万有引力与航天考点微专题3、 天体质量和密度的计算

万有引力与航天考点微专题3 天体质量和密度的计算

一 知能掌握

1、解决天体(卫星)运动问题的基本思路 （1）把天体的椭圆运动看做匀速圆周运动

（2）是天体运动的向心力来源于天体之间的万有引力，

即222r v m r Mm G =＝r T

m 224πr m 2

ω=；

（3）地球对物体的万有引力近似等于物体的重力，

由于地球自转缓慢，所以大量的近似计算中忽略了自转的影响，认为地球表面处物体所受到的地球引力近似等于其重力，即G 2

R mM

＝mg (g 表示天体表面的重力加速度)． 2．天体质量和密度的计算

(1)利用天体表面的重力加速度g 和天体半径R .

由于G Mm R 2＝mg ，故天体质量M ＝gR 2G ， 天体密度ρ＝M V ＝M 43

πR

3＝3g 4πGR

.

(2)通过观察卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T 和轨道半径r .

①由万有引力等于向心力，即G Mm r 2＝m 4π2T 2r ，得出中心天体质量M ＝4π2r

3

GT 2；

②若已知天体半径R ，则天体的平均密度 ρ＝M V ＝M 43

πR

3＝3πr

3

GT 2R 3

；

③若天体的卫星在天体表面附近环绕天体运动，可认为其轨道半径r 等于天体半径R ，则天体密度ρ＝

3π

GT

2.可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T ，就可估算出中心天体的密度．

3.估算天体质量和密度时应注意的问题

(1)利用万有引力提供天体做圆周运动的向心力估算天体质量时，估算的只是中心天体的质量，并非环

绕天体的质量．

(2)区别天体半径R 和卫星轨道半径r ，只有在天体表面附近的卫星才有r ≈R ；计算天体密度时，V ＝43

πR 3

中的R 只能是中心天体的半径． 4. 天体质量、密度的计算方法汇总

二 探索提升

【典例1】地球可近视为一个R=6400km 的球体，在地面附近的重力加速度g=9.8m/s 2

，试估算地球的平均

密度ρ。 【答案】33/105.5433

4m kg GR

g

GR g ⨯==

=

πρρπ

【典例2】1798年，英国物理学家卡文迪许测出万有引力常量G ，因此卡文迪许被人们称为能称出地球质

量的人．若已知万有引力常量G ，地球表面处的重力加速度g ，地球半径R ，地球上一个昼夜的时间

T 1(地球自转周期)，一年的时间T 2(地球公转周期)，地球中心到月球中心的距离L 1，地球中心到太阳

中心的距离L 2.你能计算出( )

A ．地球的质量m 地＝gR 2G

B ．太阳的质量m 太＝4π2L 3

2

GT 22

C ．月球的质量m 月＝4π2L 3

1

GT 21

D ．可求月球、地球及太阳的密度

【答案】AB

【解析】对地球表面的一个物体m 0来说，应有m 0g ＝Gm 地m 0R 2，所以地球质量m 地＝gR 2

G

，选项A 正确．对地球

绕太阳运动来说，有Gm 太m 地L 22＝m 地4π2T 22L 2，则m 太＝4π2L 3

2

GT 22

，B 项正确．对月球绕地球运动来说，能求地球的质

量，不知道月球的相关参量及月球的卫星的运动参量，无法求出它的质量和密度，C 、D 项错误． 【典例3】中子星是恒星演化过程的一种可能结果，它的密度很大。现有一中子星，观测到它的自转周期

为T =

30

1

s 。问该中子星的最小密度应是多少才能维持该星的稳定，不致因自转而瓦解。计算时星体可视为均匀球体。(引力常数G =6.67⨯1011-m 3/kg.s 2) 【答案】3

14

/1027.1m kg ⨯=ρ

【解析】设想中子星赤道处一小块物质，只有当它受到的万有引力大于或等于它随星体所需的向心力

时，中子星才不会瓦解。

设中子星的密度为ρ，质量为M ，半径为R ，自转角速度为ω，位于赤道处的小物块质量为m ，则有

R m R GMm 2

2ω= T πω2= ρπ33

4R M =

由以上各式得2

3GT πρ=

，代入数据解得：3

14

/1027.1m kg ⨯=ρ。

点评：在应用万有引力定律解题时，经常需要像本题一样先假设某处存在一个物体再分析求解是应用

万有引力定律解题惯用的一种方法。

三 高考真题

1.(2018·全国卷Ⅱ·16)2018年2月，我国500 m 口径射电望远镜(天眼)发现毫秒脉冲星“J0318＋0253”，其自转周期T ＝5.19 ms.假设星体为质量均匀分布的球体，已知万有引力常量为6.67×10－11

N·m 2/kg 2

.以

周期T 稳定自转的星体的密度最小值约为( ) A ．5×109

kg/m 3

B ．5×1012 kg/m 3

C ．5×1015

kg/m 3

D ．5×1018

kg/m 3

【答案】 C

【解析】脉冲星自转，边缘物体m 恰对球体无压力时万有引力提供向心力，则有G Mm r 2＝mr 4π

2

T

2，

又知M ＝ρ·43πr 3

整理得密度ρ＝3π

GT

2＝

3×3.146.67×10－11× 5.19×10

－3

2

kg/m 3≈5.2×1015 kg/m 3

.

2.[2017·北京卷] 利用引力常量G 和下列某一组数据,不能计算出地球质量的是 ( ) A .地球的半径及重力加速度(不考虑地球自转) B .人造卫星在地面附近绕地球做圆周运动的速度及周期 C .月球绕地球做圆周运动的周期及月球与地球间的距离