第四章机械制图
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截交线在俯、 截交线在俯、 左视图上的形 状？
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截平面与体的 几个棱面相交？ 几个棱面相交？
★ 空间分析 ★ 投影分析 ★ 求截交线 ★ 分析棱线的投影 ★ 检查 尤其注意检查截 交线投影的类似性
例1：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。 求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
☆ 截平面与体的相对位置 ☆ 截平面与投影面的相对位置 分别求出截平面与棱面 的交线，并连接成多边形。 的交线，并连接成多边形。
状 确定截交线 的投影特性
★ 画出截交线的投影
例1：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。 求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4′ (4′) 3′ 1′ 2′ 交线的形状？ 交线的形状？ 4″
圆锥被正垂面截切， 例: 圆锥被正垂面截切，求 截交线，并完成三视图。 截交线，并完成三视图。
如何找椭圆另 一根轴的端点？ 一根轴的端点？
截交线 的空间 形状？ 形状？ 截交线 的投影 特性？ 特性？
★找特殊点 ★补充中间点 ★光滑连接各点 ★分析轮廓线的 投影
圆锥被正垂面截切， 例: 圆锥被正垂面截切，求 截交线，并完成三视图。 截交线，并完成三视图。
棱线法！ 棱线法！
我们采用的是 哪种解题方法？ 哪种解题方法？
例2：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。 求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1′(2′) (2′
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2 1
三面共点： 三面共点： Ⅰ、Ⅱ两点分别 同时位于三个面 上。 注意： 注意：
要逐个截平面分析和绘制截交线。 要逐个截平面分析和绘制截交线。当平 面体只有局部被截切时，先假想为整体 面体只有局部被截切时， 被截切，求出截交线后再取局部。 被截切，求出截交线后再取局部。
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★找特殊点 形状？ 形状？ ★补充中间点 ★光滑连接各点 ★分析轮廓素线的投影
截交线的空间
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例4：求左视图
★找特殊点 ★找中间点 ★光滑连接各点 ★分析轮廓素线的投影
椭圆的长、 椭圆的长、 短轴随截平面与 圆柱轴线夹角的 变化而改变。 变化而改变。 什么情况下 投影为圆呢？ 投影为圆呢？
45° 45°
第 四 章
立体的切割及截交线画法
几个概念
截切： 截切： 用一个平面与立体相交， 用一个平面与立体相交，截去立体的一 部分。 部分。
用以截切物体的平面。 • 截平面 —— 用以截切物体的平面。 截平面与物体表面的交线。 • 截交线 —— 截平面与物体表面的交线。 因截平面的截切， • 截断面 —— 因截平面的截切，在物体上形 成的平面。 成的平面。 讨论的问题： 讨论的问题：截交线的分析和作图 。
例：求半球体截切后的俯视图和左视图。 求半球体截切后的俯视图和左视图。
㈣ 复合回转体的截切
例：求作顶尖的俯视图
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首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成 以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回 以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回 转体的截交线，并依次将其连接。 转体的截交线，并依次将其连接。
当单体被多个截平面截切时， 逐个截 ⒊ 当单体被多个截平面截切时，要逐个截 进行截交线的分析与作图。 平面进行截交线的分析与作图 平面进行截交线的分析与作图。当只有 局部被截切时 局部被截切时，先按整体被截切求出截 交线，然后再取局部 再取局部。 交线，然后再取局部。 复合回转体的截交线 的截交线， ⒋ 求复合回转体的截交线，应首先分析复 合回转体由哪些基本回转体组成以及它 们的连接关系，然后分别求出这些基本 分别求出这些 们的连接关系，然后分别求出这些基本 回转体的截交线，并依次将其连接。 回转体的截交线，并依次将其连接。 次将其连接
PV PV PV
P
P
P
垂直 圆
倾斜 椭圆
平行 两平行直线
例1：求左视图
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解题步骤： 解题步骤：
★空间及投影分析 截平面与体的相对位置 截平面与投影面的相对位置 ★求截交线 ★分析圆柱体轮廓素线的投影
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同一立体被多个平面截切， 同一立体被多个平面截切，要 逐个截平面进行截交线的分析 和作图。 和作图。
二、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线 的相对位置，以便确定截交线的形状 确定截交线的形状。 的相对位置，以便确定截交线的形状。 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交 ☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交 线的投影特性，如积聚性、类似性等。 线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出 截交线的已知投影，予见未知投影 已知投影 投影。 截交线的已知投影，予见未知投影。
截平面与圆柱轴 线成45 45° 线成45°时。
例5：求左视图
虚实分界点
㈡ 圆锥体的截切
根据截平面与圆锥轴线的相 对位置不同，截交线有五种形状。 对位置不同，截交线有五种形状。
PV θ PV PV θ α θ PV α PV
α
90° θ= 90° 圆
过锥顶 两相交直线
θ＞α 椭圆
θ=α 抛物线
0° θ= 0°＜α 双曲线
㈢ 球体的截切
平面与圆球相交， 平面与圆球相交，截交线的形 状都是圆， 状都是圆，但根据截平面与投影面 的相对位置不同， 的相对位置不同，其截交线的投影 可能为圆、椭圆或积聚成一条直线。 可能为圆、椭圆或积聚成一条直线。
例：求半球体截切后的俯视图和左视图。 求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的截 水平面截圆球的截交线 交线的投影，在侧视图 交线的投影， 的投影， 的投影，在俯视图上为 上为部分圆弧， 上为部分圆弧，在俯视 部分圆弧， 部分圆弧，在侧视图上 图上积聚为直线。 图上积聚为直线。 积聚为直线。 积聚为直线。
4.2 回转体的截切
一、回转体截切的基本形式
截交线的性质： 截交线的性质： 截交线是截平面与回转体表面的共有线 共有线。 • 截交线是截平面与回转体表面的共有线。 • 截交线的形状取决于回转体表面的形状及 截平面与回转体轴线的相对位置。 截平面与回转体轴线的相对位置。 截交线都是封闭的平面图形 封闭的平面图形。 • 截交线都是封闭的平面图形。
4.1 平面体的截切
一、平面截切的基本形式
截交线的性质： 截交线的性质：
• 截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其 截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形 封闭的平面多边形， 形状取决于平面体的形状及截平面对平面体的截切 位置。 位置。 截交线的每条边是截平面与棱面的交线 截平面与棱面的交线。 • 截交线的每条边是截平面与棱面的交线。 求截交线的实质是求两平面的交线
例2：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。 求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
求八棱柱被平面P截切后的俯视图 截切后的俯视图。 例 3: 求八棱柱被平面 截切后的俯视图。
P′
4 ′≡ 5 ′ 7″ 8″ 5 6 5″ 6″ 3″ 4″ 2″ 1″ Ⅷ Ⅰ Ⅶ Ⅵ Ⅲ Ⅱ Ⅴ Ⅳ
2 ′≡ 3 ′≡ 6 ′≡ 7 ′ 1 ′≡ 8 ′ 8
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。 求截交线的两种方法： ⒈ 求截交线的两种方法： 求各棱线与截平面的交点→棱线法。 ★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。 求各棱面与截平面的交线→棱面法。 ★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。 确定截 求截交线的步骤： ⒉ 求截交线的步骤： 交 ★ 空间及投影分析 线的形
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3 1 2
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检查截交 截交线的投影？ 分析棱线的 截交线的形状？ 截交线的形状 求截交线 特性？ 特性？ 线的投影 投影
求八棱柱被平面P截切后的俯Fra bibliotek图 截切后的俯视图。 例 3: 求八棱柱被平面 截切后的俯视图。
例4-4 四棱柱被二平面截切，已知主、俯视图，求作左视图
解题步骤： （1）分析截交线的形状：四棱柱被正垂面P和铅垂面Q截 切。截平面P与棱柱上三个棱面及平面Q相交，故有四 条交线，其截交线为四边形；截平面Q与四棱柱上四个 棱面及平面P相交，故有五条交线，其截交线为五边形。 （2）分析截交线的投影：截平面P垂直于正投影面，而 倾斜于侧投影面和水平投影面。所以截交线的正投影 具有积聚性，而其侧投影和水平投影具有类似形；截 平面Q垂直于水平投影面，而倾斜于正投影面和侧投影 面，所以Q的截交线水平投影具有积聚性，而其正面投 影和侧投影具有类似形。 （3）画出截交线的投影：先画出左视图的轮廓，先作截 平面P的截交线I、II、III、IV；再求Q平面的截交线投 影I、IV、V、VI、VII。
三、解题方法与步骤
⒈ 空间及投影分析 分析截平面与被截立体的相对位置， ⑴ 分析截平面与被截立体的相对位置，以 确定截交线的形状。 确定截交线的形状。 ⑵ 分析截平面与被截立体对投影面的相对 位置， 确定截交线的投影特性。 位置，以确定截交线的投影特性。 ⒉ 求截交线 当截交线的投影为非圆曲线时， 当截交线的投影为非圆曲线时，要先 找特殊点，再补充中间点， 找特殊点，再补充中间点，最后光滑连接 各点。 各点。 注意分析平面体的棱线和回转体轮廓 素线的投影。 素线的投影。
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小 结
一、平面体的截交线一般情况下是由直线组成 的封闭的平面多边形，多边形的边是截平 的封闭的平面多边形，多边形的边是截平 面与棱面的交线。 面与棱面的交线。 求截交线的方法： 求截交线的方法：棱线法 棱面法 二、平面截切回转体，截交线的形状取决于截 平面截切回转体， 平面与被截立体轴线的相对位置。 平面与被截立体轴线的相对位置。 截交线是截平面与回转体表面的共有线。 截交线是截平面与回转体表面的共有线。 共有线
例1：求左视图
解题步骤： 解题步骤：
★空间及投影分析 截平面与体的相对位置 截平面与投影面的相对位置 ★求截交线 ★分析圆柱体轮廓素线的投影
例2：求左视图
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例2：求左视图
例3：求俯视图
例3：求俯视图
例4：求左视图
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截交线的侧 面投影是什 么形状？ 截交线 的已知 投影？ 投影？
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为： 当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为： 先找特殊点，补充中间点。 ☆ 先找特殊点，补充中间点。 将各点光滑地连接起来， ☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可 见性。 见性。
㈠ 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于 截平面与圆柱轴线的相对位置
1″
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截交线在俯、 截交线在俯、 左视图上的形 状？
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截平面与体的 几个棱面相交？ 几个棱面相交？
★ 空间分析 ★ 投影分析 ★ 求截交线 ★ 分析棱线的投影 ★ 检查 尤其注意检查截 交线投影的类似性
例1：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。 求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
☆ 截平面与体的相对位置 ☆ 截平面与投影面的相对位置 分别求出截平面与棱面 的交线，并连接成多边形。 的交线，并连接成多边形。
状 确定截交线 的投影特性
★ 画出截交线的投影
例1：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。 求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4′ (4′) 3′ 1′ 2′ 交线的形状？ 交线的形状？ 4″
圆锥被正垂面截切， 例: 圆锥被正垂面截切，求 截交线，并完成三视图。 截交线，并完成三视图。
如何找椭圆另 一根轴的端点？ 一根轴的端点？
截交线 的空间 形状？ 形状？ 截交线 的投影 特性？ 特性？
★找特殊点 ★补充中间点 ★光滑连接各点 ★分析轮廓线的 投影
圆锥被正垂面截切， 例: 圆锥被正垂面截切，求 截交线，并完成三视图。 截交线，并完成三视图。
棱线法！ 棱线法！
我们采用的是 哪种解题方法？ 哪种解题方法？
例2：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。 求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1′(2′) (2′
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三面共点： 三面共点： Ⅰ、Ⅱ两点分别 同时位于三个面 上。 注意： 注意：
要逐个截平面分析和绘制截交线。 要逐个截平面分析和绘制截交线。当平 面体只有局部被截切时，先假想为整体 面体只有局部被截切时， 被截切，求出截交线后再取局部。 被截切，求出截交线后再取局部。
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★找特殊点 形状？ 形状？ ★补充中间点 ★光滑连接各点 ★分析轮廓素线的投影
截交线的空间
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例4：求左视图
★找特殊点 ★找中间点 ★光滑连接各点 ★分析轮廓素线的投影
椭圆的长、 椭圆的长、 短轴随截平面与 圆柱轴线夹角的 变化而改变。 变化而改变。 什么情况下 投影为圆呢？ 投影为圆呢？
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第 四 章
立体的切割及截交线画法
几个概念
截切： 截切： 用一个平面与立体相交， 用一个平面与立体相交，截去立体的一 部分。 部分。
用以截切物体的平面。 • 截平面 —— 用以截切物体的平面。 截平面与物体表面的交线。 • 截交线 —— 截平面与物体表面的交线。 因截平面的截切， • 截断面 —— 因截平面的截切，在物体上形 成的平面。 成的平面。 讨论的问题： 讨论的问题：截交线的分析和作图 。
例：求半球体截切后的俯视图和左视图。 求半球体截切后的俯视图和左视图。
㈣ 复合回转体的截切
例：求作顶尖的俯视图
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首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成 以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回 以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回 转体的截交线，并依次将其连接。 转体的截交线，并依次将其连接。
当单体被多个截平面截切时， 逐个截 ⒊ 当单体被多个截平面截切时，要逐个截 进行截交线的分析与作图。 平面进行截交线的分析与作图 平面进行截交线的分析与作图。当只有 局部被截切时 局部被截切时，先按整体被截切求出截 交线，然后再取局部 再取局部。 交线，然后再取局部。 复合回转体的截交线 的截交线， ⒋ 求复合回转体的截交线，应首先分析复 合回转体由哪些基本回转体组成以及它 们的连接关系，然后分别求出这些基本 分别求出这些 们的连接关系，然后分别求出这些基本 回转体的截交线，并依次将其连接。 回转体的截交线，并依次将其连接。 次将其连接
PV PV PV
P
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垂直 圆
倾斜 椭圆
平行 两平行直线
例1：求左视图
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解题步骤： 解题步骤：
★空间及投影分析 截平面与体的相对位置 截平面与投影面的相对位置 ★求截交线 ★分析圆柱体轮廓素线的投影
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同一立体被多个平面截切， 同一立体被多个平面截切，要 逐个截平面进行截交线的分析 和作图。 和作图。
二、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线 的相对位置，以便确定截交线的形状 确定截交线的形状。 的相对位置，以便确定截交线的形状。 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交 ☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交 线的投影特性，如积聚性、类似性等。 线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出 截交线的已知投影，予见未知投影 已知投影 投影。 截交线的已知投影，予见未知投影。
截平面与圆柱轴 线成45 45° 线成45°时。
例5：求左视图
虚实分界点
㈡ 圆锥体的截切
根据截平面与圆锥轴线的相 对位置不同，截交线有五种形状。 对位置不同，截交线有五种形状。
PV θ PV PV θ α θ PV α PV
α
90° θ= 90° 圆
过锥顶 两相交直线
θ＞α 椭圆
θ=α 抛物线
0° θ= 0°＜α 双曲线
㈢ 球体的截切
平面与圆球相交， 平面与圆球相交，截交线的形 状都是圆， 状都是圆，但根据截平面与投影面 的相对位置不同， 的相对位置不同，其截交线的投影 可能为圆、椭圆或积聚成一条直线。 可能为圆、椭圆或积聚成一条直线。
例：求半球体截切后的俯视图和左视图。 求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的截 水平面截圆球的截交线 交线的投影，在侧视图 交线的投影， 的投影， 的投影，在俯视图上为 上为部分圆弧， 上为部分圆弧，在俯视 部分圆弧， 部分圆弧，在侧视图上 图上积聚为直线。 图上积聚为直线。 积聚为直线。 积聚为直线。
4.2 回转体的截切
一、回转体截切的基本形式
截交线的性质： 截交线的性质： 截交线是截平面与回转体表面的共有线 共有线。 • 截交线是截平面与回转体表面的共有线。 • 截交线的形状取决于回转体表面的形状及 截平面与回转体轴线的相对位置。 截平面与回转体轴线的相对位置。 截交线都是封闭的平面图形 封闭的平面图形。 • 截交线都是封闭的平面图形。
4.1 平面体的截切
一、平面截切的基本形式
截交线的性质： 截交线的性质：
• 截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其 截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形 封闭的平面多边形， 形状取决于平面体的形状及截平面对平面体的截切 位置。 位置。 截交线的每条边是截平面与棱面的交线 截平面与棱面的交线。 • 截交线的每条边是截平面与棱面的交线。 求截交线的实质是求两平面的交线
例2：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。 求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
求八棱柱被平面P截切后的俯视图 截切后的俯视图。 例 3: 求八棱柱被平面 截切后的俯视图。
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4 ′≡ 5 ′ 7″ 8″ 5 6 5″ 6″ 3″ 4″ 2″ 1″ Ⅷ Ⅰ Ⅶ Ⅵ Ⅲ Ⅱ Ⅴ Ⅳ
2 ′≡ 3 ′≡ 6 ′≡ 7 ′ 1 ′≡ 8 ′ 8
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。 求截交线的两种方法： ⒈ 求截交线的两种方法： 求各棱线与截平面的交点→棱线法。 ★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。 求各棱面与截平面的交线→棱面法。 ★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。 确定截 求截交线的步骤： ⒉ 求截交线的步骤： 交 ★ 空间及投影分析 线的形
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检查截交 截交线的投影？ 分析棱线的 截交线的形状？ 截交线的形状 求截交线 特性？ 特性？ 线的投影 投影
求八棱柱被平面P截切后的俯Fra bibliotek图 截切后的俯视图。 例 3: 求八棱柱被平面 截切后的俯视图。
例4-4 四棱柱被二平面截切，已知主、俯视图，求作左视图
解题步骤： （1）分析截交线的形状：四棱柱被正垂面P和铅垂面Q截 切。截平面P与棱柱上三个棱面及平面Q相交，故有四 条交线，其截交线为四边形；截平面Q与四棱柱上四个 棱面及平面P相交，故有五条交线，其截交线为五边形。 （2）分析截交线的投影：截平面P垂直于正投影面，而 倾斜于侧投影面和水平投影面。所以截交线的正投影 具有积聚性，而其侧投影和水平投影具有类似形；截 平面Q垂直于水平投影面，而倾斜于正投影面和侧投影 面，所以Q的截交线水平投影具有积聚性，而其正面投 影和侧投影具有类似形。 （3）画出截交线的投影：先画出左视图的轮廓，先作截 平面P的截交线I、II、III、IV；再求Q平面的截交线投 影I、IV、V、VI、VII。
三、解题方法与步骤
⒈ 空间及投影分析 分析截平面与被截立体的相对位置， ⑴ 分析截平面与被截立体的相对位置，以 确定截交线的形状。 确定截交线的形状。 ⑵ 分析截平面与被截立体对投影面的相对 位置， 确定截交线的投影特性。 位置，以确定截交线的投影特性。 ⒉ 求截交线 当截交线的投影为非圆曲线时， 当截交线的投影为非圆曲线时，要先 找特殊点，再补充中间点， 找特殊点，再补充中间点，最后光滑连接 各点。 各点。 注意分析平面体的棱线和回转体轮廓 素线的投影。 素线的投影。
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小 结
一、平面体的截交线一般情况下是由直线组成 的封闭的平面多边形，多边形的边是截平 的封闭的平面多边形，多边形的边是截平 面与棱面的交线。 面与棱面的交线。 求截交线的方法： 求截交线的方法：棱线法 棱面法 二、平面截切回转体，截交线的形状取决于截 平面截切回转体， 平面与被截立体轴线的相对位置。 平面与被截立体轴线的相对位置。 截交线是截平面与回转体表面的共有线。 截交线是截平面与回转体表面的共有线。 共有线
例1：求左视图
解题步骤： 解题步骤：
★空间及投影分析 截平面与体的相对位置 截平面与投影面的相对位置 ★求截交线 ★分析圆柱体轮廓素线的投影
例2：求左视图
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例2：求左视图
例3：求俯视图
例3：求俯视图
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截交线的侧 面投影是什 么形状？ 截交线 的已知 投影？ 投影？
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为： 当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为： 先找特殊点，补充中间点。 ☆ 先找特殊点，补充中间点。 将各点光滑地连接起来， ☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可 见性。 见性。
㈠ 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于 截平面与圆柱轴线的相对位置