极点配置与观测器的设计
极点配置与观测器设计
即当系统对第一输入 b1u1已完全能控时，只须用
单输入系统( A,b1)作极点配置得 k1，对( A, B)系统
而言，有：
k1
k
0
0
但存在问题: (A, B)能控时，不能得证(A, b1)
能控。
解决办法: 通过一状态反馈 u Kˆx v 使闭环：
x Ax Bu Ax B Kˆx v A BKˆ x Bv
若(A, b1)能控，即：x Ax b1u1完全能控
对(A, b1)完全能控，找 k1,n k1,n-1 k1,1 行向量，使
A b1k1 1, 2 ,, n 为希望的极点。
其余不妨取： k2 k3 km 0
则： A BK A b1k1 b2k2 bmkm A b1k1
希望闭环极点多项式：
fd (s) sn d1sn1 dn1s dn
设反馈增益矩阵： k kn kn-1 k1
闭环系统为： x A bk x bv
0 1 0 0 0
0
0
A bk
0
0
1
0
0
0
1
0kn
kn1 k1
an an1 an2 a1 1
解： 由劳斯判据，显然开环不稳定。
f (s) s3 s2 1
fd (s) s 1s 1 js 1 j s3 3s2 4s 2
k 1 2, 0 4, 1 3 1,4,4
u kx v 1,4,4x v
闭环系统
0 1 0 0
x
0
0
1x 0u
- 2 - 4 - 3 1
例：
an1 kn1 dn1 an kn dn
k1 a1 d1 k2 a2 d2
kn1 an1 dn1 kn an dn
现代控制理论课件PPT极点的配置和观测器的设置
(s *1)(s *2 )
(s
* n
)
sn
a1*s n1
an1*s an*
0
通过比较系数，可知
a1
~k~n
a2 kn1
a1* a2
*
an
~ k1
an*
西华大学电气与电子信息学院
由此即有
k~2k~1aann1**
an an1
~ kn
a1*
a1
又因为
u v Kx v KP1x% v K%x%
要求用状态反馈来镇定系统。
解：系统不稳定。同时系统为不能控的。不能控子系统 特征值为－5，符合可镇定条件。故原系统可用状态反馈 实现镇定，镇定后极点设为 s1,2 2 j2
能控子系统方程为
x&C
AC xC
bCu
1 0
0 1 2 xC 1 u
引入状态反馈 u V KC xC ，设 KC [k1 k2 ]
西华大学电气与电子信息学院
5.2 系统的极点配置
所谓极点配置，就是通过选择适当的反馈形式和反馈矩阵， 使系统的闭环极点恰好配置在所希望的位置上，以获得所希 望的动态性能。
5.2.1 能控系统的极点配置 定理 5-2 给定系统
x Ax Bu :
y Cx Du
通过状态反馈 u v kx 任意配置极点的充
要条件 完全能控。
西华大学电气与电子信息学院
证: 只就单输入系统的情况证明本定理
充分性：因为给定系统 能控，故通过等价变换
~x Px 必能将它变为能控标准形
%:
x&% A%x% b%u y c%x% d%u
这里，P 为非奇异的实常量等价变换矩阵，且有
7状态空间设计法极点配置观测器资料
第7章线性定常离散时间状态空间设计法7.1引言7.2状态反馈配置极点7.3状态估值和状态观测器7.4利用状态估值构成状态反馈以配置极点7.5扰动调节7.6无差调节7.1引言一个被控对象：(1)()()()()():1,():1,:,:,:x k Fx k Gu k y k Cx k x k n u k m F n n G n m C r n+=+⎧⎨=⎩⨯⨯⨯⨯⨯ 7.1当设计控制器对其控制时，需要考虑如下各因素： ● 扰动，比如负载扰动 ● 测量噪声● 给定输入的指令信号 ● 输出 如图7.1所示。
给d L (k )扰动图7.1 控制系统示意图根据工程背景的不同，控制问题可分为调节问题和跟踪问题，跟踪问题也称为伺服问题。
调节问题的设计目标是使输出迅速而平稳地运行于某一平衡状态。
包括指令变化时的动态过程，和负载扰动下的动态过程。
但是这二者往往是矛盾的，需要折衷考虑。
伺服问题的设计目标是对指令信号的快速动态跟踪。
本章研究基于离散时间状态空间模型的设计方法。
7.2研究通过状态变量的反馈对闭环系统的全部特征值任意配置——稳定性与快速线。
7.3考虑当被控对象模型的状态无法直接测量时，如何使用状态观测器对状态进行重构。
7.4讨论使用重构状态进行状态反馈时闭环系统的特征值。
7.5简单地讨论扰动调节问题。
7.6状态空间设计时的无差调节问题。
7.2 状态反馈配置极点工程被控对象如式7.1，考虑状态反馈()()()u k v k Lx k =+7.2如图7.2所示。
式7.2带入式7.1，得(1)()()()()()()()x k Fx k Gu k y k Cx k u k v k Lx k +=+⎧⎪=⎨⎪=+⎩7.3整理得()(1)()()()()x k F GL x k Gv k y k Cx k +=++⎧⎨=⎩7.4(k )v(k )图7.2 状态反馈任意配置闭环系统的极点闭环系统的特征方程为[]det ()0zI F GL -+=7.5问题是在什么情况下式7.5的特征根是可以任意配置的？即任给工程上期望的n 个特征根λ1, λ2, ..., λn ，有[]1det ()()0ni i zI F GL z λ=-+=-=∏7.6定理：状态反馈配置极点若被控对象式7.1是状态完全能达的，即（F , G ）是一个能达对（能达性矩阵-1[...]N c W F G FG G =满秩），则一定存在一个r 行n 列的状态反馈矩阵L ，使得在状态反馈()()()u k v k Kx k =+下，闭环系统式7.4具有任意给定的n 个期望的特征根λ1, λ2, ..., λn 。
利用MATLAB实现极点配置、设计状态观测器现代控制
11
装
订
(s+6.319) (s^2 + 2.681s + 2.057)
线
则闭环系统的零点为：-1
>> pole(G)
ans =
-6.3186 -1.3407 + 0.5099i -1.3407 - 0.5099i >> Uc=ctrb(A,B);rank(Uc)
蓝色为配置前，绿色为配置后
题 5-3 某系统状态空间描述如下
0 1 0 1
x
0
0
1
x
3
u
4 3 2 6
y 1 0 0 x
设计全维状态观测器，要求状态观测器的极点为 1 2 3。
程序>> A=[0 1 0;0 0 1;-4 -3 -2];
p=[-30 -1.2 -2.4+4i -2.4-4i];
k=place(A,B,p);
A1=A-B*k;
G1=ss(A1,B,C,D);
6
装
订
t=0:0.5:20;
线
u=ones(size(t));
y2=lsim(G1,u,t);
y1=lsim(G,u,t);
plot(t,y1,':',t,y2,'-')
(2)分别选取 K=[0 3 0].K=[1 3 2],K=[0 3 1]为状态反馈矩阵，求解闭环系统的零点， 极点和传递函数，并判断系统的能控性和能观测性。它们是否发生改变？为什么？
（1）
程序
>> A=[0 1 0;0 0 1;-12 -16 -7];
线性系统极点配置和状态观测器基于设计(matlab) - 最新版本
一. 极点配置原理假设原系统的状态空间模型为：⎩⎨⎧=+=Cxy Bu Ax x 若系统是完全可控的，则可引入状态反馈调节器，且：这时，闭环系统的状态空间模型为：()x A BK x Bv y Cx =-+⎧⎨=⎩二. 状态观测器设计原理假设原系统的状态空间模型为：⎩⎨⎧=+=Cxy Bu Ax x 若系统是完全可观的，则可引入全维状态观测器，且：ˆˆ(y y)ˆˆx Ax Bu G y Cx ⎧=++-⎪⎨=⎪⎩设ˆx x x=-，闭环系统的状态空间模型为： ()x A GC x =-解得：(A GC)t(0),t 0x ex -=≥由上式可以看出，在t 0≥所有时间内，如果(0)x =0，即状态估计值x 与x 相等。
如果(0)0x ≠，两者初值不相等，但是()A GC -的所有特征值具有负实部，这样x 就能渐进衰减至零，观测器的状态向量ˆx就能够渐进地逼近实际状态向量x 。
状态逼近的速度取决于G 的选择和A GC -的特征配置。
三. 状态观测的实现为什么要输出y 和输入u 对系统状态x 进行重构。
u Kx v =-+证明 输出方程对t 逐次求导，并将状态方程x Ax Bu =+代入整理，得2(n 1)(n 2)(n 3)21n n y Cxy CBu CAx y CBu CABu CA x y CBu CABu CA Bu CA x-----=⎧⎪-=⎪⎪--=⎨⎪⎪⎪----=⎩将等号左边分别用z 的各分量12,,,n z z z 表示，有121(n 1)(n 2)(n 3)2n n n y C z y CBu CA z z y CBu CABu x Qx z CA y CBu CABu CA Bu -----⎡⎤⎧⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎪-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎪⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥==--==⎨⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎪⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎪----⎩⎣⎦如果系统完全能观，则rankQ n =即1ˆ(Q Q)T Tx Q z -= （类似于最小二乘参数估计） 综上所述，构造一个新系统z ，它是以原系统的输出y 和输入u ，其输出经过变换1(Q Q)T T Q -后得到状态向量ˆx。
实验6极点配置与全维状态观测器的设计
实验6极点配置与全维状态观测器的设计实验 6 极点配置与全维状态观测器的设计⼀、实验⽬的1. 加深对状态反馈作⽤的理解。
2. 学习和掌握状态观测器的设计⽅法。
⼆、实验原理在MATLAB 中，可以使⽤acker 和place 函数来进⾏极点配置，函数的使⽤⽅法如下：K = acker(A,B,P) A，B为系统系数矩阵，P为配置极点，K为反馈增益矩阵。
K = place(A,B,P) A，B为系统系数矩阵，P为配置极点，K为反馈增益矩阵。
[K,PREC,MESSAGE] = place(A,B,P) A，B为系统系数矩阵，P为配置极点，K为反馈增益矩阵，PREC 为特征值，MESSAGE 为配置中的出错信息。
三、实验内容1.已知系统（1）判断系统稳定性，说明原因。
（2）若不稳定，进⾏极点配置，期望极点：-1，-2，-3，求出状态反馈矩阵k。
（3）讨论状态反馈与输出反馈的关系，说明状态反馈为何能进⾏极点配置？（4）使⽤状态反馈进⾏零极点配置的前提条件是什么？1.（1）（2）代码：a=[-2 -1 1;1 0 1;-1 0 1];b=[1,1,1]';p=[-1,-2,-3]';K=acker(a,b,p)K =-1 2 4（3）讨论状态反馈与输出反馈的关系, 说明状态反馈为何能进⾏极点配置?在经典控制理论中,⼀般只考虑由系统的输出变量来构成反馈律，即输出反馈。
在现代控制理论的状态空间分析⽅法中,多考虑采⽤状态变量来构成反馈律，即状态反馈。
从状态空间模型输出⽅程可以看出，输出反馈可视为状态反馈的⼀个特例。
状态反馈可以提供更多的补偿信息，只要状态进⾏简单的计算再反馈，就可以获得优良的控制性能。
(4)使⽤状态反馈配置极点的前提是系统的状态是完全可控的。
2.已知系统设计全维状态观测器，使观测器的极点配置在12+j，12-j 。
（1）给出原系统的状态曲线。
（2）给出观测器的状态曲线并加以对⽐。
实用文档之状态观测器设计
实用文档之"基于MATLAB 的状态观测器设计"预备知识： 极点配置基于状态反馈的极点配置法就是通过状态反馈将系统的闭环极点配置到期望的极点位置上，从而使系统特性满足要求。
1. 极点配置原理假设原系统的状态空间模型为：⎩⎨⎧=+=Cxy Bu Ax x 若系统是完全可控的，则可引入状态反馈调节器，且：Kx u input -=这时，闭环系统的状态空间模型为：⎩⎨⎧=+-=Cx y Bu x )BK A (x 2. 极点配置的MATLAB 函数 在MATLAB 控制工具箱中，直接用于系统极点配置的函数有acker()和place()。
调用格式为：K=acker(A,C,P) 用于单输入单输出系统其中：A ，B 为系统矩阵，P 为期望极点向量，K 为反馈增益向量。
K=place(A,B,P)(K,prec,message)=place(A,B,P)place()用于单输入或多输入系统。
Prec 为实际极点偏离期望极点位置的误差；message 是当系统某一非零极点偏离期望位置大于10%时给出的警告信息。
3. 极点配置步骤：（1）获得系统闭环的状态空间方程；（2）根据系统性能要求，确定系统期望极点分布P ；（3）利用MATLAB 极点配置设计函数求取系统反馈增益K ； （4）检验系统性能。
已知系统模型如何从系统的输入输出数据得到系统状态？初始状态：由能观性，从输入输出数据确定。
不足：初始状态不精确，模型不确定。
思路：构造一个系统，输出逼近系统状态称为是的重构状态或状态估计值。
实现系统状态重构的系统称为状态观测器。
观测器设计状态估计的开环处理：但是存在模型不确定性和扰动！初始状态未知！应用反馈校正思想来实现状态重构。
通过误差来校正系统：状态误差，输出误差。
基于观测器的控制器设计系统模型若系统状态不能直接测量，可以用观测器来估计系统的状态。
L是观测器增益矩阵，对偏差的加权。
真实状态和估计状态的误差向量误差的动态行为：的极点决定了误差是否衰减、如何衰减？通过确定矩阵L来保证。
状态观测器设计
基于M A T L A B的状态观测器设计预备知识：极点配置基于状态反馈的极点配置法就是通过状态反馈将系统的闭环极点配置到期望的极点位置上，从而使系统特性满足要求。
1. 极点配置原理假设原系统的状态空间模型为：若系统是完全可控的，则可引入状态反馈调节器，且：这时，闭环系统的状态空间模型为：2. 极点配置的MATLAB函数在MATLAB控制工具箱中，直接用于系统极点配置的函数有acker()和place()。
调用格式为：K=acker(A,C,P) 用于单输入单输出系统其中：A，B为系统矩阵，P为期望极点向量，K为反馈增益向量。
K=place(A,B,P)(K,prec,message)=place(A,B,P)place()用于单输入或多输入系统。
Prec为实际极点偏离期望极点位置的误差；message是当系统某一非零极点偏离期望位置大于10%时给出的警告信息。
3. 极点配置步骤：（1）获得系统闭环的状态空间方程；（2）根据系统性能要求，确定系统期望极点分布P；（3）利用MATLAB极点配置设计函数求取系统反馈增益K；（4）检验系统性能。
已知系统模型如何从系统的输入输出数据得到系统状态？初始状态：由能观性，从输入输出数据确定。
不足：初始状态不精确，模型不确定。
思路：构造一个系统，输出逼近系统状态称为是的重构状态或状态估计值。
实现系统状态重构的系统称为状态观测器。
观测器设计状态估计的开环处理：但是存在模型不确定性和扰动！初始状态未知！应用反馈校正思想来实现状态重构。
通过误差来校正系统：状态误差，输出误差。
基于观测器的控制器设计系统模型若系统状态不能直接测量，可以用观测器来估计系统的状态。
L是观测器增益矩阵，对偏差的加权。
真实状态和估计状态的误差向量误差的动态行为：的极点决定了误差是否衰减、如何衰减？通过确定矩阵L来保证。
也即极点配置问题。
要使得误差衰减到零，需要选取一个适当的矩阵L，使得A－LC是稳定的。
(推荐)状态观测器设计
基于MATLAB 的状态观测器设计预备知识： 极点配置基于状态反馈的极点配置法就是通过状态反馈将系统的闭环极点配置到期望的极点位置上，从而使系统特性满足要求。
1. 极点配置原理假设原系统的状态空间模型为：⎩⎨⎧=+=Cxy Bu Ax x & 若系统是完全可控的，则可引入状态反馈调节器，且：Kx u input -=这时，闭环系统的状态空间模型为：⎩⎨⎧=+-=Cxy Bu x )BK A (x & 2. 极点配置的MATLAB 函数在MATLAB 控制工具箱中，直接用于系统极点配置的函数有acker()和place()。
调用格式为：K=acker(A,C,P) 用于单输入单输出系统其中：A ，B 为系统矩阵，P 为期望极点向量，K 为反馈增益向量。
K=place(A,B,P)(K,prec,message)=place(A,B,P)place()用于单输入或多输入系统。
Prec 为实际极点偏离期望极点位置的误差；message 是当系统某一非零极点偏离期望位置大于10%时给出的警告信息。
3. 极点配置步骤：（1）获得系统闭环的状态空间方程；（2）根据系统性能要求，确定系统期望极点分布P ；（3）利用MATLAB 极点配置设计函数求取系统反馈增益K ； （4）检验系统性能。
已知系统模型如何从系统的输入输出数据得到系统状态？初始状态：由能观性，从输入输出数据确定。
不足：初始状态不精确，模型不确定。
思路：构造一个系统，输出逼近系统状态称为是的重构状态或状态估计值。
实现系统状态重构的系统称为状态观测器。
观测器设计状态估计的开环处理：但是存在模型不确定性和扰动！初始状态未知！应用反馈校正思想来实现状态重构。
通过误差来校正系统：状态误差，输出误差。
基于观测器的控制器设计系统模型若系统状态不能直接测量，可以用观测器来估计系统的状态。
L是观测器增益矩阵，对偏差的加权。
真实状态和估计状态的误差向量误差的动态行为：的极点决定了误差是否衰减、如何衰减？通过确定矩阵L来保证。
利用MATLAB实现极点配置设计状态观测器现代控制样本
实 验 报 告实验名称 运用MATLAB 实现极点配备、设计状态观测器系 专业 自动化 班 姓名 学号 授课教师 预定期间实验时间实验台号一、目规定1、掌握状态反馈和输出反馈概念及性质。
2、掌握运用状态反馈进行极点配备办法。
学会用MA TLAB 求解状态反馈矩阵。
3、掌握状态观测器设计办法。
学会用MA TLAB 设计状态观测器。
4、熟悉分离定理，学会设计带有状态观测器状态反馈系统。
二、原理简述1、状态反馈和输出反馈 设线性定常系统状态空间表达式为Cxy Bu Ax x =+=如果采用状态反馈控制规律u= r-Kx ，其中 r 是参照输入，则状态反馈闭环系统传递函数为：B BK A sIC G k 1)]([---=2、极点配备如果 SISO 线性定常系统完全能控，则可通过恰当状态反馈，将闭环系统极点配备到任意盼望位置。
MATLAB 提供函数acker( )是用Ackermann 公式求解状态反馈阵K 。
该函数调用格 式为K=acker(A,B,P)其中A 和B 分别为系统矩阵和输入矩阵。
P 是盼望极点构成向量。
MATLAB 提供函数place( )也可求出状态反馈阵K 。
该函数调用格式为 K=place(A,B,P)函数place( )还合用于多变量系统极点配备，但不合用具有多重盼望极点问题。
函数acker( )不合用于多变量系统极点配备问题，但合用于具有多重盼望极点问题。
三、仪器设备PC 计算机，MATLAB 软件四、内容环节、数据解决⎣[蓝色为配备前，绿色为配备后题5-3 某系统状态空间描述如下[]010100134326100x x u y x⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦= 设计全维状态观测器，规定状态观测器极点为[]123---。
程序>> A=[0 1 0;0 0 1;-4 -3 -2];B=[1;3;-6]'; C=[1 0 0]; D=0;p=[-1 -2 -3]; L=(acker(A',C',p))' 成果：L = 40 -10题5-4已知系统。
chapter6极点配置与状态观测器
K
6.3 状态观测器
用 ~x 代替 x
自然要求：
x~ x
渐近意义下： lim~x x 0 t
6.3 状态观测器
uB B
x ∫
+
A
E + x~ ∫
+
A
x
y
C
+
x~ C ~y 观测器
x~
6.3 状态观测器
u
y
+
E
B
+
x~
∫
x~
~y -
C
+
A
观测器
观测器状态方程
x~ A EC x~ Bu Ey
是否可以利用状态反馈，达到极点的 任意配置？
Im
s平面
0
Re
6.2 极点配置
6.2.1 极点配置定理 定理 6.2.1 给定系统
x Ax Bu :
y Cx Du
通过状态反馈 u v kx 任意配置极点的充
要条件 完全能控。
证: 只就单输入系统的情况证明本定理
6.2 极点配置
Re
响应快 响应慢
6.2 极点配置 在看一例：
Im
s平面
0
Re
稳定
6.2 极点配置
2阶系统 3阶系统
1阶系统
6.2 极点配置
Im
s平面
0
Re
稳定
6.2 极点配置
2阶系统 1阶系统
3阶系统
6.2 极点配置
状态反馈后系统极点
v
uB
-
x
∫
x
y
C
+
A
K
状态观测器设计方案
基于MATLAB的状态观测器设计预备知识：极点配置基于状态反馈的极点配置法就是通过状态反馈将系统的闭环极点配置到期望的极点位置上，从而使系统特性满足要求。
1. 极点配置原理假设原系统的状态空间模型为：⎩⎨⎧=+=CxyBuAxx&若系统是完全可控的，则可引入状态反馈调节器，且：Kxuinput-=这时，闭环系统的状态空间模型为：⎩⎨⎧=+-=CxyBux)BKA(x&2. 极点配置的MATLAB函数在MATLAB控制工具箱中，直接用于系统极点配置的函数有acker()和place()。
调用格式为：K=acker(A,C,P) 用于单输入单输出系统其中：A，B为系统矩阵，P为期望极点向量，K为反馈增益向量。
K=place(A,B,P)(K,prec,message)=place(A,B,P)place()用于单输入或多输入系统。
Prec为实际极点偏离期望极点位置的误差；message是当系统某一非零极点偏离期望位置大于10%时给出的警告信息。
3. 极点配置步骤：（1）获得系统闭环的状态空间方程；（2）根据系统性能要求，确定系统期望极点分布P；（3）利用MATLAB极点配置设计函数求取系统反馈增益K；（4）检验系统性能。
已知系统模型如何从系统的输入输出数据得到系统状态？初始状态：由能观性，从输入输出数据确定。
不足：初始状态不精确，模型不确定。
思路：构造一个系统，输出逼近系统状态称为是的重构状态或状态估计值。
实现系统状态重构的系统称为状态观测器。
观测器设计状态估计的开环处理：但是存在模型不确定性和扰动！初始状态未知！应用反馈校正思想来实现状态重构。
通过误差来校正系统：状态误差，输出误差。
基于观测器的控制器设计系统模型若系统状态不能直接测量，可以用观测器来估计系统的状态。
L是观测器增益矩阵，对偏差的加权。
真实状态和估计状态的误差向量误差的动态行为：的极点决定了误差是否衰减、如何衰减？通过确定矩阵L来保证。
极点配置与观测器的设计
0 0 0 1 x 1 1 0 x 0u
0 1 1 0
y011x
求状态反馈增益阵 K ，使反馈后闭环特征值为
1* 2
* 2,3
1j
3
解：因为
1 0 0
ranbkA bA2bran0k 1 13
0 0 1
系统是状态完全能控，通过状态反馈控制律 能
任意 配置闭环特征值。
1) 由
s 0 0
det(sIA)det1 s1 0 s32s2s
K K C0 1 32 00
0 1 s1
得 a12,a21,a30.
2) 由 (s1 * )(s2 * )(s3 * ) (s 2 )(s 1 j3 )(s 1 j3 )
s 3 4 s 2 8 s 8
得 a1 *4,a2 8,a3 8.
3) k a 3 a 3 ,a 2 a 2 ,a 1 a 1 8 ,7 ,2
x1
y 1
0
0
x
2
x3
2. 计算状态反馈矩阵
0 0 10
QCb AbA2b0 10 110
10100990
ranQ kC 3 所以系统能控
计算出状态反馈矩阵 K K 0K 1K 2 4 1 . 2 0 . 1
状态反馈系统的状态图如图（c）所示（没有画出 T F ）。
经过结构变换成（d）图所示的状态图
tp
n
1 2
bn 12 224 24 4
将已知数据代入，从前3个指标可以分别求出：
0.707, n9.0 b 9.0
综合考虑响应速度和带宽要求，取 n 。10于是，闭环主导极点
为
s1,2，7.0 取7非j主7.导07极点为
利用matlab 实现极点配置、设计状态观测器现代控制)
二、原理简述
1、状态反馈和输出反馈
设线性定常系统的状态空间表达式为
如果采用状态反馈控制规律u=r-Kx，其中r是参考输入，则状态反馈闭环系统的传递函数为：
2、极点配置
如果SISO线性定常系统完全能控，则可通过适当的状态反馈,将闭环系统极点配置到任意期望的位置。
(s+0.8821) (s^2 + 6.118s + 13.6)
则零点为-1
>> pole(G)
ans =
-0.8821
-3.0589 + 2.0606i
-3.0589 - 2.0606i
>> Uc=ctrb(A,B);rank(Uc)
ans =
3
>> Vo=obsv(A,C);
rank(Vo)
ans =
蓝色为配置前，绿色为配置后
题5-3 某系统状态空间描述如下
设计全维状态观测器，要求状态观测器的极点为 。
程序>> A=[0 1 0;0 0 1;-4 -3 -2];
B=[1;3;-6]';
C=[1 0 0];
D=0;
p=[-1 -2 -3];
L=(acker(A',C',p))'
结果：L = 4
0
-10
3
当k=[1 3 2]时：
程序>> A=[0 1 0;0 0 1;-12 -16 -7];
B=[0;0;1];
C=[6 6 0];
D=0;
k=[1 3 2];
A1=A-B*k;
sys=ss(A1,B,C,D);
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
精选PPT
15
例 给定系统的状态空间表达式为
0 0 0 1 x 1 1 0 x 0u
0 1 1 0
y011x
求状态反馈增益阵 K ，使反馈后闭环特征值为
1* 2
* 2,3
1
j
3
解：因为
1 0 0
ranbk Ab A2bran0k 1 13
0 0 1
系统是状态完全能控，通过状态反馈控制律 能
任意 配置闭环特征值。
03.12.2020
精选PPT
16
1) 由
s 0 0
det(sIA)det1 s1 0 s32s2s
0 1 s1
得 a12,a21,a30.
2) 由 (s1 * )(s2 * )(s3 * ) (s 2 )(s 1 j3 )(s 1 j3 )
s 3 4 s 2 8 s 8
第5章 极点配置与观测器的设计
舒欣梅 西华大学电气信息学院
03.12.2020
精选PPT
1
第5章 极点配置与观测器的设计
5.1 反馈控制结构 5.2 系统的极点配置 5.3 状态解耦 5.4 观测器及其设计方法 5.5 带状态观测器的反馈系统 5.6 MATLAB在控制系统综合中的应用
03.12.2020
得 a1 *4,a2 8,a3 8.
3) k a 3 a 3 ,a 2 a 2 ,a 1 a 1 8 ,7 ,2
03.12.2020
精选PPT
17
4)
a 2 a 1 1 10 0121 121 Q bA bA 2 b a 1 10 01 1 210 110
上式中等式右边的矩阵
I K
0
I
，对任意常值都是非奇异的。
因此对任意的 和K，均有
r a n k I A B K B r a n k I A B
说明，状态反馈不改变原系统的能控性
03.12.2020
精选PPT
7
例 系统
：
x 13
2 1
x10u
y [1 2]x
完全能控能观，引入反馈 u[3 1]xV
，
y cx du
这里，P为非奇异的实常量等价变换矩阵，且有
0 A~PAP1
an
1 an1
1
a1
03.12.2020
精选PPT
10
0
b~ Pb
0
1
c ~ c 1 P n n 1 1 d~d
引入状态反馈
uvKx Kk1 k2
kn
则闭环系统 K 的状态空间表达式为
x (A bK)x bv K : y (c dK)x dv
求线性变换P阵，将原系统变换为能控标准 形。然后根据要求的极点配置，计算状态
反馈阵 K a n a n ,a n 1 a n 1 , ,a 1 a 1
将 K 变换为 KKP1
直接求K阵方法
根据要求极点，写出希望闭环特征多项式
令
n
sIAB Kf*s s*
求解
i 1
03.12.2020
由于状态反馈提取的状态变量通常不是在物理上都可测量，需要 用可测量的输入输出重新构造状态观测器得到状态估计值。
状态反馈与状态观测器的设计便构成了现代控制系统综合设计的 主要内容。
03.12.2020
精选PPT
3
5.1 反馈控制结构
5.1.1 状态反馈
给定系统
x Ax Bu y Cx Du
在系统中引入反馈控制律
u=V-Kx
则闭环系统 的结构如图 5-1 所示。
03.12.2020
精选PPT
4
状态空间表达式为：
x A x B u A x B (V K x ) (A B K )x B V
y C x D u C x D (V K x ) C D K x D V
03.12.2020
精选PPT
12
同时，由指定的任意 n个期望闭环极点*1,*2,,*n
可求得期望的闭环特征方程
( s * 1 ) s ( * 2 ) ( s * n ) s n a 1 * s n 1 a n 1 * s a n * 0
通过比较系数，可知
a a2
a
1 n
k~ ~
n
k n
精选PPT
2
综合与设计问题，即在已知系统结构和参数(被控系统数学模型) 的基础上，寻求控制规律，以使系统具有某种期望的性能。
一般说来，这种控制规律常取反馈形式。
经典控制理论用调整开环增益及引入串联和反馈校正装置来配置 闭环极点，以改善系统性能；而在状态空间的分析综合中，除了 利用输出反馈以外，更主要是利用状态反馈配置极点，它能提供 更多的校正信息。
5.2.1 能控系统的极点配置
定理 5-2 给定系统
x AxBu :
y CxDu
通过状态反馈 uvkx任意配置极点的充
要条件 完全能控。
03.12.2020
精选PPT
9
证: 只就单输入系统的情况证明本定理 充分性：因为给定系统 能控，故通过等价变换 ~xPx必能将它变为能控标准形
x Ax bu :
则闭环系统
的状态空间表达式为 K
K
：
x
1 0
2 0
x10v
y [1 2]x
不难判断，系统 K 仍然是能控的，但已不再
能观测。
03.12.2020
精选PPT
8
5.2 系统的极点配置
所谓极点配置，就是通过选择适当的反馈形式和反馈矩阵， 使系统的闭环极点恰好配置在所希望的位置上，以获得所希 望的动态性能。
~ k1
1
a1 a
ห้องสมุดไป่ตู้an
* 2 *
*
03.12.2020
精选PPT
13
由此即有 又因为
k~
~ k1 2
~ kn
a
an*
* n 1
a1*
an a n1
a1
u v K x v K P 1 x v K x
所以
KKP
03.12.2020
精选PPT
14
K阵的求法
根据能控标准形求解
5
5.1.2 输出反馈
当 D 0 时，输出反馈系统动态方程为
xABHCxBV
yCx
03.12.2020
精选PPT
6
5.1.3 状态反馈系统的性质
定理5-1 对于任何常值反馈阵K，状态反馈系统 能控的充分必要条件是原系统能控。
证明 对任意的K阵，均有
IA B K B IAB K I 0 I
03.12.2020
精选PPT
11
其中，显然有
0 (AbK) ank1
1 an1k2
1
a1kn
系统 K 的闭环特征方程为
s n ( a 1 k ~ n ) s n 1 ( a 2 k ~ n 1 ) s n 2 ( a n k ~ 1 ) 0
03.12.2020
精选PPT