第一讲导数、导函数的概念及导数的运算讲义(非常好、有解析)

导数与导函数的概念

【基础知识点】

1 .函数/(X)从丙到花的平均变化率为① _________________ ，若△ x X

2 X i ,

△ y f^)

f(xj ，则平均变化率可表示为

Ar

2.一般的，定义在区间(a ，b )上的函数f(x)，x 。 (a , b)，当 x 无限趋近于0时,

丄 丄^。——x)一无限趋近于一个固定的常数

A ，则称f(x)在x X 。处可导，并

x

x

称A 为f (x)在x X 。处的导数，记作f '(X 。)或f '(x) |x x o

3.几何意义：f (X)在X x 0处的导数就是f(x)在x x 0处的切线斜率。

4•导函数的概念：f (X)的对于区间(a ,b )上任意点处都可导，则 f (X)在各点的导数 也 随x 的变化而变化，因而也是自变量

x 的函数，该函数被称为 f (x)的导函数，记 作

【典例解析】

【典例1】函数f (X)满足f'(1)

2，则当X 无限趋近于0时,

变式：设f(x)在X=X 0处可导,

(3) ______________________________________________________ f(X0 4 X )__LL 型 无限趋近于 1，则 f (x 0)= ________________________________________________

X

(4) _____________________________________________________ f(X 0 4 X ) f(X 0)无限趋近于 1，则 f (X 0)= ________________________________________ r

X

(5) 当厶X 无限趋近于0，

f(X0

2

X )__f(x °

2

X )所对应的常数与f (x 0)的

X

关系。

总结：导数等于纵坐标的增量与横坐标的增量之比的极限值。

(1) f(1 x) f(1)

2x

(2)

f(1 2x) f(1)

x

【基础知识点】

3

1 •基本初等函数的求导公式:

(kx b) k (k,b 为常数） ⑵

（C ） 0 （C 为常数）

(x) ⑷（x 2）

2x

(x 3)

3x 2 (丄) x

(■ x)

_1_ 2一x ⑻ (x )

x 1

(

为常数）

⑼ (a x

) a x

ln a (a 0, a 1)

⑽ (log a x) 1 . log a e 1 (a 0, 且a 1) x xl na (11) (e x ) x e (12) (lnx) 1

x (13) (si nx) cosx (14) (cosx) 一 si nx 2. 曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线. 曲线

⑺ 线方程是 y — f (x o )= f '(x o ) (x -x o ); y = f （X ）在点 P （ x o ，f （ x o ））处的切 3.求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解. 4 •函数的差、积、商的求导法则： (1) f (x) g(x) ' f'(x) g'(x) (2)

Cf(x) ' Cf (x)' (3) f(x)g(x) ' f'(x)g(x) f(x)g'(x) (4)

f(x) g(x) f'(x)g(x) f(x)g'(x) g(x )

2 (g(x) 0)

【典例解析】

【典例1】求下列函数的导数 （1） y 3 x 5

（3） y log 4 x 1 (2) y —

x

(4) y

si%

x)

1 3 8

【典例2

】已知曲线y 3x 上一点P （2

，-），则过

P

点的切线方程为

12x 3y 16 0 .

变式：（南通市2013届高三第一次调研测试数学试卷）曲线 f （x ）

点（1,f （1））处的切线方程为 题型二：点不在曲线上

【典例3】过点（10）作抛物线y x 2 x ［的切线，则其中一条切线为 __________________________ 解析：设切点为x o ,y o ，切线的斜率为f ' x o

2x o 1 ，则切线方程为： y y o f x o x

x o ，因为点（1,0）在切线上，故

y °

f x o 1 x o

，解得

X o 0 ，或X o 2 ，切点为0,1 或 2,3 ，故切线方程为x y 2 0或

3x y 3

变式：1.（江苏省淮安市2013届高三上学期第一次调研测试数学试题）过点

1,0 •与函

数f x e x （ e 是自然对数的底数）图像相切的直线方程是 _______________ .

2. （2011年高考（江苏卷））在平面直角坐标系 xOy 中，已知点P 是函数f （x ） e x （x 0）的 图

象上的动点，该图象在P 处的切线I 交y 轴于点M 过点P 作I 的垂线交y 轴于点N 设 线段MN 的中点的纵坐标为t ,则t 的最大值是__ 题型三：已知切线斜率求切线方程 【典例4】求垂直于直线 2x 6y 1 0且与曲线 3 Q 2

y x 3x

5相切的直线方程。

解析：设切点为 x 0, y 0

，切线的斜率为f ' X o

2

3x o 6x 0

3，解得X o 1，切点为

1, 3 ，切线方程为

3x y 6

题型四：已知切线求参数

【典例5】已知直线y

kx 是y ln x 的切线，贝U k 的值为

（5） y cos （- x

）

题型一：点在曲线上 (6) y X x . x

解析：过点P 的切线的斜率为k

2

4，那么切线方程为y

-4x

3

2 ，即

f(0)x gx 2在