小学奥数5-3-4 分解质因数(一).专项练习及答案解析

1.

能够利用短除法分解 2. 整数唯一分解定理：让学生自己初步领悟“任何一个数字都可以表示为...

⨯⨯⨯☆☆☆△△△的结构，

而且表达形式唯一”

一、质因数与分解质因数 （1）.质因数：如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数.

（2）.互质数：公约数只有1的两个自然数，叫做互质数.

（3）.分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数.

例如：30235=⨯⨯.其中2、3、5叫做30的质因数.又如21222323=⨯⨯=⨯，2、3都叫做12的

质因数，其中后一个式子叫做分解质因数的标准式，在求一个数约数的个数和约数的和的时候都要用到这个标准式.分解质因数往往是解数论题目的突破口，因为这样可以帮助我们分析数字的特征.

（4）.分解质因数的方法：短除法

例如：212

263

，（┖是短除法的符号） 所以12223=⨯⨯；

二、唯一分解定理

任何一个大于1的自然数n 都可以写成质数的连乘积，即：312123k a a a a k n p p p p =⨯⨯⨯⨯其中为质数，12k a a a <<

<为自然数，并且这种表示是唯一的.该式称为n 的质因子分解式. 例如：三个连续自然数的乘积是210，求这三个数.

分析：∵210=2×3×5×7，∴可知这三个数是5、6和7.

三、部分特殊数的分解

111337=⨯；100171113=⨯⨯；1111141271=⨯；1000173137=⨯；199535719=⨯⨯⨯；

1998233337=⨯⨯⨯⨯；200733223=⨯⨯；2008222251=⨯

⨯⨯；10101371337=⨯⨯⨯.

模块一、分解质因数

【例 1】 分解质因数20034= 。

【考点】分解质因数 【难度】1星 【题型】填空

【关键词】走美杯，决赛，5年级，决赛，第2题，10分

【解析】

原式323753=⨯⨯⨯

【答案】323753⨯⨯⨯

【例 2】 三个连续自然数的乘积是210，求这三个数是多少？

【考点】分解质因数 【难度】1星 【题型】填空

【解析】

210分解质因数：2102357=⨯⨯⨯，可知这三个数是5、6和7。 【答案】5、6和7

【例 3】 两个连续奇数的乘积是111555，这两个奇数之和是多少?

【考点】分解质因数 【难度】2星 【题型】填空

例题精讲

知识点拨

教学目标

5-3-4.分解质因数（一）

【解析】

111555分解质因数：1115553353767=⨯⨯⨯⨯=(3337⨯⨯)⨯(567⨯)333335=⨯，所以和为668.本讲不仅要求学生熟练掌握分解质因数，而且要注意一些技巧，例如本题中的111337=⨯。

【答案】668

【巩固】 已知两个自然数的积是35，差是2，则这两个自然数的和是_______.

【考点】分解质因数 【难度】2星 【题型】填空

【关键词】希望杯，四年级，二试，第8题

【解析】 35=1×35=5×7，5、7差2，两个自然数的和是5+7=12

【答案】12元

【例 4】 今年是2010年，从今年起年份数正好为三个连续正整数乘积的第一个年份是 。

【考点】分解质因数 【难度】3星 【题型】填空

【关键词】而思杯，6年级，1试，第3题

【解析】

1112131716⨯⨯=，1213142184⨯⨯=，所以是2184 【答案】2184

【例 5】 如果两个合数互质，它们的最小公倍数是126，那么，它们的和是 ．

【考点】分解质因数 【难度】2星 【题型】填空

【关键词】迎春杯，五年级,初赛，第3题

【解析】

2126237=⨯⨯，因为两个数互质且都是合数，所以这两个数只能为9和14，它们的和为23． 【答案】23

【例 6】 4个一位数的乘积是360，并且其中只有一个是合数，那么在这4个数字所组成的四位数中，

最大的一个是多少？

【考点】分解质因数 【难度】2星 【题型】解答

【解析】 将360分解质因数得360222335=⨯⨯⨯⨯⨯，它是6个质因数的乘积.因为题述的四个数中只有一

个是合数，所有该合数必至少为633-=个质因数的积，又只有3个2相乘才能是一位数，所以这4个

乘数分别为3，3，5，8，所组成的最大四位数是8533.

【答案】8533

【例 7】 已知5个人都属牛，它们年龄的乘积是589225，那么他们年龄的和为多少？

【考点】分解质因数 【难度】2星 【题型】解答

【解析】 基本思路与上题一样，重点还是在“1”这个因数的使用上，所以分解因数得到

589225113253749=⨯⨯⨯⨯，五个人的年龄和为125岁。

【答案】125岁

【例 8】 如果两个自然数的和与差的积是23，那么这两个自然数的和除以这两个数的差的商是

___________。

【考点】分解质因数 【难度】2星 【题型】填空

【关键词】希望杯，4年级，初赛，4题

【解析】 根据题意列式子如下：()()23a b a b +-=，因为23分解质因数是1与23，所以

23,1a b a b +=-=，根据和差关系算出12a =，11b =，所以这两个自然数的和除以这两个自然数的差

的商为23，

【答案】23

【例 9】

2004720⨯⨯的计算结果能够整除三个连续自然数的乘积，这三个连续自然数之和最小是多少？

【考点】分解质因数 【难度】2星 【题型】解答

【解析】 首先分解质因数，20047202222357167⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯，其中最大的质因数是167，所以所

要求的三个连续自然数中必定有167本身或者其倍数. 165351=⨯⨯，

166283=⨯，16822237=⨯⨯⨯⨯，1691313=⨯，所以165166167⨯⨯，166167168⨯⨯，167168169⨯⨯都没有4个2，不满足题意.说明167