最大公因数与最小公倍数基本概念

基本概念：
1、公约数和最大公约数
几个数公有的约数
．．．．．．．．．．
．．．．．．．，叫做这几个数的最大公．．．．．．．．，叫做这几个数的公约数
．．．．．．．．．．；其中最大的一个
约数
．．。

例如：12的约数有1，2，3，4，6，12；30的约数有1，2，3，5，6，10，15，30。

12和30的公约数有1，2，3，6，其中6是12和30的最大公约数。

一般地我们用（a,b）表示a,b这两个自然数的最大公约数，如（12，30）=6。

如果（a,b）=1,则a,b两个数是互质数。

2、公倍数和最小公倍数
几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。

例如：12的倍数有12，24，36，48，60，72，…
18的倍数有18，36，72，90，…
12和18的公倍数有：36，72…其中36是12和
18的最小公倍数。

一般地，我们用[a,b]表示自然数，a,b的最小公倍数，如[12，18]=36。

3、最大公约数与最小公倍数的求法
A．最大公约数
求两个数的最大公约数一般有以下几种方法
（1）分解质因数法
（2）短除法
（3）辗转相除法
（4）小数缩倍法
（5）公式法
前两种方法在数学课本中已经学过，在这里我们主要介绍辗转相除法。

当两个整数不容易看出公约数时（一般是数字比较大），我们可以合用辗转相除法。

B．最小公倍数
求几个数的最小公倍数的方法也有以下几种方法：
（1）分解质因数法
（2）短除法
（3）大数翻倍法
（4）a×b=（a,b）×[a,b]
上面的公式表示：两个数的乘积等于这两个数的最大公约数和最小公倍数的乘积。

例1、437与323的最大公约数是多少？
例2、24871和3468的最小公倍数是多少？
例3、把一块长90厘米，宽42厘米的长方形铁板剪成边长都是整厘米，面积都相等的小正方形铁板，恰无剩余。

至少能剪块。

（北京市第一届迎春杯数学竞赛刊赛试题）
【分析】：根据题意，剪得的小正形的边长必须是90和42的最大公约6。

所以原长方形的长要分90÷6＝15段，宽要分42÷6＝７段，至少能剪17×７＝105（块）
解：（１）求90和42的最大公约数
2 90 42
3 45 21
15 7
（90，42）＝60
（2）求至少剪多少块正方形铁板
90÷6＝15
45÷6 ＝7
15×7＝105（块）
答：至少可以剪105块正方形铁板。

说明：用短除法求小数的最大公约数比较容易。

例4、10个自然数之和等于1001，求这十个自然数的最大公约数可能取的最大值是多少？
例5、甲、乙、丙三人定期向王老师求教。

甲每隔6天去一次，乙每隔8天去一次，丙每隔9天去一次。

如果6月17日他们三人都在王老师家见面，那么下一次三人都在王老师家见面的时间是几月几日？
例6、有甲、乙两个互相衔接的齿轮，甲轮有437齿，乙轮有323齿，甲的某一齿与乙的某一齿从第一次接触到第二次接触，需要各转几周？
例7、加工一种零件有三道工序，第一道工序每个工人每小时可完成48个，第二道工序每个工人每小时可完成32个，第三道工序每个工人每小时可完成28个。

在每道工序至少安排多少工人，才能搭配合适，使每道工序不产生积压或停工待料。

例8、有一堆苹果共五千多个，按10个装一袋，装到最后少一个；9个装一带，最后还少1个；按8个，7个，…，2个装一袋，总是少1个。

这堆苹果到底有多少个？
例9、能同时被2，3，4，5，6，7，8，9，10这九个数整除的最大六位数是多少？
例10、三个连续的自然数的最小公倍数是168，那么这三个自然数的和等于。

（1998年小学数学奥林匹克预赛B卷第4题）
解： 168=23×3×7，因此这三个连续自然数是6，7，8。

和为6+7+8=21.
例11、甲数是24，甲、乙两数的最小公倍数是168 ，最大公约数是4，求乙数。

例12、已知甲、乙两数的最大公约数是6，最小公倍数是36，求甲、乙两数。

例13、求
289，3512，56
15的最大公约数。

例14、求
289，3512，56
15的最小公倍数.
例15、三条圆形跑道，圆心都在操场中心的旗杆处，甲、乙、丙三人分别在里圈、中圈、外圈跑道上沿同样的方向跑步。

开始时三人都在旗杆的正东方向。

里圈、中圈、外圈跑道分别长
51
公里，41公里，83公里。

甲、乙丙三人的速度每小时分别为32
1公里，4公里，5公里。

三人同时出发后，几小时第一次同时回到出发点？。