高考中的分段函数

高考中的分段函数

云南省下关第一中学 郭润仙

分段函数既能考查函数的概念及性质,又能体现分类讨论,数形结合的数学思想方法,故成为高考命题热点之一.下面就高考中分段函数的题型及解题策略做一归纳,希望同学们能有所收获.

一. 求分段函数的函数值

已知分段函数解析式求对应的函数值,这类问题是高考数学试题最常考的题型,解决这类问题的关键就是弄清自变量所在区间,然后代入对应区间的解析式求值;若是求"层层套"的函数值,要从内到外逐层计算.

例1.(2015 理5)设函数211log (2),1,

()2,1,

x x x f x x -+-<⎧=⎨≥⎩,2(2)(log 12)f f -+=( )

A ．3

B ．6

C ．9

D ．12 【答案】C

【解析】试题分析：由已知得2(2)1log 43f -=+=，又2log 121>，所以

22log 121log 62(log 12)226f -===，故2(2)(log 12)9f f -+=，故选C ．

例2(2015陕西文4) 设

，则

（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】

例3(2015 全国课标1文10)已知函数1222,1

()log (1),1

x x f x x x -⎧-≤=⎨-+>⎩ ，

且()3f a =-，则(6)f a -= ( ) A.74- B.54- C.34- D.14

- 【答案】A

【解析】试题分析：∵()3f a =-，∴当1a ≤时，1

()2

23a f a -=-=-，则121a -=-，此

等式显然不成立，当1a >时，2log (1)3a -+=-，解得7a =， ∴(6)f a -=(1)f -=117

224

---=-

，故选A. 二. 求分段函数的值域或最值

已知分段函数解析式求值域或最值,是高考数学试题的最基本题型.解决这类问题的关键就是求出分段函数中每一个区间对应函数值的范围或每一个区间上的最值(再进行比较),借助于图象也是解决这类问题的常用方法.

例4(2015浙江文12)已知函数，则 ，

的最小值是 ． 【答案】

例5( 2015福建理14)若函数 （ 且 ）的值域是

，则实数

的取值范围是 ．

【答案】

三.分段函数的性质的判断与应用

1. 分段函数的单调性: 分段函数的单调性必须每一段都单调,而且要关注分段点处的情况.

2. 分段函数的奇偶性:必须对每一段的奇偶性进行单独讨论,由函数及偶性的定义,得出奇

偶性的结论,或由函数图象来判断.

例6(2014福建理7)已知函数()⎩

⎨⎧≤>+=0,cos 0

,12x x x x x f 则下列结论正确的是（ ）

A.()x f 是偶函数

B. ()x f 是增函数

C.()x f 是周期函数

D.()x f 的值域为[)+∞-,1

解析: 做出函数的图象,则可直观看出, ()x f 不是偶函数,不是增函数,不是周期函数, 其值域是[)+∞-,1,故选D

例7(2015湖北理6)已知符号函数

是

上的增函数，

，则（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】B

【解析】试题分析：因为

是

上的增函数，令

，所以

，

因为，所以是上的减函数，由符号函数知，

.

三. 分段函数与方程的交汇(或求分段函数的零点)

分段函数与方程的交汇性试题是今近年来高考数学试题的热点题型. .解决这类问题要对不同区间进行分类讨论,列出不同方程来求解,然后整合. 求分段函数的零点问题主要是零点个数问题,常转化为两个函数图象的交点个数问题去解决,关键是作出函数的图象. 例8(2015理山东（10）)设函数f(x)={3x −1 ,x <1

2x ,x ≥1

,则满足

的取值范

围是（）

（A ）[2

3

,1] （B ）[0,1] （C ）[2

3

,+∞） （D ）[1, +∞）

【答案】C

例9(2015天津理（8）)已知函数()()2

2,2,

2,2,

x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩ 函数()()2g x b f x =-- ，其中b R ∈，若函数()()y f x g x =- 恰有4个零点，则b 的取值范围是( )

（A ）7,4⎛⎫+∞

⎪⎝⎭ （B ）7,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ （C ）70,4⎛⎫ ⎪⎝⎭（D ）7,24⎛⎫

⎪⎝⎭

【答案】D

【解析】试题分析：由()()2

2,2,2,2,x x f x x x -≤⎧⎪=⎨->⎪⎩得222,0

(2),0x x f x x x --≥⎧⎪-=⎨<⎪⎩， 所以222,0

()(2)42,

0222(2),2x x x y f x f x x x x x x x ⎧-+<⎪

=+-=---≤≤⎨⎪--+->⎩

， 即222,0()(2)2,0258,2x x x y f x f x x x x x ⎧-+<⎪

=+-=≤≤⎨⎪-+>⎩

()()()(2)y f x g x f x f x b =-=+--,所以()()y f x g x =-恰有4个零点等价于方程 ()(2)0f x f x b +--=有4个不同的解，即函数y b =与函数()(2)y f x f x =+-的图

象的4个公共点，由图象可知

7

24

b <<

.