(完整版)大学物理,课后习题,答案

第十七章 振 动

1、 一物体作简谐振动，振动方程为 )cos(A x 4

t π

ω+=。求 4

T

t =

（T 为周期）时刻物体的加速度。 解：由振动加速度定义得

)4 cos(222πωω+-==t A dt

x d a

代入4

T

t =

224

22

)442cos(ωππωA A a T t =+-==

求得4

T

t =

时物体的加速度为222ωA 。 2、 一质点沿ｘ轴作简谐振动，振动方程为)cos(x ππ312

t 2104+⨯=-（SI ）

。求：从t=0时刻起，到质点位置在x=-2cm 处，且向ｘ轴正方向运动的最短时间间隔？

解：用旋转矢量图求解，如图所示

t=0时刻，质点的振动状态为：

3sin 08.0)3 2sin(204.002.0)30cos(04.0)3 2cos(04.000<-=+⨯-===+=+=ππππππ

ππt dt dx v m

t x

可见，t=0时质点在cm x 2=处，向x 轴负方向运动。

设t 时刻质点第一次达到cm x 2-=处，且向x 轴正方向运动0>v 。

则：

πϕ=∆min

5.02min

===∆π

πωπt （s ）

3、一物体作简谐振动，其速度最大值s

m v m 2103-⨯=，其振幅 m A 2

102-⨯=。

若t=0时，物体位于平衡位置且向ｘ轴的负方向运动.求： （1）振动周期T ；

（2）加速度的最大值m a ； （3）振动方程的数值式。 解：设物体的振动方程为

) cos(ϕω+=t A x

则

)

cos( )

sin( 2

ϕωωϕωω+-=+-=t A a t A v

（1） 由, ωA v m =及s

m v m 2

103-⨯= 得

物体的振动周期：πππωπ

34

10

31022 222

2=⨯⨯⨯===--m v A T （s ） （2） 加速度最大值：

)(105.410

2)103(222

222

2

s m A v A a m m ---⨯=⨯⨯===ω （3） 由t=o 时,0 , 0<=v x 得

)0sin( 02.00

)0cos(02.000<+⨯-==+=ϕωϕv x

解之得：2

π

ϕ=

质点的振动方程为：)2

2

3cos(02.0π

+

=t x m

4、两个物体作同方向、同频率、同振幅的简谐振动。在振动过程中，每当第一个物体经过位移为2/A 的位置向平衡位置运动时，第二个物体也经过此位置，但向

解：设两物体的振动方向为X 轴正向，频率为ω某时刻两物体处于如图所示振动状态，由图可见，X 1比X 2超前 2

π

ϕ=

∆

5、二小球悬于同样长度l 平衡位置移开，使悬线和竖直线成一小角度θ，如图．现将二球同时放开，振动可看作简谐振动，则何者先到达最低位置？ 解：第一球达最低位置需时：g

l t 21

=

设第二球达最低点（平衡位置）需时：

g

l g

l

T t 424

14122ππ

=⋅==

显然 24

2

>π 所以

12t t > 第一球先

到达最低位置。

6、一弹簧振子作简谐振动，求：当位移为振幅的一半时，其动能与总能量的比。

解：设振子振动方程为：) cos(

ϕω+=t A x

若t 0时刻位移为振幅的一半，即 2

1

) cos(0=+ϕωt 振动速度：) sin( 0ϕωω+-=t A v

振动动能：) (sin 2

1

2102222ϕωω+==t mA mv E k 总能量：22 2

1

ωmA E =

则

()4

3

cos 1) (sin 0202=+-=+=ϕωϕωt t E E k 7、两个同方向同频率的简谐振动，其振动表达式分别为:

(SI) )5cos(106212

1π+⨯=-t x

(SI) )5sin(1022

2t x -⨯=-π 求：它们的合振动的振辐及初位相？

解：原振动表达式可化为：

⎩⎨⎧-⨯=+⨯=--)

5cos(102) 5cos(10621

2221

21ππt x t x 两振动反向 利用旋转矢量法，如图所示，两振动的合振动为：

)2

5cos(1042π

+⨯=-t x

振动振幅为0.04m ,初位相为2π

8、两个同方向同频率的简谐振动，其合振动的振幅为cm 20，与第一个简谐振动的位相差为 6

1π

=

Φ-Φ ．若第一个简谐振动的振幅为cm .cm 317 310= ，求：

第二个简谐振动的振幅以及第一、二两个简谐振动的位相差12Φ-Φ ？ 解：设两振动的振动方程为：

)

cos()

310( ) cos(2 2211 11φωφω+==+=t A x cm A t A x 其中：

而合振动方程为 ) 6

cos(201 π

φω++=t x

如图所示，由余弦定理得

)

( 106341023

310202)310(20)

cos(22

2

112

122cm AA A A A =-+⨯=⨯

⨯⨯-+=--+=

φφ