常见曲线的切点弦方程
切点弦方程公式
切点弦方程公式
切点弦方程公式是一种广泛应用于数学分析中的概念，它的概念能够帮助我们更准确地研究几何形状的属性。
它的发明主要是为了解决在几何学中某些问题而发明的。
这个公式的发明者是古希腊的几何学家启发，他在研究几何形状的问题时发明了这个公式，以便更准确地研究几何形状的属性。
切点弦方程公式是由等式弦长与弦的两点的切点的距离的四次平方关系组成的，公式为：D=k^2+m^2+n^2，其中，D为两点切点的距离，k，m，n分别为弦的长短三边长度，用英文字母呈现出来就是：D=k^2+m^2+n^2。
该方程式与弦理论有着紧密的联系，用它来求取等腰三角形弦（Chord）长度可以更加准确，简单，有效地解决等腰三角形弦长度问题。
在将这个方程式应用到等腰三角形中时，只要将三角形其中两点的坐标求出，,然后将它们的绝对值相加即可得出弦的长度。
此外，这个公式也可以应用于圆形的情况，当今，它也被广泛应用在机器学习、计算机视觉等方面，用来检测物体形状和求取物体距离。
切点弦方程公式可以用来检测两个点之间的距离，也就是说，如果给定两个点的位置，那么就可以用切点弦方程求出它们之间的距离。
归纳起来，切点弦方程公式是一种比较简单的数学方程，它有着广泛的应用范围，可以用来求取几何形状的属性以及实现机器学习的检测等功能。
此外，它也可以帮助我们更好地理解距离的概
念。
从这些例子中我们可以看出，切点弦方程公式为几何学和机器学习等研究提供了极大的帮助。
抛物线切点弦方程公式推导
抛物线切点弦方程公式推导要推导抛物线的切点弦方程公式，我们需要了解抛物线的基本性质和相关的数学知识。
首先，我们来回顾一下抛物线的定义。
抛物线是平面上的一条特殊曲线，其定义方程为 y = ax^2 + bx + c，其中 a、b、c 是常数，且a ≠ 0。
抛物线有一个顶点，也就是它的最高点或最低点。
现在，我们来考虑抛物线的切点。
切点是抛物线与条直线相切的点，而直线的斜率等于抛物线在切点处的导数。
所以，我们的目标是找到抛物线的切线的斜率。
为了找到抛物线的切线的斜率，首先需要找到抛物线的导数。
我们可以求出抛物线的导函数，然后算出切点处的导数，最后我们根据导数确定切点处的切线斜率。
抛物线的导函数可以通过求导得到。
对抛物线的定义方程 y = ax^2 + bx + c 求导，得到：dy/dx = 2ax + b接下来，我们需要找到抛物线的切点。
假设切点的横坐标为x0，纵坐标为y0，则切点的坐标为(x0,y0)。
因为切线通过切点，所以切线的方程为y-y0=k(x-x0)，其中k是切线的斜率。
我们知道切线的斜率等于抛物线在切点处的导数。
所以，切线的斜率k = dy/dx ，(x=x0) = 2ax0 + b。
现在，我们可以得到切点弦方程的一般形式了。
将切线的斜率和切点坐标代入切线方程，得到：y - y0 = (2ax0 + b)(x - x0)将抛物线的定义方程代入，得到：y - y0 = (2ax0 + b)(x - x0)= (2ax0 + b)x - (2ax0 + b)x0= 2ax^2 - (2ax0 + b)(x0 - x) + c - y0化简得到切点弦方程的公式：2ax^2 - (2ax0 + b)(x0 - x) + c - y0 = 0这就是抛物线切点弦方程的一般形式。
我们可以根据实际问题中给定的抛物线方程和切点坐标来具体计算。
总结一下推导的过程：1. 求抛物线的导函数：dy/dx = 2ax + b2.找到切点的坐标：(x0,y0)3. 计算切点的切线斜率：k = dy/dx ，(x=x0) = 2ax0 + b4. 将切线的斜率和切点坐标代入切线方程，得到切点弦方程的一般形式：2ax^2 - (2ax0 + b)(x0 - x) + c - y0 = 0需要注意的是，以上推导过程是基于抛物线的定义方程 y = ax^2 + bx + c 的情况。
抛物线的切点弦方程及其应用
抛物线的切点弦方程及其应用
抛物线的切点弦方程是指一个抛物线的两个切点在抛物线上形成的弦所见证出的方程。
它
在解决很多有关抛物线的问题时大有帮助。
抛物线的切点弦方程可以推导出如下：假设抛物线的两个切点分别为A（x1，y1）和B
（x2，y2），则弦的方程为：x-x1/x2-x1=(y-y1)/(y2-y1)。
其中有占比n=(x2-x1)/(y2-y1)。
抛物线的切点弦方程不仅能够求出弦长，还能用来求出抛物线上某一点到两个切点间的距离，从而给出抛物线的两个焦点的坐标。
例如：若平行于抛物线要穿过AB两切点的线段
长m，则是典型应用抛物线切点弦方程的场景。
由弦AB到线段长度m，满足n=m/AB。
需要根据上述公式推导出圆心的坐标，就可以算出线段AB的中点坐标及抛物线的焦点的
坐标了。
抛物线的切点弦方程还可以用于判断抛物线所在平面上AB两点间的距离是否大于弦上的
距离，即斜率的模的比较，这也通常用于多边形的凸性裁剪应用判断。
总之，抛物线的切点弦方程是一个非常有用的方程，能够帮助我们研究抛物线的特点，解决多个抛物线求解问题，并且由此得出解决方案，从而发挥它的作用。
椭球锥曲线的切线方程和切点弦方程
椭球锥曲线的切线方程和切点弦方程介绍本文档将讨论椭球锥曲线的切线方程和切点弦方程。
我们将了解椭球锥曲线的基本概念，并推导出切线方程和切点弦方程的一般形式。
椭球锥曲线椭球锥曲线是二次曲线的一种形式，可由以下方程表示：$$Ax^2 + By^2 + Cz^2 + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0$$其中，$A, B, C, D, E, F, G, H, I, J$ 是常数，并满足 $B^2 - 4AC < 0$。
切线方程椭球锥曲线上任意一点 $P(x_1, y_1, z_1)$ 处的切线方程可以通过以下步骤求得：1. 计算曲线方程的一阶偏导数：$$\frac{{dF}}{{dx}} = 2Ax_1 + Dy_1 + Ez_1 + G$$$$\frac{{dF}}{{dy}} = Dx_1 + 2By_1 + Fz_1 + H$$$$\frac{{dF}}{{dz}} = Ex_1 + Fy_1 + 2Cz_1 + I$$2. 使用切点 $P(x_1, y_1, z_1)$ 和相应的偏导数值，我们可以得到切线方程的一般形式：$$\frac{{x - x_1}}{{2Ax_1 + Dy_1 + Ez_1 + G}} = \frac{{y -y_1}}{{Dx_1 + 2By_1 + Fz_1 + H}} = \frac{{z - z_1}}{{Ex_1 + Fy_1 + 2Cz_1 + I}}$$切点弦方程椭球锥曲线上两个不同点 $P_1(x_1, y_1, z_1)$ 和 $P_2(x_2,y_2, z_2)$ 之间的弦方程可以通过以下步骤求得：1. 使用点 $P_1(x_1, y_1, z_1)$ 和 $P_2(x_2, y_2, z_2)$，我们可以得到弦方程的一般形式：$$\frac{{x - x_1}}{{x_2 - x_1}} = \frac{{y - y_1}}{{y_2 - y_1}} = \frac{{z - z_1}}{{z_2 - z_1}}$$总结椭球锥曲线的切线方程和切点弦方程提供了理解和描述该曲线在特定点和两个不同点之间的直线性质的方法。
二次曲线中点弦、切线、切点弦及双切线方程
＝（ｎｌａ２ ４－ａ；Ｏｘ；＋（ｂｌｂ２＋ｂ Ａ）《＋
（ａＩｂ２＋ａ２ｂ１）ＸＯＹｏ一
［（ａｌｂ２＋ａ２ｂ１）Ｙｏ＋２ａｌａ２名ｏ］名。一
［（ａＩｂ２＋ａ２ｂ１）茗ｏ＋２ｂＩｂ２Ｙｏ］Ｙｏ，
且口Ａ麟。算＋Ａ ｂｙｏｙ＝Ａ似：＋Ａ ６＿《．
从而，Ｏ；Ｘｏ髫＋ｂｙｏｙ＝鲋ｊ＋６扼．
这说明，点Ｍ（戈。，Ｙ。）关于双直线ＡＣ、
＼ ∥～ｙ ／ａ。＋２
Ｏ／
－ｘ
／
都成等角．证明：这
图６
样的折线只能位于
抛物线对称轴的一侧．
（第２２届全苏数学奥林匹克）
讲解：不妨设抛物线为Ｙ＝ａｘ２（ａ＞０）．
依次取折线上三个相邻的顶点Ａ；（并ｎａｘ；）
（ｉ＝ｎ，ｎ＋１，ｎ＋２，ｎＥ Ｎ）．
由抛物线在点Ａ。＋。处的切线方程（或求
导数）可知其斜率
ｋ七 ｌ２ｊ２：｝２－ａｋ＝ｘ＾忌Ａ＋ｎｌ一， ＋ｌ一Ａｎ．＋＋２．－－＝鼎掣叫＝凸Ｘ（ｎＸ＋ｎ２＋４＂Ｘ石ｎｎ＋＋Ｉ１）？）．
即５菇一７ｙ－鲁：ｏ．
所以，Ｑ也是ＭＮ的中点，即定点Ｑ平分 线段ＭＮ．
注：从曲线的含变化参数的方程（实际
上就是曲线系方程）求出曲线上的定点，是
证明曲线过定点的常规方法．由于本题中的
切点弦ＭＮ只依赖点Ｊｐ的位置，因此，使用切
点弦方程正是时机．证明点Ｑ平分线段ＭＮ
实际上是使用了同一法，同时也发挥了中点
弦方程的作用．
２００９年第８期
７
二次曲线中点弦、切线、切点弦及双切线方程
胡圣团
（湖南省澧县一中，４１５５００）
（本讲适合高中） １知识简介
记Ｇ（ｘ，Ｙ）＝Ａｘ２＋Ｂｘｙ＋Ｃｙ２＋Ｄｋ＋Ｅ｜ｙ＋Ｆ １．１二次曲线中点弦的方程
圆锥曲线的切线及切点弦方程
∴切线AP的方程为： 切线BP的方程为：
2 2x x1 0xx yy xx1 20 200 ;;
解得P点的坐标为：
xPx02 x1,yPx0x1
y G 所以y 0 △ APy B3 1 的 重y 心P G 的坐x 0 2 标 为x ：1 2 3 x x0 G x 1 x0( x x0 31 x x1 P3 ) 2 xPx 0 x 1 4 x P 2 3 y p ,
所 以 直 线 A B 的 方 程 为 x a 2 ， 即 恒 过 定 点 H (a 2,0 )
m
m
例题3：已知椭圆x22y21,P是在直线4x3y12上一点，由向已知椭圆作
两切线，切点分别为A,B，问当直线AB与两坐标轴围成的OMN
面积最小，最小值为多少？
解 ： 设 P点 坐 标 为 P（ x0,y0） ,所 以 切 点 弦 所 y 在 直 线 方 程 为 ：
证 ： 设 A (x 1 ,y 1 ） ， B (x 2 ,y 2)
则 过 A 点 的 切 线 方 程 l1 ： x a 12 xy b 1 2 y1
P
则 过 B 点 的 切 线 方 程 l2 ： x a 2 2 xy b 2 2 y 1
Y
A
F1 H O F2
X
B
因 为 P 在 直 线 l1 和 直 线 l2 上 ， 所 以 m a x 2 1 1 和 m a x 2 2 1
线，抛物线）的切线交于点P，则P点的轨迹是焦点F1的对应
的． 准线，并且 PF1 AB
Y
A P
B F1
O F2
X
例题1： 如图，设抛物线
C:的y焦x点2 为F，动点P在直
线
上l运:x动，y过2P作0抛物线C的两条切线PA、PB 且与
0切线方程及切点弦
②切线方程及切点弦若曲线：022=++++F Ey Dx By Ax 上的点为()00,y x ，则该点外的切线方程为：()()0220000=++++++F y y E x x Dy By x Ax 如1、椭圆：12222=+b y a x 切点为()00,y x ，则切线方程为12020=+b yy a x x2、双曲线：12222=-b y a x 切点为()00,y x ，则切线方程为12020=-byy a x x3、抛物线：px y 22= 切点为()00,y x ，则切线方程为()x x p y y +=00椭圆上点()00,y x P 的切线的推导：12222=+b y a x Θ 02222='⋅+∴b y y a x()，由点斜式切0202,00y a x b y k y x -='=∴()002020:x x y a x b y y l --=-切整理得：02020220202=-+-x b x x b y a y y a 2022020202y a x b x x b y y a +=+∴12202202020=+=+∴b y a x b y y a x x ，12020=+∴b yy a x x P 处的切线方程为：点 例1、椭圆12:22=+y x E 过点()2,2P 引E 的两条切线，切点分别为B A ,，求AB l 解：设()11,y x A ，()22,y x B ，则E 的两条切线方程分别为：12:11=+y y xx l A ，12:22=+y y xx l B ，又P Θ点在切线A l ，B l 上12,122211=+=+∴y x y x 有 由此特征可得12:=+y x l AB 练习：（2018届茂名一模16）过抛物线y x E 42=：的准线上一点P 作抛物线E 的两条切线，切点分别为B A 、，若AB l 的倾斜角为6π，求P 点的横坐标③抛物线二级结论之相切过焦点的两直线QF l 和PF l 互相垂直，分别与准线抛物线的交点为P Q 、则PQ l 与抛物线相切 例、已知抛物线()02:2>=p px y E 的焦点为F ，准线为l ，A 使E 上一点，线段FA 的中点坐标为()22，. （1）求E 的方程（2）点M 为l 上一点，P 是E 上任意一点，若FP FM ⊥，试问直线MP 与E 是否有其他公共点？说明理由.解：（1）略x y 82=,（2）①取()42，P 易求得()42，P 点处的切线为2+=x y FP FM ⊥Θ，()02，-∴M 也在切线上②设E 上任意一点()y x P ,，由x y 82=两边取导数得yy 4=' P ∴点处的切线斜率为141y y y y ='=()x x y y l P +=∴114：切，则它与l 的交点为⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1184x 2y N ，ΘFP FM ⊥，设()2y 2，-M ∴由0=⋅得()()0y 2y 4112=-⋅-，，x 11221184048y x y y y x -==+-∴即 ∴⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1184x 2y M ，与N 点重合,综上，若FP FM ⊥时，MP l 与E 没有其他公共点 变式1、已知抛物线()022>=p px y 的焦点为F ，点P 在抛物线上，且x PF ⊥轴，过点P 且与抛物线相切的直线与x 轴相交于点Q ，若2=PQ ，则抛物线的标准方程为（ ）x y A 8.2= x y B 6.2= x y C 4.2= x y D 2.2=变式2、已知抛物线()02:2>=p py x C ，过点⎪⎭⎫⎝⎛-2,0p M 引抛物线C 的两条切线，切点分别为B A ,且4=∆MAB S ，若抛物线C 与直线01:=+-y x l 交于Q P 、两点，则=PQ （ ）8.A 16.B 4.C 02.D。
有关一类圆锥曲线的切线和切点弦结论的推理和证明
知识导航圆锥曲线问题是高考考查的重点，其中有关圆锥曲线的切线和切点弦问题是比较常见的问题，此类问题主要考查直线与圆锥曲线相切的位置关系，与圆的切线问题较为相似.笔者总结了一些有关圆锥曲线的切线和切点弦的结论，以帮助同学们提升解答此类问题的效率.结论1：若点P （x 0,y 0）在椭圆x 2a 2+y 2b2=1 上，则在点P 处的切线的方程为x 0x a 2+y 0yb2=1 .证明：因为点P 在椭圆上，所以x 02a 2+y 02b2=1 ，①则直线x 0x a 2+y 0yb2=1 必过点P ,所以直线x 0x a 2+y 0y b 2=1与椭圆x 2a 2+y 2b2=1 至少有一个公共点P ,假设直线l 与椭圆有不同于点P 的公共点Q (x 1,y 1)，则x 12a 2+y 12b2=1 ②，x 0x 1a 2+y 0y 1b 2=1 ③，由①②③得：(x 0-x 1)2a 2+(y 0-y 1)2b 2=0,当x 0=x 1,y 0=y 1,即点P 与点Q 重合时，直线l 与椭圆有唯一的公共点，此时直线l 是椭圆的切线，其方程为x 0x a 2+y 0y b2=1.这里采用了间接法，假设直线l 与椭圆还有其他的公共点，通过联立方程，从而证明出结论.此类问题具有普遍性，我们可以将该结论推广到双曲线、抛物线中，得到如下结论.结论2：若点P (x 0,y 0)在双曲线x 2a 2-y 2b2=1上，则在点P 处的切线的方程为x 0x 1a 2-y 0y1b2=1 .结论3：若点P (x 0,y 0)在抛物线y 2=2px 上，则在点P 处的切线的方程为y 0y =p (x +x 0).此类结论适用于解答有关圆锥曲线的切线问题，运用上述结论可以快速求出有关圆锥曲线的切线方程.相比较于常规方法：联立直线与圆锥曲线方程，通过判别式Δ判定直线与圆锥曲线相切，要简便很多.结论4：已知椭圆为x 2a 2+y 2b2=1，若点M （x 0,y 0）为椭圆外一点，由点M 引椭圆的两条切线，则切点弦直线的方程为x 0x a 2+y 0yb2=1.证明：设A （x 1,y 1）,B (x 2,y 2)，因为点A ,B 在椭圆上，由结论1可得在A 点处的切线方程为x 1x a 2+y 1yb2=1，M 经过该切线，所以x 0x 1a 2+y 0y 1b2=1①，同理，在B 点处的切线为x 2x a 2+y 2yb2=1，所以x 0x 2a 2+y 0y 2b2=1②.由①②可得，过点A ，B 切点弦直线为x 0x a 2+y 0yb2=1.我们可以将该结论推广到双曲线、抛物线中，得到如下结论.结论5：若点M （x 0,y 0）为双曲线外一点，由点M 引双曲线的两条切线，则切点弦直线的方程为xx 0a 2-yy 0b2=1.结论6：若点M （x 0,y 0）为抛物线外一点，由M 点向抛物线引两条切线，则切点弦直线的方程为y 0y =p ()x +x 0.以上结论均可用证明椭圆的切点弦直线的方法来证明.例题：若椭圆x 2a 2+y 2b 2=1的右焦点为F ()c ,0，点M 为直线x =a 2c上任意一点，由点M 向椭圆引两条切线，其切点为A ,B ，证明：直线AB 恒过焦点F .解：设点M æèçöø÷a 2c ,m ，由结论4可得切点弦直线AB的方程为x c +myb2=1，将F ()c ,0代入上述方程，满足方程，故AB 恒过焦点F .可见，运用有关圆锥曲线的切线和切点弦的结论来解题，能简化解题的过程，有效提升解题的效率.高中数学题型多变，解法多样，同学们在日常学习中要注意总结解题的规律，将同类型的题目放在一起进行对比，归纳出一类问题的通性通法，这样当再次遇到同类问题的时候便能轻松应对.(作者单位:山东省淄博实验中学)张春宁35。
圆锥曲线的切线及切点弦方程
圆锥曲线的切线及切点弦方程近几年，切或相交问题，直线与圆锥曲线交于两点时弦长问题或弦上某点（或中点）的轨迹问题，焦点弦问题, 或弦与其它点构成的三角形、四边形面积或面积的最值等问题。
2 2 71点 Pg,儿诳椭圆 7+F=l（fl>fr>0）上r = °c。
"，儿"sin0,0e（O,亍）直线I与直线人：牛+学=i垂直,O为坐标原点，直线op的倾斜角为4 cT b°直线12的倾斜角为/.证明：点P是椭圆与直线人的唯一交点；复习：1:过圆X2 + y2 = r2_t 一点M（x0, y0）fi\J 切线方程：“）+啊=八x2V22：设P（q,儿）为椭圆—+—= I上的点，则过该点的切线Jj程为：cr b°3：设P（入，儿）为双Ml线丄--二=1上的点，则过该点的切线方程为：0. Zb24：设P（A0,y0）为抛物线V2 = 2 px±.的点，则过该点的切线Jj程为： y 儿=P（X + %）圆锥曲线切线的几个性质抛物线）的准线弓其氏（实）轴所在iT •线 抛物线）的两条切线，则切点弦氏等于该 的通径.性质2过椭圆（双曲线，抛物线）的焦点F|的直线交椭圆 （双曲线，抛物线）丁认，B 两点，过A, B 两点作椭圆（双曲 性质1过椭圆（双曲线,的交点作椭圆（双曲线,椭圆（双曲线,抛物线）所以 = -3y G +市点P 在直线/1：运动.从而得到亟心G 的轨迹方程为:X_ (―3y + 4x 2)- 2 = 0•即 y =丄(4于-x + 2). 3例題1： 如图。
瑕扼汤绳、：¥=/的魚点为F,动点P 在直线/: x - y - 2 = 0上运动，过P 作拋杨线C 的两条切线PA 、PB, 且与拋场线C 分别相切于A 、B 两5•求2XAPB 的重心（3的轨迹方程.解：设切点A 、B 坐标分别为（匕兀）和（"，*）（（"工％） .・.切线AP 的方程为： 2x u x 一 y — X ： = 0;切线BP 的方程为： 2X]X - y - x ； = 0;x + x 解得P 点的坐标为： x p = ----- • y P = x o x lX 。
圆锥曲线的切线方程和切点弦方程的证明
点为 A(x1, y1)B(x2, y2)切点弦所在的直线方程为
y0y = p(x + x0)
−
b2x0 a2y0
[2x
−
(x1
+
x2)]
化简后得
x0x a2
+
y0y b2
=
1
同理过双曲线外一点 P(x0, y0)向双曲线做两条切线 PA 和 PB，切
点为 A(x1, y1)B(x2, y2)切点弦所在的直线方程为
x0x a2
−
y0y b2
=
1
同理过抛物线外一点 P(x0, y0)向抛物线做两条切线 PA 和 PB，切
为 A(x1, y1)B(x2, y2)切点弦所在的直线方程为
x0x a2
+
y0y b2
=
1
切线 PA 的方程和切线 PB 的方程分别为
x1x xa22x a2
+ +
y1y yb22y b2
= =
1 1
两式相减得
x(x1 − a2
x2
)
=
−
y(y1 − a2
y2)
−b2x a2y
=
(y1 (x1
− −
[2x
−
(x1
+
x2)]
切线 PA 的方程和切线 PB 的方程分别为
x1x xa22x a2
+ +
y1y yb22y b2
= =
1 1
两式相加得
x(x1 + a2
x2)
=
y(y1 + a2
y2)
+
2
y1
+
切点弦方程知识点归纳及应用技巧总结
切点弦方程知识点归纳及应用技巧总结谢吉【摘要】切点弦方程是平面解析几何中的热点问题，求常见曲线的切点弦方程也成了近年来高考的热门题型。
随着导数的引入, 它的内涵更加深刻、题型更加丰富。
熟练掌握切点弦方程的基本知识点，熟记圆锥曲线切点弦的基本性质，巧妙的应用切点弦的几个定理，能够非常灵活的求出常见曲线的切点弦方程。
本文将会总结出常见曲线切点弦方程相关的知识点，探究圆锥曲线的基本性质，并对切点弦方程的相关定理及应用技巧做简要介绍，其目的在于说明运用此定理可以有效简化解题过程，提高解题速度，启迪思维开阔视野。
【关键词】：切点弦 圆锥曲线 1、常见曲线的切点弦知识点归纳 （1）圆的切点弦方程命题 1 过圆 C: x2+ y2= r2外一点M ( x0 , y0 ) 作圆的两条切线 MA 、MB ，则切点弦 AB 所在的直线方程为 x0x + y0 y = r2证明: 因为 OA ⊥ MA , O B ⊥ MB, 所以,O 、 A 、 M 、 B 四点落在以 O M 为直径的圆x ( x - x0 ) + y ( y - y0 ) = 0上, 它与圆 C 的公共弦即为 AB 。
两圆方程相减, 得切点弦 AB 所在的直线方程为x0 x + y0y = r2 (2) 椭圆的切点弦方程命题 2 过椭圆 C:12222=+b y a x 外一点M ( x0 , y0 ) 作椭圆的两条切线 MA 、 MB ，则切点弦 AB 所在的直线方程为12020=+b yy a x x 。
证明: 设 A ( x1 , y1 ) 、 B ( x2 , y2 ) ，将方程12222=+b y a x 两边对 x 求导得122'22=+y b y a x 。
于是, 切线 MA 的方程为y - y1 =)(11212x x y a x b --,即0)()(121121=-+-y y b y x x a x 化简得：1:2121=+b y y a x x L MA ，特别地, 当 y1 = 0 时, 上式也成立。
二次曲线中点弦_切线_切点弦及双切线方程
相交 ,当 0 < t < 1 时 , 圆 ( x - 1 ) 2 + y2 = 1 是
△PB C 的旁切圆 ,所以 , t > 1.
于是 , yB
=1
t +
, t
yC
=t 1-
, t
BC
= 1
t+t
1
t -
t
=
2 t2 t2 -
. 1
故
S△PB C
=
1 2
B
C
|
xP
|
=
1 2
· 2 t2 t2 -
中心 , F为焦点 ,
P 为椭圆上的一
点 , CD 为 通 过
O 的弦且平行
于过 P 的切线 ,
直线 PF 与 CD
(或 其 延 长 线 )
图4
交于点 Q. 证明
或否定 PQ =OA =OB.
讲解 :设椭圆方程为
x2 a2
+
y2 b2
=1
( a > b >0).
设 P ( acosθ, bsinθ) . 则过点 P的椭圆的
y
+ 2
xy0
+ Cy0 y +
D·x0 + x + E·y0 + y + F
2
= 0 ( ≠0) .
2
2
把双切线交点 P0 ( x0 , y0 )代入上述方程
8
可以确定 ,进而求出双切线方程.
2 四种方程的应用
例 1 如
图 1, P 是抛物
线 y2 = 2x上的
动 点 , 点 B、C
在 y 轴上, 圆
圆锥曲线的切线方程和切点弦方程
圆锥曲线的切线方程和切点弦方程课题：圆锥曲线的切线方程和切点弦方程教学目标：1) 掌握圆锥曲线在某点处的切线方程及切点弦方程。
2) 能够使用切线方程及切点弦方程解决一些问题。
3) 通过复渗透数形结合、类比的思想，逐步培养学生分析问题和解决问题的能力。
4) 掌握曲线与方程的关系。
教学重点：切线方程及切点弦方程的应用教学难点：如何恰当使用切线方程及切点弦方程教学过程：1.引入：通过09年安徽省高考题及近几年各省考察圆锥曲线的实例引出本节课。
2.知识点回顾：1) 过圆$x^2+y^2=r^2$上一点$(x_0,y_0)$的切线方程为：$xx_0+yy_0=r^2$2) 设$P(x,y)$为椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$上的点，则过该点的切线方程为：$\frac{xx_0}{a^2}+\frac{yy_0}{b^2}=1$3) 设$P(x,y)$为双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$上的点，则过该点的切线方程为：$\frac{xx_0}{a^2}-\frac{yy_0}{b^2}=1$4) 设$P(x,y)$为抛物线$y^2=2px$上的点，则过该点的切线方程为：$y=y_0+p(x+x_0)$圆锥曲线切线的几个性质：1) 过椭圆的准线与其长轴所在直线的交点作椭圆的两条切线，则切点弦长等于该椭圆的通径。
同理，双曲线，抛物线也有类似的性质。
2) 过椭圆的焦点$F_1$的直线交椭圆于$A$，$B$两点，过$A$，$B$两点作椭圆的切线交$PF_1\perp AB$于点$P$，则$P$点的轨迹是焦点$F_1$的对应的准线，并且同理，双曲线，抛物线也有类似的性质。
3.例题精讲：1) 练1：已知抛物线$y=ax^2(a>0)$与直线$x=1$围成的封闭图形的面积为3，若直线$l$与抛物线相切，且平行于直线$2x-y+6=0$，则直线$l$的方程为。
椭圆锥曲线的切线方程和切点弦方程
椭圆锥曲线的切线方程和切点弦方程概述本文档将介绍椭圆锥曲线的切线方程和切点弦方程。
首先，我们将回顾椭圆锥曲线的定义和特性，然后详细讨论切线方程和切点弦方程的推导和应用。
椭圆锥曲线的定义和特性椭圆锥曲线是由平面上的一个动点与两个定点之间的距离比之和为定值的所有点构成的图形。
具体来说，椭圆锥曲线可以通过焦点（定点）和准线（焦点之间的线段）来定义，并具有以下特性：1. 所有椭圆锥曲线上的点到两个焦点的距离之和为常数。
2. 椭圆锥曲线关于准线对称。
3. 椭圆锥曲线离心率小于1，且离心率越接近于零，椭圆锥曲线越接近于圆。
切线方程的推导和应用我们将讨论如何推导椭圆锥曲线上一点的切线方程，并介绍切线方程的应用。
推导假设椭圆锥曲线的方程为 $Ax^2 + By^2 = C$，我们要求椭圆锥曲线上一点 $(x_0, y_0)$ 处的切线方程。
首先，我们需要求出这一点处的斜率。
对椭圆锥曲线方程求导，得到：$$2Ax + 2By \frac{dy}{dx} = 0$$进一步整理，我们可以求出切线的斜率：$$\frac{dy}{dx} = -\frac{Ax}{By}$$接下来，我们利用点斜式，使用点 $(x_0, y_0)$ 和切线的斜率来得到切线方程。
得到的切线方程为：$$y - y_0 = -\frac{Ax_0}{By_0}(x - x_0)$$应用切线方程的应用之一是求解椭圆锥曲线上切线和其他几何对象之间的交点。
我们可以将切线方程与几何对象的方程联立，解方程组得到交点的坐标。
切点弦方程的推导和应用我们将讨论如何推导椭圆锥曲线上两点的切点弦方程，并介绍切点弦方程的应用。
推导假设椭圆锥曲线的方程为 $Ax^2 + By^2 = C$，考虑椭圆锥曲线上两个点 $(x_1, y_1)$ 和 $(x_2, y_2)$，我们要求这两点的切点弦方程。
首先，我们需要求出两点连线的斜率。
根据两点之间的斜率公式，我们可以得到：$$\text{斜率} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$$观察到切线方程的斜率计算式和两点连线斜率的计算式非常相似，因此我们可以利用两点连线斜率来表示切点弦的斜率。
双曲线切点弦方程公式
双曲线切点弦方程公式双曲线切点弦方程（Chord Equation of the Conjugate Diameter）是一个重要的几何概念，它用于描述双曲线的切点和弦之间的关系。
该公式记录了以下信息：双曲线的一条对角线上的两个切点，以及在这两个切点之间的弦的端点。
因此，双曲线切点弦方程可以用来描述双曲线的特定切点及其相应的弦。
双曲线切点弦方程的具体形式如下：\frac{(x-a)(x-b)}{(y-c)(y-d)}=\frac{m}{n} 其中，a、b、c、d为双曲线的切点的x和y坐标，而m、n 则表示弦的斜率。
该方程有很多不同的变体，比如以双曲线的焦点为原点的时候，公式会变为：\frac{x}{p}+\frac{y}{q}=1 其中，p和q分别表示双曲线的长轴和短轴。
另外，也可以使用另一种变体，即将双曲线的两个焦点看作是原点：\frac{(x+a)(x+b)}{(y+c)(y+d)}=\frac{m}{n}也就是说，双曲线切点弦方程可以表示出双曲线的切点和弦之间的关系，从而帮助我们理解双曲线的几何特性。
双曲线切点弦方程的应用非常广泛，它可以用来求解双曲线的大量特性，例如求解双曲线的一些重要的几何性质，比如双曲线的长轴和短轴，焦点，渐近线，轴对称的面积等。
此外，它还可以用来求解双曲线的极值问题，比如求解双曲线的极大值和极小值，以及双曲线的最小外接矩形等。
另外，双曲线切点弦方程也可以用于解决一些更复杂的几何问题，例如求解双曲线的切线方程，求解双曲线的经过点及其对称的点，以及求解双曲线的曲率等。
此外，它还可以用于求解双曲线的凹凸问题，比如求解双曲线的凹点和凸点等。
总之，双曲线切点弦方程是一个重要的几何概念，它可以帮助我们更好地理解双曲线的几何特性，并且可以用来求解各种复杂的几何问题。
切点弦方程知识点归纳及应用技巧总结
切点弦方程知识点归纳及应用技巧总结谢吉【摘要】 切点弦方程是平面解析几何中的热点问题，求常见曲线的切点弦方程也成 了近年来高考的热门题型。
随着导数的引入 , 它的内涵更加深刻、题型更加丰富 熟练掌握切点弦方程的基本知识点，熟记圆锥曲线切点弦的基本性质，巧妙的应用 切点弦的几个定理，能够非常灵活的求出常见曲线的切点弦方程。
本文将会总结出 常见曲线切点弦方程相关的知识点，探究圆锥曲线的基本性质，并对切点弦方程的 相关定理及应用技巧做简要介绍，其目的在于说明运用此定理可以有效简化解题过 程，提高解题速度，启迪思维开阔视野。
【关键词】：切点弦 圆锥曲线 1、常见曲线的切点弦知识点归纳 (1)圆的切点弦方程命题 1 过圆 C: x2+ y2= r2 外一点 M ( x0 , y0 ) 作圆的两条切线 MA 、MB ， 则切点弦 AB 所在的直线方程为 x0x + y0 y = r2证明: 因为 OA MA , O B MB, 所以,O 、 A 、 M 、 B 四点落在以 O M 为 直径的圆 x ( x - x0 ) + y ( y - y0 ) = 0 上 , 它与圆 C 的公共弦即为 AB 。
两圆方程相减 , 得切点弦 AB 所在的直线方程为 x0 x + y0y = r2 (2) 椭圆的切点弦方程x0x y0y12 21MB ，则切点弦 AB 所在的直线方程为 a 2b 2也成立。
L : x 2x y2 y1MB 2 2a b 。
x1x 0 y 1y 0 1, x 2x 0 y 2y0 1 22 2 2又 M( x 0 , y 0 ) 在直线 MA 、 MB 上 , 则 a 2b 2a 2b2命题 22 x 2 过椭圆 C: a 22b y21外一点M ( x0 , y0 )作椭圆的两条切线 MA 、证明: 设 A ( x1 , y1 )、 B ( x2 , y2 )，将方程 2x 2a2y2212b 2两边对 x 求导2x 2 22y y '1a 2b 2。
切线方程与切点弦方程(学练结合)
切线方程与切点弦方程一、圆的切线方程一、圆的方程为:(x - a)²+ (y - b)²= r²1. 已知：圆的方程为:(x - a)²+ (y - b)²= r², 圆上一点P(x0, y0)。
求过点P的切线方程解：圆心C(a, b)；直线CP的斜率：k1 = ( y0- b) / ( x0- a)因为直线CP与切线垂直, 所以切线的斜率：k2 = -1/k1 = - (x0 - a) / (y0 - b)根据点斜式, 求得切线方程：y - y0 = k2 (x - x0)y - y0 = [- (x0 - a) / (y0 - b)] (x - x0)整理得：(x - x0)(x0 - a) + (y - y0)(y0 - b) = 0 (切线方程公式)展开后: x0x - ax + ax0 + y0y - by + by0 - x0²- y0²= 0 (1)因为点P在圆上, 所以它的坐标满足方程：(x0 - a)²+ (y0 - b)²= r²化简: x0²- 2ax0 + a²+ y0²- 2by0 + b²= r²移项: - x0²- y0²= -2ax0 - 2by0 + a²+ b²- r²(2)由(2)代入(1), 得：x0x - ax + ax0 + y0y - by + by0 + (-2ax0 - 2by0 + a²+ b²- r²) = 0 化简：(x0x - ax - ax0 + a²) + (y0y - yb- by0 + b²) = r²整理：(x0 - a)(x - a) + (y0 - b)(y - b) = r²变式-1 已知:圆的方程为:(x - a)²+ (y - b)²= r², 圆外一点P(x0, y0)二、对于圆的一般方程:x²+ y²+ Dx + Ey + F = 0, 过圆上的点的切线方程.2.已知:圆的方程为:x²+ y²+ Dx + Ey + F = 0, 圆上一点P(x0, y0)解：圆心C( -D/2, -E/2 )直线CP的斜率:k1 = (y0 + E/2) / (x0 + D/2)因为直线CP与切线垂直, 所以切线的斜率:k2 = -1/k1 = - (x0 + D/2) / (y0 + E/2)根据点斜式, 求得切线方程：y - y0 = k2 (x - x0)y - y0 = [- (x0 + D/2) / (y0 + E/2)] (x - x0)整理得:x0x + y0y + Dx/2 + Ey/2 - Dx0/2 - Ey0/2 -x0²- y0²= 0 (3)因为点P在圆上, 所以它的坐标满足方程：x0²+ y0²+ Dx0 + Ey0 + F = 0移项: - x0²- y0²= Dx0 + Ey0 + F (4)由(4)代入(3), 得：x0x + y0y + Dx/2 + Ey/2 - Dx0/2 - Ey0/2 + Dx0 + Ey0 + F = 0整理, x0x + y0y + D(x + x0)/2 + E(y + y0)/2 + F = 0变式-2 已知:圆的方程为:x²+ y²+ Dx + Ey + F = 0 , 圆外一点P(x0, y0) 二、圆的切点弦方程三、圆锥曲线的切线方程和切点弦方程设P(x0, y0)是圆锥曲线上（外）一点，过点P引曲线的两条切线，切点为A , B两点，则A , B两点所在的直线方程为切点弦方程。