高中数学-两个向量的数量积练习题

高中数学-两个向量的数量积练习题

课后训练

1．|a ＋b|＝|a －b |的充要条件是( )

A ．a ＝0或b ＝0

B ．a∥b

C ．a·b ＝0

D ．|a|＝|b|

2．下列式子中正确的是( )

A ．|a|·a ＝a

B ．(a·b )2＝a 2·b 2

C ．(a·b )c ＝a (b·c )

D ．|a·b|≤|a|·|b|

3．空间四边形OABC 中，OB ＝OC ，∠AOB ＝∠AOC ＝π3

，则cos 〈OA u u u r ，BC uuu r 〉＝( )

A ．12

B ．2

C ．12

D ．0 4．设A ，B ，C ，D 是空间不共面的四点，且满足AB u u u r ·AC u u u r ＝0，

AC u u u r ·AD u u u r ＝0，AB u u u r ·AD u u u r ＝0，则△BCD 是( )

A ．钝角三角形

B ．锐角三角形

C ．直角三角形

D ．不确定

5．若|a|＝1，|b|＝2，c ＝a ＋b 且c ⊥a ，则向量a 与b 的夹角是( )

A ．30°

B ．60°

C ．120°

D ．150°

6．|a|＝|b|＝|c|＝1，a·b ＝b·c ＝c·a ＝0，则a ＋b ＋c 的模等于__________．

7．a≠c ，b≠0，a·b ＝b·c 且d ＝a －c ，则〈b ，d 〉＝__________.

8．向量a ，b 之间的夹角为30°，|a|＝3，|b|＝4，求a·b ，a 2，b 2，(a ＋2b )·(a －

b )．

9．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，求异面直线A 1B 与AC 所成的角．

参考答案

1. 答案：C

2. 答案：D

3. 答案：D ∵BC uuu r ＝OC uuu r －OB uuu r ，∴OA u u u r ·BC uuu r ＝OA u u u r ·OC uuu r －OA u u u r ·OB →＝0，

∴〈OA u u u r ，BC uuu r 〉＝90°，故cos 〈OA u u u r ，BC uuu r 〉＝0.

4. 答案：B BC uuu r ＝AC uuu r －AB uuu r ，BD u u u r ＝AD u u u r －AB uuu r ，BC uuu r ·BD u u u r ＝2AB u u u r ＞0，∠DBC

为锐角，同理可得∠BCD ，∠BDC 均为锐角．

5. 答案：C ∵c ⊥a ，∴c·a ＝(a ＋b )·a ＝0，可得a·b ＝－1，cos 〈a ，b 〉＝1||||2

=-·a b a b ，故向量a 与b 的夹角是120°.

6. 因|a ＋b ＋c|2＝(a ＋b ＋c )2

＝|a|2＋|b|2＋|c|2

＋2(a·b ＋b·c ＋a·c )＝3，

故|a ＋b ＋c|.

7. 答案：90° ∵a ·b ＝b ·c ，∴(a －c )·b ＝0，∴b ⊥d .

8. 答案：分析：利用向量数量积的定义、性质及运算律．

解：a·b ＝|a||b |cos 〈a ，b 〉＝3×4×cos 30°＝ a 2＝a·a ＝|a|2＝9，

b 2＝b·b ＝|b|2＝16，

(a ＋2b )·(a －b )＝a 2＋a·b －2b 2＝9＋－32＝23

9. 答案：分析：选择{AB u u u r ，AD u u u r ，1AA u u u r }为基底，先求1A B u u u r ·AC u u u r ，再利用公式cos

〈a ，b 〉＝||||

·a b a b 求cos 〈1A B u u u r ，AC u u u r 〉，最后确定〈1A B u u u r ，AC u u u r 〉． 解：不妨设正方体棱长为1，AB u u u r ＝a ，AD u u u r ＝b ，1AA u u u r ＝c ，则|a|＝|b|＝|c |＝1，

a·b ＝b·c ＝c·a ＝0.

∵1A B u u u r ＝a －c ，AC u u u r ＝a ＋b ，

∴1A B u u u r ·AC u u u r ＝(a －c )·(a ＋b )＝|a|2＋a·b －a·c －b·c ＝1.

而|1A B u u u r |＝|AC u u u r |＝2，∴cos 〈1A B u u u r ，AC u u u r 〉＝12. 又〈1A B u u u r ，AC u u u r 〉∈[0，π]，∴〈1A B u u u r ，AC u u u r 〉＝π3

.

π3.

∴异面直线A1B与AC所成的角为