安徽省皖南八校2020届高三第一次联考理科数学试卷(含答案)

“皖南八校”2020届高三第一次联考

数学（理科）

考生注意：

1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.

2. 本卷命题范围：集合与常用逻辑用语、函数、三角函与解三角形、平面向量、复数.

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 在复平面内，复数21i

z i

=+的共轭复数的对应点位于（ ） A. 第一象限

B 第二象限

C. 第三象限

D. 第四象限

2. 若集合{}2|560A x x x =-->，{}

|21x B x =>，则()R C A B =（ ）

A. {}|10x x -≤<

B. {}|06x x <≤

C. {}|20x x -≤<

D. {}|03x x <≤

3. 若3log 0.3a =，0.3log 0.2b =，0.30.2c =，则（ ） A. a b c <<

B. b c a <<

C. a c b <<

D. b a c <<

4. 已知向量()1,2AB =--，(),5BC x =，若7AB BC ⋅=-，则AC =（ ）

A. 5

B.

C. 6

D. 5. 函数2

sin 1x x

y x +=

+的部分图象大致为（ ）

A. B. C. D.

6. 为了测量铁塔OT 的高度，小刘同学在地面A 处测得铁塔在东偏北197'︒方向上，塔顶丁处的仰角为30︒，小刘从A 处向正东方向走140米到地面B 处，测得铁塔在东偏北797'︒方向上.塔顶T 处的仰角为60，则铁塔OT 的高度为（ ）

A.

B. 米

C.

D.

7. 在平面直角坐标xOy 系中，角α的顶点为O ，始边与x 轴正半轴重合，终边过点(，则

5sin 4πα⎛

⎫

+

= ⎪⎝

⎭

（ ）

A.

14 B. 14

+-

C.

1

4

D.

14

+ 8. 已知非零向量a ，b 满足27a b a +=，()

2a a b ⊥-，则向量a ，b 的夹角为（ ）

A.

6

π B.

4π C.

3

π D.

2

π 9. 关于复数(),z x yi x y R =+∈，下列命题①若1z i +=，则()2

211x y ++=：②z 为实数的充要条件是

0y =；③若zi 是纯虚数，则0x ≠；④若

1

1i z

=+，则1x y +=，其中真命题的个数为（ ） A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

10. 若曲线()()2

1x f x ax e -=-在点()()

2,2f 处的切线过点()3,3，则函数()f x 的单调递增区间为（ ）

A. ()0,+∞

B. (),0-∞

C. ()2,+∞

D. (),2-∞

11. 已知函数()sin cos f x x x =+，则下列说法正确的是（ ） A. 函数()f x 的图象关于直线()x kx k Z =∈对称 B. 函数()f x 在[],2ππ上单调递增 C. 函数()f x 的图象关于点(),02k k Z π

π⎛⎫

+

∈ ⎪⎝

⎭

对称

D. 函数()f x 的值域为⎡⎣

12. 已知函数()2

f x ax x =-，()2,0

2,0

ax x x g x a x x ⎧-≥=⎨-<⎩，若方程()()0g f x =有四个不等的实数根，则实

数a 的取值范围是（ ） A. ()4,0-

B. ()0,4

C. ()

(),40,-∞-+∞ D. ()(),04,-∞+∞

第Ⅱ卷（非选择题共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 若

()1

21

4

3

a x dx --=

⎰

，则a =______.

14. 已知()sin 1αβ+=-，()7

sin 25

αβ-=-

，则

tan tan αβ=______. 15. 已知四边形ABCD 是平行四边形，点E 在CB 的延长线上，3BC =，1AE AB ==，30C ∠=︒.若

AE xAB y AD =+，则x =______.

16. 已知函数()sin 22cos f x x x =+，则()f x 的最大值为______.

三、解答题：本大题共6小题.共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.

17. 已知p ：函数()()2

246f x x a x =-++在()1,+∞上是增函数，q ：x R ∀∈，2230x ax a ++->，

若()p q ∧⌝是真命题，求实数a 的取值范围.

18. 已知cos

,sin 22x x a ⎛

⎫

= ⎪⎝⎭

，()2,1b = （1）若//a b ，求()sin cos 3sin x x x +的值； （2）若()()2

2sin

2x f x a b =+=，将函数()f x 的图象向右平移2

π

个单位长度后，得到函数()g x 的图象，求函数()g x 的表达式及()g x 的最小正周期.

19. 在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且

()2sin

cos sin sin 22

A C B

a b c C a A π+-+=-. （1）求角C 的大小；

（2）若7c =，()13

cos 14

A C +=-，求ABC △的面积.