质心运动定理和动量定理

y
解：把球体看作一个系统，它
在水平方G向上只G受到一个外力
G
F = Mac
o
F x
ac
=
F M
答：沿拉动纸的方向移动 1 F t 2 2M
xc
=
1 2
F M
t2
H.M.Qiu
例2
一船浮于静水中，船长 5 米，质量为 m。一个质量亦为
m 的人从船尾走到船头，不计水和空气的阻力，则在此过程
中船将
(A)不动 (B)后退5米 (C)后退2.5米
Fi + fij
i≠ j
=
G dpi dt
∑ 对所有质点求和:
NG N
G
NG dpi
G P
∑N G
d pi
∑ ∑ ∑ G Fi +
i =1
i=1 i≠ j
fij
=
i =1
dt
=
i =1
dt
G F
=
G dP
F
dt
G0 dI
=
G Fdt
=
G dP
系统所受合 外力的冲量 等于系统总
动量的增量
H.M.Qiu
vf
− vi
= u ln
Mi Mf
H.M.Qiu
例5
已知炮弹初速V0，以仰角θ 发射，到达最高点爆
炸成质量相等的两块。其中一块以V1垂直下落（不计
阻力），求另一块的速度大小和方向。
o
G v0
θ
0
=
⎛ ⎜⎝
m 2
v2 =
yG m ϕ v2
G v1
解：爆炸过程动量守恒。
x
G mv
=
⎜⎛ ⎝
m 2
⎟⎠⎞vG1
3. 只适用于惯性系
4. 与质点系统的选择有关
H.M.Qiu
如：人在船上走，忽略水的阻力
人和船构成的系统动量守恒
例4、M火箭飞行原vG 理（§3.uG3）
G v
+
G dv
（t）
中 国 航 天
中 国 航 天
dm （t+dt） M-dm
忽略引力和空气阻力火箭不受外力的作用，动量守恒
dm ⋅(v − u) + (M − dm)(v + dv) = Mv
f
G 质点系 F
外力: 系统外部对质点系内部质点的作用力
约定：系统内任一质G 点受G 力之和写成
外力之和
Fi + fi
内力之和
H.M.Qiu
二、质点系的动量定理
共有N个质点，外力用 F ，内力（即
Pi ·
质点之间的相互作用）用f ，则第 i个
Fi
·i
··
fi j
·
· · · fj i
j
∑ 质点的运动G方程为：G
=
G Fdt
G G dt
∫ ∫ ∫ 令：dI = Fdt 称为 G p
对于有限时间： G
fddt p时G =间内t的f FG冲d量t
—冲量是力的时间积累量
G 令I =
tf
G F (t )dt
G G pi G ti
ti
于是有：I = p f − pi 称为动量定理
∫ ( ) G
tf
G Fdt
GG
G
定义平均冲力
mi dt
=
NG d pi
i=1 = dt
d2
N
G mi ri
N i =1
G mi dvi
dt
d2
N
mi
d
2
G ri
= i=1 N dGt 2
mi ri
i =1
x
质心加速度:
G ac =
d
2
G rc
dt 2
y
= =M
i =1
dt d2
2
G rc
=
=M G F
M dt 2
dt 2 G
G
于是有: Mac = F 称为质心运动定律
B) mg 2π R
θ
sinθ υ
D) mg 2π R υm
R
H.M.Qiu
G T
=
(T
sinθ
)iˆ
+
(T
cosθ
)
ˆj
= (T sinθ )iˆ + (mg)ˆj
∫ G T G
I = Tdt 0
Ix = 0
∫ I y =
T mgdt = mg 2πR
0
υ
θ G T
m R
G mg
例1解
y x
o
H.M.Qiu
+
⎜⎛ ⎝
m 2
⎟⎠⎞vG2
分量式？
⎞ ⎟⎠
(
−v1
)
+
⎛ ⎜⎝
m 2
⎞ ⎟⎠
v2
v12 +4v02 cosθ
sinϕ ϕ
mv0
cosθ
=
⎜⎛ ⎝
m 2
⎟⎠⎞v2
= tg−1 v1 2v0 cosθ
cosϕ
H.M.Qiu
§3.4 质 心
z
N个粒子系统，可定义质量中心
G rc
G ri
mi
y
NG NG
∑ ∑ G
(D)后退5/3米
解：系统(人、船)质心保持静
止。以岸为参照系，
m
m人 x人′ + m船 x船′ = 2mxc = 0
c
mm
x人′ + x船′ = 0
mc
x人′ − x船′ = 2.5
x o
x人′ = − x船′ = 1.25m
选（C）
H.M.Qiu
测试题
一质量为m的人，站在以速度v前进的小船上，船 的质量为m′。突然发现船的前方有人落水，此人即 以相对船为u的速度，从船的前方跳入水中救人。此人
rc
=
mi ri
i =1
N
=
mi ri
i =1
m
∑ mi
i =1
∑ ∫ ∫ x
N
mi xi
xc
=
i =1
m
同理对 y 和 z 分量
对连续分布的物质，可以将其分为N个
小质元
G
G rc =
rdm m
xc =
xdm m
质心位矢与坐标系的选择有关；但质心相对于各质点的相 对位置不变
H.M.Qiu
2
例
∫ ∑ G
Δt
G
G
mv1
mv 2
G
G
GI
篮板受平均作用力 F = −600i (N)
H.M.Qiu
例3、逆风行舟的动量分析 H.M.Qiu
1
二、质点系的动量定理
＊＊ 质点系的内力和外力 N个质点组成的系统（研究对象）称为质点系。
内力：系统内部各质点间的相互作用力 f '
特点：成对出现；大小相等方向相反 G
∑ 质点系的内力之和为零 fi = 0 i
H.M.Qiu
G F
=
G Mac
=
G dP dt
=
M
dυGc dt
（1） 质心运动可看成是把质量和力都集中在质心的一个质
点的运动G （2）F = 0 ⇒ 质心保持静止或匀速直线运动
对于质心的运动来说，系统的内力永远不起作用！
H.M.Qiu
例1
水平桌面上拉动纸，纸张上有一均匀球，球的质量M，纸被 拉动时与球的摩擦力为F，求t 秒后球相对桌面移动多少距离？
跳离船后，船的速度为：
A、(m
+
m′)v m′
−
mu
;
C、(m
+ m′)v + m + m′
mu
;
B、mm+um′ ;
D、(m
+ m′)v − m + m′
mu
H.M.Qiu
3
§3.2 动量守恒定律
由牛顿定律
G dP
=
G F
质点系所受合外力为零时
G dP = 0
∑ G
P=
N
G pi
dt = 常矢量
dt
即总动量不随时间改变
i =1
∑ 直角坐标系下: 当Fx = 0时， mivix = px = 常量 i
动量守恒的条件:
1. 合外力为零，或外力与内力相比小很多
2. 合外力沿某一方向为零，则该方向动量守恒
例2
篮球 m=1kg ，相对以 v=6m/s, α=60o 撞在篮板
上，撞后α=60o ， 速率不变。设碰撞时间Δt=0.01s。
求：篮板受到的平均作用力。
球：F x
=
Ix Δt
=
mv2x − mv1x Δt
α α
Y
= 2mv cosα =600 N
v1 v2
X
Fy
=
Iy Δt
=ຫໍສະໝຸດ Baidu
0
G
G
F = 600i ( N )
rc
=
NG mi ri
i =1
m
或：rGc
=
G rdm m
任意三角形的每个顶点有一质量m，求质心。
y
（x1，y1）
xc
=
mx1 + mx2 3m
= x1 + x2
3
o
x2 x
yc
=
my1 3m
=
y1 3
H.M.Qiu
§3.5 质心运动定理
若各质点质量不变，应有G:
∑ ∑ z
dP
∑ G ∑ ∑ rc
G ri
F
= ti t f − ti
⇒ pf − pi = F tf −ti
比牛顿定律更普遍的最基本的定律
H.M.Qiu
例1
辅导 P49: 12
如图一圆锥摆，摆球质量为 m ，且以匀速率 v 在水平面
内作圆周运动，圆周半径为R。则此球环绕一周过程中张力的 冲量大小为（ ）
A) mg 2π R tanθ υ
C) mg 2π R cosθ υ
第三章 动量与角动量
§3.1 冲量与动量定理 §3.2 动量守恒定律 §3.3 火箭飞行原理 §3.4 质心 §3.5 质心运动定理
§3.6 质点的角动量和 角动量定理
§3.7 角动量守恒定律
§3.8 质点系的角动量 定理
§3.9 质心参考系中的 角动量
H.M.Qiu
§3.1 冲量与动量定理
由牛顿一定、律质dp点G =的FG动量定d理pG