第02章 牛顿定律(参考答案)

解：解法 1 以地面参考系：
a = ar + a0 mg + N = ma
x 方向： mg sin y 方向： N 解得:
max m(ar a0 sin )
mg cos may ma0 cos
N m( g a0 ) cos
ar ( g a0 ) sin
μcos sin ω2R = g cos μsin
2 ○
则有：μgcosθ - gsinθ = ω Rcosθ + μω Rsinθ 得
μ=
对给定的ω、R 和 θ 值，μ不能小于此值，否则最大静摩擦力不足以维持m在斜面 上不动. 讨论：由μ > 0可得 gcosθ - ω Rsinθ >0 当tgθ 动。 2.15 表面光滑的直圆锥体，顶角为 2θ，底面固定在水平面上， 如图所示。质量为 m 的小球系在绳的一端，绳的另一端系在圆锥 的顶点。绳长为 l，且不能伸长，质量不计。今使小球在圆锥面 上以角速度 ω 绕 OH 轴匀速转动，求 （1）锥面对小球的支持力 N 和细绳的张力 T； （2）当 ω 增大到某一值 ωc 时，小球将离开锥面，这时 ωc 及 T 又各是多少？ 解：以 r 表示小球所在处圆锥体的水平截面半径，对小球写出牛顿定律方程为 sin − cos = cos + sin − = =0 ① ②
( )
得 d = −（
由于绳子的末端是自由端
（
( −
/ ） d )/2
∴
( )=
2.17 已知一质量为 的质点在 x 轴上运动，质点只受到指向原点的引力的作用，引 力大小与质点离原点的距离 的平方成反比，即 = − / ， 是比例常数。设质点 在 = 时的速度为零，求质点在 = /4处的速度的大小。 解：根据牛顿第二定律 =− = d = d d d · = d d d d
所以当速率为4.0 m/s 时 F = ma =mg - kv² = mg 得 a = 9g/25 2.11 质量为m的子弹以速度v0水平射入沙土中，设子弹所受阻力与速度反方向小与 速度成正比，比例系数为K，忽略子弹的重力，求： （1）子弹射入沙土后，速度随时间变化的函数式； （2）子弹进入沙土的最大深度。 解：（1）子弹进入沙土后受力为 -Kv，由牛顿定律可知 -Kv = m
竖直直径转动， 要使小珠离开环的底部而停在环上某一点则角速度 ω最小应大于__________ 答案： g/R 2.9 有一火车，在水平地面上以不变的加速度 a 沿直线向前运动，在某时刻从火车 天花板上掉下一个螺帽，则在地面上静止的人看螺帽的加速度大小为__________， 方向是__________，而在火车上静止的人看螺帽的加速度大小为__________。 答案：g，竖直向下， g 2 a 2 2.10 质量为m的雨滴下降时，因受空气阻力，在落地前已是匀速运动，其速度为v = 5.0 m/s.设空气阻力大小与雨滴速率的平方成正比， 问： 当雨滴下降速率为v = 4.0 m/s 时，其加速度 a 多大？ 解: 当雨滴匀速运动时 mg = k v ² 得 k = mg /25
2.12 绞盘可以使人通过绳子用很小的力拉住很大张力作用下的 物体。设绳子承受的巨大拉力 TA， 绳子与圆柱间的摩擦系数为 ，绳子绕圆柱的张角为 。试求人拉绳子的力 TB？ 解： 法向 (T dT )
d d T dN 0 2 2
切向 df (T dT ) T 0 化简 ：
体的受力分析如题图所示，由牛顿第二定律得 − − − 由于滑轮的质量忽略，所以 =2 各物体的加速度间有如下关系： = ’− 由上几式得 = = + + −4 +4 ， = ’+ + = = =−
0.2 × 0.1 + 0.2 × 0.05 − 4 × 0.1 × 0.05 × 0.98 m ∙ s 0.2 × 0.1 + 0.2 × 0.05 + 4 × 0.1 × 0.05
∫
d /（
−
− ）=∫ d
v = (mg – F)(1– e-kt/m )/k
2.14 在倾角为 θ 的圆锥体的侧面放一质量为 m 的小物体， 圆锥体以角速度 ω 绕竖直轴匀速转动，轴与物体间的距离 为 R，为了使物体能在该处保持静止不动，物体与锥面间 的静摩擦系数至少为多少？简单讨论所得到的结果。 解：建立如图所示的坐标，m受重力mg,支持力N与最大静摩擦力fs，对m，牛顿定律 x方向：μNcosθ – Nsinθ = mω2R ○ 1 y方向：μNsinθ + Ncosθ = mg 由○ 1 /○ 2 有：
tgθ <
ω
时，不论
μ 多么大物体也不可能在锥面上静止不
其中 （1 ） 联立求解得： = sin − = （2 ） =
= sin sin cos sin
③Fra Baidu bibliotek
cos +
，N = 0 = = / cos /cos
2.16 一条质量分布均匀的绳子，质量为 M、长度为 L，一端栓 在竖直转轴 OO’上，并以恒定角速度 ω 在水平面旋转。设转动 过程中绳子始终伸直不打弯，且忽略重力，距转轴为 r 处绳中 的张力 T(r)。 解：取距转轴为 r 处，长为 dr 的小段绳子，其质量为（M/L） dr。 （取元，画元的受力图） 由于绳子做圆周运动，所以小段绳子有径向加速度， 由牛顿定律得： ( ) − ( + d ) = （ / ）d ∙ 令 ( ) − ( + d ) = −d ( ) / ） d ( )=0 有 d =−
= 1.96 m ∙ s 方向向下。 = ( − ) = 0.2 × (9.8 − 1.96) N = 1.57 N =
方向向下。
=
−
1 = 0.785 N 2 0.1 × 9.8 − 0.785 = m ∙ s 0.1
= 1.95 m ∙ s
= 方向向上。
−
=−
0.05 × 9.8 − 0.785 m ∙ s 0.05
= 5.9 m ∙ s
及惯性离心力 ’三者合力为零。则： 其中 ’= ( sin )
将①式沿 OA 杆方向取投影可得 ( sin ) ∴ sin − cos = 0 ②
=
（2）因为 N 与杆是垂直的，故无论 N 取何值，都不影响小环沿杆的运动。现假定 小环受到一个扰动，向杆 A 端发生一位移 Δl，即 Δl 大于零。由上面②式知: [( + ) ]sin > cos
∴
=−
1 2 = = 6 /(
，∫ d 4 − ) 1 =
= −∫
3
/
d
∴
2.18 一光滑直杆 OA 与竖直轴 Oz 成 α 角（α 为常数） 。直杆以匀 角速度绕 Oz 轴转动，杆上有一质量为 m 的小滑环，在距 O 点为 l 处与直杆相对静止如图示。试以 OA 杆为参考系求出此时杆的 角速度 ω，并讨论小滑环是否处于稳定平衡？ 解： （1） 取杆 受力如图： 为参考系， 小环处于静止状态， + + ’=0 ① 、
第二章 牛顿定律
2.1 一块水平木板上放一砝码，砝码的质量m=0.2 kg，手扶木 板保持水平，托着砝码使之在竖直方面内做半径R=0.5 m的匀 速率圆周运动，速率v=1 m/s. 当砝码与木板一起运动到图示 位置时， 砝码受到木板的摩擦力为__________， 砝码受到木板 的支持力为__________ 答案：0.28N 1.68N 2.2 假如地球半径缩短 1%，而它的质量保持不变，则地球表面的重力加速度 g 增大 的百分比是 。 答案：2% 2.3 如图所示，用一斜向上的力 F (与水平成 30° 角)，将一重为 G 的木块压靠在竖直壁面上，如果不论用怎样大的里 F，都不能 使木块向上滑动， 则说明木块与壁面间的静摩擦系数 μ 的大小为 __________。 答案：μ≥ 2.4 如图所示，一个小物体 A靠在一辆小车的竖直前壁上，A和 车壁间静摩擦系数是 μ ，若要使物体 A不致掉下来，小车加速 度的最小值应为 a = __________ 答案：g/ μ 2.5 一圆锥摆摆长为l、摆锤质量为m，在水平面上作匀速圆周 运动，摆线与铅直角夹角 ,则摆线的张力T = __________ ；摆 锤的速率v = __________ 答案：mg/cosθ , sinθ
dv v 16 9 mg = mg 25 25

-
K dv dt = ， m v
-∫
K dt = ∫ m
dv v

解：v =
v = v0e-Kt/m
(2) 求最大深度
dx ，dx = v0 e-Kt/m dt dt
∫ d =∫
0
e-Kt/m dt

x = (m/K)v0(1-e-Kt/m) x max = mv0 / K
θ
2.6 两个质量相等的小球由一轻弹簧相连接，再用一细绳悬挂于天 花板上，处于静止状态，如图所示，将绳子剪断的瞬间，球1加速 度__________和球2 的加速度__________ 答案：a1 = 2g, a2 = 0 2.7 质量为m的小球，用轻绳AB、BC连接，如图，其中AB 水 平， 剪断 绳 AB 前 后 的瞬 间， 绳 BC 中 的 张力 比 T ： T’= __________ 答案：1/cos2θ 2.8 一小珠可以在半径为R的竖直圆环上作无摩擦滑动，今使圆环以角速度ω绕圆环
解得:
ar ( g a0 ) sin N m( g a0 )cos
所得结果与解法 1 相同。 2.20 如图 A 为定滑轮，B 为动滑轮，三个物体 m1 = 200 g，m2 = 求： （1 ） 100 g， m3 = 50 g， 滑轮及绳的质量以及摩擦均忽略不计。 （ 每个物体的加速度； 2 ）两根绳子的张力 FT1 与 FT2。 解：以地面为参考系，以竖直向下为正方向，设三物体的加速度 分别为 a1、a2 和 a3，a’表示 m2、m3 相对滑轮 B 的加速度，各物
二者方向相反， 合力指向杆的 端， 即惯性离心力 ’沿杆的分量大于重力沿杆的分量， 反之， 如小环向 端发生一 位移， 故小环将沿杆向 端加速， 不能再返回平衡位置， 此时 < 0，故 [( + ) ]sin < cos
小环将受到一个指向杆 O 端的合力，也不会再返回平衡位置， ∴ 小环所处平衡是不稳定平衡。 2.19 一光滑斜面固定在升降机的底板上，如图所示，当升降机以匀加 速度 a 0 上升时，质量为 m 的物体从斜面顶端开始下滑。求：物体对 斜面的压力和物体相对斜面的加速度。
解法 2 以地面参考系： 以作加速平动的升降机为参考系，是非惯性系。 物体受力：重力 mg , 斜面对它的正压力 N, 惯性力
ma0
动力学方程为：mg N ( ma0 ) ma r 沿斜面向下方向和垂直斜面向上方向的分量式为：
mg sin ma0 sin mar mg cos N ma0cos 0
Td dN 0 ( 1 ) df dT ( 2 ) df dN ( 3 )
联立得：
Td dT
− d = (− )d = − = ln = d d
2.13 质量为m的小球，在水中受的浮力为常力F，当它从静止开始沉降时，受到水 的粘滞阻力为f = kv（k为常数）。证明小球在水中竖直沉降速度 v 与时间 t 的关 mg F 系为 v = (1-e-kt/m) 式中 t 为从沉降开始计算的时间。 k 证：小球受力如图，根据牛顿第二定律 mg – kv – F = ma = mdv/dt mdv/(mg – kv – F) = dt 初始条件：t = 0, v = 0.