多元函数微分学的几何应用.ppt

x1 y 1 z 1 , 123 法平面方程为
(x1)2(y1)3(z1)0ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 即x2y3z6
首页
上页
返回
下页
结束
铃
曲线x(t), y(t), z(t)在tt0所对应的点M0的切向量 为T((t0), (t0), (t0))
讨论:
1 若曲线的方程为y(x), z(x), 则切向量T?
2 若曲线的方程为F(x, y, z)0, G(x, y, z)0, 则切向量T? 提示:
(t0)(xx0)(t0)(yy0)(t0)(zz0)0
首页
上页
返回
下页
结束
铃
曲线x(t), y(t), z(t)在tt0所对应的点M0的切向量 为T((t0), (t0), (t0))
例1 求曲线xt, yt2, zt3在点(1, 1, 1)处的切线及法平面 方程
解 点(1, 1, 1)所对应的参数t1 因为 xt1, yt2t, zt3t2, 所以切向量为T(1, 2, 3) 于是, 切线方程为
2dyddyxdzddxz11 dx dx
(x1)0(y2)(z1)0, 即 xz0
首页
上页
返回
下页
结束
铃
二、曲面的切平面与法线
设M0(x0, y0, z0)是曲面: F(x, y, z)0上的一点, 是曲面 上过点M0的任意一条曲线, 其参数方程为
x(t), y(t), z(t),
tt0对应于点M0(x0, y0, z0) 因为曲线在曲面上, 所以有
F[(t),(t),(t)]0
等式的两边在tt0点求全导数得
Fx(x0, y0, z0)(t0)Fy(x0, y0, z0)(t0)Fz(x0, y0, z0)(t0)0
向量 n(Fx(x0,y0,z0), Fy(x0,y0,z0), Fz(x0,y0,z0))与曲线上点
M0处的切向量T ((t0),(t0),(t0))是垂直的
首页
上页
返回
下页
结束
铃
曲面: F(x, y, z)0在点M0(x0, y0, z0)处的法向量为 n(Fx(x0, y0, z0), Fy(x0, y0, z0), Fz(x0, y0, z0))
例3 求球面x2y2z214在点(1, 2, 3)处的切平面及法线方 程
解 F(x, y, z) x2y2z214, Fx2x, Fy2y, Fz2z, Fx(1, 2, 3)2, Fy(1, 2, 3)4, Fz(1, 2, 3)6
法向量为n(2, 4, 6), 或n(1, 2, 3) 所求切平面方程为
(x1)2(y2)3(z3)0, 即x2y3z140 法线方程为
x1 y 2 z 3 123
首页
上页
返回
下页
结束
铃
曲面: F(x, y, z)0在点M0(x0, y0, z0)处的法向量为 n(Fx(x0, y0, z0), Fy(x0, y0, z0), Fz(x0, y0, z0))
作曲线的割线MM0, 其方程为
x x0 y y0 z z0 x y z
,
或
x x0 x
y y0 y
z z0 z
t t t
当MM0, 即t0时, 得曲线在点M0处的切线方程为
x x0 y y0 z z0
(t0) (t0) (t0)
首页
上页
返回
下页
结束
铃
一、空间曲线的切线与法平面
首页
上页
返回
下页
结束
铃
二、曲面的切平面与法线
设M0(x0, y0, z0)是曲面: F(x, y, z)0上的一点, 是曲面 上过点M0的任意一条曲线, 其参数方程为
x(t), y(t), z(t),
tt0对应于点M0(x0, y0, z0) 向量 n(Fx(x0,y0,z0), Fy(x0,y0,z0), Fz(x0,y0,z0))与曲线上点
M0处的切向量T ((t0),(t0),(t0))是垂直的
❖曲面的切平面与法线
曲面上通过点M0的一切曲线在点M0的切线都在同一个 平面上, 这个平面称为曲面在点M0的切平面; 通过点M0而垂 直于切平面的直线称为曲面在该点的法线
首页
上页
返回
下页
结束
铃
❖曲面的切平面方程 曲面在点M0(x0, y0, z0)的切平面方程为 Fx(x0, y0, z0)(xx0)Fy(x0, y0, z0)(yy0)Fz(x0, y0, z0)(zz0)0
法平面方程
解 为求切向量, 将所给方 解方程组得 dy 0 , dz 1
程的两边对x求导数, 得
dx dx 从而T {1, 0, 1}
2x 1
2y dy
dy
dx dz
2z 0
dz dx
0
dx dx
方程组在点(1, 2, 1)处化为
所求切线方程为
x1 y 2 z 1 , 1 0 1 法平面方程为
§86 多元函数微分学的几何应用
一、空间曲线的切线与法平面 二、曲面的切平面与法线
首页
上页
返回
下页
结束
铃
一、空间曲线的切线与法平面
设空间曲线的参数方程为
x(t), y(t), z(t), 这里假定(t), (t), (t)都在[, ]上可导
设tt0和tt0t分别对应于曲线上的
点M0(x0, y0, z0)和M(x0+x, y0+y, z0+z)
1 曲线的参数方程可视为: xx, y(x), z(x), 切向量为T (1, (x), (x))
2 两方程可确定两个隐函数: y(x), z(x) 切向量为T (1, (x), (x)), 而(x), (x)要通过解方程组得
到 >>>
首页
上页
返回
下页
结束
铃
例2 求曲线x2y2z26, xyz0在点(1, 2, 1)处的切线及
设空间曲线的参数方程为
x(t), y(t), z(t), 这里假定(t), (t), (t)都在[, ]上可导
过曲线上tt0所对应的点M0切线方 程为
x x0
(t0)
y
y0 (t0)
z z0
(t0)
向量T((t0), (t0), (t0))称为曲线在点M0的切向量
通过点M0而与切线垂直的平面称为曲线在点M0处的法 平面, 其法平面方程为
❖曲面的法线方程 曲面通过点M0(x0, y0, z0)的法线方程为 x x0 y y0 z z0 Fx(x0, y0, z0) Fy(x0, y0, z0) Fz(x0, y0, z0)
❖曲面的法向量 垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量 向量
n(Fx(x0, y0, z0), Fy(x0, y0, z0), Fz(x0, y0, z0)) 是曲面在点M0(x0, y0, z0)处的一个法向量