初中数学 相似三角形(2)——常考模型

②若α＝30°，求菱形AB′C′D′的边长．
典型例题
（2）①∠B′AD′＝90°﹣α； 理由：过点 B′作 B′M 垂直于 l1 于点 M， 在 Rt△AE′D′和 Rt△B′MA 中，
，
∴Rt△AE′D′≌Rt△B′MA（HL）， ∴∠D′AE′+∠B′AM＝90°， ∠B′AD′+α＝90°， ∴∠B′AD′＝90°﹣α；
EG过点D且垂直l1于点E，分别交l2，l4于点F，G，EF＝DG＝1，DF＝2．
（1）AE＝
，正方形ABCD的边长＝
；
（2）如图2，将∠AED绕点A顺时针旋转得到∠AE′D′，旋转角为α（0°＜α＜90°），点D′在直线l3 上，以AD′为边在E′D′左侧作菱形AB′C′D′，使B′，C′分别在直线l2，l4上． ①写出∠B′AD′与α的数量关系并给出证明；
初中数学九年级(下) 第26讲 相似三角形（2）
——常考模型
模型分析
模型一 A字型
AC2＝AD·AB；
(1)CD2＝AD·BD； (2)BC2＝BD·AB； (3)AC2＝AD·AB；
针对训练
1. 如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，DE∥BC.若AD＝1，
BD＝2，则 DE 的值为( B )
典型例题
②过点 E′作 ON 垂直于 l1 分别交 l1，l3 于点 O，N， 若 α＝30°， 则∠E′D′N＝60°，AE′＝1， 故 E′O＝ ，E′N＝ ，E′D′＝ ，
由勾股定理可知菱形的边长为：
＝＝
．
W
课堂练习
②若α＝30°，求菱形AB′C′D′的边长．
典型例题 （2014.济南）如图1，有一组平行线l1∥l2∥l3∥l4，正方形ABCD的四个顶点分别在l1，l2，
l3，l4上，EG过点D且垂直l1于点E，分别交l2，l4于点F，G，EF＝DG＝1，DF＝2．
（1）AE＝
，正方形ABCD的边长＝
；
解：（1）由题意可得：∠1+∠3＝90°，∠1+∠2＝90°，
针对训练
3.如图，在▱ABCD中，已知ED＝2AE，CE交BD于点O，若△BCO的面
积为9，则△DEO的面积是( B )
A．2
B．4
C．6
D．8
第3题图
模型分析
模型三 一线三等角型(K型)
条件：∠A=∠B=∠CPD 结论：△ACP≌ △BPD
针对训练
4.如图，在正方形ABCD中，点E、F、G分别在AB，BC，CD上，且∠EFG＝
∴∠2＝∠3，
在△AED 和△DGC 中，
3
，
∴△AED≌△DGC（AAS），
1
∴AE＝GD＝1，
又∵DE＝1+2＝3，
2
∴正方形 ABCD 的边长＝
＝，
故答案为：1， ；
典型例题
（2014.济南）如图1，有一组平行线l1∥l2∥l3∥l4，正方形ABCD的四个顶点分别在l1，l2，l3，l4上，
9
3
9 8
32
49
第5题图
典型例题
（2014.济南）如图1，有一组平行线l1∥l2∥l3∥l4，正方形ABCD的四个顶点分别在l1，l2，l3，l4上，
EG过点D且垂直l1于点E，分别交l2，l4于点F，G，EF＝DG＝1，DF＝2．
（1）AE＝
，正方形ABCD的边长＝
；
（2）如图2，将∠AED绕点A顺时针旋转得到∠AE′D′，旋转角为α（0°＜α＜90°），点D′在直线l3 上，以AD′为边在E′D′左侧作菱形AB′C′D′，使B′，C′分别在直线l2，l4上． ①写出∠B′AD′与α的数量关系并给出证明；
90°.若AB＝12，AE＝3，CF＝4，求CG的长．
解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠B＝∠C＝90°. ∴∠BEF＋∠EFB＝90°. ∵∠EFG＝90°， ∴∠EFB＋∠CFG＝180°－90°＝90°. ∴∠BEF＝∠CFG. ∴△EBF∽△FCG. ∴ EB ＝ BF . 由题F意C 得，CBGE＝AB－AE＝9，BF＝BC－CF＝8， ∴CG＝ 32 .
BC
A. 1
2
B. 1
C. 1
1 D.
3
4
9
第1题图
2. 如图，△ABC中，AD是中线，BC＝6，∠B＝∠DAC，则线段AC的长
为( D ) A．4
B．4 2
C．2 3
D．3 2
第wenku.baidu.com题图
模型分析
模型二 8字型
有一组隐含的等角(对顶角)，此时需要从已知条件中、图中隐含条件或通过证 明得另一对角相等．若题中未明确相似三角形对应顶点，则需要分类讨论．