10.7总体特征值估计
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解： x 1 (6 7 7Leabharlann Baidu 8 10 10) 8 6 xi x xi x
6
7 7 8 10
( xi x)2
4
1 1 0 4
-2
-1 -1 0 2
8
10
2
4
1 7 s 2 (4 1 1 0 4 4) 6 3 7 21 s 3 3
例5、对某班45人进行一次数学测试，其成绩原始数据与频 数如下表，求平均数 x 、方差
试估算哪个班的技能成绩较好。
解：分别计算两班的平均成绩得
xA 1 (67 72 93 69 86 84 45 77 88 91) 10 77.2
xB
1 (78 96 56 83 86 48 98 67 62 70) 10 74.4
频率！
1 6 5 10 1 另解： x 2200 250 220 200 100 23 23 23 23 23 300
加权平均数
若取值为x1 , x2 ,, xn的频率分别为 p1 , p2 , , pn， 则其平均数为 x x1 p1 x2 p2 xn pn xi pi
平均都是13，甲方差3.6，乙方差15.8
练习：P189 1、2
i 1 n
例3 某校学生日睡眠时间抽样频率分布表如下，试估算该校学生的日平均睡眠时间 睡眠时间 人数 频率
6～6.5
6.5～7 7～7.5 7.5～8 8～8.5
5
17 33 37 6
0.05
0.17 0.33 0.37 0.06
8.5～9
合计
2
100
0.02
1
解：采用中间值进行计算，日平均睡眠时间为：
所以，A班的技能水平高于B班。
例2 某厂全体人员某一周工资发放的统计表如下：
人员
周工资（元） 人数（个） 合计
经理
2200 1 2200
管理人员 高级技工
250 6 1500 220 5 1100
工人
200 10 2000
学徒
100 1 100
小计
23 6900
试计算该厂全体人员这一周的平均工资。 6900 解： x 300(元) 23 这周平均工资为 300元。
分数 人数 40 1 45 1 50 2 60 5
s
2
及标准差
70 12 80 9
s
90 6 100 2
65 7
清零
为了考察甲乙两种小麦的长势，分别从中抽出10株苗， 测得苗高如下(单位：cm)： 甲：12，13，14，15，10，16，13，11，15，11； 乙：11，16，17，14，13，19， 6， 8，10，16； 问：哪种小麦长得比较整齐？
求方差的步骤怎样？
先求平均数，再求方差.
方差的单位与数据的单位一致吗？
怎么办？
为了使单位一致，可用方差的算术平方根：
1 s [( x1 x )2 ( x2 x )2 ( xn x )2 ] n
来表示，并把它叫做标准差.
用标准差也可以刻画数据的稳定程度。
例4：计算数据6，7，7，8，10，10的方差和标准差。
10.7 总体特征值估计
为方便起见，我们将 a1 a2 记作:
a3 an
a
i 1
n
i
例：用求和符号表示：
① ap1 ap2 ap3 apn
ap
i 1
n
i
a pi
i 1
n
② a1 p1 a2 p2 a3 p3 an pn
当样本数据的极差比较大时数据较 分散，极差较小时数据较集中。
运用极差对两组数据进行比较，可以 简单方便地估计总体的相关指标的稳定 性。
当两组数据的集中程度差异不大时，还 可以考察每一个样本中的每一个数据与均值 的差的的平方和，此平方和越小，稳定性就 越高。 由于两组数据的容量有可能不同，因此 将上述平方和除以数据的个数。我们把由此 所得的值称为这组数据的方差。
x
1 (6.25 5 6.75 17 7.25 33 7.75 37 8.25 6 8.75 2) 7.39 100
练习：P186 1、2
甲，乙两名射击手的测试成绩统计如下： 甲 76 90 84 86 81 87 86 82 85 83
乙 86 84 85 89 79 84 91 89 79 74 ⑴分别计算两名射手成绩的极差和平均成绩； ⑵现要挑选一名射击手参加比赛，若你是教练，你认为挑选哪 一位比较适宜？为什么？
a
i 1
n
i
pi
一、 样本平均数
n个数据
a1 , a2 , a3 , , an的算术平均数或均值为：
a1 a2 a3 an a n 1 n a ai 记作: n i 1
如果这n个数是从总体中抽取的一个样本，那么 a 叫做样本均值。
例1 从A、B两个班中各抽10名学生参加技能测试，成绩如表 A班 67 72 93 69 86 84 45 77 88 91 B班 78 96 56 83 86 48 98 67 62 70
二、样本方差 方差
若一组样本数据 x1，x2， ，xn的平均数为 x，
2 2 2 1 则s x1 x x2 x xn x n 2
2
1 n ( xi x) n i 1
叫做样本方差
对方差的有何理解？ 方差用来衡量一批数据的波动大小.
方差越大，说明数据的波动越大，越不稳定.
1 x甲 （76 90 84 86 81 87 86 82 85 83） 84 10 1 x乙 （86 84 85 89 79 84 91 89 79 74） 84 10
极差甲 90 76 14， 极差乙 91 74 17， 教练的烦恼
6
7 7 8 10
( xi x)2
4
1 1 0 4
-2
-1 -1 0 2
8
10
2
4
1 7 s 2 (4 1 1 0 4 4) 6 3 7 21 s 3 3
例5、对某班45人进行一次数学测试，其成绩原始数据与频 数如下表，求平均数 x 、方差
试估算哪个班的技能成绩较好。
解：分别计算两班的平均成绩得
xA 1 (67 72 93 69 86 84 45 77 88 91) 10 77.2
xB
1 (78 96 56 83 86 48 98 67 62 70) 10 74.4
频率！
1 6 5 10 1 另解： x 2200 250 220 200 100 23 23 23 23 23 300
加权平均数
若取值为x1 , x2 ,, xn的频率分别为 p1 , p2 , , pn， 则其平均数为 x x1 p1 x2 p2 xn pn xi pi
平均都是13，甲方差3.6，乙方差15.8
练习：P189 1、2
i 1 n
例3 某校学生日睡眠时间抽样频率分布表如下，试估算该校学生的日平均睡眠时间 睡眠时间 人数 频率
6～6.5
6.5～7 7～7.5 7.5～8 8～8.5
5
17 33 37 6
0.05
0.17 0.33 0.37 0.06
8.5～9
合计
2
100
0.02
1
解：采用中间值进行计算，日平均睡眠时间为：
所以，A班的技能水平高于B班。
例2 某厂全体人员某一周工资发放的统计表如下：
人员
周工资（元） 人数（个） 合计
经理
2200 1 2200
管理人员 高级技工
250 6 1500 220 5 1100
工人
200 10 2000
学徒
100 1 100
小计
23 6900
试计算该厂全体人员这一周的平均工资。 6900 解： x 300(元) 23 这周平均工资为 300元。
分数 人数 40 1 45 1 50 2 60 5
s
2
及标准差
70 12 80 9
s
90 6 100 2
65 7
清零
为了考察甲乙两种小麦的长势，分别从中抽出10株苗， 测得苗高如下(单位：cm)： 甲：12，13，14，15，10，16，13，11，15，11； 乙：11，16，17，14，13，19， 6， 8，10，16； 问：哪种小麦长得比较整齐？
求方差的步骤怎样？
先求平均数，再求方差.
方差的单位与数据的单位一致吗？
怎么办？
为了使单位一致，可用方差的算术平方根：
1 s [( x1 x )2 ( x2 x )2 ( xn x )2 ] n
来表示，并把它叫做标准差.
用标准差也可以刻画数据的稳定程度。
例4：计算数据6，7，7，8，10，10的方差和标准差。
10.7 总体特征值估计
为方便起见，我们将 a1 a2 记作:
a3 an
a
i 1
n
i
例：用求和符号表示：
① ap1 ap2 ap3 apn
ap
i 1
n
i
a pi
i 1
n
② a1 p1 a2 p2 a3 p3 an pn
当样本数据的极差比较大时数据较 分散，极差较小时数据较集中。
运用极差对两组数据进行比较，可以 简单方便地估计总体的相关指标的稳定 性。
当两组数据的集中程度差异不大时，还 可以考察每一个样本中的每一个数据与均值 的差的的平方和，此平方和越小，稳定性就 越高。 由于两组数据的容量有可能不同，因此 将上述平方和除以数据的个数。我们把由此 所得的值称为这组数据的方差。
x
1 (6.25 5 6.75 17 7.25 33 7.75 37 8.25 6 8.75 2) 7.39 100
练习：P186 1、2
甲，乙两名射击手的测试成绩统计如下： 甲 76 90 84 86 81 87 86 82 85 83
乙 86 84 85 89 79 84 91 89 79 74 ⑴分别计算两名射手成绩的极差和平均成绩； ⑵现要挑选一名射击手参加比赛，若你是教练，你认为挑选哪 一位比较适宜？为什么？
a
i 1
n
i
pi
一、 样本平均数
n个数据
a1 , a2 , a3 , , an的算术平均数或均值为：
a1 a2 a3 an a n 1 n a ai 记作: n i 1
如果这n个数是从总体中抽取的一个样本，那么 a 叫做样本均值。
例1 从A、B两个班中各抽10名学生参加技能测试，成绩如表 A班 67 72 93 69 86 84 45 77 88 91 B班 78 96 56 83 86 48 98 67 62 70
二、样本方差 方差
若一组样本数据 x1，x2， ，xn的平均数为 x，
2 2 2 1 则s x1 x x2 x xn x n 2
2
1 n ( xi x) n i 1
叫做样本方差
对方差的有何理解？ 方差用来衡量一批数据的波动大小.
方差越大，说明数据的波动越大，越不稳定.
1 x甲 （76 90 84 86 81 87 86 82 85 83） 84 10 1 x乙 （86 84 85 89 79 84 91 89 79 74） 84 10
极差甲 90 76 14， 极差乙 91 74 17， 教练的烦恼