上海市七宝中学2017届高三10月月考数学试题

七宝中学高三月考数学卷一. 填空题1. 已知函数()f x 的定义域是[1,2]-，则()()y f x f x =+-的定义域是2. 若25x y -<<<，则x y -的取值范围是3. 锐角△ABC 中，角,A B 所对的边长分别为,a b ，若2sin a B b =，则A =4. 二项式921()x x -的展开式中常数项为 (结果用数值表示) 5. 若函数cos(2)y x ϕ=+(||)2πϕ<的图像关于点4(,0)3π中心对称，则ϕ=6. 若122log (42)0ax x a -+-<对任意x R ∈恒成立，则实数a 的取值范围是7. 已知0x >，0y >，1211x y +=+，则x y +的最小值为 8. 已知向量AB u u u r 与AC u u u r 的夹角为120o，且||2AB =u u u r ，||3AC =u u u r ，若AP AB AC λ=+u u u r u u u r u u u r ， 且AP BC ⊥u u u r u u u r，则实数λ的值为9. 某微信群中甲、乙、丙、丁、戊五名成员先后抢4个不相同的红包，每人最多抢一个红 包，且红包全被抢光，则甲乙两人都抢到红包的情况有 种 10. 设函数()min{||,||}f x x x t =+的图像关于 直线3x =-对称，其中min{,}a b 表示,a b 中的 最小值，则实数t =11. 右侧程序框图的运行结果：S =12. 已知函数1,0()42,0xx x x f x x --⎧+>⎪=⎨-≤⎪⎩，若函数 (32)y f x a =--恰有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是13. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知31819992017(1)2016(5)sin()3a a π-+-=-， 31999182017(5)2016(1)cos()6a a π-+-=-，则2016S = 14. 正方体1111D C B A ABCD -的棱长为3，以顶点A 为球心，2为半径作一个球，则球面与正方体的表面相交所得到的所有弧长之和等于二. 选择题15. 无穷等比数列{}n a *()n N ∈的前n 项的和是n S ，则下列首项1a 中，使得1lim 2n n S →∞=的 只可能是（ ） A.12 B. 12- C. 14 D. 14- 16. 已知函数()f x 和()g x 的定义域都是R ，则“()f x 和()g x 在R 上一增一减”是“函 数()()()F x f x g x =-有唯一零点”的（ ）条件A. 充分非必要B. 必要非充分C. 充要D. 既不充分也不必要 17. 对于平面向量x r 和给定的向量a r ，记()2()f x x x a a =-⋅r r r r r ，若()()f x f y x y ⋅=⋅r r r r对 任意向量,x y r r 恒成立，则a r的坐标可能是（ ） A. 51(,)22- B. 22(,)44 C. 31(,)44D. 13(,)22- 18. 函数()sin(2)f x A x θ=+(0,||)2A πθ>≤部分图像如图所示，且0)()(==b f a f ，对不同的12,[,]x x a b ∈，若)()(21x f x f =，有3)(21=+x x f ，则（ ） A. )(x f 在5(,)1212ππ-上是减函数 B. )(x f 在5(,)1212ππ-上是增函数C. )(x f 在5(,)36ππ上是减函数D. )(x f 在5(,)36ππ上是增函数三. 解答题19. 已知函数()|2||23|f x x a x =-++，()|1|2g x x =--； （1）解不等式|()|5g x <；（2）若{|()2}y y y f x ∈=-是{||()|}y y y g x ∈=的充分条件，求实数a 的取值范围；20. 某厂生产某产品的年固定成本为250万元，每生产x 千件，需另投入成本()C x （万元）， 若年产量不足80千件，()C x 的图像是如图的抛物线，此时()0C x <的解集为(30,0)-，且()C x 的最小值是75-，若年产量不小于80千件，10000()511450C x x x=+-，每千件商 品售价为50万元，通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完； （1）写出年利润()L x （万元）关于年产量x （千件）的函数解析式； （2）年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？21. 如图，直三棱柱111ABC A B C -中，AC AB ⊥，122AB AA ==，M 是AB 的中点， △11A MC 是等腰三角形，D 为1CC 的中点，E 为BC 上一点；（1）若DE ∥平面11A MC ，求CEEB； （2）平面11A MC 将三棱柱111ABC A B C -分成两个部分，求含有点A 的那部分体积；22. 已知常数0a ≠，数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，(1)nn S a a n n=+-； （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若3(1)n nn n b a =+-，且{}n b 是单调递增数列，求实数a 的取值范围；（3）若12a =，2016n n n a c a =+，对于任意给定的正整数k ，是否存在正整数p 、q ，使得k p q c c c =？若存在，求出p 、q 的值(只要写出一组即可)；若不存在，请说明理由；23. 已知函数()||f x x x a =-的定义域为D ，其中a 为常数； （1）若R D =，且()f x 是奇函数，求a 的值；（2）若1a ≤-，[1,0]D =-，函数()f x 的最小值是()g a ，求()g a 的最大值； （3）若0a >，在[0,]a 上存在n 个点i x (1,2,,.3)i n n =≥L ，满足10x =，n x a =，12n x x x <<<L ，使得12231|()()||()()||()()|8n n f x f x f x f x f x f x --+-++-=L ，求实数a 的取值范围；七宝中学2016第一学期高三10月考试数学试卷考试时间：120分钟 满分：150分一、填空题(每题4分，共56分)： 1. 已知函数()f x 的定义域是[1 2]-，，则()()y f x f x =+-的定义域是 [1 1]-，. 2. 若25x y -<<<，则x y -的取值范围是 (7 0)-，3. 在锐角中ABC ∆，角 A B 、所对的边长分别为 a b 、. 若2sin a B b =，则A = 6π. 4. 二项式921()x x -的展开式中常数项为 (结果用数值表示)84-． 5. 若函数cos(2)(||)2y x πϕϕ=+<的图像关于点4(0)3π，中心对称，则ϕ= 6π-.6. 若212log (42)0ax x a -+-<对任意x R ∈恒成立，则实数a 的取值范围是4a >.7. 已知0 0x y >>，，1211x y +=+，则x y +的最小值为8. 已知向量与AC uuu r 的夹角为120o，且||2 ||3AB AC ==u u u r u u u r ，，若AP AB AC λ=+u u u r u u u r u u u r ，且AP BC ⊥u u u r u u u r ，则实数λ的值为 1279. 某微信群中甲、乙、丙、丁、戊五名成员先后抢4个不相 同的红包，每人最多抢一个红包，且红包全被抢光，则甲乙 两人都抢到红包的情况有 种22142443343472P P C P C P ===. 10. 设函数()min{|| ||}f x x x t =+，的图像关于直线3x =-对 称，其中min{ }a b ，表示 a b 、中的最小值. 则实数t = 6. 11. 右侧程序框图的运行结果：S = 1320.12. 已知函数10()420xx x x f x x --⎧+>=⎨-≤⎩，，，若函数(32)y f x a =--恰有三个不同的零点,则实数a 的取值范围是 23a <≤.13. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知31819992017(1)2016(5)sin()3a a π-+-=-，31999182017(5)2016(1)cos()6a a π-+-=-，则2016S = 6048.14. 正方体1111D C B A ABCD -的棱长为3，以顶点A 为球心，2为半径作一个球，则球面与正方体的表面相交所得到的所有弧长之和等于 52π. 二、选择题(每题5分，共20分)：15. 无穷等比数列{}n a (*n N ∈)的前n 项的和是n S ，则下列首项1a 中，使得1lim 2n n S →∞=的只可能是 ( C )A ．12 B ．12- C ．14 D ．14-. 16. 已知函数()f x 和()g x 的定义域都是R ，则“()f x 和()g x 在R 上一增一减”是“函数()()()F x f x g x =-有唯一零点”的 ( D )A.充分非必要条B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件17. 对于平面向量x r 和给定的向量a r ，记()2()f x x x a a =-⋅r r r r r．若()()f x f y x y ⋅=⋅r r r r 对任意向量 x y r r 、恒成立，则a r 的坐标可能是 ( D )A ．51()2-， B ．22( )， C ．31( )44， D ．13( )2-， 18. 函数()sin(2)(0 ||)2f x A x A πθθ=+>≤，部分图像如图所示，且0)()(==b f a f ，对不同的12 [ ]x x a b ∈，，，若)()(21x f x f =，有3)(21=+x x f ，则 ( B ) A.)(x f 在5( )1212ππ-，上是减函数 B.)(x f 在5( )1212ππ-，上是增函数 C.)(x f 在5( )36ππ，上是减函数 D.)(x f 在5( )36ππ，上是增函数三、解答题：19. (12分)已知函数322)(++-=x a x x f ，()12g x x =--. (1)解不等式()5g x <；(2)若{|()2}y y y f x ∈=-是{||()|}y y y g x ∈=的充分条件，求实数a 的取值范围. 解：(1)由|()|||1|2|5g x x =--<得3|1|7x -<-<，∴|1|7x -<，解得68x -<<． 所以原不等式的解集为{|68}x x -<<；(2)∵{|()}y y y f x ∈=是{||()|}y y y g x ∈=的充分条件， 所以{|()}{||()|}y y f x y y g x =⊆=，又()223232f x x a x a =-++-≥+-，()||1|2|0g x x =--≥ 所以32a +≥，解得：1a ≥-或5a ≤-.20. (14分)某厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x 千件，需另投入成本()C x (万元)，若年产量不足80千件，()C x 的图像是如图的抛物线，此时()0C x <的解集为(30 0)-，，且()C x 的最小值是75-. 若年产量不小于80千件，10000()511450C x x x=+-. 每千件商品售价 为50万元. 通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完.(1)写出年利润()L x (万元)关于年产量x (千件)的函数解析式； (2)年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？解：(1)依题意，当080x <<(千件)时，设2()(30)C x a x x =+，则22575a -=-Oba xA y 2解得13a =，即21()(30)3C x x x =+，此时21()50[250()]402503L x x C x x x =-+=-+- 当80x ≥(千件)时，10000()50[250()]1200()L x x C x x x=-+=-+∴2140250 0803()100001200() 80x x x L x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨⎪-+≥⎩，，(2)当080x <<(千件)时，21()(60)9503L x x =--+，此时，max ()(60)950L x L ==；当80x ≥(千件)时，10000()1200()1000L x x x=-+≤(当且仅当100x =时等号成立)此时，max ()(100)1000L x L ==，综上所述，当年产量100千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大，为1000万元. 21. (14分)如图，直三棱柱111ABC A B C -中，AC AB ⊥，122AB AA ==，M 是AB 的中点，△11A MC 是等腰三角形，D 为1CC 的中点，E 为BC 上一点．(1)若DE ∥平面11A MC ，求CEEB； (2)平面11A MC 将三棱柱111ABC A B C -分成两个部分， 求含有点A 的那部分体积．解：取BC 中点为N ，连结1 MN C N ，， ∵,M N 分别为,AB CB 中点∴MN ∥AC ∥11A C ，∴11,,,A M N C 四点共面，且平面11BCC B I 平面11A MNC 1C N =又DE Ü平面11BCC B ，且DE ∥平面11A MC ，∴DE ∥1C N ∵D 为1CC 的中点，∴E 是CN 的中点，∴13CE EB =． (2)因为三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱，∴1AA ^平面ABC，又AC AB ⊥，则AC ⊥平面11ABB A∵122AB AA ==，又11A MC ∆是等腰三角形，所以111A M AC ==如图，将几何体11AA M CC N -补成三棱柱11AA M CC F - ∴几何体11AA M CC N -的体积为：1111111111111232232212V AM AA AC CF CC NF =⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=MEDC 1B 1AA 1BCNF22. (16分)已知常数0a ≠，数列{}n a 的前n 项和为n S ，11(1)nn S a a a n n==+-，. (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若3(1)n nn n b a =+-，且{}n b 是单调递增数列，求实数a 的取值范围；(3)若12a =，2016n n n a c a =+，对于任意给定的正整数k ，是否存在正整数 p q 、，使得k p q c c c =？若存在，求出 p q 、的值(只要写出一组即可)；若不存在，请说明理由.解：(1)11(1)(1)nn n n S a a a n na S a n n n==+-⇒=+-， {1111(1)22(1)(1)n n n n n n n n na S a n nna na an a a a n a S an n ++++=+-⇒-=⇒-=+=++∴{}n a 是以11a =为首项，2d a =为公差的等差数列，∴12(1)n a a n =+-(2)11113(1)3(1)n n n n n n n n b b a a ++++<⇔+-<+-,即(1)[1(21)]3n na n -+-<若n 为奇数，则31(1 3 5 )21n a n n +>-=-L ，，，恒成立， 考察31()21n f n n +=--，231314(43)34(2)()02321(23)(21)n n n n f n f n n n n n +++--++-=-+=<+-+- 即(1)(3)(5)f f f >>>L ，∴(1)4a f >=-；若n 为偶数，则31(2 4 6 )21n a n n -<=-L ，，，恒成立， 考察31()21n g n n -=-，231314(43)34(2)()02321(23)(21)n n n n g n g n n n n n +---++-=+=>+-+- 即(2)(4)(6)g g g <<<L ，∴8(2)3a g <=；综上所述，843a -<<；(3)由(1)2016n n n a n c n ==+，.假设对任意*k N ∈，总存在正整数 p q 、，使k p q c c c =， 则(2016)201620162016k p q k q p k p q q k+=⋅⇒=+++-令1q k =+，则(2017)p k k =+(或2q k =，则22016p k =+；…) ∴(2017)1k k k k c c c ++=(或220162k k k c c c +=；…)23. (18分)已知函数()||f x x x a =-的定义域为D ，其中a 为常数.M B 1A 1B11 (1)若R D =，且()f x 是奇函数，求a 的值；(2)若1 [10]a D ≤-=-，，，函数()f x 的最小值是()g a ，求()g a 的最大值；(3)若0a >，在[0,]a 上存在n 个点(1,2,,.3)i x i n n =≥L ，满足10x =，n x a =，12n x x x <<<L ，使得12()()f x f x -23()()f x f x +-+L 1()()n n f x f x -+-8=，求实数a 的取值范围.解：(1)∵()f x 是奇函数，∴()()0f x f x +-=对任意x ∈R 恒成立， ∴||||x x a x x a -=+，即0ax =对任意x ∈R 恒成立，∴0a =； (2)2222() 24()||()24a a x x a f x x x a a a x x a ⎧--≥⎪=-=⎨⎪--+<⎩，，， ∵1a ≤-，∴[1 0][ )a -⊆+∞，，，∴22()()24a a f x x =--，[1 0]x ∈-， ①当21a -≤≤-时，1122a -≤≤-，()f x 在[1 ]2a -，上递减，在[ 0]2a ，递增，2min [()]4a f x =- ②当2a <-时，12a <-，()f x 在[1 0]-，上单调递增，min [()](1)1f x f a =-=+ 综上所述，2 21()41 2a a g a a a ⎧⎪--≤≤-=⎨⎪+<-⎩，，， 若21a -≤≤-，则11()4g a -≤≤-；若2a <-，则()1g a <- ∴当1a =-时，max 1[()]4g a =- (3)∵0a >，且()f x 在[0 ]2a ，上单调递增，在[ ]2a a ，上单调递减， ∴max min ()()()(0)2a f x f f x f ==， 而12231max min |()()||()()||()()|2[()()]n n f x f x f x f x f x f x f x f x --+-++-≤-L要使满足条件的点存在，必须且只需2[()(0)]82a f f -≥，即282a ≥，解得4a ≥为所求.。