高二上学期期中考试数学试卷含答案

2019-2020学年上学期高二级期中考试题
数学
一、单选题(本题共10小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

)
1．若直线10x my +-=的倾斜角为30°，则实数m 的值为( )
A. 3-
B.
3 C. 3
3
-
D.
33
2．在等差数列{}n a 中，39618,n a a a S +=-表示数列{}n a 的前n 项和，则11S =( ) A ．66
B ．99
C ．198
D ．297
3．已知0,0a b <>，那么下列不等式中一定成立的是（ ） A ．0b a -< B ．a b >
C ．2a ab <
D ．
11a b
< 4．满足,23,43
A BC AC π
===的ABC ∆的个数是( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
5．两条平行直线34120x y +-=与8110ax y ++=之间的距离为( ) A ．
235
B ．
2310
C ．7
D ．
72
6．已知点A 的坐标为)4,4(-，直线l 的方程为02=-+y x ，则点A 关于l 的对称点'A 的坐标为( ) A ．)4,3
2(-
B ．)6,2(-
C ．)4,2(
D ．)6,1(
7．如图，网格纸上虚线围成的最小正方形边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )
A.π
B.2π
C.4π
D.8π
8．直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，若∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝AA 1，则异面直线BA 1与AC 1所成的角等于( ) A ．30°
B ．60°
C ．90°
D ．120°
9．若圆x 2＋y 2＝r 2(r >0)上有且仅有4个点到直线l ：x －y －2＝0的距离为1，则实数r 的取值范围是( ) A ．(2＋1，＋∞) B ．(2－1，2＋1) C ．(0，2－1)
D ．(0，2＋1)
10．正四棱锥的顶点都在同一球面上．若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为( ) A ．81π4 B ．16π C ．9π
D ．27π4
二、多选题(本题共2小题，每小题5分，共10分。

在每小题给出的四个选项中，至少有两一项是符合题目要求的。

)
11．已知n m ,表示两条不同的直线，α、β、γ表示三个不同的平面．下列命题中，正确的命题是( ) A ．若α⊥m ，α//n ，则n m ⊥ B ．若γα⊥，γβ⊥，则βα// C ．若α//m ，α//n ，则n m //
D ．若βα//，γβ//，α⊥m ，则γ⊥m
12．已知圆M ：()()2
2
cos sin 1x y θθ++-=，直线l ：y kx =．下列命题中，正确的命题是( ) A ．对任意实数 k 和θ，直线 l 和圆 M 有公共点
B ．对任意实数θ，必存在实数 k ，使得直线 l 与圆 M 相切
C ．对任意实数 k ，必存在实数θ，使得直线 l 与圆 M 相切
D ．存在实数 k 与θ，使得圆 M 上有一点到直线 l 的距离为 3
三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分。

)
13．已知直线ax ＋a 2y ＋1＝0与直线(a －2)x ＋y －2＝0垂直，则a 的值为________． 14．已知a ，b 均为正数，且a ＋b ＝1，则1a ＋1
b
的最小值为________．
15．在平面直角坐标系内，到点A (1，2)，B (1，5)，C (3，6)，D (7，－1)的距离之和最小的点的坐标是________．
16．已知直线l ：30mx y m ++=与圆2212x y +=交于A , B 两点，过A , B 分别作l 的垂线与x 轴交
于C , D 两点，若AB =m ＝________，|CD |＝________．
x
y
O C
A
B
四、解答题(共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

)
17．（10分）已知等差数列{}n a 的首项为1，公差0d ≠，且8a 是5a 与13a 的等比中项. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）记()
1
1
n n n b n N a a *+=∈⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T ．
18．（12分）已知△ABC 的内角分别为A , B , C ，其对应边分别是a , b , c ，且满足
cos cos 2cos b C c B a B +=．
（1）求角B 的大小； （2）若3b =，求a ＋2c 的最大值.
19．（12分）如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，△ABC 是等边三角形，BC ＝CC 1＝4，D 是A 1C 1中点．
（1）求证：A 1B ∥平面B 1CD ；
（2）当AA 1⊥平面ABC 时，求点B 到平面B 1CD 的距离．
20．（12分）如图,等腰直角△ABC 的直角顶点()0,1C -,斜边AB 所在的直线方程为280x y +-=． （1）求△ABC 的面积； （2）求斜边AB 中点D 的坐标．
21．（12分）如图，在长方形ABCD中，AB=4，BC=2，现将△ACD沿AC折起，使D折到P的位置且P 在面ABC的射影E恰好在线段AB上.
（1）证明：AP⊥PB；
（2）求二面角B-PC-E的余弦值．
22．（12分）规定：在桌面上，用母球击打目标球，使目标球运动，球的位置是指球心的位置，我们说球A 是指该球的球心点A．两球碰撞后，目标球在两球的球心所确定的直线上运动，目标球的运动方向是指目标球被母球击打时，母球球心所指向目标球球心的方向．所有的球都简化为平面上半径为1的圆，且母球与目标球有公共点时，目标球就开始运动，在桌面上建立平面直角坐标系，解决下列问题：
(1)如图，设母球A的位置为(0，0)，目标球B的位置为(4，0)，要使目标球B向C(8，－4)处运动，求母球A球心运动的直线方程；
(2)如图，若母球A的位置为(0，－2)，目标球B的位置为(4，0)，能否让母球A击打目标B球后，使目标B 球向(8，－4)处运动?
(3)若A的位置为(0，a)时，使得母球A击打目标球B时，目标球B(42，0)运动方向可以碰到目标球C(72，－52)，求a的最小值（只需要写出结果即可）
2019-2020学年上学期高二级期中考数学试题参考答案
1.A ；
2.A ；
3.D ；
4.B ；
5.D ；
6.B ；
7.D ；
8.C ；
9.A ；10.B ； 11.AD 12.AC 13.1 14.4 15.(2,4) 16.3
3
-
=m ;4||=CD .
17. (1)设等差数列{}n a 的公差为d ，
8a 是5a 与13a 的等比中项.
28513=a a a ∴ 即()()()2
1117412a d a d a d +=++ ……………………………………2分
0d ∴=或2d =；
0d ≠ 2d ∴=…………………………………………………………………………………………4分
21n a n ∴=- …………………………………………………………………………………5分
(2)因为)1
21
121(21)12)(12(111+--=+-==
+n n n n a a b n n n ，………………………8分
所以数列{}n b 的前n 项和)1211215131311(21+--+⋯+-+-=
n n T n 1
2)1211(21+=
+-=n n
n .………………………………10分 18. (1)B a B c C b cos 2cos cos =+ ，
∴由正弦定理得：B A B C C B cos sin 2cos sin cos sin =+……………………1分 即sin()2sin cos B C A B +=，……………………………………………………2分 又sin sin[()]sin()A B C B C π=-+=+，………………………………………3分 故sin 2sin cos A A B =，
又因为0A π<<，所以sin 0A >，………………………………………………4分
因此，2
1
cos =B ，…………………………………………………………………5分 又因为0B π<<，所以3
π
=B .…………………………………………………6分
(2)由正弦定理得：
22
33
sin sin sin ====B
b
C c A a ，
C c A a sin 2,sin 2==∴，……………………………………………………………8分 )3
2sin(
4sin 2sin 4sin 22A A C A c a -+=+=+π
)sin(72)cos 3sin 2(2ϕ+=+=A A A ，…………………………………10分 （其中)2
,0(,23tan π∈=ϕϕ，） ∴当ϕ-=
2
π
A 时，c a 2+的最大值为72.……………………………………12分 19.(1)证明：连接1BC ，交C
B 1于点O ，连接DO .
在三棱柱111C B A ABC -中，四边形C C BB 11为平行四边形，
1OC BO =∴，又 点D 是11C A 中点，B A DO 1//∴，…………………………2分 而⊂DO 平面CD B 1，且⊄B A 1平面CD B 1，…………………………………4分 //1B A ∴平面CD B 1.……………………………………………………6分 (2)由（1）知：1OC BO =，
B ∴到平面CD B 1的距离与1
C 到平面C
D B 1的距离相等。

…………………………7分 ⊥1AA 平面111C B A ，⊂D B 1平面111C B A ，D B AA 11⊥∴， ABC ∆ 是等边三角形，111C B A ∆∴是等边三角形 点D 是11C A 中点，D B C A 111⊥∴
又1111C C A CC =⋂，⊂1CC 平面C C AA 11，⊂11C A 平面C C AA 11，
⊥∴D B 1平面C C AA 11，CD D B ⊥∴1……………………………………………………9分 由计算得：52,321==CD D B ，1521=∴∆CD B S ，……………………………10分
设1C 到平面CD B 1的距离为'
h ，由CD B C D C B C V V 1111--=得：
5
5
4314332''1=⇒⨯⨯=⨯∆h h S CD B ∴点B 到平面CD B 1的距离是5
5
4.……………………………………………………12分 20. (1)顶点C 到斜边AB 的距离为
()22
0218
10
255
12d +⨯--=
=
=+, …………………3分 所以斜边245AB d ==, …………………………4分
故ABC ∆的面积为11
25452022
S AB d =⨯⨯=⨯⨯=． ………6分 (2)由题意知,CD AB ⊥,又1
2
AB k =-,所以2CD k =,…………………………………7分
所以直线CD 的方程为:21y x =-,即210x y --=, ………………………9分
由280210x y x y +-=⎧⎨
--=⎩,解得2
3
x y =⎧⎨=⎩,………11分 所以点D 的坐标为()2,3．……12分
21.（1）由题知⊥PE 平面ABC ，又⊂BC 平面ABC ，BC PE ⊥∴，………………1分
又BC AB ⊥且E PE AB =⋂，
⊥∴BC 平面PAB ，……………………………………………………………………3分
又⊂AP 平面PAB ，AP BC ⊥∴，…………………………………………………4分 又CP AP ⊥且C CP BC =⋂，
⊥∴AP 平面PBC ，………………………………………………………………5分
又⊂PB 平面PBC ，PB AP ⊥∴。

………………………………………………6分 （2）如图，过点B 作BO ⊥EC ，垂足为O ；过点B 作BH ⊥PC ，垂足为H ． 联接OH ．
PE ⊥平面ABC ，又BO ⊂平面ABC ，PE BO ∴⊥，
又BO ⊥EC ，EC PE E ⋂=，
BO ∴⊥平面PEC ，……………………………………………………………………7分
又PC ⊂平面PEC ，BC PC ∴⊥
,,,PC BH PC BO BH BO B ⊥⊥⋂=
H O
PC ∴⊥平面BHO ，……………………………………………………………………8分
又OH ⊂平面BHO ，OH PC ∴⊥，…………………………………………………9分 因此，BHO ∠为面BPC 与面PCE 的二面角，…………………………………………10分 因为2BC =，4PC =，PBC ∆是以PBC ∠为直角的直角三角形， 3PC
BC
PB BH =⨯=
∴． 同理，3PE =．
由△OHC ∽△PEC，可得39
13
PE HC OH EC ⨯∴=
=．
因此，13
13
31339BH OH BHO cos ===
∠．…………………………………………12分 22.（1）过点B （4，0）与点C （8，－4）的直线方程为：x ＋y －4＝0，……………1分
依题意，知A ，B 两球碰撞时，球A 的球心在直线x ＋y －4＝0上，且在第一象限，此时｜AB ｜＝2。

设A ，
B 两球碰撞时球A 的球心坐标为(),a b ，则有：()
2
240
420,0
a b a b a b +-=⎧
-+=>>⎪⎩
，
解得：42a =-2b =
即：A ，B 两球碰撞时球A 的球心坐标为'A （422），…………………………2分 所以，母球A 运动的直线方程为：2221
7
42
y x x =
=
-。

…………………………3分
所以而
（2）因为
=(4-2+)，=(-)， =(4-
2+
)(-
)= 4-
>0
故∠AA ’B 为锐角。

………………………………………………………………………………5分 所以，点B ()4,0到线段AA’的距离小于2，…………………………………………………6分 故球A 的球心未到直线BC 之前就会与球B 碰撞。

……………………………………………7分 故不可能让母球A 击打目标B 球后，使目标B 球向()8,4-处运动。

………………………8分
(3)a 的最小值为22-.要使得a 最小，临界条件为球A 从球B 的左上方A’处撞击球B 后， B 球从球C 的右上方B ’处撞击球C.如下图所示，……………………………………………9分
设B ’是球B 的所有路径中最远离BC 的那条路径上离球C 最近的点，则有2BB B C
B C '''⊥⎧⎨=⎩，联立
((((22
4272520
72524x x y y x y ⎧--++=⎪
⎨⎪-++=⎩
，
解得(B'-，所有直线'CB的倾斜角为45，所以直线'AB的倾斜角为145，易得(A'.
A-，就是一个符合题意的初始位过(A'作倾斜角为45的直线，交y轴于点A，易得()
置.若a<-，则球A会在达到'A之前就与球B碰撞，不合题意.因此a的最小值为
-.……………………………………………………………12分。