？ (2)指出轨迹的焦点和焦距． [思路探索] 要求点A的轨迹主要是寻找点A满足的条件，需 要把条件sin B，sin A，sin C成等差数列转化为边的关系．
自学导引
1．椭圆的定义 平面内到_两__个__定__点__F_1_，__F_2_的__距__离__的__和__等于常数(大于F1F2)的 点的轨迹叫做椭圆，两个定点F1，F2叫做椭圆的_焦__点__．两焦 点间的距离叫做椭圆的_焦__距__．
2．双曲线的定义 平面内到_两__个__定__点__F_1_，__F_2_的__距__离__的__差__的__绝__对__值__等于常数(小
于F1F2的正数)的点的轨迹叫做双曲线，两个定点F1，F2叫做 双曲线的_焦__点__，两焦点间的距离叫做双曲线的_焦__距__．
课前探究学习
课堂讲练互动
3．抛物线的定义 平面内_到__一__个__定__点__F_和__一__条__定__直__线__l_(F__不__在__l上__)_的__距__离__相__等_ 的__点__的轨迹叫做抛物线，_定__点__F_叫做抛物线的焦点，_定__直_ _线__l叫做抛物线的准线．
…………………………………………………………3 分
∵ （x－1）2＋（y－1）2表示点 M 到点(1，1)的距离，
高二数学苏教版选修2-1课件：第1部分 第2章 2.1 圆锥曲线
答案：必要不充分
的研究方向；分析小说，一般都是从人物、环境、情节三个要素入手；写记叙文，则要从时间、地点、人物和事情发生的起因、经过、结果六个方面进
行叙述。这些都是语文学习中的一些具体方法。其他的科目也有适用的学习方法，如解数学题时，会用到反正法；换元法；待定系数法；配方法；消元
法；因式分解法等，掌握各个科目的方法是大家应该学习的核心所在。
圆锥曲线定义的理解
[例1] 平面内动点M到两点F1(－3,0)，F2(3,0)的距离之和 为3m，问m取何值时M的轨迹是椭圆？
[思路点拨] 若M的轨迹是椭圆，则MF1＋MF2为常数， 但要注意这个常数大于F1F2.
[精解详析] ∵MF1＋MF2＝3m， ∴M到两定点的距离之和为常数，当3m大于F1F2 时，由椭圆定义知，M的轨迹为椭圆， ∴3m>F1F2＝ 3＋32＋0－02＝6， ∴m>2，∴当m>2时，M的轨迹是椭圆．
一、听要点。
一般来说，一节课的要点就是老师们在备课中准备的讲课大纲。许多老师在讲课正式开始之前会告诉大家，同学们对此要格外注意。例如在学习物
理课“力的三要素”这一节时，老师会先列出力的三要素——大小、方向、作用点。这就是一堂课的要点。把这三点认真听好了，这节课就基本掌握了。
二、听思路。
思路就是我们思考问题的步骤。例如老师在讲解一道数学题时，首先思考应该从什么地方下手，然后在思考用什么方法，通过什么样的过程来进行
苏教版高中数学选修(2-1)课件本章归纳整合(一)
【例1已】知不等式|x－m|<1成立的充分不必要条件是
<x13<
，1求 2
实数m的取值范围．
解 ∵|x－m|<1可化为m－1<m＋1，
又∵不等式|x－m|<1 成立的充分不必要条件是13<x<12， (如图) ∴mm－ ＋11≤ ≥1312， ，解得mm≤ ≥43－，12，即－12≤m≤43.
专题四 用全称命题与存在性命题理解集合间的关系
全称命题与存在性命题是我们理解集合间关系的很好工 具，有以下常用结论：P⊆Q即“∀x∈P，都有x∈Q成立”， P∩Q≠∅即“∃x∈P，有x∈Q成立”．
【例4已】知集合P＝[ 12，2]，函数f(x)＝log2(ax2－2x＋2)的定义域 为Q； (1)若P∩Q＝P，求实数a的取值范围； (2)若P∩Q≠∅，求实数a的取值范围． 解 由 ax2－2x＋2>0，得 a>－2(1x)2＋2x＝
高中数学课件
灿若寒星整理制作
本章归纳整合
知识网络
要点归纳
1．命题 命题是能够判断真假的语句，一个命题由条件和结论两部分 构成．由命题的正确与否，可将命题分为真命题、假命题．
2．四种命题及其关系 (1)若原命题：若p则q；则逆命题：若q则p(结论和条件“换 位”)；否命题：若非p则非q(条件和结论都否定“换质”)；逆否 命题：若非q则非p(条件和结论“换质”后又“换位”)． (2)原命题与逆命题称为互逆命题；原命题与否命题称为互否 命题；原命题与逆否命题称为互为逆否命题． 注意：互为逆否的两个命题同真同假，而互逆或互否的两个 命题不一定具有相同的真假性．
命题趋势
命题是数学的重要构成形式，充分条件、必要条件是数学的 重要概念，故命题及其关系是数学高考的必考内容和热门考 点．而对逻辑联结词的考查主要是通过逻辑联结词考查集 合、函数等知识内容，对量词的考查主要是全称命题与存在 性命题的否定．本章内容一般占5～10分，预测今后的高考 在考查上述基本题型的基础上，可能会在解答题的条件中穿 插关于量词比较隐蔽的叙述，能否发现并合理转换成具有可 操作性的数学表达式往往是解题的突破口．