高考数学专题突破：三角形的五心与向量【精编版】

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向量与三角形的五心

重心性质
重心将顶点与对边中点连线，且三条中线都经过重心。
重心在几何问题中的应用
010203Fra bibliotek面积分割
重心将三角形面积分为三个相等的部分。
力的平衡
在静态平衡状态下，作用于三角形上的力矩与重心位置密切相关。
三角形不等式
通过重心可以推导三角形不等式，用于解决几何问题。
重心定理
定理内容
三角形的重心将中线分为 2:1的比例。
内心定理
• 内心定理：三角形的内心将三角形的三边分别延长，与相对角的延长线相交于一点，这三个交点与内心构成的三个线段相等。
05
向量与三角形的外心
外心定义与性质
外心定义
外心是三角形三边的垂直平分线的交点。
外心性质
外心到三角形三个顶点的距离相等，即外接圆的半径。外心到三角形三边的垂直平分线的交点。
证明方法
利用向量加法的平行四边形法则和向量的共线性。
应用场景
在几何、物理和工程领域中，重心定理都有广泛的应用。
03
向量与三角形的垂心
垂心定义与性质
垂心定义
三角形垂心是三条高线的交点，也是三角形三个顶点向对边所作的高线的交点。
垂心性质
三角形的垂心具有一些特殊的性质，如垂心到三角形三边的距离相等，且等于对边上的高的长度。此外，三角形的垂心也是三角形三个内角平分线的交点。
• 三角形的内心：内心是三角形三条内角平分线的交点，向量形式上表示为$\overrightarrow{I} = \frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}}{|\overrightarrow{a}| |\overrightarrow{b}| |\overrightarrow{c}|}$ ，其中$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$、$\overrightarrow{c}$是三角形三边的向量。

高中数学专题复习《向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇》

向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇一、四心的概念介绍1.定义：我们把三角形三个内角的角平分线的交点叫做三角形的内心,即三角形内切圆圆心;三角形三条边上的中垂线的交点叫做三角形的外心,即三角形外接圆圆心;三角形三条边上的中线的交点叫做三角形的重心;三角形三条高线的交点叫做三角形的垂心.我们将三角形的“内心”、“外心”、“重心”、“垂心”合称为三角形的“四心”.（1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1；（2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直；（3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等；（4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。

2.应用:三角形的内心到三角形三边的距离相等;三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等;三角形的重心到三角形的顶点的距离是相应中线长的三分之二;三角形的垂心与顶点的连线垂直于该顶点的对边.3.注意点:三角形的“四心”与平面向量知识的结合.二、四心与向量的结合（1）⇔=++0OC OB OA O 是ABC ∆的重心.证法1：设),(),,(),,(),,(332211y x C y x B y x A y x O⇔=++0OC OB OA ⎩⎨⎧=-+-+-=-+-+-0)()()(0)()()(321321y y y y y y x x x x x x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=⇔33321321y y y y x x x x ⇔O 是ABC∆的重心. 证法2：如图OC OB OA ++02=+=OD OA ∴OD AO 2=∴D O A 、、三点共线，且O 分AD 为2：1 ∴O 是ABC ∆的重心（2）⇔⋅=⋅=⋅OA OC OC OB OB OA O 为ABC ∆的垂心.证明：如图所示O 是三角形ABC 的垂心，BE 垂直AC ，AD 垂直BC ， D 、E 是垂足.0)(=⋅=-⇔⋅=⋅CA OB OC OA OB OC OB OB OAAC OB ⊥⇔同理BC OA ⊥，AB OC ⊥⇔O 为ABC ∆的垂心（3）设a ,b ,c 是三角形的三条边长，O 是∆ABC 的内心O OC c OB b OA a ⇔=++0为ABC ∆的内心.证明：bACc AB 、分别为AC AB 、方向上的单位向量， ∴bAC c AB +平分BAC ∠, (λ=∴AO b AC c AB +)，令cb a bc++=λ ∴cb a bcAO ++=（b AC c AB +) 化简得0)(=++++AC c AB b OA c b a ∴0=++OC c OB b OA a（4==⇔O 为ABC ∆的外心。

向量与三角形内心外心重心垂心

向量与三角形的重心、垂心、内心、外心的关系一、四心的概念介绍、（1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1；（2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直；（3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等；（4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。

二、四线与向量的结合121212,PA =1=,=.ABOA OB PB AB λλλλλλ=++u u r u u u r u u u r1.定理：如图，设OP 则，且(记忆:交叉分配系数)=()OA OBAP BPλ+u u u r u u u r2.若M 是OP 上的任意一点，则OM (记忆:分母对应分配系数)应用1:（1）中线: （2）高线:（3）角平分线: （4）中垂线:应用2.四线上的动点表示:(1)中线上的动点: ()AB AC λ+u u u r u u u r 或()||sin ||sin ABAC AB B AC Cλ+u u u ru u u r u u ur u u u r(2)高线上的动点:()cos cos AB ACAB B AC Cλ+u u u r u u u r u u u r u u u r, (3)角平分线上的动点:()AB ACAB AC λ+u u u r u u u r u u u r u u u r(4)中垂线上的动点: ()2||cos ||cos OB OC AB ACOP AB B AC Cλ+=++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ,三、四心与向量的结合 1.BOC AOC AOB O ABC S OA S OB S OC ∆∆∆∆++=u u u r u u u r u u u r r 定理：设是内任意一点，则（记忆：拉力平衡原则）应用:（1）O 是ABC ∆的重心. ⇔b a S S S AOB AOC BOC ：：：：=∆∆∆=1:1:1⇔ 0OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r（2）O 为ABC ∆的垂心. ⇔ C tan B tan A tan S S S AOB AOC BOC ：：：：=∆∆∆ ⇔0OC C tan OB B tan OA A tan =++（3）O 为ABC ∆的内心.⇔c b a S S S AOB AOC BOC ：：：：=∆∆∆=sin :sin :sin A B C⇔0OC C sin OB B sin OA A sin 0OC c OB b OA a =++=++或⇔0aOA bOB cOC ++=u u u r u u u r u u u r r （4）O 为ABC ∆的外心⇔ ⇔ 0OC C 2sin OB B 2sin OA A 2sin =++2.四心的向量表示：（1）O 是ABC ∆的重心. ⇔ 1()3PO PA PB PC =++u u u ru u u ru u u ru u u r（2）O 为ABC ∆的垂心. ⇔OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r（3）O 为ABC ∆的内心.⇔()()()0AB AC BC BA CA CBOA OB OC AB AC BC BA CA CB•-=•-=•-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r （4）O 为ABC ∆的外心 ⇔OC OB OA ==四．典型例题：一、与三角形“四心”相关的向量问题题1：已知O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足||||AB AC OP OA AB AC λ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r , [0,)λ∈+∞. 则P 点的轨迹一定通过△ABC 的 A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心题2：已知O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足()OP OA AB AC λ=++u u u r u u u r u u u r u u u r, [0,)λ∈+∞. 则P 点的轨迹一定通过△ABC 的( )A. 外心B. 内心C. 重心D. 垂心题3：已知O 是平面上的一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足()||sin ||sin AB ACOP OA AB B AC Cλ=++u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r ,[0,)λ∈+∞, 则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的 C 2sin :B 2sin :A 2sin AOB sin AOC sin BOC sin S S S AOB AOC BOC =∠∠∠=∆∆∆：：：：A. 重心B. 垂心C. 外心D. 内心题4：已知O 是平面上的一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足()||cos ||cos AB ACOP OA AB B AC Cλ=++u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r ,[0,)λ∈+∞, 则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的( )A. 重心B. 垂心C. 外心D. 内心题5：已知O 是平面上的一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足()2||cos ||cos OB OC AB ACOP AB B AC Cλ+=++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r , [0,)λ∈+∞, 则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的( )A. 重心B. 垂心C. 外心D. 内心题6：三个不共线的向量,,OA OB OC u u u r u u u r u u u r 满足()||||AB CA OA AB CA ⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r =(||BA OB BA ⋅u u u r u u u r u u u r+||CB CB u u u r u u u r ) =()||||BC CA OC BC CA ⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r = 0，则O 点是△ABC 的( )A. 垂心B. 重心C. 内心D. 外心题7：已知O 是△ABC 所在平面上的一点，若OA OB OC ++u u u r u u u r u u u r= 0, 则O 点是△ABC的( )A. 外心B. 内心C. 重心D. 垂心题8：已知O 是△ABC 所在平面上的一点，若1()3PO PA PB PC =++u u u r u u u r u u u r u u u r(其中P 为平面上任意一点), 则O 点是△ABC 的( )A. 外心B. 内心C. 重心D. 垂心题9：已知O 是△ABC 所在平面上的一点，若OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，则O点是△ABC 的( )A. 外心B. 内心C. 重心D. 垂心题10：已知O 为△ABC 所在平面内一点，满足2222||||||||OA BC OB CA +=+u u u r u u u r u u u r u u u r=22||||OC AB +u u u r u u u r ，则O 点是△ABC 的( )A. 垂心B. 重心C. 内心D. 外心题11：已知O 是△ABC 所在平面上的一点，若()OA OB AB +⋅u u u r u u u r u u u r =()OB OC BC +⋅u u u r u u u r u u u r= ()OC OA CA +⋅u u u r u u u r u u u r= 0，则O 点是△ABC 的( )A. 外心B. 内心C. 重心D. 垂心题12：已知O 是△ABC 所在平面上的一点，若aOA bOB cOC ++u u u r u u u r u u u r= 0，则O 点是△ABC 的( )A. 外心B. 内心C. 重心D. 垂心题13：已知O 是△ABC 所在平面上的一点，若aPA bPB cPCPO a b c++=++u u u r u u u r u u u ru u u r (其中P 是△ABC 所在平面内任意一点)，则O 点是△ABC 的( )A. 外心B. 内心C. 重心D. 垂心题14：△ABC 的外接圆的圆心为O ，两边上的高的交点为H ，OH u u u r =()m OA OB OC ++u u u r u u u r u u u r，则实数m =____________.二、与三角形形状相关的向量问题题15：已知非零向量ABu u u r 与AC uuu r 满足()||||AB AC BC AB AC +⋅u u u r u u u ru u ur u u u r u u u r = 0且12||||AB AC AB AC ⋅=u u u r u u u ru u u r u u u r ，则△ABC 为( ) A. 三边均不相等的三角形 B. 直角三角形 C. 等腰非等边三角形 D. 等边三角形题16：已知O 为△ABC 所在平面内一点，满足|||2|OB OC OB OC OA -=+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，则△ABC 一定是( )A. 等腰直角三角形B. 直角三角形C. 等腰三角形D. 等边三角形题17：已知△ABC ，若对任意t R ∈，||BA tBC -u u u r u u u r ≥||AC u u u r，则△ABC( )A. 必为锐角三角形B. 必为钝角三角形C. 必为直角三角形D. 答案不确定题18：已知a , b, c 分别为△ABC 中∠A, ∠B, ∠C 的对边，G 为△ABC 的重心，且a GA b GB c GC ⋅+⋅+⋅u u u r u u u r u u u r= 0, 则△ABC 为( )A. 等腰直角三角形B. 直角三角形C. 等腰三角形D. 等边三角形三、与三角形面积相关的向量问题题19：已知点O 是△ABC 内一点，23OA OB OC ++u u u r u u u r u u u r= 0, 则：(1) △AOB 与△AOC 的面积之比为___________________； (2) △ABC 与△AOC 的面积之比为___________________； (3) △ABC 与四边形ABOC 的面积之比为_____________. 四、向量的基本关系(共线)题20：如图，已知点G 是△ABC 的重心，若PQ uuu r过△ABC 的重心，记CA u u u r = a ,CB u u u r = b , CP u u u r = m a , CQ uuu r = n b , 则11m n+=_____.练习．O 为ABC ∆平面上一定点，该平面上一动点p 满足{|(sin ABM P OP OA C ABλ==++u u u ru u u r u u u r u u u r sin )0}AC B ACλ>u u u r u u u r ，，则ABC ∆的（）一定属于集合M .（A ）重心（B ）垂心（C ）外心（D ）内心GABCMP Q。

高三数学-专题复习-向量专题(1)向量与三角形四心内心、外心、重心、垂心(附向量知识点)

高三数学-三角形四心与向量关系 -内心、外心、重心、垂心（附向量知识点）一、三角形四心知识点（1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1；（2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直；（3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等；（4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。

二、向量知识点☆零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0与任意向量平行☆单位向量：模为1个单位长度的向量向量0a 为单位向量｜0a｜＝1☆平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量平行向量也称为共线向量☆向量加法AB BC u u u r u u u r =AC u u ur 向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”：AB BC CD PQ QR AR u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rL ，但这时必须“首尾相连”．☆实数与向量的积：①实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa，它的长度与方向规定如下：（Ⅰ）a a；（Ⅱ）当0 时，λa 的方向与a 的方向相同；当0 时，λa 的方向与a的方向相反；当0 时，0a ，方向是任意的☆两个向量共线定理：向量b 与非零向量a共线有且只有一个实数，使得b =☆平面向量的基本定理：如果21,e e 是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数21, 使：2211e e a ，其中不共线的向量21,e e叫做表示这一平面内所有向量的一组基底☆平面向量的坐标运算：(1) 若 1122,,,a x y b x y r r ，则 1212,a b x x y y r r ，1212a b x x y y rr (2) 若 2211,,,y x B y x A ，则 2121,AB x x y y u u u r(3) 若a r =(x,y)，则 a r=( x, y)(4) 若 1122,,,a x y b x y r r ，则1221//0a b x y x y rr (5) 若 1122,,,a x y b x y r r，则a b r r ，02121 y y x x☆向量的运算向量的加减法，数与向量的乘积，向量的数量（内积）及其各运算的坐标表示和性质☆两个向量的数量积：已知两个非零向量a r 与b r ，它们的夹角为，则a r ·b r =︱a r︱·︱b r ︱cos 叫做a r 与b r 的数量积（或内积）规定0a r r☆向量的投影：︱b r ︱cos =||a ba r r r ∈R ，称为向量b r 在a r 方向上的投影投影的绝对值称为射影☆数量积的几何意义： a r ·b r 等于a r 的长度与b r 在a r 方向上的投影的乘积☆向量的模与平方的关系：22||a a a a r r r r☆乘法公式成立：2222a b a b a b a b r r r r r r r r ；2222a ba ab b r r r r r r 222a a b b r r r r☆向量的夹角：已知两个非零向量a r与b r ，作OA uu u r =a r , OB uuu r =b r ,则∠AOB= （001800 ）叫做向量a r与b r 的夹角cos =cos ,a ba b a b • •r r r r r r当且仅当两个非零向量a r 与b r 同方向时，θ=00，当且仅当a r 与b r 反方向时θ=1800，同时0r 与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题补充：线段的定比分点设，，，，分点，，设、是直线上两点，点在P x y P x y P x y P P P 11122212ll 上且不同于、，若存在一实数，使，则叫做分有向线段P P P P PP P 1212P P P P P P P P 12121200所成的比（，在线段内，，在外），且x x x y y y P P P x x x y y y12121212121122 ，为中点时，如：，，，，，， ABC A x y B x y C x y 112233则重心的坐标是， ABC G x x x y y y 12312333三、三角形四心与向量关系典型例题：例1：O 是平面上一定点，C B A 、、是平面上不共线的三个点，动点P 满足)( ， ,0 ，则点P 的轨迹一定通过ABC 的（）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心分析：如图所示ABC ，E D 、分别为边AC BC 、的中点.2 2 2 // 点P 的轨迹一定通过ABC 的重心，即选C .例2：O 是平面上一定点，C B A 、、是平面上不共线的三个点，动点P 满足， ,0 ，则点P 的轨迹一定通过ABC 的（ B ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心分析：分别为方向上的单位向量，平分BAC ,点P 的轨迹一定通过ABC 的内心，即选B .例3：O 是平面上一定点，C B A 、、是平面上不共线的三个点，动点P 满足， ,0 ，则点P 的轨迹一定通过ABC 的（）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心分析：如图所示AD 垂直BC ，BE 垂直AC ， D 、E 是垂足.BC=0点P 的轨迹一定通过ABC 的垂心，即选D .三、四心与向量的结合（1） 0OC OB OA O 是ABC 的重心.证法1：设),(),,(),,(),,(332211y x C y x B y x A y x O0OC OB OA)()()(0)()()(321321y y y y y y x x x x x x33321321y y y y x x x x O 是ABC 的重心. 证法2：如图OC OB OA 02 OD OA OD AO 2D O A 、、三点共线，且O 分AD 为2：1 O 是ABC 的重心（2） OA OC OC OB OB OA O 为ABC 的垂心.证明：如图所示O 是三角形ABC 的垂心，BE 垂直AC ，AD 垂直BC ， D 、E 是垂足.0)( AC OB 同理BC OA ，AB OC O 为ABC 的垂心（3）设a ,b ,c 是三角形的三条边长，O 是 ABC 的内心BCDB CDO c b a 为ABC 的内心.证明：bc 、分别为方向上的单位向量，bc平分BAC , (AO bc)，令c b a bcc b a bc （bACc AB) 化简得0)( AC c AB b OA c b a0 OC c OB b OA a（4O 为ABC 的外心。

向量与三角形内心、外心、重心、垂心

二、四线与向量的结合121212,PA =1=,=.ABOA OB PB AB l l l l l l =++1.1.定理：如图，设定理：如图，设定理：如图，设OP OP 则则，且 (记忆:交叉分配系数) =()OA OBAP BP l +2.2.若若M 是OP OP上的任意一点，则上的任意一点，则上的任意一点，则OM OM (记忆:分母对应分配系数) 应用1: （1）中线: （2）高线: （3）角平分线: （4）中垂线: 应用2.四线上的动点表示: (1)中线上的动点: ()AB AC l +或()||sin ||sin AB AC AB B AC Cl +(2)高线上的动点:()cos cos AB AC AB BAC C l +, (3)角平分线上的动点:()AB ACABACl +(4)中垂线上的动点: ()2||cos ||cos OB OCAB AC OP AB B AC Cl +=++,O ABC OA S OB S OC D 定理：设是内任意一点，b a SAOBAOC：：：=D =1:1:1Û0OA OB OC ++=B tan A tan S AOB AOC ：：：=D 0OC OB OA 0aOA bOB cOC 1()3PO PA PB PC =++OA OB OB OC OC OA ×=×=× )))AB AC BC BA CA OC OB OA 已知O 是平面上一定点，||||AB AC AB AC l æö=++ç÷, l 题2：已知O 是平面上一定点，()OP OA AB AC l =++, l ÎO 是平面上的一定点，A ()||sin ||sin AB AC OP OA AB B AC Cl =++是平面上的一定点，A 、B ()||cos ||cos AB AC AB B AC Cl +题5：已知O 是平面上的一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点()OB OCABAC++D. 内心,,OA OB OC 满足()||||AB CA OA AB CA ×+=(||BA OB BA ×+||CB CB ) ()||||BC CAOC BC CA ×+= 0内心 D. 外心OA OB OC ++= 0, 1()PO PA PB PC D. 垂心OA OB OB OC OC OA ×=×=×，则 D. 垂心 2222|||||||OA BC OB CA +=+=22|||OC AB +，则 D. 外心题11：已知O 是△ABC )OA OB AB +×()OB OC BC +×()OC OA CA +×= 0，则 D. 垂心aOA bOB cOC ++= = 00，则D. 垂心aPA bPB cPC =题14：△ABC 的外OH =()m OA OB OC ++，则实数二、与三角形形状相关的向量问题题15：已知||||ABACAB AC 12||||AB AC AB AC ×=，则△等边三角形|||2|OB OC OB OC OA -=+-，则等边三角形||BA tBC -≥||AC ，则△题18：已知a , b, c 分别为△GA b GB c GC ×+×+×= = 00, 则△内一点，23OA OB OC ++= 0, 则：题20：如图，已知点是△ABC 的重心，若PQ 过△ABC 的重心，记CA = a ,则11m n +=_____.|(sin AB OP OA C ABl =++sin )AC B ACG C P Q 。

三角形五心性质概念整理(超全)

三角形五心性质概念整理(超全)编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（三角形五心性质概念整理(超全)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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重心1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1。

2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。

3、重心到三角形3个顶点距离平方的和最小.证明方法：设三角形三个顶点为（x1,y1），(x2，y2),(x3，y3）平面上任意一点为（x，y)则该点到三顶点距离平方和为：（x1-x)2+(y1—y）2+（x2-x）2+(y2-y)2+（x3-x)2+（y3—y)2=3x2-2x(x1+x2+x3）+3y2—2y（y1+y2+y3)+x12+x22+x32+y12+y22+y32=3[x—1/3*（x1+x2+x3)］2+3［y-1/3*(y1+y2+y3）]2+x12+x22+x32+y12+y22+y32-1/3（x1+x2+x3）2-1/3（y1+y2+y3)2显然当x=（x1+x2+x3)/3，y=(y1+y2+y3）/3（重心坐标）时上式取得最小值x12+x22+x32+y12+y22+y32-1/3（x1+x2+x3）2-1/3(y1+y2+y3）2最终得出结论。

4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数,即其坐标为[（X1+X2+X3）/3，(Y1+Y2+Y3）/3］；空间直角坐标系—-横坐标:（X1+X2+X3）/3，纵坐标：（Y1+Y2+Y3）/3，纵坐标：(Z1+Z2+Z3)/35、三角形内到三边距离之积最大的点。

向量与三角形五心证明及知识运用(精华版AAA)精品资料

则实数 m =
7．（06
陕西）已知非零向量A→B与A→C满足(|AA→→BB|
A→C +|A→C|
)·B→C=0
且|AA→→BB|
·|AA→→CC|
1 =2
,
则
△ABC 为( )
A．三边均不相等的三角形 B．直角三角形
C．等腰非等边三角形 D．等边三角形
8．已知 ABC 三个顶点
A、B、C ，若
2
AB
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(4)若存在常数
,满足
MG
MA
AB
AC
0,则点 G 可能
AB cosB AC cosC
通过 ABC的__________.
例 5、若 O 点是 ABC的外心, H 点是 ABC的垂心,
且 OH m(OA OB OC) ,求实数 m 的值.
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AP (
AB
AC
), 0
1．
AB AC
P为 ABC的内心 ;
BP t(
BA BA
BC BC
)，t 0
2. D、E 两点分别是 ABC的边 BC、CA上的中点,且
DP PB DP
PC P为
ABC的外心 ;
EP PC EP PA
3.
AP
BP
1 3 1 3
( AB (BA
AC ),
BC )，
P为
ABC的重心 ;
4.
AP
BC
0
P为
ABC的垂心 .
BP AC 0
5．已知 A、B、C 是平面上不共线的三点，O 是三角形 ABC 的重心，动点 P 满 u

高三数学-专题复习-向量专题(1)向量与三角形四心内心、外心、重心、垂心(附向量知识点)

高三数学-三角形四心与向量关系-内心、外心、重心、垂心(附向量知识点)「、三角形四心知识点(1) 重心——中线的交点：重心将中线长度分成2 : 1 ；(2) 垂心一一高线的交点：高线与对应边垂直；(3) 内心一一角平分线的交点(内切圆的圆心)：角平分线上的任意点到角两边的距离相等;(4) 外心——中垂线的交点(外接圆的圆心)：外心到三角形各顶点的距离相等。

二、向量知识点☆零向量：长度为0的向量，记为0,其方向是任意的，0与任意向量平行☆单位向量：模为1个单位长度的向量向量a0为单位向量I a0|= 1.☆平行向量(共线向量)：方向相同或相反的非零向量平行向量也称为共线向量一uuu UULT uuur☆向量加法AB BC = AC向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”：uuu uur uuur uuu uuu uuuAB BC CD L PQ QR AR，但这时必须“首尾相连”.☆实数与向量的积：①实数入与向量a的积是一个向量，记作入a，它的长度与方向规定如下：(I) a a ；(U)当0时，入a的方向与a的方向相同；当0时，入a的方向与a的方向相反；当0时，a 0，方向是任意的☆两个向量共线定理：向量b与非零向量a共线有且只有一个实数，使得b = a☆平面向量的基本定理：如果0(2是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数i , 2使：a 心 2e 2，其中不共线的向量©（2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底☆平面向量的坐标运算:uuu⑵若 A X i , y i , B X 2, y 2，则 AB x ? X i , y 2 y i⑶若a ：=(x,y), 则 a =( x, y)⑷若a 冷％ r ,b r r x 2, y 2，贝U a//b x 』2 X2% 0⑸若a冷％ r ,br rx 2, y 2，贝U a b ,X iX 2y i y 2☆向量的运算向量的加减法，数与向量的乘积，向量的数量（内积）及其各运算的坐标表示和性质☆两个向量的数量积：rr r已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为，则a • b = I a 丨・丨b 丨cos叫做a 与b 的数量积（或内积）规定o$ 0rr☆数量积的几何意义：a • b 等于a 的长度与b 在a 方向上的投影的乘积ra若r br by2y1卷X1yy y1X1r bra☆向量的投影:I cos€R ，称为向量b 在a 方向上的投影投影的绝对值称为射影☆向量的模与平方的关系: r r r 2 r 2 a a a | a |☆乘法公式成立： a br 2 r r r a 2a bb☆向量的夹角：已知两个非零向量 a 与b , uun r uuu r作O A = a , O B = b ,贝AOB=(0°1800 )叫做向量a 与b 的夹角y2卷r r 2 r 2 r r r 2 a b a 2a b br r c r r c r当且仅当两个非零向量a 与b 同方向时，B =0°,当且仅当a 与b 反方向时9 =180 0,同时0与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题补充：线段的定比分点x i x 2X i，p 为P i P 2中点时， y i y 21y设 P X i ，y i ，P 2 X 2，y 2，分点 Px ， y ,设R 、P 2是直线I 上两点，P 点在I 上且不同于R 、 P 2，若存在一实数，使 P i PPP 2，则叫做P 分有向线段RP 2所成的比（0，P 在线段P 1P 2内,0，P 在RP 2外），且如: ABC ，A X i ，y i ，B X 2，y ?C X 3，y 3则ABC 重心G 的坐标是X i X 2 X 3y i y 2 y 33cos = cosrarb 9. rax 1 x 2 2 y i y 2 2—b 2 y2三角形四心与向量关系典型例题: 例1 : O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点分析：如图所示ABC , D、E分别为边BC、AC的中点.AB AC 2AD OP OA 2 ADOP OA AP AP 2 AD AP〃AD点P的轨迹一定通过ABC的重心，即选C .AB AC平分BAC ,AB AC 满足OP OA (AB AC),0, ，则点P的轨迹一定通过ABC的（A .外心B .内心C .重心D .垂心OP 例2 : O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，OA(AB AC、AC），0, ，则点P的轨迹一定通过ABC的（B动点满足A .外心B .内心C .重心D .垂心分析：ABMAC分别为AB、AC方向上的单位向量,ACOP点P的轨迹一定通过ABC的内心，即选例3: O是平面上一定点，OA (AB ACB.AB cosB),AC cosCA、B、0,是平面上不共线的三个点, 动点,则点P的轨迹一定通过ABC的（满足A .外心B .内心C .重心D .垂心分析：如图所示AD垂直BC , BE 垂直AC ,D、E是垂足.AB ACAB cosB)BCAC cosCB D=AB BC AC BCAB cosB AC cosC三、四心与向量的结合证法 1:设 O(x, y), A(x 「yj B (X 2, y 2),C(X 3, y 3)证法2 :如图AO 2ODO 是ABC 的重心(2)OA OB OB OC OC OA O 为 ABC 的垂心. 证明：如图所示O 是三角形ABC 的垂心, BE 垂直 AC ，AD 垂直BC E 是垂足.OA OB OB OC OB(OA OC) OB CA 0 OB AC 同理OA BC ，OC AB O 为 ABC 的垂心 (3)设a,b ,c 是三角形的三条边长，0是 ABC 的内心 AC BC cosC| AC | cosC点P 的轨迹一定通过 ABC 的垂心，即选D .(1 ) OA OB OCO 是ABC 的重心.OA OB OC 0(X i x) (y i y)(X 2 x) (X 3 x) 0 y) (y 3y) 0(y 2X i X 2 X 33 % y 2 y 33O 是ABC 的重心.OA OB OC OA2ODA 、0、D 三点共线, 且O 分AD 为2 :AB BC cosBBC + BC =0aOA bOB cOC 0 O 为 ABC 的内心.证明： AB 、、AC 分别为ABAC 方向上的单位向量,c b aOA bOB cOC 0(4) OA OB OC O 为 ABC 的外心。

三角形的五心向量结论证明

三角形的五心向量结论证明1.O 是123PP P ∆的重心⇔1230OP OP OP ++=(其中,,a b c 是123PP P ∆三边)证明：充分性: 1230OP OP OP ++=⇒O 是123PP P ∆的重心若1230OP OP OP ++=，则123OP OP OP +=-，以1OP，2OP 为邻边作平行四边形132'OPP P ，设3OP 与12PP 交于点3P '，则3P '为12PP 的中点，有'123OPOP OP +=，得'33OP OP =-，即'33,,,O P P P 四点共线，故3P P 为123PP P ∆的中线，同理，12,PO P O 亦为123PP P ∆的中线，所以，O 为的重心。

2. 点O 是123PP P ∆的垂心⇔122331OPOP OP OP OP OP ⋅=⋅=⋅ 证明：O 是123PP P ∆的垂心⇔312OPPP ⊥, 31232132310()0OP PP OP OP OP OP OP OP OP ⋅=⇔⋅-=⇔⋅=⋅同理123OP P P ⊥⇔3112OP OP OP OP ⋅=⋅ 故当且仅当122331OP OP OP OP OP OP ⋅=⋅=⋅.*222222→→→→→→+=+=+ACOB BA OC BC OA则O 是△ABC的垂心证明：由，得，所以。

同理可证。

容易得到由以上结论知O 为△ABC 的垂心。

* 设()+∞∈,0λ，则向量+λ必垂直于边BC ，该向量必通过△ABC的垂心P 12PP 3O P⎪⎭⎝cos cos C AC B* 若H 是△ABC(非直角三角形)的垂心，则S △BHC ：S △AHC ：S △AHB =tanA ：tanB ：tanC 故tanA·HA +tanB·HB +tanC·HC =0 3.点O 是123PP P ∆的外心⇔23OP OP OP ==．证明：O 是△ABC 的外心⇔|OA |=|OB |=|OC |(或OA 2=OB 2=OC 2)(点O 到三边距离相等)⇔(OA +OB )·AB =(OB +OC )·BC =(OC +OA )·CA =0(O 为三边垂直平分线的交点)*若点O 为△ABC 所在的平面内一点，满足，则点O 为△ABC 的外心。

高中数学-三角形内心、外心、重心、垂心与向量关系

高中数学-三角形内心、外心、重心、垂心与向量关系（附向量知识点）一、三角形四心知识点（1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1；（2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直；（3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等；（4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。

二、向量知识点☆零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0与任意向量平行☆单位向量：模为1个单位长度的向量向量0a 为单位向量⇔｜0a｜＝1☆平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量平行向量也称为共线向量☆向量加法AB BC +=AC向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”：AB BC CD PQ QR AR +++++=，但这时必须“首尾相连”．☆实数与向量的积：①实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，它的长度与方向规定如下：（Ⅰ）a a⋅=λλ；（Ⅱ）当0>λ时，λa 的方向与a 的方向相同；当0<λ时，λa 的方向与a的方向相反；当0=λ时，0 =a λ，方向是任意的☆两个向量共线定理：向量b 与非零向量a共线⇔有且只有一个实数λ，使得b =a λ☆平面向量的基本定理：如果21,e e 是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数21,λλ使：2211e e a λλ+=，其中不共线的向量21,e e叫做表示这一平面内所有向量的一组基底☆平面向量的坐标运算：(1) 若()()1122,,,a x y b x y ==，则()1212,a b x x y y ±=±±，1212a b x x y y ⋅=⋅+⋅(2) 若()()2211,,,y x B y x A ，则()2121,AB x x y y =--(3) 若a =(x,y)，则λa =(λx, λy)(4) 若()()1122,,,a x y b x y ==，则1221//0a b x y x y ⇔-= (5) 若()()1122,,,a x y b x y ==，则a b ⊥，02121=⋅+⋅y y x x☆向量的运算向量的加减法，数与向量的乘积，向量的数量（内积）及其各运算的坐标表示和性质☆两个向量的数量积：已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，则a ·b =︱a ︱·︱b ︱cos θ 叫做a 与b 的数量积（或内积）规定00a ⋅=☆向量的投影：︱b ︱cos θ=||a ba ⋅∈R ，称为向量b 在a 方向上的投影投影的绝对值称为射影 ☆数量积的几何意义： a ·b 等于a 的长度与b 在a 方向上的投影的乘积☆向量的模与平方的关系：22||a a a a ⋅==☆乘法公式成立： ()()2222a b a b a b a b +⋅-=-=-；()2222a ba ab b ±=±⋅+222a a b b =±⋅+☆向量的夹角：已知两个非零向量a 与b ，作OA =a , OB =b ,则∠AOB=θ （01800≤≤θ）叫做向量a 与b 的夹角cos θ=cos ,a b a ba b•<>=•=222221212121y x y x +⋅+当且仅当两个非零向量a 与b 同方向时，θ=00，当且仅当a 与b 反方向时θ=1800，同时0与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题补充：线段的定比分点()()()设，，，，分点，，设、是直线上两点，点在P x y P x y P x y P P P 11122212ll 上且不同于、，若存在一实数，使，则叫做分有向线段P P P P PP P 1212λλλ→=→P P P P P P P P 12121200→><所成的比（，在线段内，，在外），且λλx x x y y y P P P x x x y y y =++=++⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪=+=+⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪12121212121122λλλλ，为中点时，()()()如：，，，，，，∆ABC A x y B x y C x y 112233则重心的坐标是，∆ABC G x x x y y y 12312333++++⎛⎝ ⎫⎭⎪三、三角形四心与向量关系典型例题：例1：O 是平面上一定点，C B A 、、是平面上不共线的三个点，动点P 满足)(AC AB OA OP ++=λ，[)+∞∈,0λ ，则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的（）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心分析：如图所示ABC ∆，E D 、分别为边AC BC 、的中点.AD AC AB 2=+ ∴AD OA OP λ2+= AP OA OP += AD AP λ2=∴AP ∴//AD ∴点P 的轨迹一定通过ABC ∆的重心，即选C .例2：O 是平面上一定点，C B A 、、是平面上不共线的三个点，动点P满足AC AB OA OP ++=λ，[)+∞∈,0λ ，则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的（ B ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心分析：ACAB分别为AC AB 、方向上的单位向量，∴AC AB +平分BAC ∠,∴点P 的轨迹一定通过ABC ∆的内心，即选B .例3：O 是平面上一定点，C B A 、、是平面上不共线的三个点，动点P 满足AC AB OA OP ++=λ，[)+∞∈,0λ ，则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的（）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心分析：如图所示AD 垂直BC ，BE 垂直AC ， D 、E 是垂足.AC AB +BC ⋅=BC AC BC AB ⋅+=+-=0∴点P 的轨迹一定通过ABC ∆的垂心，即选D .三、四心与向量的结合（1）⇔=++0OC OB OA O 是ABC ∆的重心.证法1：设),(),,(),,(),,(332211y x C y x B y x A y x O⇔=++0OC OB OA ⎩⎨⎧=-+-+-=-+-+-0)()()(0)()()(321321y y y y y y x x x x x x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=⇔33321321y y y y x x x x ⇔O 是ABC ∆的重心. 证法2：如图OC OB OA ++02=+=OD OA ∴OD AO 2=∴D O A 、、三点共线，且O 分AD 为2：1 ∴O 是ABC ∆的重心（2）⇔⋅=⋅=⋅OA OC OC OB OB OA O 为ABC ∆的垂心.证明：如图所示O 是三角形ABC 的垂心，BE 垂直AC ，AD 垂直BC ， D 、E 是垂足.0)(=⋅=-⇔⋅=⋅CA OB OC OA OB OC OB OB OA AC OB ⊥⇔同理BC OA ⊥，ABOC ⊥⇔O 为ABC ∆的垂心B CDB CD（3）设a ,b ,c 是三角形的三条边长，O 是∆ABC 的内心O OC c OB b OA a ⇔=++0为ABC ∆的内心.证明：bACc AB 、分别为AC AB 、方向上的单位向量， ∴bACc AB +平分BAC ∠, (λ=∴AO bACc AB +)，令c b a bc ++=λ ∴c b a bc AO ++=（bACc AB +) 化简得0)(=++++AC c AB b OA c b a∴0=++OC c OB b OA a（4==⇔O 为ABC ∆的外心。

专题（3）三角形“五心”与向量相关知识

专题（3）三角形“五心”与向量相关知识高2016届数学（理科）第二轮专题复习专题（3）三角形“五心”与向量相关知识一、三角形“五心”基本概念1、三角形的外心：三角形的三条边的垂直平分线交于一点,这点称为三角形的外心(外接圆圆心)．三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等．都等于三角形的外接圆半径．锐角三角形的外心在三角形内；直角三角形的外心在斜边中点；钝角三角形的外心在三角形外．外心内心2、三角形的内心：三角形的三条内角平分线交于一点,这点称为三角形的内心(内切圆圆心)．三角形的内心到三边的距离相等,都等于三角形内切圆半径．设三角形面积为S ，内切圆半径为r ，并记1()2p a b c =++，则S r p=．特别的，在直角三角形中,有 1()2r a b c =+-．重心垂心旁心3、三角形的重心：三角形的三条中线交于一点,这点称为三角形的重心．三角形的重心到边的中点与到相应顶点的距离之比为1∶ 2．4、三角形的垂心：三角形的三条高交于一点,这点称为三角形的垂心．斜三角形的三个顶点与垂心这四个点中，任何三个为顶点的三角形的垂心就是第四个点．所以把这样的四个点称为一个“垂心组”．5、三角形的旁心：三角形的一条内角平分线与另两个外角平分线交于一点,称为三角形的旁心(旁切圆圆心)．每个三角形都有三个旁切圆．二、从静止的角度看向量的五“心”1、已知点O 是三角形ABC 所在平面上一点，若0OA OB OC ++= ，则O 是三角形ABC 的（）.（A ）内心（B ）外心（C ）重心（D ）垂心分析：若0OA OB OC ++= ，则OA OB OC +=- ，设以OA 、OB 为邻边的平行四边形为OAC B ',OC 与ABB交于点D ,则D 为AB 的中点,由OA OB OC '+= 得,OC OC '=- ,即C 、O 、D 、C '四点共线,故CD 为ABC ?的中线,所以O 在边AB 的中线上,同理可证, O 在边AC 的中线上, O 在边BC 的中线上所以O 是三角形ABC 的重心.2、已知点O 是三角形所在平面上一点，若OA OB OB OC OC OA ?=?=? ,则O 是三角形ABC 的（）.（A ）内心（B ）外心（C ）重心（D ）垂心分析:由OA OB OB OC ?=? 得,()0OB OA OC ?-= ,即0OB CA ?= ,所以,O B C A ⊥同理可证：,O C A B O A B C ⊥⊥,所以O 是ABC ?的垂心.3、已知点O 是三角形所在平面上一点，若0aOA bOB cOC ++= ,则O 是三角形ABC 的（）.（A ）内心（B ）外心（C ）重心（D ）垂心分析::若0aOA bOB cOC ++= ,又因为,,OB OA AB OC OA AC =+=+ 则()0a b c OA bAB cAC ++++= .所以||||bc AB AC AO a b c AB AC ??=+ ?++?? ,因为||AB AB 与||AC AC 分别表示AB 和AC 方向上的单位向量,设AP = ||AB AB +||AC AC ,则AP 平分BAC ∠.又AO 、AP 共线，知AO 平分BAC ∠。

高中数学平面几何--三角形的五心的重要结论及经典例题

三角形“五心”的重要结论及经典例题1．重心(中线交点)①G 是△ABC 的重心⇔0GA GB GC ++= 证明作图如右，图中GB GC GE +=连结BE 和CE ，则CE=GB ，BE=GC ⇔BGCE 为平行四边形⇒D 是BC 的中点，AD 为BC 边上的中线.将GB GC GE +=代入GA GB GC ++=0，得GA EG +=0⇒2GA GE GD =-=-，故G 是△ABC 的重心.(反之亦然(证略))②1()3PG PA PB PC =++⇔G 为△ABC 的重心(P 是平面上的点).证明 PG PA AG PB BG PC CG =+=+=+⇒3()()PG AG BG CG PA PB PC =+++++ ∵G 是△ABC 的重心∴GA GB GC ++=0⇒AG BG CG ++=0，即3PG PA PB PC =++由此可得1()3PG PA PB PC =++.(反之亦然(证略)例、已知向量1OP ，2OP ，3OP 满足条件1OP +2OP +3OP =0，|1OP |=|2OP |=|3OP |=1，求证 △P 1P 2P 3是正三角形.(《数学》第一册(下)，复习参考题五B 组第6题)证明由已知1OP +2OP =-3OP ，两边平方得1OP ·2OP =12-，同理2OP ·3OP =3OP ·1OP =12-， ∴|12P P |=|23P P |=|31P P△P 1P 2P 3是正三角形.反之，若点O 是正三角形△P 1P 2P 3的中心，则显然有1OP +2OP +3OP =0且|1OP |=|2OP |=|3OP |.即O 是△ABC 所在平面内一点，1OP +2OP +3OP =0且|1OP |=|2OP |=|3OP |⇔点O 是正 △P 1P 2P 3的中心.三角形三条中线的交点，叫做三角形的重心.掌握重心将每条中线都分成定比2:1及中线长度公式，便于解题.例．AD ，BE ，CF 是△ABC 的三条中线，P 是任意一点.证明：在△PAD ，△PBE ，△PCF 中，其中一个面积等于另外两个面积的和. (第26届莫斯科数学奥林匹克)分析：设G 为△ABC 重心，直线PG 与AB，BC 相交.从A ，C ，D ，E ，F 分别作该直线的垂线，垂足为A ′，C ′， D ′，E ′，F ′. 易证AA ′=2DD ′，CC ′=2FF ′，2EE ′=AA ′+CC ′，∴EE ′=DD ′+FF ′. 有S △PGE =S △PGD +S △PGF .两边各扩大3倍，有S △PBE =S △PAD +S △PCF . 例．如果三角形三边的平方成等差数列，那么该三角形和由它的三条中线围成的新三角形相似.其逆亦真.分析：将△ABC 简记为△，由三中线AD ，BE ，CF 围成的三角形简记为△′.G 为重心，连DE 到H ，使EH =DE ，连HC ，HF ，则△′就是△HCF . (1)a 2，b 2，c 2成等差数列⇒△∽△′. 若△ABC 为正三角形，易证△∽△′.AA 'F F 'GE E 'D 'C 'P C B D不妨设a ≥b ≥c ，有CF =2222221c b a -+， BE =2222221b ac -+，AD =2222221a cb -+.将a 2+c 2=2b 2，分别代入以上三式，得 CF =a 23，BE =b 23，AD =c 23. ∴CF :BE :AD =a 23:b 23:c 23=a :b :c .故有△∽△′.(2)△∽△′⇒a 2，b 2，c 2成等差数列. 当△中a ≥b ≥c 时， △′中CF ≥BE ≥AD . ∵△∽△′， ∴∆∆S S '＝(aCF )2. 据“三角形的三条中线围成的新三角形面积等于原三角形面积的43”，有∆∆S S '=43.∴22aCF =43⇒3a 2=4CF 2=2a 2+b 2-c 2⇒a 2+c 2=2b 2.2．垂心(高线交点)三角形三条高的交战，称为三角形的垂心.由三角形的垂心造成的四个等(外接)圆三角形，给我们解题提供了极大的便利.H 是△ABC 的垂心⇔HA HB HB HC HC HA •=•=• 由()00HA HB HB HC HB HC HA HB AC HB AC ⋅=⋅⇔⋅-=⇔⋅=⇔⊥, 同理HC AB ⊥，HA BC ⊥.故H 是△ABC 的垂心.(反之亦然(证略))若H 是△ABC (非直角三角形)的垂心，则 S △BHC ：S △AHC ：S △AHB =tanA ：tanB ：tanC 故tanA ·HA +tanB ·HB +tanC ·HC =0 例、设A 1A 2A 3A 4为⊙O 内接四边形，H 1，H 2，H 3，H 4依次为△A 2A 3A 4，△A 3A 4A 1，△A 4A 1A 2，△A 1A 2A 3的垂心.求证：H 1，H 2，H 3，H 4四点共圆，并确定出该圆的圆心位置. (1992，全国高中联赛) ABC DH ABCDO A A 12分析：连接A 2H 1，A 1H 2，H 1H 2，记圆半径为R .由△A 2A 3A 4知13212sin H A A H A ∠=2R ⇒A 2H 1=2R cos ∠A 3A 2A 4；由△A 1A 3A 4得A 1H 2=2R cos ∠A 3A 1A 4.但∠A 3A 2A 4=∠A 3A 1A 4，故A 2H 1=A 1H 2. 易证A 2H 1∥A 1A 2，于是，A 2H 1 A 1H 2，故得H 1H 2 A 2A 1.设H 1A 1与H 2A 2的交点为M ，故H 1H 2与A 1A 2关于M 点成中心对称. 同理，H 2H 3与A 2A 3，H 3H 4与A 3A 4，H 4H 1与A 4A 1都关于M 点成中心对称.故四边形H 1H 2H 3H 4与四边形A 1A 2A 3A 4关于M 点成中心对称，两者是全等四边形，H 1，H 2，H 3，H 4在同一个圆上.后者的圆心设为Q ，Q 与O 也关于M 成中心对称.由O ，M 两点，Q 点就不难确定了.例、H 为△ABC 的垂心，D ，E ，F 分别是BC ，CA ，AB 的中心.一个以H 为圆心的⊙H 交直线EF ，FD ，DE 于A 1，A 2，B 1，B 2，C 1，C 2. 求证：AA 1=AA 2=BB 1=BB 2=CC 1=CC 2.(1989，加拿大数学奥林匹克训练题) 分析：只须证明AA 1=BB 1=CC 1即可.设 BC =a ， CA =b ，AB =c ，△ABC 外接圆半径为R ，⊙H 的半径为r . 连HA 1，AH 交EF 于M . A 21A =AM 2+A 1M 2=AM 2+r 2-MH 2=r 2+(AM 2-MH 2)， ①又AM 2-HM 2=(21AH 1)2-(AH -21AH 1)2 =AH ·AH 1-AH 2=AH 2·AB -AH 2=cos A ·bc -AH 2， ② 而ABH AH∠sin =2R ⇒AH 2=4R 2cos 2A ,Aasin =2R ⇒a 2=4R 2sin 2A . ∴AH 2+a 2=4R 2，AH 2=4R 2-a 2. ③ 由①、②、③有 A 21A=r 2+bca cb 2222-+·bc -(4R 2-a 2)=21(a 2+b 2+c 2)-4R 2+r 2. 同理，21BB =21(a 2+b 2+c 2)-4R 2+r 2，21CC =21(a 2+b 2+c 2)-4R 2+r 2.∥=∥=H H HM AB B A A BC CC F12111222D E故有AA 1=BB 1=CC 1.3．外心(边垂直平分线交点，外接圆圆心)三角形外接圆的圆心，简称外心.与外心关系密切的有圆心角定理和圆周角定理. O 是△ABC 的外心⇔|OA |=|OB |=|OC |(或OA 2=OB 2=OC 2)(点O 到三边距离相等) ⇔(OA +OB )·AB =(OB +OC )·BC =(OC +OA )·CA =0(O 为三边垂直平分线) 若O 是△ABC 的外心，则S △BOC ：S △AOC ：S △AOB =sinBOC ：sinAOC ：sinAOB =sin 2A ：sin 2B ：sin 2C故sin 2A ·OA 2sin 2B ·OB +sin 2C ·OC =0 例1．过等腰△ABC 底边BC 上一点P 引PM ∥CA 交AB 于M ；引PN ∥BA 交AC 于N .作点P 关于MN 的对称点P ′.试证：P ′点在△ABC 外接圆上. (杭州大学《中学数学竞赛习题》)分析：由已知可得MP ′=MP =MB ，NP ′=NP=NC ，故点M 是△P ′BP 的外心，点N 是△P ′PC 的外心.有∠BP ′P =21∠BMP =21∠BAC ，∠PP ′C =21∠PNC =21∠BAC .∴∠BP ′C =∠BP ′P +∠P ′PC =∠BAC .从而，P ′点与A ，B ，C 共圆、即P ′在△ABC 外接圆上. 由于P ′P 平分∠BP ′C ，显然还有 P ′B :P ′C =BP :PC .例2．在△ABC 的边AB ，BC ，CA 上分别取点P ，Q ，S .证明以△APS ，△BQP ，△CSQ 的外心为顶点的三角形与△ABC 相似. (B ·波拉索洛夫《中学数学奥林匹克》)分析：设O 1，O 2，O 3是△APS ，△BQP ，△CSQ 的外心，作出六边形O 1PO 2QO 3S 后再由外心性质可知 ∠PO 1S =2∠A ， ∠QO 2P =2∠B ， ∠SO 3Q =2∠C .∴∠PO 1S +∠QO 2P +∠SO 3Q =360°.从而又知∠O 1PO 2+∠O 2QO 3+∠O 3SO 1=360°将△O 2QO 3绕着O 3点旋转到△KSO 3，易判断△KSO 1≌△O 2PO 1，同时可得△O 1O 2O 3≌△O 1KO 3. ∴∠O 2O 1O 3=∠KO 1O 3=21∠O 2O 1K =21(∠O 2O 1S +∠SO 1K ) =21(∠O 2O 1S +∠PO 1O 2)=21∠PO 1S =∠A ；A B C PP MN 'A B C QK P O O O ....S 123同理有∠O 1O 2O 3=∠B .故△O 1O 2O 3∽△ABC .4．内心(角平分线交点，内切圆圆心)三角形内切圆的圆心，简称为内心. O 是△ABC 的内心充要条件是()()()0||||||||||||AB ACBA BCCA CBOA OB OC AB AC BA BC CA CB •-=•-=•-=引进单位向量，使条件变得更简洁。

向量补充：三角形的五心

三角形的五个“心” 重心：三角形三条中线交点• 外心：三角形三边垂直平分线相交于一点内心：三角形三内角的平分线相交于一点垂心：三角形三边上的高相交于一点旁心：三角形一内角的平分线与另两条内角的外角平分线相交一点考试内容：向量.向量的加法与减法.实数与向量的积.平面向量的坐标表示.线段的定比分点. 平面向量的数量积.平面两点间的距离、平移.考试要求：(1)理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念. (2) 掌握向量的加法和减法.(3) 掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件.(4) 了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算. (5 )掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件.(6)掌握平面两点间的距离公式，以及线段的定比分点和中点坐标公式，并且能熟练运用掌握平移公式.知识要点1. 本章知识网络结构2. 向量的概念(1)向量的基本要素：大小和方向.(2)向量的表示：几何表示法 AB ;字母表示：a ；坐标表示法 a =xi + y j =(x , y ). ⑶向量的长度：即向量的大小，记作丨 a | .⑷ 特殊的向量：零向量 a = 0=| a |= Q单位向量a 。

为单位向量：二| a o |= 1.⑹ 相反向量：a =- b ：二 b =- a ：= a +b =0⑺平行向量(共线向量)：方向相同或相反的向量，称为平行向量为共线向量. 3. 向量的运算平面向量⑸相等的向量：大小相等，方向相同(x1,y 1)=( x 2,.记作a // b .平行向量也称(1) 平面向量基本定理e, e2是同一平面内两个不共线的向量，那么，对于这个平面内任一向量，有且仅有对实数入1,入2,使a =入i e i+入2e\ (2) 两个向量平行的充要条件a// b= a=入b(b工0)= x i y2 —X2y i= O.(3) 两个向量垂直的充要条件a丄b= a • b= 0= x1x2+ y1y2= O.(4) 线段的定比分点公式设点P分有向线段所成的比为入，即RP =入PF2，贝U—1 一1 一0P = —r OR + —r0巳(线段的定比分点的向量公式)1 - . 1 ■+ 妝2x = -- 1,\1+丸 (线段定比分点的坐标公式)■ y = ----------- y[….当入=1时，得中点公式:X 1 x 22y iy 2 2(5) 平移公式设点F (x , y)按向量a =( h , k )平移后得到点 P'( x ', y '),—- ——- X r = x + h 则OP' = OP +a 或丿 'y ' = y + k.曲线y = f (x )按向量a = ( h , k )平移后所得的曲线的函数解析式为：y — k = f (x — h )空间向量1 •空间向量的概念：具有大小和方向的量叫做向量 . 注：⑴空间的一个平移就是一个向量 *⑵向量一般用有向线段表示 +同向等长的有向线段表示同一或相等的向量 ⑶空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示 2.空间向量的运算定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下OB = OA AB = a b BA = OA -OB = a - b OP = a( ■ R)运算律：⑴加法交换律： a • b = b a⑶数乘分配律： (a b^b3共线向量表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量.a 平行于b 记作a//b .当我们说向量a 、b 共线(或a 〃 b )时，表示a 、b 的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线.4 •共线向量定理及其推论：共线向量定理：空间任意两个向量 a 、b 丰0，a // b 的充要条件是存在实数(OR + OP ?)⑵加法结合律:(a b) c = a (b c) 入使a = xb .:：a, b2，则称a 与b 互相垂直，记作：a _ b .9.向量的模: 设OA =a ，则有向线段0A 的长度叫做向量a 的长度或模，记作：常|.10.向量的数量积:a b =怡| ]b| cos ：a,b ■.已知向量AB=a 和轴丨，e 是丨上与丨同方向的单位向量，作点A 在丨上的射影A ，作点B在丨上的射影B ［贝U A B •叫做向量AB 在轴丨上或在e 上的正射影.ABhlAB可以证明的长度|| cos ：： a,e =|a e|.11.空间向量数量积的性质:(1) a e a | cos ：： a, e -. (2) a _ b = a b = 0 . (3) | a |2 = a a .推论：如果丨为经过已知点 A 且平行于已知非零向量 a 的直线，那么对于任意一点 0,点P 在直线丨上的充要条件是存在实数 t 满足等式 OP " =0A t a •其中向量a 叫做直线I ① 式叫做平面 MAB 的向量表达式. 7空间向量基本定理：如果三个向量 a,b,c 不共面，那么对空间任一向量x,y,z ，使 p =xa yb zc ・推论：设0,A, B,C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个有序实数x, y, z ，使 OP 二 xOA yOB zOC+8空间向量的夹角及其表示:已知两非零向量a,b ，在空间任取一点 0，作0A 二a,OB=b ，则.AOB 叫做向量a 与记作::a,b -；且规定 0 _：：： a,b _「：，显然有：:：a,b =b, a ；若的方向向量.5. 向量与平面平行：,已知平面:-和向量a ,作OA 二a ,如果直线OA 平行于或在〉内，那么我们说向量 a 平行于平面：•，记作：a//〉.通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量 *说明：空间任意的两向量都是共面的 . 6. 共面向量定理：彳如果两个向量a,b 不共线，p =xa yb.推论：空间一点P 位于平面 MAB 内的充分必要条件是存在有序实数对T —TT T=xMA yMB 或对空间任一点 0，有OP = OM xMA yMB ① MP与向量a,b 共面的充要条件是存在实数x, y 使x, y ，使，存在一个唯一的有序实数组b 的夹角，12•空间向量数量积运算律：（i）（ a b =%（a b）=a（■ b）•（2）a b =b a （交换律）（3）a （b c^a b a c（分配律）.空间向量的坐标运算一.知识回顾：（1 ）空间向量的坐标：空间直角坐标系的x轴是横轴（对应为横坐标），y轴是纵轴（对应为纵轴），z轴是竖轴（对应为竖坐标）①令 a =（a1,a2,a3）,b =（b i,b2,b3），则a b =（a i _b i,a2 _b2,a3_b3）■ a =（，a i, £2, ■ a3）（,；.. R） a b =a i b i a2b2 a3b3 a IIa i a? a 3 -bua i =，b i,a2 二b2,a^，b3（= R） a _b：= a i b i a2b2 a3b^0b i b2 b3a =ja a 2七 2 2七32（用到常用的向量模与向量之间的转化：|彳2=玄an =Va石）ab,_a i bi_a2b2_a3b3_cosgb 二|a| ,|bl v'a i2 +a；+a[ Jb：代；+b[（2）法向量：若向量a所在直线垂直于平面、丄，则称这个向量垂直于平面②空间两点的距离公式： d =（X2 -X i）2（y2 -y i）2（z? -z j2•如果al「.、那么向量a叫做平面:-的法向量.（3）用向量的常用方法：①利用法向量求点到面的距离定理：如图，设n是平面:-的法向量，AB是平面:-的一条射线，其中Ah*,则点B到平面「的距离为1 AB n| .|n|②利用法向量求二面角的平面角定理：设n i, n2分别是二面角二「I - ：中平面「，：的法向量,则n i, n2所成的角就是所求二面角的平面角或其补角大小（n i, n?方向相同，则为补角，n i, n?相反方向，则为其夹角）•③证直线和平面平行定理：已知直线 a •匚平面〉，A B a,C D:，且CDE三点不共线，则a l :-的充要条件是存在有序实数对■」使AB二，CD，iCE •（常设AB二，CD •」CE求解',」若’，「存在即证毕，若’，」不存在，则直线AB与平面相交）•。

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高考数学专题突破：三角形的五心与向量一、外心1.定义：三角形的三条边的垂直平分线交于一点,这点称为三角形的外心(外接圆圆心)．三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等，都等于三角形的外接圆半径．AB CO2.性质：① 锐角三角形的外心在三角形内；直角三角形的外心在斜边中点；钝角三角形的外心在三角形外． ②三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合。

③OA=OB=OC=R④∠BOC=2∠BAC，∠AOB=2∠ACB，∠COA=2∠CBA⑤S△ABC=abc/4R⑥||||||==(或222O O O ==)⑦C 2sin :B 2sin :A 2sin AOB sin AOC sin BOC sin S S S A OB A OC BOC =∠∠∠=∆∆∆：：：：故0OC C 2sin OB B 2sin OA A 2sin =++二、内心1.定义：三角形的三条内角平分线交于一点,这点称为三角形的内心(内切圆圆心)．三角形的内心到三边的距离相等,都等于三角形内切圆半径．IK H E F AB C M2.性质：内切圆半径r 的计算：设三角形面积为S ，r=2S/(a+b+c)特别的，在直角三角形中,有 r =12(a +b －c )． ②∠BOC = 90 °+∠A/2 ∠BOA = 90 °+∠C/2 ∠AOC = 90 °+∠B/2③S△ABC=[(a+b+c)r]/2 (r 是内切圆半径)④O 是内心ABC ∆的充要条件是0|CB ||CA ||BC ||BA |AC |AB |=-⋅=-⋅=-⋅引进单位向量，使条件变得更简洁。

如果记CA ,BC ,AB 的单位向量为321e ,e ,e ，则刚才O 是ABC ∆内心的充要条件可以写成 0)e e (O )e e (O )e e (O 322131=+⋅=+⋅=+⋅ ⑤O 是ABC ∆内心的充要条件也可以是0OC c OB b OA a =++⑥若O 是ABC ∆的内心，则c b a S S S A OB A OC BOC ：：：：=∆∆∆ 故 0OC C sin OB B sin OA A sin 0OC c OB b OA a =++=++或;⑦||||||0AB PC BC PA CA PB P ++=⇔ ABC ∆的内心; ⑧向量()(0)||||AC AB AB AC λλ+≠ 所在直线过ABC ∆的内心(是BAC ∠的角平分线所在直线)；三、垂心2.性质：①锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的垂心在三角形外② 垂心O 关于三边的对称点，均在△ABC 的外接圆上 ③△ABC 中，有六组四点共圆，有三组(每组四个)相似的直角三角形，且AO·OD=BO ·OE=CO ·OF④ H 、A 、B 、C 四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心(并称这样的四点为一—垂心组)。

⑤△ABC，△ABO，△BCO，△ACO 的外接圆是等圆。

⑥在非直角三角形中，过O 的直线交AB 、AC 所在直线分别于P 、Q ，则 AB/AP ·tanB+ AC/AQ ·tanC=tanA+tanB+tanC⑦三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍。

⑧设O ，H 分别为△ABC 的外心和垂心，则∠BAO=∠HAC，∠ABH=∠OBC，∠BCO=∠HCA。

⑨锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和的2倍。

⑩锐角三角形的垂心是垂足三角形的内心；锐角三角形的内接三角形(顶点在原三角形的边上)中，以垂足三角形的周长最短。

⑩三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心；⑩O 是ABC ∆的垂心⇔OA OC OC OB OB OA ⋅=⋅=⋅;⑩若O 是ABC ∆(非直角三角形)的垂心，则C tan B tan A tan S S S A OB A OC BOC ：：：：=∆∆∆故C tan B tan A tan =++四、重心2.性质：①三角形的重心到边的中点与到相应顶点的距离之比为 1∶ 2．②重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。

③在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为((X 1+X 2+X 3)/3,(Y 1+Y 2+Y 3)/3)； ④重心和三角形3个顶点的连线的任意一条连线将三角形面积平分。

⑤重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。

⑥重心是三角形内到三边距离之积最大的点。

⑦O 是ABC ∆的重心⇔=++;⑧若O 是ABC ∆的重心，则ABC AOB AOC BOC S 31S S S ∆∆∆∆===故0OC OB OA =++; ⑨1()3PG PA PB PC =++ ⇔G 为ABC ∆的重心.五、旁心1.定义：三角形的一条内角平分线与另两个外角平分线交于一点,称为三角形的旁心(旁切圆圆心)．每个三角形都有三个旁切圆．ABC D EF I a一、单选题（共31题；共62分）1.点P 为△ABC 所在平面外一点，PO ⊥平面ABC ，垂足为O ，若PA=PB=PC ，则点O 是△ABC 的（）A. 垂心B. 重心C. 内心D. 外心2.设P是△ABC所在平面α外一点，H是P在α内的射影，且PA，PB，PC与α所成的角相等，则H是△ABC 的（）A. 内心B. 外心C. 垂心D. 重心3.已知三棱锥S﹣ABC的底面是正三角形，点A在侧面SBC上的射影H是△SBC的垂心，SA=a，则此三棱锥体积最大值是（）A. B. C. D.4.已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边中点，且，那么（）A. B. C. D.5.点P为△ABC所在平面外一点，PO⊥平面ABC，垂足为O，若PA=PB=PC，则点O是△ABC的（）A. 垂心B. 重心C. 内心D. 外心6.生于瑞士的数学巨星欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：“三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上，而且外心和重心的距离是垂心和重心距离之半．”这就是著名的欧拉线定理．设△ABC中，设O、H、G分别是外心、垂心和重心，下列四个选项锥误的是（）A. HG=2OGB. ++=C. 设BC边中点为D，则有AH=3ODD. S△ABG=S△BCG=S△ACG7.如图，三棱锥P﹣ABC中，PA=PB=PC，PO⊥面ABC，垂足为O，则点O是△ABC的（）A. 内心B. 外心C. 重心D. 垂心8.三个等圆O1、O2、O3有公共点M，点A、B、C是其他交点，则点M是△ABC的（）A. 外心B. 内心C. 垂心D. 重心9.在△ABC中，AB=3，AC=5，若O为△ABC的外心，则=（）A. 34B. 16C. 8D. 010.已知△ABC所在平面上的动点M满足2=-，则M点的轨迹过△ABC的（）A. 内心B. 垂心C. 重心D. 外心11.△ABC的三个顶点所对的复数分别为Z1，Z2，Z3，复数Z满足|Z﹣Z1|=|Z﹣Z2|=|Z﹣Z3|，则Z 的对应点是△ABC的（）A. 外心B. 内心C. 重心D. 垂心12.若三棱锥P﹣ABC的三条侧棱与底面所成的角都相等，则点P在底面ABC上的射影一定是△ABC的（）A. 外心B. 垂心C. 内心D. 重心13.△ABC中，点A（4，﹣1），AB的中点为M（3，2），重心为P（4，2），则边BC的长为（）A. 5B. 4C. 10D. 814.如图，三棱锥P﹣ABC中，PA=PB=PC，PO⊥面ABC，垂足为O，则点O是△ABC的（）A. 内心B. 外心C. 重心D. 垂心15.三棱锥P﹣ABC中中，顶点P中在底面ABC中内的射影为O中，若（1）三条侧棱与底面所成的角相等，（2）三条侧棱两两垂直，（3）三个侧面与底面所成的角相等；则点O中依次为垂心、内心、外心的条件分别是（）A. （1）（2）（3）B. （3）（2）（1）C. （2）（1）（3）D. （2）（3）（1）16.下列说法正确的是（）A. 三角形的重心是三条边的垂直平分线的交点B. 三角形的垂心是三条边的垂直平分线的交点C. 三角形的内心是三个内角的角平分线的交点D. 三角形的外心是三个内角的角平分线的交点17.空间四边形ABCD，若AB、AC、AD与平面BCD所成角相等，则A点在平面BCD的射影为△BCD的（）A. 外心B. 内心C. 重心D. 垂心18.已知点O是△ABC所在平面内的一点，满足•=•=•，则O是△ABC的（）A. 重点B. 外心C. 内心D. 垂心19.三棱锥P-ABC的高为PH，若三个侧面两两垂直，则H一定为△ABC的（）A. 垂心B. 外心C. 内心D. 重心20.设F为抛物线y2=4x的焦点，A,B,C为抛物线上不同的三点，点F是△ABC的重心，O为坐标原点，△OFA、△OFB、△OFC的面积分别为S1、S2、S3，则（）A. 9B. 6C. 3D. 221.如图所示，已知点G是的重心，过G作直线与AB，AC两边分别交于M，N两点，且，，则的值为( )A. 3B.C. 2D.22.动点P满足,则动点P的轨迹一定通过的（）A. 重心B. 垂心C. 内心D. 外心23.已知三条相交于一点的线段PA，PB，PC两两垂直，且A，B，C在同一平面内，P在平面ABC外，PH⊥平面ABC于H，则垂足H是△ABC的（）A. 内心B. 外心C. 重心D. 垂心24.点P为△ABC所在平面外一点，PO⊥平面ABC，垂足为O，若PA=PB=PC，则点O是△ABC的（）A. 垂心B. 重心C. 内心D. 外心25.已知点G是的重心，若，，则的最小值是（）A. B. C. D.26.生于瑞士的数学巨星欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：“三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上，而且外心和重心的距离是垂心和重心距离之半．”这就是著名的欧拉线定理．设△ABC中，设O、H、G分别是外心、垂心和重心，下列四个选项锥误的是（）A. HG=2OGB. ++=C. 设BC边中点为D，则有AH=3ODD. S△ABG=S△BCG=S△ACG27.已知点P在△ABC所在平面内，且==，则点P是△ABC的（）A. 重心B. 外心C. 垂心D. 内心28.点O在所在平面内，给出下列关系式：（1）；（2）；（3）；（4）．则点O依次为的（）A. 内心、外心、重心、垂心B. 重心、外心、内心、垂心C. 重心、垂心、内心、外心D. 外心、内心、垂心、重心29.若长度为定值的线段AB的两端点分别在x轴正半轴和y轴正半轴上移动，O为坐标原点，则的重心、内心、外心、垂心的轨迹都不可能是（）A. 点B. 线段C. 圆弧D. 抛物线的一部分30.设，若线段AD是△ABC外接圆的直径，则点D的坐标是（）．A. (-8,6)B. (8，-6)C. (4，-6)D. (4，-3)31.已知A，B，C三点不在同一条直线上，O是平面ABC内一定点，P是△ABC内的一动点，若，则直线AP一定过△ABC的（）A. 重心B. 垂心C. 外心D. 内心二、填空题（共11题；共11分）32.已知O为△ABC的外心，||=16，||=10，若=x+y，且32x+25y=25，则||=________33.已知△ABC三边的长分别为5、12、13，则△ABC的外心O到重心G的距离为________34.M是△ABC的重心，则=________．35.O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足，则P的轨迹一定通过△ABC的________心．36.已知O为△ABC的外心，||=16，||=10，若=x+y，且32x+25y=25，则||=________37.已知点G是△ABC的重心，若∠A=120°，•=﹣2，则||的最小值是________38.过△ABC所在平面α外一点，作PO⊥α，垂足为O，连接PA，PB，PC．若PA=PB=PC，则点O是△ABC 的________ 心．39.P点在则△ABC所在的平面外，O点是P点在平面ABC内的射影，PA、PB、PC两两垂直，则D点是则△ABC的________ ．（填外心，内心，垂心，重心）40.P为△ABC所在平面外一点，O为P在平面ABC上的射影．若PA⊥BC，PB⊥AC，则点O是△ABC的________ 心．41.点P是△ABC所在平面外一点，O为点P在平面ABC内的射影，若PA=PB=PC，则点O是△ABC的________ 心．42.已知△ABC内接于以O为圆心，1为半径的圆，且3+4+5=，则=________ ．三、解答题（共2题；共10分）43.如图，在△ABC中，G为重心，I为内心．若GI∥BC，证明：AB，BC，CA三边长成等差数列．44.将半径为72cm的扇形OAB剪去小扇形OCD，余下扇环ABCD的面积为648πcm2，围成圆台后，其上、下底半径之差为6cm，求该圆台的体积．答案解析一、单选题1.【答案】D【考点】三角形五心【解析】【解答】证明：点P为△ABC所在平面外一点，PO⊥平面ABC，垂足为O，若PA=PB=PC，故△POA，△POB，△POC都是直角三角形∵PO是公共边，PA=PB=PC∴△POA≌△POB≌△POC∴OA=OB=OC故O是△ABC外心故选D．【分析】点P为△ABC所在平面外一点，PO⊥平面ABC，垂足为O，若PA=PB=PC，可证得△POA≌△POB≌△POC，从而证得OA=OB=OC，符合这一性质的点O是△ABC外心．2.【答案】B【考点】三角形五心，直线与平面所成的角【解析】【解答】解：∵PA，PB，PC与α所成的角相等，H是P在α内的射影，∴HA=HB=HC∴H为三角形的外心．故选：B．【分析】根据PA，PB，PC与α所成的角相等，H是P在α内的射影，可得HA=HB=HC，从而可得结论．3.【答案】D【考点】三角形五心，球的体积和表面积【解析】【解答】解：点A在侧面SBC上的射影H是三角形SBC的垂心，AD为BC边上的高∴SA⊥BC，SC⊥AB．设O为S在底面的射影，则BC⊥面SAD，则O一定在AD上，AB⊥SC，AB⊥SO，所以CO⊥AB，所以O是底面ABC的垂心．也是外心，∴SA=SB=SC=a．则当SA，SB，SC互相垂直时体积最大此时V= =故选D【分析】由已知中点A在侧面SBC上的射影H是△SBC的垂心，我们易证明出三棱锥S﹣ABC的三条侧棱也相等，则三棱锥S﹣ABC的三条侧棱互相垂直时，体积取最大值，代入体积公式，即可求出答案．4.【答案】A【考点】零向量，三角形五心【解析】【解答】解：∵，∴，∵D为BC边中点，∴，则，故选：A．【分析】先根据所给的式子进行移项，再由题意和向量加法的四边形法则，得到，即有成立．5.【答案】D【考点】三角形五心【解析】【解答】证明：点P为△ABC所在平面外一点，PO⊥平面ABC，垂足为O，若PA=PB=PC，故△POA，△POB，△POC都是直角三角形∵PO是公共边，PA=PB=PC∴△POA≌△POB≌△POC∴OA=OB=OC故O是△ABC外心故选D．【分析】点P为△ABC所在平面外一点，PO⊥平面ABC，垂足为O，若PA=PB=PC，可证得△POA≌△POB≌△POC，从而证得OA=OB=OC，符合这一性质的点O是△ABC外心．6.【答案】C【考点】三角形五心【解析】【解答】△ABC中，O、H、G分别是外心、垂心和重心，画出图形，如图所示；对于A，根据欧拉线定理得HG=2OG，选项A正确；对于B，根据三角形的重心性质得++=，选项B正确；对于C，∵AH∥OD，∴△AHG∽△DOG，∴=2，∴AH=2OD，选项C错误；对于D，过点G作GE⊥BC，垂足为E，则，∴△BGC的面积为S△BGC=×BC×GE=×BC××AN=S△ABC；同理，S△AGC=S△AGB=S△ABC，选项D正确．故选：C．【分析】根据题意，画出图形，结合图形，利用欧拉线定理得出选项A正确；根据三角形的重心性质得出选项B正确；根据△AHG∽△DOG，判断选项C错误；求出S△BGC=S△AGC=S△AGB=S△ABC，判断选项D正确．7.【答案】B【考点】三角形五心，棱锥的结构特征【解析】【解答】解：由题意点P为△ABC所在平面外一点，PO⊥平面ABC，垂足为O，若PA=PB=PC，则它们在底面上的射影也相等，由此知点O到△ABC的三个顶点的距离是相等的，由外心的定义知，点O是三角形的外心．故选B．【分析】由题设条件知，三条斜线在底面的射影是相等的，即此点到底面三角形三个顶点的距离是相等的，由引可以得出此点应该是三角形的外心．8.【答案】C【考点】三角形五心【解析】【解答】解：如图所示，可知点M是△ABC的垂心，故选C．【分析】作图说明即可．9.【答案】C【考点】三角形五心【解析】【解答】解：设圆的半径为R，∠AOB为α，∠AOC为β，则AB2=AO2+BO2﹣2AO×BOcosα=2R2﹣2R2 cosα，AC2=AO2+CO2﹣2AO×COcosβ=2R2﹣2R2cosβ∴∵AB=3，AC=5，∴∴=8故选C．【分析】先利用余弦定理，求AB，AC，再利用向量的数量积，即可得到结论．10.【答案】D【考点】三角形五心【解析】【解答】解：∵∴∴，即MC=MB∴M在边BC的垂直平分线，由三角形外心的定义知，M点的轨迹过△ABC的外心，故选D．【分析】先对题设中的等式2=-进行变形，可得，可得M在中线上，由此选出正确选项．11.【答案】A【考点】三角形五心【解析】【解答】解：∵|Z﹣Z1|=|Z﹣Z2|=|Z﹣Z3|∴Z到三个顶点的距离相等，∴Z是三角形的外接圆的圆心，故选A．【分析】根据Z到三角形三个顶点的距离相等，得到三角形三个顶点12.【答案】A【考点】三角形五心【解析】【解答】解：设点P在底面ABC上的射影点为0，∵∠PAO=∠PBO=∠PCO，PO=PO=PO，∠POA=∠POB=∠POC=90°，∴△PAO≌△PBO≌△PCO，∴AO=BO=CO∴O是△ABC的外心．故选A．【分析】设点P在底面ABC上的射影点为0，由∠PAO=∠PBO=∠PCO，PO=PO=PO，∠POA=∠POB=∠POC=90°，先证明△PAO≌△PBO≌△PCO，从而得到AO=BO=CO，由此可知O是△ABC的外心．13.【答案】A【考点】三角形五心【解析】【解答】解：设点B（x，y）根据中点坐标公式可知解得：x=2，y=5∴B（2，5）设点C（m，n），根据重心坐标公式可知解得：m=6，n=2∴C（6，2），∴根据两点的距离公式可知|BC|=5故选A【分析】先根据中点坐标公式求出点B的坐标，然后根据重心坐标公式求出点C的坐标，最后利用两点的距离公式求出BC的长．14.【答案】B【考点】三角形五心【解析】【解答】解：由题意点P为△ABC所在平面外一点，PO⊥平面ABC，垂足为O，若PA=PB=PC，则它们在底面上的射影也相等，由此知点O到△ABC的三个顶点的距离是相等的，由外心的定义知，点O是三角形的外心．故选B．【分析】由题设条件知，三条斜线在底面的射影是相等的，即此点到底面三角形三个顶点的距离是相等的，由引可以得出此点应该是三角形的外心．15.【答案】D【考点】三角形五心【解析】【解答】解：三棱锥P﹣ABC中中，顶点P中在底面ABC中内的射影为O，（1）若三条侧棱与底面所成的角相等，则△POA≌△POB≌△POC，∴OA=OB=OC，∴O是△ABC的外心．（2）若三条侧棱两两垂直，则PA、PB、PC两两垂直，连结AO，延长并BC于D，连结BO并延长并AC于E，∵AP⊥BP⊥CP，BP∩CP=P，∴AP⊥平面BCP，∵BC∈平面BCP，∴AP⊥BC，∵OP⊥平面ABC，BC∈平面ABC，∴BC⊥OP，∵AP∩OP=P，∴BC⊥平面PAD，∵AD∈平面PAD，∴BC⊥AD，同理AC⊥BE，∴AD和BE分别是BC边、AC边上的高，∴O是两高的交点，∴O是△ABC是垂心．（3）若三个侧面与底面所成的角相等，则分别作三个侧面△的斜高，由三垂线定理，得OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，则∠PDO、∠PEO、∠PFO分别是三侧面与底面所成二面角的平面角，∠PDO=∠PEO=∠PFO，∵OD=OP•cot∠PDO，OE=OP•cot∠PEO，OF=OP•cot∠PFO，∴OD=OE=OF，∴O是△ABC的内心．故选：D．【分析】三棱锥P﹣ABC中中，顶点P中在底面ABC中内的射影为O，若三条侧棱与底面所成的角相等，则O是△ABC的外心；若三条侧棱两两垂直，则O是△ABC是垂心；若三个侧面与底面所成的角相等，则O是△ABC的内心．16.【答案】C【考点】三角形五心【解析】【解答】解：三条边的垂直平分线的交点是三角形的外心；三个内角的角平分线的交点是三角形的内心；故选C．【分析】三条边的垂直平分线的交点是三角形的外心，三个内角的角平分线的交点是三角形的内心．17.【答案】A【考点】三角形五心【解析】【解答】解：过A作AO⊥平面BCD于O点，连接OB、OC、OD∵AO⊥平面BCD，∴AB、AC、AD在平面BCD内的射影分别为OB、OC、OD由此可得AB、AC、AD与平面BCD所成角分别为∠ABO、∠ACO、∠ADO∵AB、AC、AD与平面BCD所成角相等，即∠ABO=∠ACO=∠ADO∠AOB=∠AOC=∠AOD=90°，AO是公共边∴△AOB≌△AOC≌AOD，可得BO=CO=DO即：O到△BCD三个顶点的距离相等，因此点O是△BCD的外心故选：A【分析】过A作AO⊥平面BCD于O点，连接OB、OC、OD，可证出△AOB≌△AOC≌AOD，从而得到BO=CO=DO，即O到△BCD三个顶点的距离相等，因此点O是△BCD的外心，得到本题答案．18.【答案】D【考点】三角形五心【解析】【解答】∵又∵，∴因此，点O在AC边上的高BE上，同理可得：O点在BC边上的高AF和AB边上的高CD上∴点O是△ABC三条高线的交点因此，点O是△ABC的垂心故选：D【分析】将等式•=•移项提公因式，结合减法法则化简整理可得，因此点O在AC边上的高BE上．同理可得O点也在BC边上的高AF和AB边上的高CD上，由此即可得到本题答案．19.【答案】A【考点】三角形五心，直线与平面垂直的判定【解析】【分析】因为三个侧面两两垂直，所以。