最新等差数列前n项和的性质课件PPT

例1：（1）若一个等差数列前3项的和为34，最后3项 的和为146，且所有项的和为390，则该数列有( )项。
A.13
B.12
C.11
D.10
（2）设{an}为等差数列，Sn 为数列{an}的前 n 项和，已知
S7＝7，S15＝75，Tn 为数列{Snn}的前 n 项和，则 Tn________.
『变式探究』
思考3：
在等差数列{an}中，记奇数项的和为S奇，偶数项
的和为S偶.则S偶－S奇与 S 偶 等于什么？ S奇
思考4：设等差数列{an}、{bn}的前n项和分别为Sn、Tn，
则S 2 k 1 等于什么？ T 2k 1
ak S 2k 1 bk T2k 1
例4：Sn，Tn分别是等差数列{an}、{bn}的前n项的和，
又∵n∈N*，∴n＝10或n＝11时，Sn取最小值．
解法 2：同解法 1，由 S9＝S12 得 a1＝－10d
代入aann＝＋1＝a1＋a1＋nn－d≥1>d0≤0 得，－－1100dd＋＋nnd－≥>10d≤0
∵a1<0，∴d>0， 解得 10＜n≤11. ∴n 取 10 或 11 时，Sn 取最小值．
题型4：求等差数列的前n项的绝对值之和
例4：已知数列{an}的前n项和Sn＝12n－n2，求数列 {|an|}的前n项和Tn.
解析：当n＝1时，a1＝S1＝12－12＝11；当n≥2时，
an＝Sn－Sn－1＝12n－n2－[12(n－1)－(n－1)2]＝13－2n.
∵n＝1时适合上式，∴{an}的通项公式为an＝13－2n.
3.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝12，S12＞0， S13＜0. （1）求数列{an}公差d的取值范围；（2）指出 S1， S2， S3， …，S12中哪一个值最大。
4.数列{an}首项为23，公差为整数的等差数列，且第六 项为正，第七项为负. （1）求数列{an}的公差d； （2）求前n项和Sn的最大值； （3）当Sn>0时，求n的最大值；
4. 等差数列{an}的前m项的和为30，前2m项的和为100， 则它的前3m项的和为 ( )
A. 130 B. 170
C. 210 D. 260
5.等差数列{an}中，Sn是其前n项和，a1＝－2011，
S2009 2009
S2007 2007
2，则S2011的值为(
)
A.0 B.2011 C.－2011 D.－2011×2011
关系？
S3n＝3(S2n－Sn)
思考2：若{an}为等差数列，那么
{
Sn n
}
是什么数列？
性质：数列{an}是等差数列
{ S n } 为等差数列 n
即等差数列{an}的前n项的平均值组成的数列仍然 是等差数列，且公差是数列{an}的公差的一半。
【题型分类 深度剖析】
题型1：等差数列前n项和性质的简单应用
1.已知等差数列{an}满足a1+a2+a3+…+a101=0，则有( ) A.a1+a101>0 B.a2+a100<0 C. a3+a99=0 D.a51=51
2.等差数列{an} 前n项和Sn＝an2＋(a＋1)n＋a＋2，
则an＝
.
3. 等差数列{an}中，已知S4＝2，S8＝7，则S12=_____；
∴Tn＝1n22－n－12nn2， ＋172≤，n≤ n≥6， 7，nn∈∈NN*，*.
『变式探究』
1．数列{an}中，a1＝8，a4＝2，且满足an＋2－2an＋1＋ an＝0，n∈N*. (1)求数列{an}的通项； (2)设Sn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|，求Sn.
等差数列前n项和的性质
【知识复习】
1.等差数列通项公式是什么？结构上它有什么特征？ an＝a1＋(n－1)d an ＝am＋(n－m)d an ＝pn＋k. 在结构上是关于n的一次函数.
2.等差数列前n项和的两个基本公式是什么？
Sn
n(a1 an)， 2
Sn na1n(n21)d
想一想： 在等差数列{an}中，Sn，S2n，S3n三者之间有什么
且
Sn Tn
7n 2 n3
，则
a5 b5
.
『变式探究』
1.已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和
Bn，且
An Bn
7n45，则使得 n3
a b
n n
为整数的正整数n的Leabharlann 个数是( )A．2
B．3
C．4
D．5
思考5： 在等差数列{an}中，若a1＞0， d＜0，则Sn是否存在
最值？如何确定其最值？
满足an≥0且an+1<0; （2）若a1<0，d>0，则Sn有小值，且Sn最小时的n
满足an≤0且an+1>0;
『变式探究』
1.首项为正数的等差数列{an}，它的前3项和与前11项 和相等，则此数列前________项和最大？
2.等差数列{an} 前n项和Sn中，以S7最大，且|a7|<| a8|， 则使Sn>0的n的最大值为_____．
由an＝13－2n≥0，得n≤
13 2
，
即当1≤n≤6(n∈N*)时，an＞0；当n≥7时，an＜0.
(1)当1≤n≤6(n∈N*)时， Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝12n－n2. (2)当n≥7(n∈N*)时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an| ＝(a1＋a2＋…＋a6)－(a7＋a8＋…＋an) ＝－(a1＋a2＋…＋an)＋2(a1＋…＋a6) ＝－Sn＋2S6＝n2－12n＋72.
当ak≥0，ak＋1＜0时，Sk为最大.
题型2：等差数列最值问题
例2：等差数列{an}中，a1<0，S9＝S12，该数列前多 少项的和最小？
[解析] 解法 1：设等差数列{an}的公差为 d，则由题意得 9a1＋12×9×8·d＝12a1＋21×12×11·d ，∴a1＝－10d， ∵a1<0，∴d>0，∴Sn＝na1＋21n(n－1)d＝12dn2－221dn ＝d2n－2212－4841d. ∵d>0，∴Sn 有最小值．
解法 3：∵S9＝S12，∴a10＋a11＋a12＝0， ∴3a11＝0，∴a11＝0.∵a1<0，∴前 10 项或前 11 项和最小．
小结：求等差数列{an}前n项和Sn的最值常用方法： 方法1：二次函数性质法，即求出Sn=an2+bn，
讨论二次函数的性质
方法2：讨论数列{an} 的通项，找出正负临界项。 （1）若a1>0，d<0，则Sn有大值，且Sn最大时的n