精品课件-复变函数 2.3初等多值解析函数
合集下载
复变函数课件2-3
re
w 2 = →
θ →θ + 2× ( n − 1)π
θ → θ + 2× 2 π
re
iϕ 2
θ → θ 2× k π L + w k = →
n
r e iϕ k L
w n − 1 = →
n
re
iϕ n−1
产生多值的原因是:当 取定后 其辐角不固定， 取定后， 产生多值的原因是 当z取定后，其辐角不固定，可 以连续改变2π的整数倍， 以连续改变 π的整数倍，对应的函数值连续改变到 下一个值
′ = 1 , (Lnz )′ = 1 . (ln z ) z z
19
例：
Bernoulli 悖论
2 2
原因
(3) ⇒(4) 错了 Lnz是集合 是集合 2 2 ⇒ (2)Lnz = Ln ( − z ) 记号， 记号，应该 理解为两个 ⇒(3)Lnz + Lnz = Ln( −z) + Ln( −z) 集合相加 荒谬透 ⇒ (4)2Lnz = 2Ln ( − z ) 顶！！！ A={0,1} ⇒ (5)Lnz = Ln ( − z ) 决不会相 A+A={0,1,2} 因为 Ln(−1) = (2k + 1)π i k = 0, ±1, ±2,L 2A={0,2} 等！！！ Ln(1) = 2kπ i k = 0, ±1, ±2,L A+A≠2A ≠
注意: 在实变函数中, 负数无对数, 注意 在实变函数中 负数无对数 而复变数对 数函数是实变数对数函数的拓广. 数函数是实变数对数函数的拓广
15
例5 解
解方程 e z − 1 − 3i = 0.
因为 e z = 1 + 3i ,
复变函数课件 2.3初等多值函数
幂函数的基本性质：
6、当是无理数或复数时，幂 函数是无穷 多值函数； 事实上，当是无理数时，有
z e e e 当 a bi(b 0)时，有 Lnz [ln|z| i (arg z 2 k )] ( abi )[ln|z| i (arg z 2 k )] z e e e e( ab)[ln|z| (arg z2k )]i[b ln|z| a (arg z2k )] 例如 2 k i iLni i[ln 1i (arg i 2 k )] 2 i e e e (k 0,1,2,)
( arg z , k Z )
这是一个n值函数。
在复平面上以负实轴（包括0）为割线而得的区 域D内，它有n个不同的解析分支：
幂函数的基本性质:
1 i (arg z 2 k ) n
w n | z |e
( arg z ; k 0,1,..., n 1)
(1i ) Ln2
(1i )[ln 2i (arg 22 k )]
(1i )[ln 22 ki )]
2
2
e e 2 2 2ki 2 e
2Ln2
2[ln 2i (arg 22 k )]
e (k 0,1,2,)
2 ln 22 2ki
7、幂函数在 C \ {Im z 0, Re z 0}上解析，
的整数，q 0）： p p p p Lnz [ln | z | i (arg z 2 k )] ln z 1 i 2 pk q q q q q z e e e 由于p与q为互素，所以不难看到 ，当k取 0， 1， 2， , q 1时，得到q个不同的值，即这 时幂函数是一个 q值的函数；
Lnz
[ln|z| i (arg z 2 k )]
第2章复变函数与解析函数精品PPT课件
①在 z
(分母在 z 0
0不连为续0的)在两z个0 处函连数续f(z;)与g(z)的和,差,积,商
②若函数 hg(z)在点 z 0 处连续，函数 w f(h)
在 h0 g(z0连) 续，则复合函数 wf[g(z)]
在 z 0 处连续（证略）.
例3 求 lim z 1 zi z 2
解: 因为 z 1 在点zi 处连续，故 z2
注:连续的条件:
(1) 在z 0处有定义;
(2) z 0 处的极限值等于该点的函数值.
2)连续充要条件: 定理 函数 f(z) u (x ,y ) i(v x ,y ),在 z0 x0iy0 处连续的充要条件是u(x, y) 和 v(x, y) 都 在点(x0, y0)处连续.
3)连续函数性质:
x2 y2
x2 y2
化为一个复变函数.
解 设 zxiy ，wuiv， 则 wuiv 2xiy x2 y2
将 x 1 (z z) ，y 1 (z z) 以及 x2 y2 zz 得 2 w312i (z0)
2z 2z
二.复变函数的极限与连续性 1.极限:
1)定义 设函数f(z) 在 z 0 的去心邻域内有定义，若对任
2. 可导与连续的关系
若函数wf(z)在点z 0 处可导，则 f (z)在点 z 0 处必
连续.反之不一定.
3.用定义求导的步骤 1)求增量比; 2)求增量比的极限.
例1 求 f ( z) z 2 的导数.
二.解析函数的概念及求导法则
1. 解析函数的定义
1) 点处解析: 如果f(z)不仅在点 z 0处可导,且在点 z 0 的某邻域内的处处可导,则称f(z)在点 z 0处解析;
3)运算法则:类似于实函数极限的运算法则. 例
初等解析函数和多值函数.ppt
(vi) lim ez不存在。
z
证明：(iv) w' lim ezz ez
ez lim
ez 1
z0 z
z0 z
lim ez ex cos y i sin y 1
z0
z
lim ez 1 x1 iy 1 ez
z 0
z
(3) 三角函数 sin z 1 eiz eiz , cos z 1 eiz eiz
点，则连续Байду номын сангаас变的幅角回到原来
的值，而w的值也回到w1。但如
果曲线包含原点，则旋转一周后，w的值不再回到w1，而
是回到w2：
w re 3
i
0 3
2 3
2
我们称z=0为w 3 z 的支点。
定义(支点)：若z绕某点旋转一周回到初始点，多值函数 w=f(z)由一个分支变到另外一个分支，我们称这样的点 为多值函数的支点。
bn zn
(2) 指数函数 w ez exeiy ex (cos y i sin y)
指数函数的性质：
(i) ez 0
(ii) 对于实数z=x来说，复数域中的指数定义与实数域中
的定义一致。
(iii) ez1ez2 ez1z2
(iv) 指数函数处处解析，且：w' ez
(v) ezi2k ez
所以：w l n z ln r iarg(z)
显然：w Lnz l n z i2n , n 0, 1,
如在w平面上用平行于实轴 的直线画出一个宽为2的条 带，例如图中的I，则z与w 为一一对应的关系。I为z=ew 的单叶性区域。
同样，对数函数也存在两个 支点：z=0和z=。两个支点间的任意连线就构成了支割线。 支割线映射为w平面上的单值分支之间的端线：
复变函数 2.3初等多值解析函数
w L n z l n r i ( 2 k ) ( k E )
z
L n zln |z|iA rgz
的
由于Argz的多值性导致w=Lnz
主
是一个具有无穷多值的多值函数
辐
规定： ln zln r i ln z ia r g z.
角
为对数函数Lnz的主值
于是： w L n z ln z 2 ki(k E )
角 2kn域 T n n: n n π 映 映 射 射 成 2成 kn负 负 实 实 n轴 轴 的 的 下 上 角 2岸 k岸 域 G nπ :k 2k
y
z
v
w
n
o
n
W=zn x
从原点起沿负实轴剪开的精选w课平件 面
上岸
G0 o
下岸
u
5
映射特点: 把以原点为顶点的角形域映射成以原点为顶点 的角形域, 但张角变成为原来的 n 倍.
Ln2ln22ki,
因 为arg(-1),
L n ( 1 ) ln 1 ii.
L n ( 1 ) ln 1 2 k i
(2k1)i (k为整 ) 数
注意: 在实对数函数中, 零和负数无对数, 这一点 在复对数函数中不再成立.
精选课件
15
例5 解方 ez 1 程 3 i 0 . 解 因ez为 13 i,
显然,区域D到区域G的单叶满变换w=f(z) 就是D 到G的一一变换.
f(z)=z2不是C上的单叶函数. f(z)=z3是C上的单叶函数
精选课件
2
2.3.0幂函数的变换性质及其单叶性区域
设有幂函数: w=zn
令z=rei, w=ei ,则： w=zn ei = rnein= rn, =n
复变函数 2.3初等多值解析函数ppt课件
p ln a i p(arga2k)
ab eq
eq q
e
p q
ln
a
cos
p q
(arga
2kπ)
i
sin
p q
(arga
2kπ)
ab具有 q 个值, 即取 k 0,1,2,,(q 1)时相应的值.
25
特殊情况: 1)当 b n (正整数)时,
an enLna eLnaLnaLna
的
由于Argz的多值性导致w=Lnz
主
是一个具有无穷多值的多值函数
辐
角
规定： ln z ln r i ln z i arg z.
为对数函数Lnz的主值
于是： w Lnz ln z 2k i(k E)
13
对于每一个固定的k, 上式确定一个单值函数, 称为Lnz 的一个分支. 特殊地, 当 z x 0时, Lnz 的主值 ln z ln x, 是实变数对数函数.
从原点起沿负实轴剪开的w平面
上岸
G0 o
下岸
u
5
映射特点: 把以原点为顶点的角形域映射成以原点为顶点
的角形域, 但张角变成为原来的 n 倍.
角域Tn
:
2k
n
n
2k
n
n
k 0,1,
n1
是幂函数的单叶性区域的一种分法
总之：幂函数w=zn (n>1) 单叶性区域是顶点 在原点，张度不超过2/n的角形区域
n1
w0 n rei0 2 w1 n rei1
22 w2 n rei2
复变函数-2.3 初等函数共26页
解 析 函 数
25/25
休息一下 ……
数
2
eiwz z21, iw L(zn z2 1),
w A cz r o i c L s( z n z 2 1 ) .
同理可得 A sr z i n c iL (iz n 1 z 2 );
Artcazni Ln iz. 2 iz
§2.3 初等函数
事实上，在无穷远点有
当 y0,x 时，ez ;
当 y0,x 时，ez 0.
(3) ez 0. 因为 e x 0 ,co y is siy n 0 .
§2.3 初等函数
5/25
第 一、指数函数
二 章
性质
解
事实上，
析 函
e z 1 e z 2 e x 1 (y c 1 i s o y 1 ) i e x s 2 n (y c 2 i s o y 2 ) is n
解 析
|w| ex,
Aw r y g 2 k π ,
由 z 的实部得到 w 的模； 由 z 的虚部得到 w 的辐角。
函 数
(k0 ,1 ,2 , )
y
(z)
v
(w)
y4π
y2π y
z xx
wez
zLnw
w
ex
y
u
§2.3 初等函数
7/25
第 二、对数函数
二 章
对数函数定义为指数函数的反函数。
析
函
主值 ln (1)πi.
数
可见，在复数域内，负实数是可以求对数的。
12/25
§2.3 初等函数
第 ▲例 求对数 Ln2 以及它的主值。 二 章 解 L 2 l n |2 n | ia2 r 2 k π g iln 22kπi;
25/25
休息一下 ……
数
2
eiwz z21, iw L(zn z2 1),
w A cz r o i c L s( z n z 2 1 ) .
同理可得 A sr z i n c iL (iz n 1 z 2 );
Artcazni Ln iz. 2 iz
§2.3 初等函数
事实上，在无穷远点有
当 y0,x 时，ez ;
当 y0,x 时，ez 0.
(3) ez 0. 因为 e x 0 ,co y is siy n 0 .
§2.3 初等函数
5/25
第 一、指数函数
二 章
性质
解
事实上，
析 函
e z 1 e z 2 e x 1 (y c 1 i s o y 1 ) i e x s 2 n (y c 2 i s o y 2 ) is n
解 析
|w| ex,
Aw r y g 2 k π ,
由 z 的实部得到 w 的模； 由 z 的虚部得到 w 的辐角。
函 数
(k0 ,1 ,2 , )
y
(z)
v
(w)
y4π
y2π y
z xx
wez
zLnw
w
ex
y
u
§2.3 初等函数
7/25
第 二、对数函数
二 章
对数函数定义为指数函数的反函数。
析
函
主值 ln (1)πi.
数
可见，在复数域内，负实数是可以求对数的。
12/25
§2.3 初等函数
第 ▲例 求对数 Ln2 以及它的主值。 二 章 解 L 2 l n |2 n | ia2 r 2 k π g iln 22kπi;
2.3初等多值函数
arg z arg z0 L Argz
z 0 点并指定初值arg z0 的前提下,终值 arg z 唯一,即辐角函数可单值化，
必须使辐角改变量仅与起点和终点有关而与曲线的形状无关.
L1 Argz L2 Argz L L Argz 0 (即原点在闭曲线 L1 L2 的外部). 1 2
1 i L Argz n
,
k
| z |e
n
e
i L Argz n
（4 ） z G : arg z , k Z .
,
或
wk
z
n
k
n | z|e
i
arg z 2 k n
z G : arg z , k Z .
（6）
,
（5 ）
定理2 在上述区域内各单值分值函数 ( n z ) k 解析, 且 d n 1 ( n z )k k 0,1,, n 1 . z k dz n z
2.2 由已知的某单值解析分支的初值求终值
2.2 由已知的某单值解析分支的初值求终值
wk
或
z
n
k
（4） n | z |e i arg w0 e , z G : arg z , k Z .
w n z n | z |e
i
Argz n
, z 0, .
(2)
2.1分出根式函数 w n z 的单值解析分支
(1) w n z 在某区域 D 内可单值化的充要条件及单值化方法 定理1 多值函数F z 可单值化的充要条件是对任意简单闭曲线L, 有
L n z 0.
L F z 0
复变函数--章节示范课公开课一等奖课件省赛课获奖课件
分别称为双曲余弦,正弦和正切函数.
2.性质
2ki
chz和shz都是觉得 周期的函数, chz为偶函数, shz为
奇函数, 它们都是复平面内的解析函数, 导数分别为:
(chz)'=shz, (shz)'=chz
不难证明 chiy=cosy, shiy=isiny
及
ch(x iy) ch x cos y i sh x sin y, sh(x iy) sh x cos y i ch x sin y.
同样能够定义反正弦函数和反正切函数, 重复以上环节, 能够得到它们的体现式:
Arcsinz iLn(iz 1 z2 ), Arctanz i Ln1 iz .
2 1 iz 2. 反双曲函数的定义 反双曲正弦 Arsinhz Ln(z z2 1), 反双曲余弦 Arcoshz Ln(z z2 1), 反双曲正切 Artanhz 1 Ln1 z .
而其它
各值可由
Ln z=ln z+2kpi (k=1,2,...) (2.11)
体现. 对于每一种固定的k, (2.11)式为一单值函
数, 称为Ln z的一种分支.
特别, 当z=x>0时, Ln z的主值ln z=ln x, 就是实变
数对数函数.
例1 求Ln 2, Ln(-1)以及它们对应的主值. [解] 由于Ln 2=ln 2+2kpi, 因此它的主值就是ln2. 而Ln(-1)=ln 1+iArg(-1)=(2k+1)pi(k为整数), 因此它 的主值是ln(-1)=pi. 注：在实变函数中, 负数无对数, 此例阐明在复 数范畴内不再成立. 并且正实数的对数也是无穷 多值的. 因此, 复变数对数函数是实变数对数函 数的拓广.
复变函数2.3第三节 初等多值函数
(ln 22k )i(ln 22k )
2e2k (cosln 2 i sin ln 2) (k 0,1,2, ,)
2 e e e 2
2Ln2
2[ln 2i(arg 22k )]
2ln 22 2ki
2 2 e2 2ki (k 0,1,2, )
2
2
01
2
arg(i 2) arctan1 ,
2
所以
w(i)
4
i ( arctan1 )
10e 2 4
2
4
i arctan1
10e 2 3 .
例2：
例2、验证函数
w 4 z(1 z)3 ,
在区域D=C-[0,1]内可以分解成解析分支；求出 这个分支函数在(0,1)上沿取正实值的一个分支 在z=-1处的值及函数在（0，1）下沿的值。
无穷阶支点:
（2）a不是有理数时，容易验证原点和无穷远点
是 w z a 的无穷阶支点。
当a不是整数时，由于原点和无穷远点是w z a
的支点，所以任取连接这两个支点的一条简单连
续曲线作为 内，可以把
wK1割线z a，分得解一成个解区析域分D支1。。在
D1
幂函数的映射性质:
关于幂函数当a为正实数时的映射性质，有下面
的角形，同时，这个函数把A中以原点为心的
圆弧映射成中 A1 以原点为心的圆弧。
a
幂函数的映射性质:
类似地，我们有，当n(>1)是正整数时，
wn z
的n个分支
i 1 2 k
w n z(n 1 e n ) (k 0,1,2,...,n 1)
分别把区域D*双射成w平面的n个角形
复变函数 课件2-3
故对于每一个固定的 k , 下式确定一个单值函数, w = Lnz = ln z + 2kπ i ( k ∈ ) 称为 Ln z 的一 个 分支. 特别的, 当 z = x > 0 时, Lnz 的主值 ln z = ln x ,
是实变数对数函数.
© Copyright ＬＹNＵ 2008
DEPARTMENTOFMATHEMATICS
(3) e Lnz 2008
DEPARTMENTOFMATHEMATICS
2.计算公式及多值性说明： 计算公式及多值性说明： 计算公式及多值性说明
令 z = e , w = u + iv,
临沂师范学院数学系 iθ
w =Lnz ⇔ e w =z ⇔ e u+ iv = re iθ
例1 求 Ln 2, Ln ( − 1) 以及与它们相应的主值 .
临沂师范学院数学系
解
因为 Ln 2 = ln 2 + 2kπi , π
所以 Ln2 的主值就是 ln2. 因为 Ln( −1) = ln 1 + iArg( −1)
= ( 2k + 1)πi ( k为整数 ) 所以 Ln( −1) 的主值就是 πi . 注意: 在实变函数中, 负数无对数, 注意 在实变函数中 负数无对数 而复变数对 数函数是实变数对数函数的拓广. 数函数是实变数对数函数的拓广
′ = 1 , (Lnz )′ = 1 . (ln z ) z z
© Copyright ＬＹNＵ 2008
DEPARTMENTOFMATHEMATICS
性质(3) 设 z = x + iy , 当 x < 0 时, 证 性质 临沂师范学院数学系 lim− arg z = − π, lim+ arg z = π,
复变函数与积分变换-2.3
概率论与数理统计
这说明一个复数 z( z 0)的 对 数 仍 为 复 数 ,它 的 实部是 z的 模 的 实 自 然 对 数 ； 的 它虚 部 是 z的 幅 角的一般值 ,即 虚 部 无 穷 多 ,其任意两个相异值 相 差2的 一 个 整 数 倍 .
即, w Lnz是z的无穷多值函数
当k 0时, Lnz ln z iargz lnz 为Lnz的一单值函数 , 称为Lnz的主值(主值支)
概率论与数理统计
第三节、初等解析函数
指数函数 对数函数 乘幂与幂函数 三角函数和双曲函数 反三角函数与反双曲函数
1
概率论与数理统计
1. 指数函数
定义: 如果函数f(z)满足下列三个条件: i) f(z)在复平面内处处解析; ii) f ′(z) = f(z)
iii) 当Im(z)=0时, f(z)=ex, 其中x=Re(z)；
这个性质是实变指数函数所没有的。
又 e z e z e x x (cos(y y ) i sin(y y )) e 0 1 1 1 z e z e
e z1 z 2 z2 e e
z1
概率论与数理统计
注 意
1 i 2
(1)e z 仅仅是个符号 ,它的定义为:e z e x (cosy isiny) ，
(2)当z为实数 x时, f ( z ) expz e x ( y 0)
(3) f ( z ) expz在复平面上处处解析， 且(expz ) expz .
expz2 (4) 加法定理 expz 1
证明：设 z1 x1 iy1 ,
exp(z1 z2 )
z2 x2 iy2 .
复变函数课件(二)
f ′(z) = ux + ivx = vy −iuy .
例题1
已 f ( z) = x2 − y2 + i2xy = u + iv， f ′( z) 知 求
解： 因为 u = x2 − y2 , v = 2xy 处处可微，且
∂u ∂v ∂u ∂v = 2x = , = −2y = − . ∂x ∂y ∂y ∂x
⇒ f ′(z) = ux + ivx = vy −iuy .
∂u ∂v ∂v ∂u 为 Cauchy-Riemann方 程 称 = , =− ∂x ∂y ∂x ∂y
即 = f (z) = u(x, y) + iv(x, y)在 内 点( x,y) 解 ⇒ w D 一 析
u(x,y) 与 v(x,y) 在该点可微, 并且满足
z
( ez+2kπi = eze2kπi = ez ( cos2kπ +i sin2kπ ) = ez , k ∈Z)
( lim ez = +∞ , lim ez = 0) (5)lime 不 在 z=x→+∞ 存 . z=x→−∞
z z→∞
2、 三角函数
e −e 定义： sin z = 2i
iz −iz
2
2 2 ∆w f (z + ∆z) − f (z) = = z + ∆z − z 解： ∆z ∆z ∆z (z + ∆z)(z + ∆z) − z z ∆z = = z + ∆z + z ∆z ∆z
所以
∆w z = 0: = ∆z → 0 (∆z → 0) ⇒ f ′(0) = 0 ∆z ∆w z ≠ 0 : 取∆z = ∆x → 0 ⇒ ∆z → z + z ∆w 取 z = i∆y →0 ⇒ ∆ →z − z ∆z 2
复变函数课件2-3
12
例6 求下列各式的值 :
(1)Ln( −2 + 3i ); ( 2)Ln( 3 − 3i ); ( 3)Ln( −3).
解
(1)Ln( −2 + 3i )
= ln − 2 + 3i + iArg( −2 + 3i ) 1 3 . = ln 13 + i π − arctan + 2kπ 2 2 ( k = 0, ± 1, ± 2,L)
=e
p p ln a + i ( arga + 2 kπ ) q q
p ln a q
p p cos q (arga + 2kπ ) + i sin q (arga + 2kπ )
a b具有 q 个值, 即取 k = 0,1,2,L, (q − 1)时相应的值 .
17
特殊情况: 特殊情况 1) 当 b = n (正整数 )时,
z
f (z) = e = e
z 5
z + 2 kπi 5
=e
z +10 kπi 5
= f ( z + 10kπi ),
故函数 f ( z ) = e 的周期是 10kπi .
z 5
8
二、对数函数
1. 定义
满足方程 e w = z ( z ≠ 0) 的函数 w = f ( z ) 称为对数函数 , 记为 w = Lnz = ln z + iArgz .
sin( z + 2π ) = sin z , cos( z + 2π ) = cos z .
25
例9 解
求 f ( z ) = sin 5 z 的周期.
2.3初等多值函数
第二章复变函数第三节初等多值函数6、根式函数7、对数函数8、幂函数.,,,v e r e z iv u w re z u wi ===+==θθ可得则从令.,,0000u w e r v u u v v v e z =<<-====”变成圆周把线段“变成射线把直线因此，变换ππθ.0000v z v v w e z w<<<<=θ平面上的角形变成平面上的带形把指数函数（2）指数函数的变换性质：.轴的区域平面上除去原点和负实变成平面上的带形把指数函数z v w e z wππ<<-=,2 .w z e z 指数函数单叶性区域是: 平面上平行于实轴宽度不超过的带形区域p =.)()12()12(2轴的区域平面上除去原点和负实变成的带形平面上宽为把指数函数z Z k k v k w e z w∈+<<-=πππ因此，对同一个的不同数值的个数等于不同数值的因子的个数.一般幂函数的定义:利用对数函数，可以定义幂函数：设α是任何复数，则定义z 的α次幂函数为当α为正实数，且z = 0 时，还规定Ln (0)z w z ez αα==≠由于0.z a =ln 2(ln10,arg )z k i w z e e z αααπππ===-<≤0,z w z α≠=)(2Z k ei k a ∈⋅π幂函数的映射性质:(略)关于幂函数当a 为正实数时的映射性质，有下面的结论：设是一个实数，并且在z 平面上取正实数轴（包括原点）作为割线，得到一个区域D*。
考虑D*内的角形，ωπωω2,0<<a 并取在D*内的一个解析分支ω<<z A arg 0:)11(==a a z w a z w =ω当z 描出A 内的一条射线时让从0增加到（不包括0及），那么射线l 扫过角形A ，而相应的射线扫过角形0arg :θ=z l 01arg :θa w l =0θωω1l ωa w A <<arg 0:1ωωa （不包括0），w 在w 平面描出一条射线因此)11(==aa z w 1A ωωa ωωa 把夹角为的角形双射成一个夹角为的角形，同时，这个函数把A 中以原点为心的圆弧映射成中以原点为心的圆弧。
复变函数论第三版2.3
的整数，q > 0）：
p q p Lnz q
z =e =e =e 由于p与q为互素，所以不难看到，当k取 0，2， , q − 1时，得到q个不同的值，即这 1， ⋯ 时幂函数是一个q值的函数；
p [ln| z|+ i (arg z + 2 kπ )] q
p ln z + 1 i 2 pkπ q q
n
1 n
时，有 1 1 1 1 ln z 2 kπi (ln| z |+ i arg z ) 2 kπi n n n n n w= z =e e =e e
= n | z |e
1 i (arg z + 2 kπ ) n
(−π < arg z ≤ π , k ∈ Z )
这是一个n值函数。
在复平面上以负实轴（包括0）为割线而得的区 域D内，它有n个不同的解析分支：
=e
2Ln2
(1+i ) Ln2
(1+i )[ln 2+i (arg 2+ 2 kπ )]
(1+i )[ln 2+ 2 kπi )]
2
2
=e
2 [ln 2+i (arg 2+ 2 kπ )]
=e
2 ln 2+ 2 2kπi
=2 e
2
2 2kπi
(k = 0,±1,±2,⋯)
7、幂函数在C \ {Im z = 0, Re z ≤ 0}上解析，
(2)根式函数 w = n z的单值解析分支：
从原点O到点∞引一条射线，将z平面割破，得到 一个以此割线为边界的区域G.在G内指定一点z0 , 并指定z0的一个辐角值，则G内任意一点z的辐角， 都可以从z 都可以从z0的辐角连续变化而得到 .
正在看-复变函数课件-2[1].3初等解析函数
![正在看-复变函数课件-2[1].3初等解析函数](https://img.taocdn.com/s3/m/34a7580679563c1ec5da712c.png)
2k
w
n y
z
n n
v W=zn x
上岸
o
o
G0
u
下岸 从原点起沿负实轴剪开的w平面
映射特点: 把以原点为顶点的角形域映射成以原点为顶点
2k 2k 角域Tn : k 0,1, n 1 n n n n
的角形域, 但张角变成为原来的 n 倍.
y y e e e e y . 例如 cos i 1 , cos iy 2 2 (7)定义其他的三角函数：
1
1
sin z cos z tg z , ctg z , cos z sin z 1 1 sec z , csc z . cos z sin z
w1 re
3 i
2
n
3
3 3
v
定义域G1 : 2 3 x o 值域T1 :
w
T0 3
3 w1 3 re G 0 -
2
z
3
y
z
T1
o
w0 3 re
u
i
n
T2 G2
x
3
3
例: w 3 z
wk 3 re
z平面
射线 =0
w平面
射线 =n0
圆周= r0n 射线0< <n0
圆周r=r0
角域0<<0
y
z
v
w n0
o
0 0
W=zn
x o
n 0
u
z平面 角域 0<<0
角域T0 :
w平面
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
值域T-1:
w
30
T0
w0
3
i
re n
3
y
z
o
3
T2 5
5 G2
3
u 例: w 3 z
wk
3
i 2k
re n
k 0,1, 2
o
3
x w2
3
i4
re n
11
2.3.2 对数函数
1. 定义 若 :e w z(z 0 )则 称 w 为 z对 数 函 数 ,记 为 : w L n z
2 (n 1 ) w n 1 nre in 1
产生多值的原因是:当z取定后，其辐角不固定，可 以连续改变2的整数倍，对应的函数值连续改变到 下一个值
8
2) 解决的办法.
限制z的辐角的变换，使其辐角的该变量argz<2
理论上的的做法：
从原点O起到点∞任意引一条射线将z平面割破，该
直线称为割线，在割破了的平面(构成以此割线为边
界的区域，记为G)上，argz<2，从而可将其转化
为单值函数来研究
y
z
常用的做法：
从原点起沿着负实轴将z平 面割破：
z
G
o
x
9
结论：
从原点起沿着负实轴将z平面割破,即可将根式函数:
w n z 分成如下的n个单值函数：
复变函数 2.3初等多值解析函数
定义2.8(单叶函数）
设函数f(z)在区域D内有定义,且对D内任意不 同的两点z1及z2都有f(z1)≠f(z2),则称函数 f(z)在D内 是单叶的.并且称区域D为f(z)的单叶性区域.
显然,区域D到区域G的单叶满变换w=f(z) 就是D 到G的一一变换.
f(z)=z2不是C上的单叶函数. f(z)=z3是C上的单叶函数
i(z)2k
wknz
nr(z)e
k
n
定义域为 G k:2 k 2 k
值 域 T n: 2 k n n k2 k n n
wk在Gk上解析,且
wk
nz 1 kn
nz z
k
10
ww2 03 3ryeriein34 z
原点，张度不超过2/n的角形区域
角 域 T n :2 k n n 2 k n nk 0 ,1 , n 1
6
2.3.1根式函数
• 定义2.9 若z=wn,则称w为z的n次根式函数，记为：
wnz
i.e. 根式函数 w n z 为幂函数z=wn 的反函数.
(1) 根式函数的多值性.
说明： w=Lnz是指数函数ew=z的反函数 Lnz一般不能写成lnz
eLnz z
2.计算公式及多值性说明：
zei,wuiv
12
w = ln z e w = z e u iv = r e i
eu = r,v 2 k (k E )
u = l n r ( 实 对 数 ) , v 2 k ( k E ) A r g z
k n 2 k = a r g zn 2 k k 0 ,1 , n 1
w 0 n r e i 0 2 w 1 n r e i1
2 2 w 2nrei2 2 k w knre ik
定 义 定 域 义 G 3域 2 G :3 0 : G 1 4 5
值 值 域 域 TT20::o-3 25 33x
w1Leabharlann 3i2re n
T1
v
y
z
定 义 w域 1G 1 -:3r oei G322 03 x
3
z平面
射线 =0
圆周r=r0
角域0<<0
w平面
射线 =n0 圆周= r0n 射线0< <n0
y
z
0 0
o
W=zn x
v
w
nn00
o
u
4
z平面
角 角域 域T00:<n<0n
w平面
角角 域域 G 0<0: <n 0
角 2kn域 T n n: n n π 映 映 射 射 成 2成 kn负 负 实 实 n轴 轴 的 的 下 上 角 2岸 k岸 域 G nπ :k 2k
13
对于每一个k固 ,上定式的确定一个单 , 值 称为 Lnz的一个分 . 支 特殊地, 当 zx0时 ,Lz的 n 主 ln zl值 n x, 是实变.数对数函数
w L n z l n r i ( 2 k ) ( k E )
z
L n zln |z|iA rgz
的
由于Argz的多值性导致w=Lnz
主
是一个具有无穷多值的多值函数
辐
规定： ln zln r i ln z ia r g z .
角
为对数函数Lnz的主值
于是： w L n z ln z 2 ki(k E )
2
2.3.0幂函数的变换性质及其单叶性区域
设有幂函数: w=zn
令z=rei,w=ei ,则： w=zn ei = rnein= rn, =n
于是得到幂函数有如下的变换性质：
z平面
射线 =0
正 实 轴 0
圆周r=r0
w平面 射线 =n0
正 实 轴0 圆周= r0n
z0 wn00
i2k
z0 w knzkn|z|e n k0 ,1 , n 1
a r g z z 的 主 辐 角
7
(2) 分出根式函数的单值解析分支.
1) 产生多值的原因.
z 0 w knzk nre i n 2 k nre ik
y
z
v
w
n
o
n
W=zn x
从原点起沿负实轴剪开的w平面
上岸
G0 o
下岸
u
5
映射特点: 把以原点为顶点的角形域映射成以原点为顶点 的角形域, 但张角变成为原来的 n 倍.
角 域 T n :2 k n n 2 k n nk 0 ,1 , n 1
是幂函数的单叶性区域的一种分法 总之：幂函数w=zn (n>1) 单叶性区域是顶点在