精品课件-复变函数 2.3初等多值解析函数
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说明： w=Lnz是指数函数ew=z的反函数 Lnz一般不能写成lnz
eLnz z
2.计算公式及多值性说明：
zei,wuiv
12
w = ln z e w = z e u iv = r e i
eu = r,v 2 k (k E )
u = l n r ( 实 对 数 ) , v 2 k ( k E ) A r g z
2
2.3.0幂函数的变换性质及其单叶性区域
设有幂函数: w=zn
令z=rei,w=ei ,则： w=zn ei = rnein= rn, =n
于是得到幂函数有如下的变换性质：
z平面
射线 =0
正 实 轴 0
圆周r=r0
w平面 射线 =n0
正 实 轴0 圆周= r0n
复变函数 2.3初等多值解析函数
定义2.8(单叶函数）
设函数f(z)在区域D内有定义,且对D内任意不 同的两点z1及z2都有f(z1)≠f(z2),则称函数 f(z)在D内 是单叶的.并且称区域D为f(z)的单叶性区域.
显然,区域D到区域G的单叶满变换w=f(z) 就是D 到G的一一变换.
f(z)=z2不是C上的单叶函数. f(z)=z3是C上的单叶函数
从原点O起到点∞任意引一条射线将z平面割破，该
直线称为割线，在割破了的平面(构成以此割线为边
界的区域，记为G)上，argz<2，从而可将其转化
为单值函数来研究
y
z
常用的做法：
从原点起沿着负实轴将z平 面割破：
z
G
o
x
9
结论：
从原点起沿着负实轴将z平面割破,即可将根式函数:
w n z 分成如下的n个单值函数：
y
z
v
w
n
o
n
W=zn x
从原点起沿负实轴剪开的w平面
上岸
G0 o
下岸
u
5
映射特点: 把以原点为顶点的角形域映射成以原点为顶点 的角形域, 但张角变成为原来的 n 倍.
角 域 T n :2 k n n 2 k n nk 0 ,1 , n 1
是幂函数的单叶性区域的一种分法 总之：幂函数w=zn (n>1) 单叶性区域是顶点在
Fra Baidu bibliotek
13
对于每一个k固 ,上定式的确定一个单 , 值 称为 Lnz的一个分 . 支 特殊地, 当 zx0时 ,Lz的 n 主 ln zl值 n x, 是实变.数对数函数
z0 wn00
i2k
z0 w knzkn|z|e n k0 ,1 , n 1
a r g z z 的 主 辐 角
7
(2) 分出根式函数的单值解析分支.
1) 产生多值的原因.
z 0 w knzk nre i n 2 k nre ik
定 义 定 域 义 G 3域 2 G :3 0 : G 1 4 5
值 值 域 域 TT20::o-3 25 33x
w1
3
i2
re n
T1
v
y
z
定 义 w域 1G 1 -:3r oei G322 03 x
2 (n 1 ) w n 1 nre in 1
产生多值的原因是:当z取定后，其辐角不固定，可 以连续改变2的整数倍，对应的函数值连续改变到 下一个值
8
2) 解决的办法.
限制z的辐角的变换，使其辐角的该变量argz<2
理论上的的做法：
原点，张度不超过2/n的角形区域
角 域 T n :2 k n n 2 k n nk 0 ,1 , n 1
6
2.3.1根式函数
• 定义2.9 若z=wn,则称w为z的n次根式函数，记为：
wnz
i.e. 根式函数 w n z 为幂函数z=wn 的反函数.
(1) 根式函数的多值性.
w L n z l n r i ( 2 k ) ( k E )
z
L n zln |z|iA rgz
的
由于Argz的多值性导致w=Lnz
主
是一个具有无穷多值的多值函数
辐
规定： ln zln r i ln z ia r g z .
角
为对数函数Lnz的主值
于是： w L n z ln z 2 ki(k E )
值域T-1:
w
30
T0
w0
3
i
re n
3
y
z
o
3
T2 5
5 G2
3
u 例: w 3 z
wk
3
i 2k
re n
k 0,1, 2
o
3
x w2
3
i4
re n
11
2.3.2 对数函数
1. 定义 若 :e w z(z 0 )则 称 w 为 z对 数 函 数 ,记 为 : w L n z
3
z平面
射线 =0
圆周r=r0
角域0<<0
w平面
射线 =n0 圆周= r0n 射线0< <n0
y
z
0 0
o
W=zn x
v
w
nn00
o
u
4
z平面
角 角域 域T00:<n<0n
w平面
角角 域域 G 0<0: <n 0
角 2kn域 T n n: n n π 映 映 射 射 成 2成 kn负 负 实 实 n轴 轴 的 的 下 上 角 2岸 k岸 域 G nπ :k 2k
i(z)2k
wknz
nr(z)e
k
n
定义域为 G k:2 k 2 k
值 域 T n: 2 k n n k2 k n n
wk在Gk上解析,且
wk
nz 1 kn
nz z
k
10
ww2 03 3ryeriein34 z
k n 2 k = a r g zn 2 k k 0 ,1 , n 1
w 0 n r e i 0 2 w 1 n r e i1
2 2 w 2nrei2 2 k w knre ik
eLnz z
2.计算公式及多值性说明：
zei,wuiv
12
w = ln z e w = z e u iv = r e i
eu = r,v 2 k (k E )
u = l n r ( 实 对 数 ) , v 2 k ( k E ) A r g z
2
2.3.0幂函数的变换性质及其单叶性区域
设有幂函数: w=zn
令z=rei,w=ei ,则： w=zn ei = rnein= rn, =n
于是得到幂函数有如下的变换性质：
z平面
射线 =0
正 实 轴 0
圆周r=r0
w平面 射线 =n0
正 实 轴0 圆周= r0n
复变函数 2.3初等多值解析函数
定义2.8(单叶函数）
设函数f(z)在区域D内有定义,且对D内任意不 同的两点z1及z2都有f(z1)≠f(z2),则称函数 f(z)在D内 是单叶的.并且称区域D为f(z)的单叶性区域.
显然,区域D到区域G的单叶满变换w=f(z) 就是D 到G的一一变换.
f(z)=z2不是C上的单叶函数. f(z)=z3是C上的单叶函数
从原点O起到点∞任意引一条射线将z平面割破，该
直线称为割线，在割破了的平面(构成以此割线为边
界的区域，记为G)上，argz<2，从而可将其转化
为单值函数来研究
y
z
常用的做法：
从原点起沿着负实轴将z平 面割破：
z
G
o
x
9
结论：
从原点起沿着负实轴将z平面割破,即可将根式函数:
w n z 分成如下的n个单值函数：
y
z
v
w
n
o
n
W=zn x
从原点起沿负实轴剪开的w平面
上岸
G0 o
下岸
u
5
映射特点: 把以原点为顶点的角形域映射成以原点为顶点 的角形域, 但张角变成为原来的 n 倍.
角 域 T n :2 k n n 2 k n nk 0 ,1 , n 1
是幂函数的单叶性区域的一种分法 总之：幂函数w=zn (n>1) 单叶性区域是顶点在
Fra Baidu bibliotek
13
对于每一个k固 ,上定式的确定一个单 , 值 称为 Lnz的一个分 . 支 特殊地, 当 zx0时 ,Lz的 n 主 ln zl值 n x, 是实变.数对数函数
z0 wn00
i2k
z0 w knzkn|z|e n k0 ,1 , n 1
a r g z z 的 主 辐 角
7
(2) 分出根式函数的单值解析分支.
1) 产生多值的原因.
z 0 w knzk nre i n 2 k nre ik
定 义 定 域 义 G 3域 2 G :3 0 : G 1 4 5
值 值 域 域 TT20::o-3 25 33x
w1
3
i2
re n
T1
v
y
z
定 义 w域 1G 1 -:3r oei G322 03 x
2 (n 1 ) w n 1 nre in 1
产生多值的原因是:当z取定后，其辐角不固定，可 以连续改变2的整数倍，对应的函数值连续改变到 下一个值
8
2) 解决的办法.
限制z的辐角的变换，使其辐角的该变量argz<2
理论上的的做法：
原点，张度不超过2/n的角形区域
角 域 T n :2 k n n 2 k n nk 0 ,1 , n 1
6
2.3.1根式函数
• 定义2.9 若z=wn,则称w为z的n次根式函数，记为：
wnz
i.e. 根式函数 w n z 为幂函数z=wn 的反函数.
(1) 根式函数的多值性.
w L n z l n r i ( 2 k ) ( k E )
z
L n zln |z|iA rgz
的
由于Argz的多值性导致w=Lnz
主
是一个具有无穷多值的多值函数
辐
规定： ln zln r i ln z ia r g z .
角
为对数函数Lnz的主值
于是： w L n z ln z 2 ki(k E )
值域T-1:
w
30
T0
w0
3
i
re n
3
y
z
o
3
T2 5
5 G2
3
u 例: w 3 z
wk
3
i 2k
re n
k 0,1, 2
o
3
x w2
3
i4
re n
11
2.3.2 对数函数
1. 定义 若 :e w z(z 0 )则 称 w 为 z对 数 函 数 ,记 为 : w L n z
3
z平面
射线 =0
圆周r=r0
角域0<<0
w平面
射线 =n0 圆周= r0n 射线0< <n0
y
z
0 0
o
W=zn x
v
w
nn00
o
u
4
z平面
角 角域 域T00:<n<0n
w平面
角角 域域 G 0<0: <n 0
角 2kn域 T n n: n n π 映 映 射 射 成 2成 kn负 负 实 实 n轴 轴 的 的 下 上 角 2岸 k岸 域 G nπ :k 2k
i(z)2k
wknz
nr(z)e
k
n
定义域为 G k:2 k 2 k
值 域 T n: 2 k n n k2 k n n
wk在Gk上解析,且
wk
nz 1 kn
nz z
k
10
ww2 03 3ryeriein34 z
k n 2 k = a r g zn 2 k k 0 ,1 , n 1
w 0 n r e i 0 2 w 1 n r e i1
2 2 w 2nrei2 2 k w knre ik