二次函数综合提高题典型题3(与特殊三角形有关)
初三数学中考复习：二次函数中特殊三角形的存在问题(含答案)
特殊三角形存在性问题一、等腰三角形存在性问题【例4】如图，抛物线y＝－x2＋mx＋n与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A(－1，0)，C(0，3)．(1)求抛物线的解析式．解：把A(－1，0)，C(0，3)代入y＝－x2＋mx＋n，得解得∴抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3.(2)判断△ACD的形状，并说明理由．先确定点D的坐标，求出△ACD的各边长，然后判断△ACD的形状．解：△ACD是等腰三角形．由(1)知，抛物线的对称轴为x＝1，∴D(1，0)．∵A(－1，0)，C(0，3)，∴AD＝2，AC＝＝，CD＝＝.∴AC＝CD.∴△ACD是等腰三角形．(3)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，求出P点的坐标；如果不存在，请说明理由．先找出所有符合条件的点，然后再求线段长确定P点坐标．解：由(2)知CD＝.∵△CDP是以CD为腰的等腰三角形，∴CP1＝DP2＝DP3＝CD.过点C作CM垂直对称轴于M，∴MP1＝MD＝3.∴DP1＝6.∴符合条件的点P的坐标为(1，6)，(1，)，(1，－)．(4)点P是线段BC上的一动点，是否存在这样的点P，使△PCD是等腰三角形？如果存在，求出P点的坐标，如果不存在，请说明理由．先求出BC的解析式，分三种情况讨论计算出m.解：∵B(3，0)，C(0，3)，∴直线BC的解析式为y＝－x＋3.设点P(m，－m＋3)(m＞0)．∵C(0，3)，D(1，0)，∴CP2＝2m2，DP2＝(m－1)2＋(－m＋3)2，CD2＝10.∵△PCD是等腰三角形：①当CP＝DP时，则CP2＝DP2.∴2m2＝(m－1)2＋(－m＋3)2.∴m＝.∴P.1②当CP＝CD时，则CP2＝CD2.∴2m2＝10.∴m＝或m＝－(舍去)．(，3－)．∴P2③当DP＝CD时，则DP 2＝CD 2.∴(m－1)2＋(－m＋3)2＝10.∴m＝4或m＝0(舍去)．∴P(4，－1)．3综上所述，符合条件的点P的坐标为，(，3－)或(4，－1)．(5)设抛物线的顶点为E，在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P，使得△PEC是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．分“以CE为底”和“以CE为腰”两种情况讨论．利用腰长相等列关系式，再结合抛物线解析式，求出点P的坐标．解：由(1)知，E点坐标为(1，4)，对称轴为直线x＝1.①若以CE为底边，则PE＝PC.设点P的坐标为(x，y)，则(x－1)2＋(y－4)2＝x2＋(3－y)2，即y＝4－x.又∵点P(x，y)在抛物线上，∴4－x＝－x2＋2x＋3.解得x＝.∵＜1，应舍去．∴x＝，y＝4－x＝.即点P的坐标为.②若以CE为一腰，因为点P在对称轴右侧的抛物线上，由抛物线的对称性可知，点P与点C关于直线x＝1对称，此时P点坐标为(2，3)．综上所述，符合条件的点P坐标为或(2，3)．关于等腰三角形找点(作点)和求点的方法①等腰三角形找点(作点)方法：以已知边为边长，作等腰三角形，运用“两圆一问题找点已知点A，B和直线l，在l上求点P，使△P AB为等腰三角形分别以点A，B为圆心，以线段AB长为半径作圆，再作线段AB的垂直平分线，两圆和垂直平分线与l的交点即为所有要求的P点②等腰三角形求点方法：以已知边为边长，在抛物线或坐标轴或对称轴上找点，与已知点构成等腰三角形，先设所求点的坐标，然后求出三点间的线段长度，分不同顶点进行讨论．二、直角三角形的存在性问题【例5】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋2x＋c与x轴交于A(－1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．(1)求抛物线的解析式和直线AC的解析式；解：把A(－1，0)，B(3，0)代入y＝ax2＋2x＋c，得解得∴抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3.设AC的解析式为y＝kx＋3.把A(－1，0)代入解析式，得k＝3.∴直线AC的解析式为y＝3x＋3.(2)动点E在y轴上移动，当△EAC是以AC边为直角边的直角三角形时，求点E的坐标．解：设E的坐标为(0，t)．AC2＝OA2＋OC2＝12＋32＝10，EA2＝OA2＋OE2＝12＋t2，CE2＝(3－t)2.在Rt△EAC中，AC2＋EA2＝CE2，∴10＋(12＋t2)＝(3－t)2，解得t＝－.∴点E的坐标为.(3)试探究：在拋物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．分直角顶点在点A处和点C处两种情况讨论．解：存在．①直角顶点在点C处．如图，过点C作CQ⊥AC交x轴于点Q，△ACQ为直角三角形．又∵CO⊥AQ，∴△COA∽△QOC.∴＝.∵A(－1，0)，C(0，3)，∴OA＝1，OC＝3.∴＝.∴OQ＝9.∴Q(9，0)．由C(0，3)，Q(9，0)可求出直线CQ的解析式为y＝－x＋3.联立方程解得x1＝0(舍去)，x2＝.当x＝时，y＝.∴P1.②直角顶点在点A处．如图，过点A作AP2∥CQ交抛物线于点P2.设直线AP2的解析式为y＝－x＋b，把A(－1，0)代入解析式，得－×(－1)＋b＝0，∴b＝－.∴直线AP2的解析式为y＝－x－. 联立方程解得x1＝－1(舍去)，x2＝，当x＝时，y＝－.∴P2.综上所述，符合条件的点P的坐标为或.(4)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得以B，C，P为顶点的三角形为直角三角形？若存在，试求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．分直角顶点在点B处、点C处和点P处三种情况讨论．解：设点P(1，m)，B(3，0)，C(0，3)．∴BC2＝18，PB2＝(1－3)2＋m2＝m2＋4，PC2＝12＋(m－3)2＝m2－6m＋10.①当以点C为直角顶点时，BC2＋PC2＝PB2，即18＋ (m2－6m＋10)＝m2＋4，解得m＝4.②当以点B为直角顶点时，BC2＋PB2＝PC2，即18＋ (m2＋4)＝m2－6m＋10，解得m＝－2.③当以点P为直角顶点时，PB2＋PC2＝BC2，即m2＋4＋ (m2－6m＋10) ＝18，解得m1＝，m2＝.综上，存在点P，使得以点B，C，P为顶点的三角形为直角三角形，点P的坐标为(1，4)，(1，－2)，，.（5）作直线MN平行于x轴，分别交线段AC，BC于点M，N.问在x轴上是否存在点P，使得△PMN是等腰直角三角形？如果存在，求出所有满足条件的P点的坐标；如果不存在，请说明理由．分三种情况进行讨论：①∠PMN＝90°，PM＝MN；②∠PNM＝90°，PN＝MN；③∠MPN＝90°，PM＝PN.解：存在．设M，N的纵坐标为m，由B(3，0)，C(0，3)可求出直线BC的解析式为y＝－x＋3.∴M，N(3－m，m)①当∠PMN＝90°，PM＝MN时，如图1所示，∵MN＝，PM＝m，∴＝m，解得m＝，则P的横坐标为－.∴P.②当∠PNM＝90°，PN＝MN时，同理可得P.③当∠MPN＝90°，PM＝PN时，作MN的中点Q，连接PQ，则PQ＝m.又∵PM＝PN，∴PQ⊥MN.则MN＝2PQ，即＝2m，解得m＝，点P的横坐标为＝＝.∴P.综上，存在点P使得△PMN是等腰直角三角形，点P的坐标为，或.关于直角三角形找点和求点的方法①找点：以已知边为边长，作直角三角形，运用两线一圆法，在图上找出存在点的个数．所谓的“两线”就是指以已知边为直角边，过已知边的两个端点分别作垂线与抛物线或坐标轴或对称轴的交点，就是所求的点；“一圆”就是以已知边为直径，以已知边的中点作圆，与抛物线或坐标轴或对称轴的交点即为所求的点．②求点：以两定点为直角顶点时，两直线互相垂直，则k1·k2＝－1；以已知线段为斜边时，利用K型图，构造双垂直模型，最后利用三角形相似求解，或者三条边分别用代数式表示之后，利用勾股定理求解．。
人教版九年级数学中考复习：二次函数综合题专项训练(特殊三角形问题)
人教版九年级数学中考复习：二次函数综合题专项训练（特殊三角形问题）1．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线2y ax 2x c =++与x 轴交于()1,0A -，()3,0B 两点，与y 轴交于点C ．(1)求抛物线的解析式； (2)求直线AC 的解析式；(3)试探究：在抛物线上是否存在一点P ，使APC △是以AC 为直角边的直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由；(4)如图2，点Q 是x 轴上一动点，将△ACQ 沿CQ 翻折，得△DCQ ，连接BD ，请直接写出BD 的最小值．2．已知二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象与x 轴交于A （﹣3，0），B （1，0）两点，与y 轴交于点C （0，﹣3m ）（m ＞0），顶点为D ．(1)如图1，当m ＝1时， △求该二次函数的解析式；△点P 为第三象限内的抛物线上的一个动点，连接AC 、OP 相交于点Q ，求PQ的最(2)如图2，当m取何值时，以A、D、C为顶点的三形与△BOC相似．3．如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣3，0），B（1，0），C（0，﹣3）(1)求抛物线的解析式；(2)若点P为抛物线对称轴上一点，求△PBC周长取得最小值时点P的坐标；(3)设抛物线的顶点为D，DE△x轴于点E，在y轴上是否存在点M使得△ADM是直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．4．如图，二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C．(1)求二次函数的表达式；(2)若点D为抛物线对称轴上一动点，当△BCD是直角三角形时，请直接写出点D的坐标；(3)若点E（m，n）为抛物线上的一个动点，将点E绕原点O旋转180°得到点F．△当点F落在第二象限内且AF取得最小值时，求m的值．5．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于点A，B（点A 在点B的左侧），与y轴交于点C，抛物线顶点为点D．(1)求B，C，D三点坐标；(2)如图1，抛物线上有E，F两点，且EF//x轴，当△DEF是等腰直角三角形时，求线段EF的长度；(3)如图2，连接BC，在直线BC上方的抛物线上有一动点P，当△PBC面积最大时，点P坐标．6．如图，抛物线y＝ax2+3x+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0）和点B，与y轴交于E ．(1)求抛物线的解析式和直线BC 的解析式； (2)求四边形ABDC 的面积；(3)P 是第一象限内抛物线上的动点，连接PB ，PC ，当S △PBC 35=S △ABC 时，求点P 的坐标；(4)在抛物线的对称轴l 上是否存在点M ，使得△BEM 为等腰三角形？若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．7．如图，经过原点的抛物线22(0)y x mx m =-+>与x 轴的另一个交点为.A 过点()1,P m 作直线PM x ⊥轴于点M ，交抛物线于点.B 记点B 关于抛物线对称轴的对称点为(C B 、C 不重合).连接CB ，CP ．(1)直接写出点A 、B 、C 的坐标(用含m 的代数式表示)； (2)当1m >时，连接CA ，问m 为何值时CA CP ⊥？(3)当01m <<过点P 作PE PC ⊥且PE PC =，问是否存在m ，使得点E 落在x 轴上？若存在，求出所有满足要求的m 的值，并定出相对应的点E 坐标；若不存在，请说明理由．8．将抛物线C ：y ＝（x ﹣2）2向下平移6个单位长度得到抛物线C 1，再将抛物线C 1向左平移2个单位长度得到抛物线C 2(1)直接写出抛物线C 1，C 2的解析式；(2)如图（1），点A 在抛物线C 1（对称轴l 右侧）上，点B 在对称轴l 上，△OAB 是以OB 为斜边的等腰直角三角形，求点A 的坐标；(3)如图（2），直线y ＝kx （k ≠0，k 为常数）与抛物线C 2交于E ，F 两点，M 为线段EF 的中点；直线y 4k=-x 与抛物线C 2交于G ，H 两点，N 为线段GH 的中点．求证：直线MN 经过一个定点．9．如图，在平面直相坐标系中，抛物线2143y x bx =-++的对称轴是直线x ＝2，与x轴相交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ．(1)求b 的值及B ，C 两点坐标；(2)M 第一象限内抛物线上的一个点，过点M 作MN △x 轴于点N ，交BC 于点D ． △当线段MD 的长取最大值时，求点M 的坐标； △连接CM ，当线段 CM ＝CD 时，求点M 坐标．10．已知：如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与坐标轴分别交于点A（0，6），C（﹣2，0），tan△ABO＝1，点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．(1)求抛物线的解析式；(2)当点P运动到什么位置时，△P AB的面积有最大值？(3)过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P作PE△x轴交抛物线于点E，连接DE，请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．11．如图，抛物线y＝ax2+3x+c经过A(﹣1，0)，B(4，0)两点，并且与y轴交于点C．(1)求此抛物线的解析式；(2)直线BC的解析式为；(3)若点M是第一象限的抛物线上的点，且横坐标为t，过点M作x轴的垂线交BC于点N，设MN的长为h，求h与t之间的函数关系式及h的最大值；(4)在x轴的负半轴上是否存在点P，使以B，C，P三点为顶点的三角形为等腰三角形？如果存在；如果不存在，说明理由．12．抛物线y ＝ax 2+bx +3过点A (﹣1，0)，点B (3，0)，顶点为C ．(1)求抛物线的表达式及点C 的坐标；(2)如图1，点P 在抛物线上，连接CP 并延长交x 轴于点D ，连接AC ，若DAC 是以AC 为底的等腰三角形，求点P 的坐标；(3)如图2，在（2）的条件下，点E 是线段AC 上（与点A ，C 不重合）的动点，连接PE ，作△PEF ＝△CAB ，边EF 交x 轴于点F ，设点F 的横坐标为m ，求m 的取值范围．13．抛物线23y ax bx =++过点(1,0)A -，点(3,0)B ，顶点为C ．(1)求抛物线的表达式及点C 的坐标；(2)如图1，点P 在抛物线上，连接CP 并延长交x 轴于点D ，连接AC ，若DAC △是以AC 为底的等腰三角形，求点P 的坐标；(3)如图2，在（2）的条件下，点E 是线段AC 上（与点A ，C 不重合）的动点，连接PE ，作PEF CAB ∠=∠，边EF 交x 轴于点F ，求AF 的最大值．14．如图，已知二次函数y＝﹣x2+bx+c（c＞0）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且OB＝OC＝3，顶点为M．(1)求二次函数的解析式；(2)点P为线段BM上的一个动点，过点P作x轴的垂线PQ，垂足为Q，若OQ＝m，四边形ACPQ的面积为S，求S关于m的函数解析式，并写出m的取值范围；(3)探索：线段BM上是否存在点N，使△NMC为等腰三角形？如果存在，求出点N的坐标；如果不存在，请说明理由．15．如图△，直线AB y：＋x轴、y轴分别交于A，B两点，将△ABO沿x 轴正方向平移后，点A、点B的对应点分别为点D、点C，且四边形ABCD为菱形，连接AC，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A、B、C三点，点P为AC上方抛物线上一动点，作PE△AC，垂足为E．(1)求此抛物线的函数关系式；(2)求线段PE长度的最大值；(3)如图△，延长PE交x轴于点F，连接OP，若△OPF为等腰三角形，请直接写出点P的坐标．16．如图，已知直线y＝34-x+3与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线y＝ax2+bx+3经过B、C两点并与x轴的另一个交点为A，且OC＝3OA．(1)求抛物线的解析式；(2)点D为直线BC上方对称轴右侧抛物线上一点，当△DBC的面积为92时，求D点的坐标；(3)在（2）的条件下，连接CD，作DE△x轴于E，BC、DE交于点H，点P为线段CD 上一个动点，过点P作PF△AC交x轴于点F，连接FH，当△PFH＝45°时，求点F的坐标；(4)若M（m，n）是直线BC上方抛物线上一点，如果△MBC为锐角三角形，请直接写出点M的横坐标m的取值范围．17．已知，抛物线y＝ax2，其中a＞0．(1)如图1，若点A、B是此抛物线上两点，且分属于y轴两侧，连接AB与y轴相交于点C，且△AOB＝90°．求证：CO1a =；(2)如图2，若点A是此抛物线上一点，过点A的直线恰好与此抛物线仅有一个交点，且与y轴交于点B，与x轴相交于点C．求证：AC＝BC．18．如图1，抛物线y x2+bx+c与x轴交于A、B两点，点A、B分别位于原点左、右两侧，且AO＝2BO＝4，过A点的直线y＝kx+c交y轴于点C．(1)求k、b、c的值；(2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△ACP为直角三角形？若存在，直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由；AM+OM的最小值．(3)如图2，点M为线段AC上一点，连接OM，求1219．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A(4，0)，C(﹣1，0)两点，与y轴交于点B，P为第一象限抛物线上的动点，连接AB，BC，P A，PC，PC与AB相交于点Q．(1)求抛物线的解析式；(2)设APQ的面积为S 1，BCQ的面积为S2，当S1﹣S2＝5时，求点P的坐标；(3)是否存在点P，使P AQ为直角三角形，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由．20．如图1所示，在平面直角坐标系中，抛物线F1：y＝a（x﹣25）2＋6415与x轴交于点A（﹣65，0）和点B，与y轴交于点C．(1)求抛物线F1的表达式；(2)如图2，将抛物线F1先向左平移1个单位，再向下平移3个单位，得到抛物线F2，若抛物线F1与抛物线F2相交于点D，连接BD，CD，BC．△求点D的坐标；△判断△BCD的形状，并说明理由；(3)在（2）的条件下，抛物线F2上是否存在点P，使得△BDP为等腰直角三角形，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案：1．(1)y =-x 2+2x +3(2)y =3x +3(3)存在，720,39⎛⎫ ⎪⎝⎭或1013,39⎛⎫- ⎪⎝⎭(4)2．(1)△223y x x =+-；△PQ OQ 的最大值为34(2)当1m =时，以A 、D 、C 为顶点的三角形与BOC ∆相似．3．(1)y ＝x 2+2x ﹣3(2)（﹣1，﹣2）(3)在y 轴上存在点M ，能够使得△ADM 是直角三角形，此时点M 的坐标为（0，32）或（0，﹣72）或（0，﹣1）或（0，﹣3） 4．(1)y ＝x 2﹣2x ﹣3(2)D 坐标为（1，﹣4）或（1，2）或（11(3)△5．(1)(3,0)、(0,3)、(1,4)；(2)2EF =； (3)3(2P ，15)4． 6．(1)y 12=-x 2+3x +8，y ＝﹣x +8 (2)70(3)点P 的坐标为（2，12）或P （6，8）(4)存在，点M 的坐标为（3，0）或（3，﹣5）或（3，）或（3，5﹣ 7．(1)()2,0A m ；()1,21B m -；()21,21C m m --； (2)32(3)4,03E ⎛⎫ ⎪⎝⎭8．(1)C 1：y ＝（x ﹣2）2﹣6，C 2：y ＝x 2﹣6(2)A （4，﹣2）或（5，3）9．(1)()()4,6,0,0,43b B C = (2)△()3,5;△162,3⎛⎫ ⎪⎝⎭10．(1)y ＝﹣12x 2+2x +6(2)P （3，152）(3)存在，P 点坐标（4，6）或（55） 11．(1)234y x x =-++(2)4y x =-+(3)h 与t 之间的函数关系式为：()2404h t t t =-+<<，h 的最大值为4(4)在x 轴的负半轴上存在点()4,0P -或()4P -，使以B ，C ，P 三点为顶点的三角形为等腰三角形12．(1)y = 223x x -++ ，C (1，4) (2)P (720,39) (3)﹣1＜m ≤5413．(1)抛物线的表达式为2y x 2x 3=-++，顶点(1,4)C (2)720,39P ⎛⎫ ⎪⎝⎭(3)AF 有最大值9414．(1)2y x 2x 3=-++； (2)293(13)22S m m m =-++≤<(3)（75，165 ），（2，2），（，）15．(1)2y =+(2)94(3)点P 的坐标为（31-+16．(1)239344y x x =-++(2)()3,3D (3)3(,0)2F(4)119m <18．(1)k b ，c ＝﹣(2)存在，点P 的坐标为（﹣1，11（﹣1，﹣(3)12AM +OM 19．(1)y ＝﹣x 2+3x +4(2)(1，6)或(2，6)(3)存在，(3，4)或，1)20．(1)25264()3515y x =--+(2)△D （﹣1，1）；△等腰直角三角形(3)存在，点P 的坐标是（1，﹣3）或（﹣2，﹣2）。
中考二次函数与特殊三角形有关的问题(含答案)
中考二次函数与特殊三角形有关的问题1.（2015岳阳）如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A(1,0)、B(4,0)、C(0,3)三点. （1）求抛物线的解析式；（2）如图①，在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得四边形PAOC的周长最小？若存在，求出四边形PAOC周长的最小值；若不存在，请说明理由；（3）如图②，点Q是线段OB上一动点，连接BC,在线段BC上是否存在这样的点M，使△CQM为等腰三角形且△BQM为直角三角形？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由.图①图②第1题图2. 如图，直线y =-x +2与x 轴交于点B ，与y 轴交于点C ，已知二次函数的图象经过点B 、C 和点A （-1，0）.（1）求B 、C 两点坐标；（2）求该二次函数的关系式；（3）若抛物线的对称轴与x 轴的交点为点D ，则在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使△PCD 是以CD 为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P 点的坐标；如果不存在，请说明理由；（4）点E 是线段BC 上的一个动点，过点E 作x 轴的垂线与抛物线相交于点F ，当点E 运动到什么位置时，四边形CDBF 的面积最大？求出四边形CDBF 的最大面积及此时E 点的坐标.第2题图21【答案】1.解：（1）∵点A （1，0），B （4,0）在抛物线上，∴设抛物线解析式为y =a (x -1)(x -4)，将点C （0,3）代入得a (0-1)(0-4)=3，解得a =， ∴抛物线解析式为y =(x -1)(x -4)， 即y =x 2-x+3. （2）存在.连接BC 交对称轴于点P ，连接PA ,如解图①,∵点A 与点B 关于对称轴x =对称， ∴BC ≤PB +PC =PA +PC ，即当点P 在直线BC 上时，四边形PAOC 的周长最小，在Rt △BOC 中，OB =4，OC =3，∠BOC =90°，∴BC = =5，∴四边形PAOC 的周长的最小值为OA +O C+BC =1+3+5=9.第1题解图①（3）存在.设直线BC 的解析式为y =kx +t ，将点B (4,0)，点C （0,3）代入得，解得， ∴直线BC 的解析式为y = - x +3. 点M 在BC 上，设点M 的坐标为（m ,-m +3）（0＜m ＜4）， 要使△CQM 是等腰三角形，且△BQM 是直角三角形，则只有以下两种情况， (Ⅰ)当MQ ⊥OB ，CM =MQ 时，如解图②所示，则CM =MQ =- m +3, MB =BC -CM =5-(- m +3)=2+m ，由sin ∠CBO = = =，第1题解图② 4343434152522OC OB +⎩⎨⎧==+304t t k ⎪⎩⎪⎨⎧==343-t k 4343434343BC OC BM MQ 53即=，解得m =, 则点M 的坐标为（,）； (Ⅱ)当CM =MQ ,MQ ⊥BC 时，如解图③， 过M 作MN ⊥OB 于N ，则ON =m ,MN =-m +3, 在Rt △BMN 中，易得BM ==×(-m +3) =-m +5， ∴CM =BC -BM =m ，第1题解图③ 在Rt △BMQ 中，QM =BM ·tan ∠MBQ = (-m +5)， 由CM =MQ 得 (-m +5)= m ， 解得m =，此时点M 的坐标为（,）. 综上所述，存在满足条件的点M ,点M 的坐标为（,）或（，）. 2. 解：（1）令x =0，可得y =2，令y =0，可得x =4，即点B （4，0），C （0，2）.（2）设二次函数的解析式为y =ax 2+bx +c ，将点A 、B 、C 的坐标代入解析式得，,解得 , m m 42343-++53232381543MBN MN ∠sin 35434545434543454571271271223815712712⎪⎩⎪⎨⎧==++=+204160-c c b a c b a b c b a ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===22321-即该二次函数的关系式为y=-x 2+x +2. （3）存在.满足条件的点P 的坐标分别为P 1（,4），P 2（,）,P 3(,-). 【解法提示】∵y = -x 2+x +2，∴y =-（x -）2+，∴抛物线的对称轴是x =，∴OD =．∵C （0，2），∴OC =2．在Rt △OCD 中，由勾股定理得CD =．∵△CDP 是以CD 为腰的等腰三角形， ∴CP 1=DP 2=DP 3=CD ．如解图①所示，作CE ⊥对称轴于点E ， ∴EP 1=ED =2，∴DP 1=4．∴P 1（，4），P 2（，），P 3（，-）.第2题解图①（4）如解图②，过点C 作CM ⊥EF 于点M ， 设E （a ，-a +2），F （a ，-a 2+a +2），∴EF =-a 2+a +2-（-a +2）=-a 2+2a （0≤a ≤4）．∵S 四边形CDBF =S △BCD +S △CEF +S △BEF =BD ·OC +E F ·CM +EF ·BN 第2题解图②2123232325232521232123825232325232325232521212321232121212121=+a （-a 2+2a ）+（4-a ）·（-a 2+2a ） =-a 2+4a +=-（a -2）2+（0≤a ≤4）,∴a =2时，S 四边形CDBF 最大=，∴E （2，1）．252121212125213213。
九年级中考数学高频考点突破--特殊三角形问题(二次函数综合)
中考数学高频考点突破--特殊三角形问题（二次函数综合）1．如图，抛物线213222y x x =--与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点．(1)求A 点和点B 的坐标；(2)判断ABC V 的形状，证明你的结论；2．如图，抛物线()280y ax bx a =++≠与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，抛物线的对称轴交x 轴于点D ，已知−2,0，4,0，()0,8C ．(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使PCD △是等腰三角形？如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．3．如图，抛物线2y x bx c =++的图象经过点(1,0),(0,3)A B --，抛物线与x 轴的另一个交点为C ．(1)求出这个抛物线的解析式；(2)该抛物线的顶点为D ，求出点C ，点D 的坐标，并判断BCD △的形状；(3)若点P 是抛物线上位于直线BC 下方的一个动点，当点P 运动到何位置时PBC △的面积最大？求出点P 坐标及最大面积．4．如图1，抛物线243y x x =++x 轴交于,A B 两点（点A 在点B 左侧），与y 轴交于点C ，点D 抛物线的顶点.（1）求直线BD 的解析式；（2）抛物线对称轴交x 轴于点E ，P 为直线BD 上方的抛物线上一动点，过点P 作PF BD ⊥于点F ，当线段PF 的长最大时，连接PE ，过点E 作射线EM ，且EM EP ⊥，点G 为射线EM 上一动点（点G 不与点E 重合），连接PG ，H 为PG 中点，连接AH ，求AH 的最小值；（3）如图2，平移抛物线，使抛物线的顶点D 在射线BD 上移动，点B ，D 平移后的对应点分别为点'B ，'D ，y 轴上有一动点M ，连接'MB ，'MD ，''MB D ∆是否能为等腰直角三角形？若能，请求出所有符合条件的M 点的坐标；若不能，请说明理由.5．如图，已知抛物线2y x bx c =++与x 轴相交于点()1,0A 和点B ，与y 轴交于点0,−3顶点为D ．(1)求抛物线的函数关系式；(2)判断BCD △的形状，并说明理由；(3)点P 在抛物线上，点Q 在直线y x =上，是否存在点P 、Q 使以点P 、Q 、C 、O 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．6．如图，四边形ABCD 的顶点坐标分别为(A ，12B ⎛- ⎝⎭，()1,0C ，(D ，抛物线经过A ，B ，D 三点．(1)求证：四边形AOCD 是矩形；(2)求抛物线的解析式；(3)ACD 绕平面内一点M 顺时针旋转90︒得到111AC D ，即点A ，C ，D 的对应点分别为1A ，1C ，1D ，若111AC D 恰好两个顶点落在抛物线上，请直接写出1A的坐标．7．如图，抛物线2424455y x x =-+-与x 轴相交于点A 、B ，与y 轴相交于点C ，抛物线的对称轴与x 轴相交于点M ．P 是抛物线在x 轴上方的一个动点（点P 、M 、C 不在同一条直线上）．分别过点A 、B 作直线CP 的垂线，垂足分别为D 、E ，连接点MD 、ME ．(1)求点A，B的坐标（直接写出结果），并证明MDE∆是等腰三角形；(2)MDE∆能否为等腰直角三角形？若能，求此时点P的坐标；若不能，说明理由；(3)若将“P是抛物线在x轴上方的一个动点（点P、M、C不在同一条直线上）”改为“P是抛物线在x轴下方的一个动点”，其他条件不变，MDE∆能否为等腰直角三角形？若能，求此时点P的坐标（直接写出结果）；若不能，说明理由．8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²-4ax交x轴于点A，直线y=12-x+3与x轴交于点B，与y轴交于点C，与抛物线交于点D，E(点D在点E的右侧)．（1）求点A，B，C的坐标．（2）当点D为BC的中点时，求a的值．（3）若设抛物线的顶点为点M，点M关于直线BC的对称点为N，当点N落在△BOC的内部时，求a的取值范围．9．如图，已知直线y＝﹣2x+m与抛物线y＝ax2+bx+c相交于A，B两点，且点A(1，4)为抛物线的顶点，点B在x轴正方向上．(1)求抛物线的解析式；(2)若点P 在抛物线第三象限的图象上，且到x 轴、y 轴的距离相等，①证明： POB ≌ POC ；②直接写出OP 的长；(3)若点Q 是y 轴上一点，且 ABQ 为直角三角形，求点Q 的坐标．10．如图，已知抛物线232y ax x c =-+与x 轴相交于A 、B 两点，并与直线122y x =-交于B 、C 两点，其中点C 是直线122y x =-与y 轴的交点，连接AC ．(1)求B 、C 两点坐标以及抛物线的解析式；(2)证明：ABC V 为直角三角形；(3)求抛物线的顶点D 的坐标，并求出四边形ACDB 的面积；(4)在抛物线的对称轴上有一点P ，当ACP △周长的最小时，直接写出点P 的坐标．11．如图，抛物线经过原点O ，对称轴为直线2x =且与x 轴交于点D ，直线:21l y x =--与y 轴交于点A ，与抛物线有且只有一个公共点B ，并且点B 在第四象限，直线l 与直线2x =交于点C ．(1)连接AD ，求证：AD AC ⊥．(2)求抛物线的函数关系式．(3)在直线l 上有一点动点P ，抛物线上有一动点Q ，当PBQ 是以PQ 为斜边的等腰直角三角形时，直接写出此时点P 的坐标．12．如图，顶点为()44P -，的二次函数图象经过原点()0,0，点A 在该图象上，OA 交其对称轴l 于点M ，点M 、N 关于点P 对称，连接AN 、ON(1)求该二次函数的关系式.(2)若点A 的坐标是()6,3-，求ANO 的面积.(3)当点A 在对称轴l 右侧的二次函数图象上运动，请解答下列问题：①证明：ANM ONM∠∠=②ANO 能否为直角三角形？如果能，请求出所有符合条件的点A 的坐标，如果不能，请说明理由.13．将抛物线2:(2)C y x =-向下平移6个单位长度得到抛物线1C ，再将抛物线1C 向左平移2个单位长度得到抛物线2C ．（1）直接写出抛物线1C ，2C 的解析式；（2）如图（1），点A 在抛物线1C 对称轴l 右侧上，点B 在对称轴l 上，OAB △是以OB 为斜边的等腰直角三角形，求点A 的坐标；（3）如图（2），直线y kx =（0k ≠，k 为常数）与抛物线2C 交于E ，F 两点，M 为线段EF 的中点；直线4y x k=-与抛物线2C 交于G ，H 两点，N 为线段GH 的中点．求证：直线MN 经过一个定点．14．如图①，抛物线2y ax bx c =++与x 轴相交于O 、A 两点，直线3y x =-+与y 轴交于B 点，与该抛物线交于A ，D 两点，已知点D 横坐标为1-．(1)求这条抛物线的解析式；(2)如图①，在线段OA 上有一动点H （不与O 、A 重合），过H 作x 轴的垂线分别交AB 于P 点，交抛物线于Q 点，若x 轴把POQ △分成两部分的面积之比为1:2，求H 点的坐标；(3)如图②，在抛物线上是否存在点C ，使ABC V 为直角三角形？若存在，直接写出点C 的坐标；若不存在，请说明理由．15．如图1，二次函数y ＝43x 2＋bx －4的图象与x 轴交于A (3，0)、B 两点，与y 轴交于点C ．若点P ，Q 同时从A 点出发，都以每秒1个单位长度的速度分别沿线段AB ，AC 运动，其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．(1)求该二次函数的解析式和点C 的坐标；(2)如图2，当点P 、O 同时运动52秒时，停止运动，这时在抛物线对称轴上是否存在点E ，使得以A ，E ，Q 为顶点的三角形为等腰三角形?若存在，请求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由；(3)如图3，当P 、Q 运动t 秒时，把△APQ 沿PQ 翻折，点A 恰好落在抛物线上点D 处，请判定此时四边形APDQ 的形状，简要说明理由，并求出此时t 的值．。
2020中考数学 二次函数培优专题：动点成特殊三角形问题(含答案)
2020中考数学 二次函数培优专题：动点成特殊三角形问题（含答案）1. 在平面直角坐标系中，二次函数22y ax bx =++的图象与x 轴交于(3,0)A -，(1,0)B 两点，与y 轴交于点C ．（1）求这个二次函数的关系解析式；（2）在平面直角坐标系中，是否存在点Q ，使BCQ △是以BC 为腰的等腰直角三角形？若存在，直接写出点Q 的坐标；若不存在，说明理由；（1）由抛物线22y ax bx =++过点(3,0)A -，(1,0)B ， 则0932,0 2.a b a b =-+⎧⎨=++⎩ 解得2343a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩．∴二次函数的关系表达式为224233y x x =--+．（2）点1(2,1)Q -，2(1,1)Q --，3(2,3)Q ，4(3,1)Q ．2. 在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC 放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，且点(0,2)A ，点(1,0)C -，如图所示，抛物线22y ax ax =+-经过点B ．（1）求点B 的坐标； （2）求抛物线的解析式；（3）在抛物线上是否还存在点P （点B 除外），使ACP △仍然是以AC 为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由．（1）过点作轴，垂足为，∵ ； ∴；又∵；，∴ ∴，； ∴点的坐标为(3,1)-；（2）抛物线经过点(3,1)B -，则得到，解得， ∴抛物线解析式为； （3）方法一：①若以为直角边，点为直角顶点；则可以设直线交抛物线于点，由题意，直线的解析式为：1122y x =--，解得舍 ∴1(1,1)P -． 过点作轴于点，在中，∴，∴为等腰直角三角形．②若以AC 为直角边，点A 为直角顶点；则过点A 作，交抛物线于点，由题意，直线AF 的解析式为212,2.11222y x y x x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=++⎪⎩解得114,4.x y =-⎧⎨=⎩（舍）222,1.x y =⎧⎨=⎩ 过点2P 作2P N y ⊥轴于点N ，在2Rt AP △中，2AP =yxA (0,2)C (-1,0)BOB BD x ⊥D 90,BCD ACO ∠+∠=︒90ACO OAC ∠+∠=︒BCD CAO ∠=∠90BDC COA ∠=∠=︒CB AC =BCD CAO △≌△1BD OC ==2CD OA ==B 22y ax ax =+-1932a a =--12a =211222y x x =+-AC C BC 211222y x x =+-1P BC 211,2211 2.22y x y x x ⎧=--⎪⎪∴⎨⎪=+-⎪⎩113,1.x y =-⎧⎨=⎩221,1x y =⎧⎨=-⎩1P 1PM x ⊥M 1Rt PMC △1CP =1CP AC =1ACP △AF BC ∥211222y x x =+-2P 12,2y x =-+2AP AC ∴=. 2ACP ∴△为等腰直角三角形.综上所述，在抛物线上存在点使是以为直角边的等腰直角三角形．方法二：①若以AC 为直角边，点C 为直角顶点；则延长至点，使得，得到等腰直角三角形1ACP △，过点作，∵1=，，；∴1MPC DBC △≌△ ∴==2，∴==1，可求得点1(1,1)P -；经检验点1(1,1)P -在抛物线使得1ACP △是等腰直角三角形；②若以AC 为直角边，点A 为直角顶点；则过点A 作，且使得，得到等腰直角三角形2A C P △，过点作，同理可证2AP N △≌CAO △；∴==2，==1，可求得点(2, 1)经检验点(2, 1)也在抛物线上，使得2ACP △也是等腰直角三角形．3. 抛物线223y x x =--+与y 轴交于点C ，与x 轴交于点A 、B （点B 在点A的左侧），设J 为y 轴正半轴上的一个动点，请在抛物线223y x x =--+上求一点K ，使得OKJ △为等腰直角三角形．（1）当OJ 为直角边时，90KJO ∠=︒或90KOJ ∠=︒．若90KOJ ∠=︒，则K 与A 或B 重合， ∴1(3,0)K -，2(1,0)K ．若90KJO ∠=︒，则45KOJ ∠=︒， 分别作COB ∠与COA ∠的角平分线交抛物线于两点，即为3K ，4K ，直线3OK 与直线4OK 解析式分别为y x =-、y x =分别与抛物线解析式联立，12(1,1)(2,1).P P -ACP △AC BC 1P 1PC BC =1P 1PM x ⊥轴CP BC 1MCP BCD ∠=∠190PMC BDC ∠=∠=︒CM CD 1PM BD 211222y x x =+-2AP CA ⊥2AP AC =2P 2P N y ⊥轴2NP OA AN OC 2P 2P 211222y x x =+-可得3K坐标为⎝⎭，4K坐标为⎝⎭． （2）当OJ 为斜边时，45KOJ ∠=︒，K 点坐标同上34K K ，． 综上所述，所求的点K 坐标为1(3,0)K -，2(1,0)K ，3K ⎝⎭，4K ⎝⎭. 线段OJ 可以充当“斜边”和“直角边”的角色．当OJ 为直角边时，又存在两种情况：90KJO ∠=︒或90KOJ ∠=︒．因此，共有6种情况．4. 在平面直角坐标系中，已知抛物线212y x bx c =-++（b ，c 为常数）的顶点为P ，等腰直角三角形ABC 的定点A 的坐标为(0,1)-，C 的坐标为(4,3)，直角顶点B 在第四象限.（1）如图，若该抛物线过A ，B 两点，求该抛物线的函数表达式；（2）平移（1）中的抛物线，使顶点P 在直线AC 上滑动，且与AC 交于另一点Q . 若点M 在直线AC 下方，且为平移前（1）中的抛物线上的点，当以M 、P 、Q 三点为顶点的三角形是等腰直角三角形时，求出所有符合条件的点M 的坐标．NN备用图（1）21212y x x =-+-；（2）M的坐标是(12)-、(12)+、(4,1)-、(2,3)-、(2,7)--．5. 已知：抛物线2(2)2y x a x a =+--（a 为常数，且0a >）．（1）求证：抛物线与x 轴有两个交点；（2）设抛物线与x 轴的两个交点分别为A 、B （A 在B 左侧），与y 轴的交点为C ．①当AC =②将①中的抛物线沿x 轴正方向平移t 个单位（0t >），同时将直线:3l y x =沿y 轴正方向平移t 个单位．平移后的直线为'l ，移动后A 、B 的对应点分别为'A 、'B ．当t 为何值时，在直线'l 上存在点P ，使得''A B P △为以''A B 为直角边的等腰直角三角形?（1）证明：令，则．22=(2)8(2)a a a -+=+△． ∵，∴．∴>0△． ∴方程有两个不相等的实数根．∴抛物线与x 轴有两个交点．（2）①令，则，解方程，得． ∵A 在B 左侧，且，∴抛物线与x 轴的两个交点为(,0)A a -，(2,0)B ．∵抛物线与y 轴的交点为，∴(0,2)C a -． ∴．在中，，．可得．∵，∴． ∴抛物线的解析式为．②依题意，可得直线的解析式为，'(2,0)A t -，'(2,0)B t +，．∵为以为直角边的等腰直角三角形，∴当时，点的坐标为(2,4)t -或(2,4)t --．∴．解得或．当时，点的坐标为(2,4)t +或(2,4)t +-．∴．解得或（不合题意，舍去）．综上所述，或．0y =2(2)20x a x a +--=0a >20a +>2(2)20x a x a +--=0y =2(2)20x a x a +--=122x x a ==-，0a >C 2AO a CO a ==，Rt AOC△222AO CO +=22(2)20a a +=2a =±0a >2a =24y x =-l '3y x t =+4A B AB ''==A B P ''△A B ''90PA B ''∠=°P 3(2)4t t -+=52t =12t =90PB A ''∠=°P 3(2)4t t ++=52t =-12t =-52t =12t =6. 如图，抛物线2424455y x x =-+-与x 轴相交于点A 、B ，与y 轴相交于点C ，抛物线的对称轴与x 轴相交于点M ．P 是抛物线在x 轴上方的一个动点（点P 、M 、C 不在同一条直线上）．分别过点A 、B 作直线CP 的垂线，垂足分别为D 、E ，连接点MD 、ME ． （1）求点A ，B 的坐标（直接写出结果），并证明MDE △是等腰三角形；（2）MDE △能否为等腰直角三角形？若能，求此时点P 的坐标；若不能，说明理由； （3）若将“P 是抛物线在x 轴上方的一个动点（点P 、M 、C 不在同一条直线上）”改为“P 是抛物线在x 轴下方的一个动点”，其他条件不变，MDE △能否为等腰直角三角形？若能，求此时点P 的坐标（直接写出结果）；若不能，说明理由．（1）抛物线解析式为2424455y x x =-+-，令0y =，即24244055x x -+-=，解得1x =或5x =，∴A (1, 0)，B (5, 0)．如答图1所示，分别延长AD 与EM ，交于点F ． ∵AD ⊥PC ，BE ⊥PC ，∴AD ∥BE ， ∴∠MAF =∠MBE ．在AMF △与BME △中， MAF MBE MA MB AMF BME ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴(ASA)AMF BME △≌△，备用图∴ME MF =，即点M 为Rt EDF △斜边EF 的中点， ∴MD ME =，即MDE △是等腰三角形． （2）答：能．抛物线解析式为224244164(3)5555y x x x =-+-=--+，∴对称轴是直线3x =，M (3, 0)； 令0x =，得4y =-，∴(0,4)C -．MDE △为等腰直角三角形，有3种可能的情形： ①若DE ⊥EM ，由DE ⊥BE ，可知点E 、M 、B 在一条直线上， 而点B 、M 在x 轴上，因此点E 必然在x 轴上，由DE ⊥BE ，可知点E 只能与点O 重合，即直线PC 与y 轴重合， 不符合题意，故此种情况不存在；②若DE ⊥DM ，与①同理可知，此种情况不存在； ③若EM ⊥DM ，如答图2所示： 设直线PC 与对称轴交于点N ，∵EM ⊥DM ，MN ⊥AM ，∴∠EMN =∠DMA ． 在ADM △与NEM △中，135EMN DMA EM DM ADM NEM ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩， ∴(ASA)ADM NEM △≌△， ∴MN MA =．抛物线解析式为224244164(3)5555y x x x =-+-=--+，故对称轴是直线3x =，∴M (3, 0)，2MN MA ==，∴N (3, 2)．设直线PC 解析式为y kx b =+，∵点N (3, 2)，(0,4)C -在抛物线上， ∴324k b b +=⎧⎨=-⎩，解得2k =，4b =-，∴24y x =-．将24y x =-代入抛物线解析式得：242424455x x x -=-+-，解得：0x =或72x =，当0x =时，交点为点C ；当72x =时，243y x =-=．∴7,32P ⎛⎫ ⎪⎝⎭．综上所述，MDE △能成为等腰直角三角形，此时点P 坐标为7,32⎛⎫⎪⎝⎭．（3）答：能．如答题3所示，设对称轴与直线PC 交于点N ．与（2）同理，可知若MDE △为等腰直角三角形，直角顶点只能是点M ． ∵MD ⊥ME ，MA ⊥MN ，∴∠DMN =∠EMB ． 在DMN △与EMB △中， 45DMN EMB MD MB MDN MEB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩， ∴(ASA)DMN EMB △≌△， ∴MN MB =． ∴(3,2)N -．设直线PC 解析式为y kx b =+，∵点(3,2)N -，(0,4)C -在抛物线上，∴324k b b +=-⎧⎨=-⎩，解得23k =，4b =-，∴243y x =-．将243y x =-代入抛物线解析式得：2242444355x x x -=-+-，解得：0x =或316x =，当0x =时，交点为点C ；当316x =时，25439y x =-=-，∴315,69P ⎛⎫- ⎪⎝⎭．综上所述，MDE △能成为等腰直角三角形，此时点P 坐标为315,69⎛⎫- ⎪⎝⎭．7. 在如图的直角坐标系中，已知点(1,0)A ，(0,2)B -，将线段AB 绕点A 按逆时针方向旋转90︒至AC ． （1）求点C 的坐标；（2）若抛物线2122y x ax =-++经过点C ．①求抛物线的解析式；②在抛物线上是否存在点P （点C 除外），使ABP △是以AB 为直角边的等腰直角三角形？若存在，求出所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由．（1）过点C 作CD x ⊥轴，垂足为D ，在ACD △和BAO △中，由已知有90CAD BAO ∠+∠=︒， 而90ABO BAO ∠+∠=︒，∴CAD ABO ∠=∠，又∵90CDA AOB ∠=∠=︒，且由已知有CA AB =，∴ACD BAO △≌△，∴1CD OA ==，2AD BO ==，∴点C 的坐标为(3,1)-（2）①∵抛物线2122y x ax =-++经过点(3,1)C -，∴2113322a -=-⨯++，解得12a =∴抛物线的解析式为211222y x x =-++.②i ）当A 为直角顶点时，延长CA 至点1P ，使1AP AC AB ==， 则1ABP △是以AB 为直角边的等腰直角三角形，如果点1P 在抛物线上，则1P 满足条件，过点1P 作1PE x ⊥轴， ∵1AP AC =，1EAP DAC ∠=∠，190PEA CDA ∠=∠=︒ ∴1EP A DCA △≌△，∴2AE AD ==，11EP CD ==,∴可求得1P 的坐标为(1,1)-，经检验1P 点在抛物线上，因此存在点1P 满足条件；ii ）当B 点为直角顶点时，过点B 作直线L BA ⊥，在直线L 上分别取23BP BP AB ==，得到以AB 为直角边的等腰直角2ABP △和等腰直角3ABP △，作2P F y ⊥轴于点F ，同理可证2BP F ABO △≌△ ∴22P F BO ==，1BF OA ==，可得点2P 的坐标为(2,1)--，经检验2P 点在抛物线上，因此存在点2P 满足条件． 同理可得点3P 的坐标为(2,3)-，经检验3P 点不在抛物线上．综上：抛物线上存在点1(1,1)P -，2(2,1)P --两点，使得1ABP △和2ABP △是以AB 为直角边的等腰直角三角形．8. 如图，一次函数44y x =--的图象与x 轴、y 轴分别交于A 、C 两点，抛物线243y x bx c =++的图象经过A 、C 两点，且与x 轴交于点B ．（1）求抛物线的函数表达式；（2）作直线MN 平行于x 轴，分别交线段AC 、BC 于点M 、N ．问在x 轴上是否存在点P ，使得PMN △是等腰直角三角形？如果存在，求出所有满足条件的P 点的坐标；如果不存在，请说明理由．（1）∵一次函数44y x =--的图象与x 轴、y 轴分别交于A 、C 两点， ∴(1,0)A -、(0,4)C -把(1,0)A -、(0,4)C -代入243y x bx c =++得∴，解得 xyCAB O4034b c c ⎧-=⎪⎨⎪=⎩834b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩∴ （2）设M 、N 的纵坐标为a ，由B 和C 点的坐标可知BC 所在直线的解析式为：443y x =-，则4,4a M a --⎛⎫⎪⎝⎭，312,4a N a +⎛⎫⎪⎝⎭， ①当90PMN ∠=︒，4MN a =+，PM a =-，因为PMN △是等腰直角三角形，则4a a -=+，则2a =-，即P 点坐标为1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭；②当90PNM ∠=︒，PN MN =，同上，2a =-，即P 点坐标为3,02⎛⎫⎪⎝⎭；③当90MPN ∠=︒，作MN 的中点Q ，连接PQ ，则PQ a =-，又PM PN =， ∴PQ MN ⊥，则2MN PQ =，即：42a a +=-，解得：34a =-，即P 点的坐标为(23, 0)．248433y x x =--9. 如果抛物线1C 的顶点在抛物线2C 上，同时，抛物线2C 的顶点在抛物线1C 上，那么，我们称抛物线1C 与2C 关联． （1）已知抛物线①221y x x =+-，判断下列抛物线②221y x x =-++；③221y x x =++与已知抛物线①是否关联，并说明理由．（2）A 为抛物线211:(1)28C y x =+-的顶点，B 为与抛物线1C 关联的抛物线顶点，是否存在以AB 为斜边的等腰直角ABC △，使其顶点C 在y 轴上？若存在，求出C 点的坐标；若不存在，请说明理由.（1）∵抛物线2221(1)2y x x x =+-=+-的顶点坐标为(1,2)M --，∴②当1x =-时，2211212y x x =-++=--+=-， ∴点M 在抛物线②上；∵③当1x =时，2211212y x x =-++=-++=， ∴点M 不在抛物线③上；∴抛物线①与抛物线②有关联；∵抛物线②2221(1)2y x x x =-++=--+，其顶点坐标为(1,2)，经验算：(1,2)在抛物线①上，∴抛物线①、②有关联； （2）点C 是y 轴上的一动点，以AC 为腰作等腰直角ABC △，令C 的坐标为(0,)c ，则点B 的坐标分两类：①当A ，B ，C 逆时针分布时，如图中的B 点，过点A ，B 作y 轴的垂线，垂足分别为H ，F ，则BCF CAH △≌△，∴，，点的坐标为(2,1c c +-，当点在抛物线211:(1)28C yx =+-上时，211(21)28c c -=++-，解得：．②当A ，B ，C 顺时针分布时，如图中点，过点作轴的垂线，垂足为，同理可得：点的坐标为(2,1)c c --+，当点在抛物线211:(1)28C y x =+-上Oyx1CF AH ==2BF CH c ==+B B 1c ='B 'B y D 'B 'B时，211(21)28c c +=--+-，解得：．综上所述，存在三个符合条件的等腰直角三角形，其中点的坐标分别为：1(0,1)C，2(0,3C +，3(0,3C -.10. 如图，抛物线223y x x =--+与y 轴交于点C ，与x 轴交于点A 、B （点B在点A 的左侧），抛物线223y x x =--+的对称轴与x 轴交于点M ，问在对称轴上是否存在点P ，使CMP △为等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．存在符合条件的P 点，由(0,3)C ，(1,0)M -，∴CM①当CM CP =时，1(1,6)P -；②当MC MP =时，2(P-，4(1,P -；③当PC PM =时，连接3CP ，过C 作对称轴的垂线，由勾股定理可得3513P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，．综上所述，符合条件的点P 的坐标为1(1,6)P -，2(1,P -，3513P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，4(1,P -．11. 已知：Rt ABC △的斜边长为5，斜边上的高为2，将这个直角三角形放置在平面直角坐标系中，使其斜边AB 与x 轴重合（其中OA OB <），直角顶点C 落在y 轴正半轴上．（1）请直接写出A 、B 的坐标：A 、B ；并求经过A 、B 、C 三点的抛物线解析式； （2）如图，点D 的坐标为(2,0)，点(,)P mn 是该抛物线上的一个动点（其中0m >，0n >），连接DP 交BC 于点E ． 3c =+3c =-C①当BDE △是等腰三角形时，直接写出此时点E 的坐标．②又连接CD 、CP ，CDP △是否有最大面积？若有，求出CDP △的最大面的最大面积和此时点P 的坐标；若没有，请说明理由．（）由，易知，2()CO OA OB OA AB OA =⋅=⋅-， 2()OC OA AB OA =-，可求， ∴(1,0)A -，(4,0)B ，(0,2)C可设解析式为(1)(4)y a x x =+-，将点(00)C ，代入，可求． ∴．（2）①，， 提示：直线的解析式为设(,)E x y ，利用勾股定理和点(,)E x y 在直线BC 上，可得两个方程组分别可求和． ②过作x 轴的垂线，交于，易求的解析式为，且，故故，当时，，．x1OA =4OB =12a =-213222y x x =-++1132E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，24855E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，34E ⎛-⎝BC 122y x =-+()22212222y x x y ⎧=-+⎪⎨⎪-+=⎩()22212242y x x y ⎧=-+⎪⎨⎪-+=⎩2E 3E D PC M PC 22n y x m -=+2422n M m -⎛⎫+ ⎪⎝⎭，()()12CDP CDM DMP P C M D S S S x x y y =+=--△△△11242222P M n x y m m n m -⎛⎫=⋅=+=+- ⎪⎝⎭2132222m m m ⎛⎫=+-++- ⎪⎝⎭21522m m =-+52m =25=8CDP S 最大值△52128P ⎛⎫⎪⎝⎭，12. 已知抛物线2()y a x m n =-+与y 轴交于点A ，它的顶点为B ，点A 、B 关于原点O 的对称点分别是点C 、D . 若点A 、B 、C 、D 中任何三点都不在一直线上，则称四边形ABCD 为抛物线的伴随四边形，直线AB 为抛物线的伴随直线. 如图，若抛物线2()y a x m n =-+的伴随直线是2(0)y x b b =-+>，且伴随四边形ABCD 是矩形．（1）用含b 的代数式表示m ，n 的值；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使得PBD △是一个等腰三角形？若存在，请直接写出点P 的坐标（用含b 的代数式）；若不存在，请说明理由．（1）如图，作BE x ⊥轴，由题意可得(0,)A b ，,)(0b C - ∵抛物线的顶点(,)B m n 在2(0)y x b b =-+>上， ∴2n m b =-+，(,2)B m m b -+在矩形ABCD 中，OC OB =，∴22OC OB = 即：222(2)b m m b =+-+ ∴(54)0m m b -=∴10m =(舍去)，245m b =∴325n m b b =-+=-∴45m b =，35n b =-；（2）存在，有4个点：47,55b b ⎛⎫ ⎪⎝⎭，49,55b b ⎛⎫ ⎪⎝⎭，416,515b b ⎛⎫ ⎪⎝⎭，413,55b b ⎛⎫- ⎪⎝⎭.13. 抛物线223y x x =--+与y 轴交于点C ，与x 轴交于点A 、B （点B 在点A的左侧），在抛物线223y x x =--+上是否存在一点Q ，使得BCQ △为直角三角形？存在符合条件的Q 点，所有符合条件的点Q 如图所示： 由(1,4)D -，(0,3)C 可知，DC CB ⊥， ∴1Q 坐标为(1,4)-由(3,0)B -，(0,3)C 易得，2BQ 的解析式为3y x =--，联立可得 2233y x x y x ⎧=--+⎨=--⎩解得25x y =⎧⎨=-⎩或30x y =-⎧⎨=⎩（舍） 可得2Q 坐标为(2,5)-；设23(,23)Q a a a --+，所以22(1)(2)1BQ CQ k k a a ⋅=-+--=-，解得3Q，4Q 综上所述，Q 的坐标为1Q (1,4)-，2Q (2,5)-3Q ，4Q .14. 抛物线333842y x x =--+与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y轴交于点C ．（1）求点A 、B 的坐标；（2）当直线l 过点(4,0)E ，M 为直线l 上的动点，当以A 、B 、M 为顶点所作的直角三角形有且只有．．．．三个时，求直线l 的解析式.y CABxO（1）由23333(4)(2)848y x x x x =--+=-+-，得抛物线与x 轴的交点坐标为(4,0)20A B -、（，）. （2）过点A 、B 分别作x 轴的垂线，这两条垂线与直线l 总是有交点的，即两个点M ；以AB 为直径的圆如果与直线l 相交，那么就有两个点M ； 如果圆与直线l 相切，就只有1个点M 了. 连结GM ，那么GM ⊥l ， 在Rt EGM △中，3GM =，3GE =，∴4EM = 在1Rt EM A △中，AE =8，113tan 4M A M EA AE ∠==，∴16M A =∴点1M 的坐标为(4,6)-，过1M 、E 的直线l 为334y x =-+根据对称性，直线l 还可以为334y x =+.15. 如图，经过x 轴上(1,0)A -、(3,0)B 两点的抛物线2(0)y ax bx c a =++≠交y轴的正半轴于点C ，设抛物线的顶点为D ．（1）用含a 的代数式表示出点C 、D 的坐标；（2）若90BCD =︒，请确定抛物线的解析式； （3）在（2）的条件下，能否在抛物线上找到另外的点Q ，使BDQ △为直角三角形?如果能，请求出Q 点坐标；如果不能，请说明理由．（1）设抛物线的解析式为(1)(3)y a x x =+-. 则2223)(1)4(x a x a y a x --=--=.则点D 的坐标为(1,4)D a -，点C 的坐标为(0,3)C a -.（2）过点D 作轴于，如图1所示，则有.∴.∴. ∴，（舍去）.∴.抛物线的解析式为.DE y ⊥E DEC COB △∽△DE ECCO OB=1|||3|3a a =-21a =1a =±1a =1a =-223y x x =-++（3）①如图2，若为，作轴于，轴于.可证. 有， 点坐标2(,23)k k k -++，. 化简得，即(3)(23)0k k -+=.解之得或.检验略.舍去.由得点坐标：. ②如图3，若为.延长交轴于，可证明.即. 则. 得，点的坐标为. DM 所在的直线方程为.则与的解为（舍），，得交点的坐标为.③若90BQD ∠=︒，容易证明此种情况不成立所以满足题意的点另有两个：.图2图2图1DBQ ∠90︒QF x ⊥F DH x ⊥H Rt Rt DHB BFQ △∽△DH HBBF FQ =Q 242323k k k =---22390k k --=3k =32k =-3k =32k =-Q 3924Q ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，BDQ ∠90︒DQ y M DEM DHB △∽△DE EM DH HB =142EM =12EM =M 702⎛⎫ ⎪⎝⎭，1722y x =+1722y x =+223y x x =-++1x =12x =Q 11524⎛⎫⎪⎝⎭，Q 391152424⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，。
中考数学总复习《二次函数压轴题(特殊三角形问题)》专项提升训练题-附答案
中考数学总复习《二次函数压轴题（特殊三角形问题）》专项提升训练题-附答案学校：___________班级：___________姓名：___________考号：___________1．已知抛物线2y ax bx c =++的顶点坐标为2542P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，其中B 点坐标为()10，．(1)求这条抛物线的函数解析式；(2)若抛物线的对称轴交x 轴于点D ，则在线段AC 上是否存在这样的点Q 使得ADQ △为等腰三角形？若存在，请求出符合条件的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由． 2．如图，抛物线2y x bx c =-++过点(1,0)A -和(3,0)B ，与y 轴交于点C ．(1)求抛物线的解析式；(2)点P 为抛物线对称轴上一动点，当PCB 是以BC 为底边的等腰三角形时，求P 的坐标；(3)在（2）条件下，是否存在点M 为抛物线上的点，使得2BCM BCP S S =△△若存在，求出点M 的横坐标；若不存在，请说明理由． 3．综合与探究如图，抛物线234y x x =--与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，连接BC ．若点P 在线段BC 上运动（点P 不与点BC 重合），过点P 作x 轴的垂线，交抛物线于点E ，交x 轴于点F ．设点P 的横坐标为m ．(1)求点A ，B ，C 的坐标，并直接写出直线BC 的函数解析式． (2)若2PF PE =，求m 的值．(3)在点P 的运动过程中，是否存在m 使得CPE △为等腰直角三角形？若存在，请直接写出m 的值；若不存在请说明理由．4．如图，一次函数44y x =--的图象与x 轴、y 轴分别交于A 、C 两点，抛物线243y x bx c =++的图象经过A ，B 两点，且与x 轴交于点B ．(1)求抛物线的函数表达式；(2)设抛物线的顶点为D ，求四边形ABDC 的面积；(3)作直线MN 平行于x 轴，分别交线段AC BC 、于点M 、N ．问在x 轴上是否存在点P ，使得PMN 是等腰直角三角形？如果存在，求出所有满足条件的P 点的坐标；如果不存在，请说明理由．5．如图，抛物线与x 轴相交于点A 、B （点A 在点B 的左侧），与y 轴的交于点()04C -，，点P 是第三象限内抛物线上的一个动点，设点P 的横坐标为m ，过点P 作直线PD x ⊥轴于点D ，作直线AC 交PD 于点E ．已知抛物线的顶点P 坐标为2534⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．(1)求抛物线的解析式；(2)求点A 、B 的坐标和直线AC 的解析式； (3)求当线段CP CE =时m 的值；(4)连接BC ，过点P 作直线l BC 交y 轴于点F ，试探究：在点P 运动过程中是否存在m ，使得CE DF =，若存在直接写出m 的值；若不存在，请说明理由．6．如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线21:23L y x x =--的顶点为P ．直线l 过点()()0,3M m m ≥-，且平行于x 轴，与抛物线1L 交于A B 、两点（B 在A 的右侧）．将抛物线1L 沿直线l 翻折得到抛物线2L ，抛物线2L 交y 轴于点C ，顶点为D ．(1)当1m =时，求点D 的坐标；(2)连接BC CD DB 、、，若BCD △为直角三角形，求此时2L 所对应的函数表达式； (3)在（2）的条件下，若BCD △的面积为3,E F 、两点分别在边BC CD 、上运动，且EF CD =，以EF 为一边作正方形EFGH ，连接CG ，写出CG 长度的最小值，并简要说明理由．7．如图抛物线212y x mx n =-++与x 轴交于A 、B 两点与y 轴交于点C ，抛物线的对称轴交x 轴于点D ，已知()1,0A -和()0,2C ．(1)求抛物线的表达式；(2)若在抛物线的对称轴上有一点P ，使PCD 是以CD 为腰的等腰三角形，请直接写出所有符合条件的P 点坐标；(3)点F 是第一象限抛物线上的一个动点，当点F 运动到什么位置时，CBF 的面积最大？求出CBF 的最大面积及此时F 点的坐标．8．如图，抛物线23y ax bx =++的对称轴为直线2x =，并且经过点()2,0A -，交x 轴于另一点B ，交y 轴于点C ．(1)求抛物线的解析式；(2)在直线BC 上方的抛物线上有一点P ，求点P 到直线BC 距离的最大值及此时点P 的坐标；(3)在直线BC 下方的抛物线上是否存在点Q ，使得QBC △为直角三角形？若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．9．如图，已知抛物线与x 轴交于1,0A 和()5,0B -两点，与y 轴交于点C ．直线33y x =-+过抛物线的顶点P ．(1)求抛物线的函数解析式；(2)若直线()50x m m =-<<与抛物线交于点E ，与直线BC 交于点F ． ①当EF 取得最大值时，求m 的值和EF 的最大值； ①当EFC 是等腰三角形时，求点E 的坐标． 10．如图，抛物线212y x bx c =++与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴的负半轴交于点C ，直线1233y x =+经过点A ，连接AC 和BC ，若OB OC =，ABC 的面积为352．(1)求抛物线的解析式；(2)点P 为y 轴右侧抛物线上一点，连接PA 交y 轴于点D ，设点P 的横坐标为t ，ACD 的面积为S ，求S 与t 的函数解析式；(3)在（2）的条件下，过点D 作BC 的平行线交直线1233y x =+于点E ，过点P 作BC 的平行线交x 轴于点F ，连接EF ，若EA EF =，求点P 的坐标． 11．如图，抛物线2y ax bx c =++过点()()()1,0,3,,00,3A B C -．(1)求抛物线的解析式；(2)设点P 是直线BC 上方抛物线上一点，求出PBC 的最大面积及此时点P 的坐标； (3)若点M 是抛物线对称轴上一动点，点N 为坐标平面内一点，是否存在以BC 为边，点B C M N 、、、为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．12．如图，已知抛物线223y x x =-++与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C ，连接BC ．(1)求A 、B 、C 三点的坐标及抛物线的对称轴；(2)若已知x 轴上一点302N ⎛⎫⎪⎝⎭，，则在抛物线对称轴上是否存在一点Q ，使得CNQ 是直角三角形？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．13．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线L ：2y x bx c =-++与x 轴交于()30A -,，与y 轴交于点()0,3C ．(1)求抛物线L 的表达式和顶点坐标D ；(2)将抛物线L 平移得到L '，抛物线L '的顶点坐标为E ，L '的对称轴与x 轴交于点F ．若以O ，E ，F 为顶点的三角形与AOC 全等，请你写出平移过程，并说明理由． 14．如图，抛物线2y x bx c =++与x 轴相交于点(1,0)A -和点(2,0)B ．(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线上有一点P ，过点P 作x 轴的垂线交x 轴于点Q ，若APQ △是等腰直角三角形，求点P 的坐标． 15．综合与探究：如图，已知抛物线239684y x x =-++与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左边），与y轴交于点C ．直线BC 与抛物线的对称轴交于点E ．将直线BC 沿射线CO 方向向下平移n 个单位，平移后的直线与直线AC 交于点F ，与抛物线的对称轴交于点D ．(1)求出点A ，B 和C 的坐标，并直接写出直线AC ，BC 的解析式； (2)当CDB △是以BC 为斜边的直角三角形时，求出n 的值；(3)直线BC 上是否存在一点P ，使以点D ，E 和F ，P 为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案：1．(1)219422y x x =+- (2)存在，点()114Q --， ()2259,5Q --和313524Q ⎛⎫⎪⎝--⎭，2．(1)223y x x =-++ (2)()1,1P (3)M 点横坐标为3172+或3172-或1或23．(1)()1,0A - ()4,0B ()0,4C -；直线BC 的解析式为4y x =- (2)12m =(3)当3m =或2m =时，CPE △为等腰直角三角形 4．(1)248433y x x -=- (2)12(3)1(,0)2-或3(,0)2或2(,0)35．(1)213442y x x =+- (2)()()8020A B -，，，，142y x =-- (3)4-(4)存在， 225m =-或4m =-6．(1)()1,6D(2)223y x x =-++或223y x x =-+- (3)1022-7．(1)213222y x x =-++(2)存在，P 点坐标为3,42⎛⎫ ⎪⎝⎭或35,22⎛⎫ ⎪⎝⎭或35,22⎛⎫- ⎪⎝⎭(3)当点F 运动到()2,3时，△CBF 的面积最大，最大值为4，此时()2,3F8．(1)2134y x x =-++(2)当点P 的坐标为153,4⎛⎫ ⎪⎝⎭时，点P 到BC 距离的最大值为9510(3)存在，点Q 的坐标为()4,5--或()1032--，9．(1)245y x x =--+(2)①当52m =-时，EF 有最大值，最大值为254；①()38-，或()45-，或()25622--，10．(1)213522y x x =-- (2)S t = (3)()4,3P -11．(1)223y x x =-++ (2)PBC 的最大面积为278 315,24P ⎛⎫⎪⎝⎭(3)存在，()4,17或()4,17-或()2,143-+ ()2,143--+12．(1)()10A -，，()30B ，和()03C ，，对称轴是1x =； (2)满足条件的点Q 的坐标为：712⎛⎫ ⎪⎝⎭，或114⎛⎫- ⎪⎝⎭，或31112⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭，或31112⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，．13．(1)抛物线L 的表达式为：2=32y x x -+-，顶点坐标为()1,4D -； (2)有四种情况14．(1)抛物线的解析式为2y x x 2=-- (2)点P 的坐标为(3,4)或(1,2)-15．(1)()2,0A -，()8,0B 和()0,6C ，直线AC 为36y x =+，直线BC 为：364y x =-+；(2)3264n =+ (3)3249,1040P ⎛⎫- ⎪⎝⎭或()8,0P ．。
中考数学25题专题复习二次函数综合题等腰直角三角形提高类
中考数学25题专题复习二次函数综合题等腰直角三角形提高类1. 如图，已知直线y =34x +3交x 轴负半轴于点A ，交y 轴于点C ，抛物线y =−38x 2+bx +c经过点A 、C ，与x 轴的另一交点为B ．（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线上任一动点P 的横坐标为m ．①若点P 在第二象限抛物线上运动，过P 作PN ⊥x 轴于点N 交直线AC 于点M ，当直线AC 把线段PN 分成2：3两部分时，求m 的值；②连接CP ，以点P 为直角顶点作等腰直角三角形CPQ ，当点Q 落在抛物线的对称轴上时，请直接写出点P 的坐标．2.如图（1），直线y=−4x3+n交x轴于点A，交y轴于点C（0，4），抛物线y=23x2+bx+c过点A，交y轴于点B（0，-2）.点P为抛物线上一个动点，过点P作x轴的垂线PD，过点B作BD⊥PD于点D，连接PB，设点P的横坐标为m.（1）求抛物线的解析式；（2）当△BDP为等腰直角三角形时，求线段PD的长；（3）如图（2），将△BDP绕点B逆时针旋转，得到△BD′P′，当旋转角∠PBP′=∠OAC，且点P的对应点P′落在坐标轴上时，求点P的坐标.3.如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=-1x2+x+4与x轴分别交于A、B两点（点A2在点B左侧），与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点，连接AC、BC．（1）求直线BD的函数解析式；（2）如图1，点P是直线BD上方抛物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交线段BD于点E，过点E作y轴的平行线交线段BC于点F，当PE+EF的值最大时，在线段AP上找一点M，在线段AB上找一点N，使得OM+MN+NP的值最小，请求出此时点M的坐标以及OM+MN+NP的最小值；（3）如图2，平移抛物线，使抛物线的顶点D在射线DB上移动，点D平移后的对应点为点D′，记平移后的抛物线与y轴交于点Q′，将△AOC绕点O顺时针旋转a°（0＜a＜45）至△A′OC′的位置，点A、C的对应点分别为点A′、C′，且点C′恰好落在BD上，在y轴上取点K（0，-4），点T为直线BK上一点，当△A′D′T 是以A′T为斜边的等腰直角三角形时，请直接写出点Q′的坐标．4.在平面直角坐标系中，已知抛物线y=-12x2+bx+c（b，c为常数）的顶点为P，等腰直角三角形ABC的顶点A的坐标为（0，-1），C的坐标为（4，3），AB平行于x 轴，直角顶点B在第四象限．（1）如图，若该抛物线过A，B两点，求该抛物线的函数表达式；（2）平移（1）中的抛物线，使顶点P在直线AC上滑动，且与AC交于另一点Q．①若点M在直线AC下方，且为平移前（1）中的抛物线上的点，当以M、P、Q三点为顶点的三角形是等腰直角三角形时，求出所有符合条件的点M的坐标；②取BC的中点N，连接NP，BQ，试探究PQNP+BQ是否存在最大值？若存在，求出该最大值，若不存在，请说明理由．5.如图，抛物线y＝ax2-2ax+c的图象与坐标轴分别交于点A(-1，0)，B，C(0，3)，Q是线段BC上方抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的解析式．（2）平移该抛物线得到一条新抛物线，设新抛物线的顶点为P′．若新抛物线也经过点C，并且新抛物线的顶点和原抛物线的顶点P的连线PP′平行于直线BC，求新抛物线的解析式．（3）过点Q作x轴的垂线，交线段BC于点D，再过点Q作QE // x轴交抛物线于点E，连接DE，请问是否存在点Q使△QDE为等腰直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．6.如图，抛物线y=−x2−2x+3与x轴交于A，B两点(A在B的左侧)，与y轴交于点C，顶点为D．（1）请直接写出点A，C，D的坐标；（2）若P是第二象限的抛物线上的一个动点(不与D重合)，过点P作PE⊥x轴交AC于点E，求线段PE长度的最大值；（3）若F为直线AC上的动点，在抛物线上是否存在点Q，使得△AFQ为等腰直角三角形？若存在，求出Q坐标，若不存在，请说明理由．7.如图，已知直线y=−x+c交x轴于点B，交y轴于点C，抛物线y=ax2+bx+3经过点A(−1,0)，与直线y=−x+c交于B、C两点，点P为抛物线上的动点，过点P 作PE⊥x轴，交直线BC于点F，垂足为E．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P位于抛物线对称轴右侧时，点Q为抛物线对称轴左侧一个动点，过点Q作QD⊥x轴，垂足为点D．若四边形DEPQ为正方形时求点P的坐标；（3）若▵PQF是以点P为顶角顶点的等腰直角三角形时，请直接写出点P的横坐标．8.已知：如图，抛物线y=ax2+bx+3与坐标轴分别交于点A，B（-3，0），C（1，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．（1）求抛物线解析式；（2）当点P运动到什么位置时，△PAB的面积最大？（3）过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P作PE∥x轴交抛物线于点E，连接DE，请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．9.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=−√22x2−3√22x+2√2与x轴交于点A，点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，抛物线的对称轴与x轴交于点E．（1）点D是线段AC上方抛物线上一动点，连接AC、DC、DA，过点B作AC的平行线，交DA延长线于点F，连接CF，当△DCF的面积最大时，在抛物线的对称轴上找一点Q，使得DQ+12QE的值最小，求出此时Q点的坐标．（2）将△OBC绕点O逆时针旋转至△OB1C1，点B、C的对应点分别是B1，C1，且点B1落在线段BC上，再将△OB1C1沿y轴平移得△O1B2C2，其中直线O1C2与x轴交于点K，点T为抛物线对称轴上的动点，连接KT、TO1，△O1KT能否成为以O1K 为直角边的等腰直角三角形？若能，请求出所有符合条件的T点的坐标；若不能，请说明理由．10. 如图，抛物线y =-45x 2+245x -4与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，抛物线的对称轴与x 轴交于点M ．P 是抛物线在x 轴上方的一个动点（点P 、M 、C 不在同一条直线上）．（1）求点A ，B 的坐标；（2）连接AC 、PB 、BC ，当S △PBC =S △ABC 时，求出此时点P 的坐标；（3）分别过点A 、B 作直线CP 的垂线，垂足分别为点D 、E ，连接MD 、ME ．问△MDE 能否为等腰直角三角形？若能，求此时点P 的坐标；若不能，说明理由．11. 如图1，直线y =-√3x +n 交x 轴于点A ，交y 轴于点C （0，3√3），抛物线y =23x 2+bx +c 经过点A ，交y 轴于点B （0，-2）．点P 为抛物线上一个动点，过点P 作x 轴的垂线PD ，过点B 作BD ⊥PD 于点D ，连接PB ，设点P 的横坐标为m ．（1）求抛物线的解析式；（2）当△BDP 为等腰直角三角形时，求线段PD 的长；（3）如图2，将△BDP 绕点B 逆时针旋转，得到△BD ′P ′，且旋转角∠PBP ′=∠OAC ，当点P 的对应点P ′落在坐标轴上时，请直接写出点P 的坐标．12. 如图，抛物线y ＝ax 2＋bx 过A （4，0）、B （1，3）两点，点C 、B 关于抛物线的对称轴对称，过点B 作直线BH ⊥x 轴，交x 轴于点H ．（1）求抛物线对应的函数解析式；（2）直接写出点C 的坐标，连接AC ，并求出△ABC 的面积；（3）P 是抛物线上一动点，且位于第四象限，当△ABP 的面积为6时，求出点P 的坐标；（4）若点M 在直线BH 上运动，点N 在x 轴上运动，当以点C 、M 、N 为顶点的三角形为等腰直角三角形时，请直接写出此时△CMN 的面积．13. 如图，抛物线y =45x 2+245x +4与x 轴相交于点A 、B 与y 轴相交于点C ，抛物线的对称轴与x 轴相交于点M ，P 是抛物线在x 轴下方的一个动点（点P 、M 、C 不在同一条直线上）．分别过点A 、B 作直线CP 的垂线，垂足分别为D 、E ，连接点MD 、ME ．（1）写出点A ，B 的坐标，______并证明△MDE 是等腰三角形；（2）△MDE 能否为等腰直角三角形？若能，求此时点的坐标；若不能，说明理由；（3）若将“P 是抛物线在x 轴下方的一个动点（点P 、M 、C 不在同一条直线上）”改为“P 是抛物线在x 轴上方的一个动点”，其他条件不变，△MDE 能否为等腰直角三角形？若能求此时点P 的坐标（直接写出结果）；若不能，说明理由．14.如图①，在矩形OABC中，点B的坐标为（4，－2），抛物线y＝ax2－4x－2经过A，B两点，点P是直线y＝－x上的一个动点（不与点O重合）．（1）求抛物线的解析式；（2）求△PBC周长的最小值及此时点P的坐标；（3）如图②，过点P作x轴的垂线交抛物线于点Q，设y＝－x与AB交于点N，若以点P，N，Q为顶点的三角形是等腰直角三角形，请直接写出点P的坐标．15.已知抛物线C1：y=ax2+bx-3（a≠0）经过点A（1，0）和B（-3，0）．2（1）求抛物线C1的解析式，并写出其顶点C的坐标．（2）如图1，把抛物线C1沿着直线AC方向平移到某处时得到抛物线C2，此时点A，C分别平移到点D，E处．设点F在抛物线C1上且在x轴的上方，若△DEF是以EF为底的等腰直角三角形，求点F的坐标．（3）如图2，在（2）的条件下，设点M是线段BC上一动点，EN⊥EM交直线BF 于点N，点P为线段MN的中点，当点M从点B向点C运动时：①tan∠ENM的值如何变化？请说明理由；②点M到达点C时，直接写出点P经过的路线长．16.如图，已知抛物线y = ax2 + bx + c（a ≠ 0）经过点A（0，3），B（1，0），其对称轴为直线l:x=2，过点A作AC//x轴交抛物线于点C，∠AOB的平分线交线段AC 于点E，P是抛物线上的一个动点，设其横坐标为m.(1) 求抛物线的函数表达式；(2) 若动点P在直线OE下方的抛物线上，连结PE、PO，当m为何值时，四边形AOPE面积最大？并求出其最大面积；(3) F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在一点P使△POF是以点P为直角顶点的等腰直角三角形?若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.第13页，共1页。
中考体系-107.二次函数与特殊三角形-3(最全,含答案)
二次函数与特殊三角形-3一、 二次函数与等腰三角形1、指定一边做底或腰2、需要讨论二、 二次函数与等边三角形 三、 二次函数与直角三角形1、求证为直角三角形2、在特殊条件下存在点问题3、需要对直角讨论的类型四、 二次函数与等腰直角三角形1. 【中】（直角三角形）（2012年广州）如图，抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），与轴交于点． ⑴求点、的坐标；⑵设为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当的面积等于的面积时，求点的坐标；⑶若直线过点，为直线上的动点，当以、、为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线的解析式．【答案】：⑴令，即，解得，，∴、点的坐标为、． ⑵， 在中，， 设中边上的高为，则有，解得． 如图1，在坐标平面内作直线平行于，且到的距离，这样的直线有2条，分别是和，则直线与对称轴的两个交点即为所求的点．233384y x x =--+x A BA B y C A B D ACD △ACB △D l ()40E ，M l A B Ml 0y =2333084x x --+=14x =-22x =A B ()40A -，()20B ，192ACB S AB OC =⋅=△Rt AOC△5AC =ACD △AC h 192AC h ⋅=185h =AC AC 185h =1l 2l 1x =-D设交轴于，过作于，则，∴． 设直线的解析式为()0k ≠，将，坐标代入， 得到，解得，∴直线解析式为． 直线可以看做直线向下平移长度单位（个长度单位）而形成的，∴直线的解析式为．则的纵坐标为，∴1914D ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．同理，直线向上平移个长度单位得到，可求得综上所述，点坐标为：1914D ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，．图2 图1⑶如图2，以为直径作，圆心为．过点作的切线，这样的切线有2条．连接，过作轴于点．∵，，∴，半径． 又，则在中，，，． 在中，，1l y E C 1CF l ⊥F 185CF h ==18954sin sin 25CF CF CE CEF OCA ====∠∠AC y kx b =+()40A -，()03B ，403k b b -+=⎧⎨=⎩343k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩AC 334y x =+1l AC CE 921l 393334242y x x =+-=-1D ()3391424⨯--=-AC 922l 22714D ⎛⎫- ⎪⎝⎭，D 22714D ⎛⎫- ⎪⎝⎭，1AB F ⊙F E F ⊙FM M MN x ⊥N ()40A -，()20B ，()10F -，F ⊙3FM FB ==5FE =Rt MEF△4ME 4sin 5MFE =∠3cos 5MFE =∠Rt FMN △412sin 355MN MN MFE =⋅=⨯=∠，则，∴点坐标为直线过，， 设直线的解析式为()0k ≠，则有 ，解得，所以直线的解析式为．同理，可以求得另一条切线的解析式为．综上所述，直线的解析式为或．2. 【中】（平移+直角三角形）（益阳市2013年普通初中毕业学业考试数学试卷）阅读材料：如图1，在平面直角坐标系中，A B ，两点的坐标分别为()11A x y ，，()22B x y ， ，AB 中点P 的坐标为()p p x y ，．由12p p x x x x -=-，得122p x x x +=，同理122p y y y +=，所以AB 的中点坐标为121222x x y y ++⎛⎫⎪⎝⎭，．由勾股定理得2222121AB x x y y =-+-，所以A B ，两点间 的距离公式为AB ．注：上述公式对A B ，在平面直角坐标系中其它位置也成立．解答下列问题：如图2，直线l ：22y x =+与抛物线22y x =交于A B ，两点，P 为AB 的中点，过P 作x 轴的垂线交抛物线于点C ．39cos 355FN MN MFE =⋅=⨯=∠45ON =M 41255⎛⎫⎪⎝⎭，l M 41255⎛⎫⎪⎝⎭，()40E ，l y kx b =+4125540k b k b ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩343k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩l 334y x =-+334y x =--l 334y x =-+334y x =--图2⑴ 求A B ，两点的坐标及C 点的坐标；⑵ 连结AC BC ，，求证ABC △为直角三角形；⑶ 将直线l 平移到C 点时得到直线l '，求两直线l 与l '的距离．【答案】⑴由{2222y x y x =+=，解得113x y ⎧⎪=⎨⎪=-⎩，223x y ⎧⎪⎨⎪=⎩则A B ，两点的坐标分别为：3A -⎝，3B +⎝， ∵P 是A B ，的中点，由中点坐标公式得P 点坐标为132⎛⎫⎪⎝⎭，，又PC x ⊥轴交抛物线于C 点，将12x =代入22y x =中得12y =，∴C 点坐标为1122⎛⎫⎪⎝⎭，．⑵由两点间距离公式得：图1Py 2y 1x 2x 1y p y 2y 1x p x 2x 1AB y xO图105AB =，15322PC =-=， ∴PC PA PB ==，∴PAC PCA ∠=∠，PBC PCB ∠=∠， ∴90PCA PCB ∠+∠=︒，即90ACB ∠=︒ ∴ABC △为直角三角形．⑶ 过点C 作CG AB ⊥于G ，过点A 作AHPC ⊥于H ， 则H 点的坐标为132⎛ ⎝，， ∴1122PAC S AP CG PC AH ==△××，∴12CG AH ==-= 又直线l 与l '之间的距离等于点C 到l 的距离CG ， ∴直线l 与l '．3. 【中】（圆+直角三角形）（湛江市2013年初中毕业生学业考试数学试卷）如图，在平面直角坐标系中，顶点为()34，的抛物线交y 轴于A 点，交x 轴于B C 、两点（点B 在点C 的左侧），已知A 点坐标为()05-，．⑴ 求此抛物线的解析式；⑵ 过点B 作线段AB 的垂线交抛物线与点D ，如果以点C 为圆心的圆与直线BD 相切，请判断抛物线的对称轴l 与C 的位置关系，并给出证明．⑶ 在抛物线上是否存在一点P ，使ACP △是以AC 为直角边的直角三角形．若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】解：⑴ 设抛物线解析式为：()()2340y a x a =-+≠，将()05A -，代入求得：1a =-， ∴抛物线解析式为()223465y x x x =--+=-+-. ⑵ 抛物线的对称轴l 与OC 相离，证明：令0y =，即2650x x -+-=，得1x =或5x =，∴()10B ，，()50C ，. 如答图1所示，设切点为E ，连接CE ，由题意易证Rt Rt ABO BCE △∽△， ∴AB OB BC CE =1CE=，答图1求得C ⊙的半径CE ； 而点C 到对称轴3x =的距离为2，2> ∴抛物线的对称轴l 与C ⊙相离. ⑶ 存在.理由如下： 有两种情况：（Ⅰ）如答图2所示，点P 在x 轴上方.答图2∵()05A -，，()50C ，，∴AOC △为等腰直角三角形，45OCA =︒∠； ∵PC AC ⊥，∴45PCO =︒∠.过点P 作PF x ⊥轴于点F ，则PCF △为等腰直角三角形.设点P 坐标为()m n ，，则有OF m =，PF CF n ==， 5OC OF CF m n =+=+=①又点P 在抛物线上，∴265n m m =-+-②联立①②式，解得：2m =或5m =.当5m =时，点F 与点C 重合，故舍去， ∴2m =，∴3n =，∴点P 坐标为()23，； （Ⅱ）如答图3所示，点P 在x 轴下方.答图3∵()05A -，，()50C ，，∴AOC △为等腰直角三角形，45OAC =︒∠； 过点P 作PF x ⊥轴于点F ，∵PA AC ⊥，∴45PAF =︒∠，即PAF △为等腰直角三角形.设点P 坐标为()m n ，，则有PF AF m ==，5OF n OA AF m =-=+=+， ∴5m n +=- ①又点P 在抛物线上，∴265n m m =-+- ②联立①②式，解得：0m =或7m =.当0m =时，点F 与原点重合，故舍去， ∴7m =，∴12n =-， ∴点P 坐标为()712-，.综上所述，存在点P ，使ACP △是以AC 为直角边的直角三角形.点P 的坐标为()23，或()712-，.4. 【中】（等腰三角形+直角三角形）（2013年襄阳市初中毕业生学业考试数学试题）如图，已知抛物线2y ax bx c =++与x 轴的一个交点A 的坐标为()10-，，对称轴为直线2x =-． ⑴求抛物线与x 轴的另一个交点B 的坐标；⑵点D 是抛物线与y 轴的交点，点C 是抛物线上的另一点．已知以AB 为一底边的梯形ABCD 的面积为9．求此抛物线的解析式，并指出顶点E 的坐标；⑶点P 是⑵中抛物线对称轴上一动点，且以1个单位/秒的速度从此抛物线的顶点E 向上运动．设点P 运动的时间为t 秒．①当t 为_______秒时，PAD △的周长最小？当t 为______秒时，PAD △是以AD 为腰的等腰三角形？（结果保留根号）②点P 在运动过程中，是否存在一点P ，使PAD △是以AD 为斜边的直角三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】⑴由抛物线的轴对称性及()10A -，可得()30B -，．⑵设抛物线的对称轴交CD 于点M ，交AB 于点N ，由题意可知AB CD ∥，由抛物线的轴对称性可得2CD DM =． ∵MN y ∥轴，AB CD ∥， ∴四边形ODMN 是矩形． ∴2DM ON ==， ∴224CD =⨯=． ∵()10A -，，()30B -，，P E ABC DOxy∴2AB =． ∵()192ABCD S AB CD OD =+=梯形， ∴3OD =． 即3c =．∴把()10A -，，()30B -，代入23y ax bx =++得， 309330a b a b -+=⎧⎨-+=⎩， 解之，得14a b =⎧⎨=⎩∴243y x x =++．将243y x x =++化为顶点式为()221y x =+-得()21E --，．⑶①2，4或4-4②存在．∵90APD ∠=︒，90PMD PNA ∠=∠=︒，∴90DPM APN ∠+∠=︒，90DPM PDM ∠+∠=︒． ∴PDM APN ∠=∠． ∵PMD ANP ∠=∠， ∴APN PDM △∽△． ∴AN PNPM DM =． ∴132PNPN =-．∴2320PN PN -+=． ∴1PN =或2PN =．∴()21P -，或()22-，．5. 【难】（中心对称+直角三角形）（北京八中2010-2011学年度第一学期期中练习）如图，已知抛物线的顶点为，与轴相交于、两点（点在点的左边），点的横坐标是1． ⑴ 求点坐标及的值；⑵ 如图1，抛物线与抛物线关于轴对称，将抛物线向右平移，平移后的抛物线记为，的顶点为，当点、关于点成中心对称时，求的解析式；()2125C y a x =+-∶P x A B AB B P a 2C 1C x 2C 3C 3C M P M B 3C⑶ 如图2，点是轴正半轴上一点，将抛物线绕点旋转后得到抛物线．抛物线的顶点为，与轴相交于、两点（点在点的左边），当以点、、为顶点的三角形是直角三角形时，求点的坐标．【答案】⑴由抛物线得顶点的坐标为 ∵点在抛物线上，∴，解得． ⑵连接，作轴于，作轴于 ∵点关于点成中心对称， ∴过点，且∴，∴，∴顶点的坐标为 抛物线关于轴对称得到，再平移得到 ∴抛物线的解析式为 ⑶∵抛物线由绕着轴上的点旋转得到 ∴顶点关于点成中心对称由⑵得点的纵坐标为，设点坐标为 作轴于，作轴于，作于∵旋转中心在轴上，∴，∴，点坐标为，坐标为，坐标为， 根据勾股定理得，， ，①当时，，解得，∴点坐标为 Q x 1C Q 1804C 4C N x E F E F P N F Q图2图1()2125C y a x =+-∶P ()25--，()10B ，1C ()20125a =+-59a =PM PH x ⊥H MG x ⊥G P M 、B PM B PB M B =PBH MBG △≌△5MG PH ==3BG BH ==M ()45，1C x 2C 3C 3C ()25459y x =--+4C 1C x Q 180︒N P 、Q N 5N ()5m ，PH x ⊥H NG x ⊥G PK NG ⊥K Q x 26EF AB BH ===3FG =F ()30m +，H ()20-，K ()5m -，22224104PN NK PK m m =+=++22221050PF PH HF m m =+=++2225334NF =+=90PNF ∠=︒222PN NF PF +=443m =Q 1903⎛⎫⎪⎝⎭，②当时，，解得，∴点坐标为 ③∵，∴综上，当点坐标为或时，以点、、为顶点的三角形是直角三角形．6. 【难】（直角三角形）（九年级第一次质量预测）如图，经过轴上、两点的抛物线交y 轴的正半轴于点，设抛物线的顶点为． ⑴用含的代数式表示出点、的坐标⑵若90BCD ∠=︒，请确定抛物线的解析式； ⑶在⑵的条件下，能否在抛物线上找到另外的点，使为直角三角形?如果能，请求出点坐标；如果不能，请说明理由．【答案】⑴设抛物线的解析式为()0a ≠.则.则点的坐标为. 点的坐标为. ⑵过点作轴于，如图1所示，则有.90PFN ∠=︒222PF NF PN +=103m =Q 203⎛⎫⎪⎝⎭，90NPF HPK ∠<∠=︒90NPF ∠≠︒Q 1903⎛⎫ ⎪⎝⎭，203⎛⎫⎪⎝⎭，P NF 图(2)图(1) x ()10A -，()30B ，2y ax bx c =++()0a ≠C D a C D Q BDQ △Q ()()13y a x x =+-()()222314y a x x a x a =--=--D ()14D a -，C ()03C a -，D DE y ⊥E DEC COB △∽△∴.∴. ∴，（舍去）. ∴.抛物线的解析式为.⑶如图2，若90=︒，作轴于， 轴于.可证. 有，设点， . 化简得， 即.解之得或.检验略.舍去.由得点坐标：. 如图3，若90BDQ ∠=︒. 延长交轴于， 可证明.即. 则. 得，点的坐标为.所在的直线方程为.则与的解为 (舍),，得交点的坐标为. 所以满足题意的点有两个：.DE ECCO OB=1|||3|3a a =-21a =1a =±1a =1a =-223y x x =-++DBQ ∠QF x ⊥F DH x ⊥H Rt Rt DHB BFQ △∽△DH HBBF FQ=Q ()223k k k -++，242323k k k =---22390k k --=()()3230k k -+=3k =32k =-3k =32k =-Q 3924Q ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，DQ y M DEM DHB △∽△DE EM DH HB =142EM=12EM =M 702⎛⎫ ⎪⎝⎭，DM 1722y x =+1722y x =+223y x x =-++1x =12x =Q 11524⎛⎫ ⎪⎝⎭，Q 391152424⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，图2图2图17. 【中】（直角三角形+轴对称）（眉山市中考）如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线与直线交于、两点，与轴交于、两点，且点坐标为. ⑴求该抛物线的解析式；⑵动点在x 轴上移动，当是直角三角形时，求点的坐标.⑶在抛物线的对称轴上找一点，使的值最大，求出点的坐标.【答案】⑴将、坐标代入得解得 ∴抛物线的解折式为… ⑵设点的横坐标为，则它的纵坐标为即点的坐标又∵点在直线上 ∴ 解得（舍去）， ∴的坐标为（Ⅰ）当为直角顶点时过作交轴于点，设易知点坐标为 由得即，∴ ∴ （Ⅱ）同理，当为直角顶点时，点坐标为（Ⅲ）当为直角顶点时，过作轴于，设()30P b ，，由，得112y x =+y A x D 212y x bx c =++A E x B CB ()10，P PAE △P M ||AM MC -M 01A （，）10B （，）212y x bx c =++1102c b c =⎧⎪⎨++=⎪⎩321b c ⎧=-⎪⎨⎪=⎩213122y x x =-+E m 213122m m -+E 213,122m m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭E 112y x =+213111222m m m -+=+10m =24m =E 43（，）A A 1AP DE ⊥x 1P 1,0P a （）D 20（－，）Rt Rt AOD POA △△∽DO OA OA OP =211a =12a =11,02P ⎛⎫⎪⎝⎭E 2P 11,02⎛⎫⎪⎝⎭P E EF x ⊥F 90OPA FPE ∠+∠︒＝OPA FEP ∠∠＝Rt Rt AOP PFE △△∽由得 解得， ∴此时的点的坐标为（1，0）或（3，0）综上所述，满足条件的点的坐标为或或或（Ⅲ）抛物线的对称轴为 ∵关于对称 ∴ 要使最大，即是使最大由三角形两边之差小于第三边得，当在同一直线上时的值最大．易知直线的解折式为∴由 得 ∴8. 【难】（平分面积+直角三角形）（2011年徐州市中考）如图，已知二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，顶点为。
最新九年级数学中考复习：二次函数综合压轴题(特殊三角形问题)含答案
2023年九年级数学中考复习：二次函数综合压轴题（特殊三角形问题）1．如图，直线y=﹣23x+c与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，抛物线y=﹣43x2+bx+c经过点A，B，M（m，0）为x轴上一动点，点M在线段OA上运动且不与O，A重合，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N．（1）求点B的坐标和抛物线的解析式；（2）在运动过程中，若点P为线段MN的中点，求m的值；（3）在运动过程中，若以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似，求点M的坐标；2．如图△，已知抛物线y＝ax2﹣4amx+3am2（a、m为参数，且a＞0，m＞0）与x轴交于A、B两点（A在B的左边），与y轴交于点C．（1）求点B的坐标（结果可以含参数m）；（2）连接CA、CB，若C（0，3m），求tan△ACB的值；（3）如图△，在（2）的条件下，抛物线的对称轴为直线l：x＝2，点P是抛物线上的一个动点，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P，使△POF成为以点P为直角顶点的的等腰直角三角形．若存在，求出所有符合条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由．3．如图，已知二次函数的图象经过点A （4，4）、B （5，0）和原点O ．P 为二次函数图象上的一个动点，过点P 作x 轴的垂线，垂足为D （m ，0），并与直线OA 交于点C ．（1）求出二次函数的解析式；（2）当点P 在直线OA 的上方时，求线段PC 的最大值；（3）当m ＞0时，探索是否存在点P ，使得△PCO 为等腰三角形，如果存在，求出P 的坐标；如果不存在，请说明理由．4．已知顶点为()1,5A 的抛物线2y ax bx c =++经过点()5,1B .（1）求抛物线的解析式；（2）设C ，D 分别是x 轴、y 轴上的两个动点.△当四边形ABCD 的周长最小时，在图1中作直线CD ，保留作图痕迹.并直接写出直线CD 的解析式；△点()(),0P m n m >是直线y x =上的一个动点，Q 是OP 的中点，以PQ 为斜边按图2所示构造等腰Rt PQR ∆.在△的条件下，记PQR ∆与COD ∆的公共部分的面积为S .求S 关于m 的函数关系式，并求S 的最大值.5．已知抛物线y＝a（x﹣1）（x﹣3）（a＜0）的顶点为A，交y轴交于点C，过C作CB△x 轴交抛物线于点B，过点B作直线l△x轴，连结OA并延长，交l于点D，连结OB．（1）当a＝﹣1时，求线段OB的长．（2）是否存在特定的a值，使得△OBD为等腰三角形？若存在，请写出求a值的计算过程；若不存在，请说明理由．（3）设△OBD的外心M的坐标为（m，n），求m与n的数量关系式．6．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣4a（a≠0）经过A（﹣1，0）、C（0，4）两点，与x轴交于另一点B，连接AC，BC．（1）求抛物线的解析式；（2）过点C作x轴的平行线交抛物线于另一点D，连接BD，点P为抛物线上一点，且△DBP＝45°，求点P的坐标；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点M，使得由点M，A，C构成的△MAC是直角三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．7．如图，二次函数y=x2+bx+c的图像与x轴交于A，B两点，B点坐标为(4,0)，与y 轴交于点C(0,4).点D为抛物线上一点(1)求抛物线的解析式及A点坐标；(2)若△BCD是以BC为直角边的直角三角形时，求点D的坐标；(3)若△BCD是锐角三角形,请直接写出点D的横坐标m的取值范围.8．已知：如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A点，与y轴交于C点，且A（1，0）、B（3，0），点D是抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式（2）在y轴上是否存在M点，使得△MAC是以AC为腰的等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．（3）点P为抛物线上的动点，且在对称轴右侧，若△ADP面积为3，求点P的坐标．9．如图，抛物线y＝ax2+bx+3交x轴于点A（﹣1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）连接BC，若点P为线段BC上的一个动点（不与点B、点C重合），过点P作直线PN△x 轴于点N ，交抛物线于点M ，当△BCM 面积最大时，求△BPN 的周长． （3）在（2）的条件下，当△BCM 面积最大时，在抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使△CNQ 为等腰三角形？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．10．如图1，抛物线243y x x =++与x 轴交于,A B 两点（点A 在点B 左侧），与y 轴交于点C ，点D 抛物线的顶点.（1）求直线BD 的解析式；（2）抛物线对称轴交x 轴于点E ，P 为直线BD 上方的抛物线上一动点，过点P 作PF BD ⊥于点F ，当线段PF 的长最大时，连接PE ，过点E 作射线EM ，且EM EP ⊥，点G 为射线EM 上一动点（点G 不与点E 重合），连接PG ，H 为PG 中点，连接AH ，求AH 的最小值；（3）如图2，平移抛物线，使抛物线的顶点D 在射线BD 上移动，点B ，D 平移后的对应点分别为点'B ，'D ，y 轴上有一动点M ，连接'MB ，'MD ，''MB D ∆是否能为等腰直角三角形？若能，请求出所有符合条件的M 点的坐标；若不能，请说明理由.11．如图1，抛物线()230y ax bx a =++≠与x 轴交于()1,0A -、()30B ，两点，与y 轴交于点C ，顶点为点M ．（1）求这条抛物线的解析式及直线BM 的解析式；（2）P 段BM 上一动点（点P 不与点B 、M 重合），过点P 向x 轴引垂线，垂足为Q ，设OQ 的长为t ，四边形PQAC 的面积为S ．求S 与t 之间的函数关系式及自变量t 的取值范围；（3）在线段BM 上是否存在点N ，使NMC ∆为等腰三角形？若存在，请直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．12．如图,已知抛物线与x 轴交于A(−1,0)、B(3,0)两点,与y 轴交于点C(0,3).(1)该抛物线的对称轴是直线___________， (2)求抛物线的解析式；(3)设抛物线的顶点为D ，在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P ，使得△PDC 是等腰三角形?若存在，求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由：13．在平面直角坐标系中，将二次函数()20y ax a =>的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与x 轴交于点A 、B (点A 在点B 的左侧)，1OA =，经过点A 的一次函数()0y kx b k =+≠的图象与y 轴正半轴交于点C ，且与抛物线的另一个交点为D ，ABD ∆的面积为5．(1)求抛物线和一次函数的解析式；(2)抛物线上的动点E 在一次函数的图象下方，求ACE ∆面积的最大值，并求出此时点E 的坐标；(3)若点P 为x 轴上任意一点，在(2)的结论下，求35PE PA +的最小值．14．如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴的交点分别为()6,0A -和点()4,0B ，与y 轴的交点为()0,3C ．（1）求抛物线的解析式；（2）点P 是线段OA 上一动点（不与点A 重合），过P 作平行于y 轴的直线与AC 交于点Q ，点D 、M 在线段AB 上，点N 在线段AC 上．△是否同时存在点D 和点P ，使得APQ ∆和CDO ∆全等，若存在，求点D 的坐标，若不存在，请说明理由；△若DCB CDB ∠=∠，CD 是MN 的垂直平分线，求点M 的坐标．15．如图，抛物线y=ax 2+bx+2交x 轴于点A(-3，0)和点B(1，0)，交y 轴于点C (1)求这个抛物线的函数表达式．(2)点D 的坐标为(-1，0)，点P 为第二象限内抛物线上的一个动点，求四边形ADCP 面积的最大值．(3)点M 为抛物线对称轴上的点，问：在抛物线上是否存在点N ，使△MNO 为等腰直角三角形，且△MNO 为直角？若存在，请直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．16．如图，抛物线23y ax bx =+-与x 轴交于(1,0)A -，(3,0)B 两点，与y 轴交于点C ，点D 是抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式．（2）点N 是y 轴负半轴上的一点，且ON =Q 在对称轴右侧的抛物线上运动，连接QO ，QO 与抛物线的对称轴交于点M ，连接MN ，当MN 平分OMD ∠时，求点Q 的坐标．（3）直线BC 交对称轴于点E ，P 是坐标平面内一点，请直接写出PCE ∆与ACD ∆全等时点P 的坐标．17．已知：直线122y x =+与y 轴交于A ，与x 轴交于D ，抛物线y ＝12x 2+bx +c 与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为 （1，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）点P 是直线AE 上一动点，当△PBC 周长最小时，求点P 坐标； （3）动点Q 在x 轴上移动，当△QAE 是直角三角形时，求点Q 的坐标；（4）在y 轴上是否存在一点M ，使得点M 到C 点的距离与到直线AD 的距离恰好相等？若存在，求出所有符合条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．18．如图，已知抛物线y ＝x 2+bx +c 与x 轴交于点A ，B ，AB ＝2，与y 轴交于点C ，对称轴为直线x ＝2．（1）求抛物线的函数表达式；（2）设D 为抛物线的顶点，连接DA 、DB ，试判断△ABD 的形状，并说明理由； （3）设P 为对称轴上一动点，要使PC ﹣PB 的值最大，求出P 点的坐标．19．如图，抛物线2y ax bx c =++ 经过点()2,5A -，与x 轴相交于()1,0B -，()3,0C 两点，（1）抛物线的函数表达式；（2）点D 在抛物线的对称轴上，且位于x 轴的上方，将BCD ∆沿沿直线BD 翻折得到BC D '∆，若点D '恰好落在抛物线的对称轴上，求点C '和点D 的坐标；（3）设P 是抛物线上位于对称轴右侧的一点，点Q 在抛物线的对称轴上，当CPQ ∆为等边三角形时，求直线BP 的函数表达式.20．如图，在直角坐标系中有Rt AOB ∆，O 为坐标原点，1,tan 3OB ABO =∠=，将此三角形绕原点O 顺时针旋转90︒，得到Rt COD ∆，二次函数2y x bx c =-++的图象刚好经过,,A B C 三点．（1）求二次函数的解析式及顶点P 的坐标；（2）过定点Q 的直线:3l y kx k =-+与二次函数图象相交于,M N 两点． △若2PMN S ∆=，求k 的值；△证明：无论k 为何值，PMN ∆恒为直角三角形；△当直线l 绕着定点Q 旋转时，PMN ∆外接圆圆心在一条抛物线上运动，直接写出该抛物线的表达式．参考答案：1．（1）B （0，2），抛物线解析式为y=﹣43x 2+103x+2；（2）m 的值为12；（3）当以B ，P ，N 为顶点的三角形与△APM 相似时，点M 的坐标为（2.5.0）或（118，0）． 2．（1）B （3m ，0）；（2）tan△ACB ＝12；（3）点P 的坐标是：）或）． 3．（1）y ＝﹣x 2+5x ；（2）当点P 在直线OA 的上方时，线段PC 的最大值是4；（3）存在，P 的坐标是（4，2﹣）或（6，﹣6）或（5，0）． 4．（1）()21154y x =--+；（2）；4y x =-+；△S 27448x x =-+-；S 的最大值为47.5．（1）5；（2）a ＝﹣1（3）m ＝3n 2+2 6．（1）y ＝﹣x 2+3x +4；（2）P （﹣25，6625）；（3）点M 的坐标为（32，298）或（32，﹣58）或（32，52）或（32，32）．7．(1)y=x 2-5x+4, A(1,0)；(2)(6,10)或(2,-2)；m ＜6或 3m ＜28．（1）y ＝﹣x 2+4x ﹣3；（2）在y 轴上存在点M ，点M 的坐标为(0,3)，(0,3-或(0,3-，（3）P （4，﹣3）．9．（1）y ＝﹣x 2+2x+3 （2）310．（1）43y x =-+（2（3）(0,,,.11．（1）2y x 2x 3=-++，26y x =-+；（2）四边形ACPQ S 29322t t =-++，t 的取值范围是13t <<；（3）716,55N ⎛⎫⎪⎝⎭或14N ⎛ ⎝⎭或()2,2N 12．（1）1x = （2）2y x 2x 3=-++；（3）存在，⎝⎭或（2.3）13．(1)21322y x x =--；1122y x =+；(2)ACE ∆的面积最大值是2516，此时E 点坐标为315,28⎛⎫- ⎪⎝⎭；(3)35PE PA +的最小值是3.14．（1）211384y x x =--+；（2）△存在点D ，使得APQ ∆和CDO ∆全等，3,02D ⎛⎫⎪⎝⎭，理由见解析；△点3,02M ⎛⎫⎪⎝⎭15．(1)y=-23x 2-43x+2；(2)S 的最大值为174；(3)存在，点N或)或)或)．16．（1）223y x x =--；（2）点Q 的坐标为：1Q ，2Q ；（3）若PCE ∆与ACD ∆全等，P 点有四个，坐标为1(3,4)P --，2(1,6)P --，3(2,1)P ，4(4,1)P -． 17．（1）215222y x x =-+；（2）P （1213，3213）；（3）Q 点坐标为（1，0）或（172，0）；（4）存在；M 点坐标为M （0，﹣8）.18．（1）抛物线的函数表达式为y ＝x 2﹣4x +3；（2）△ADB 是等腰直角三角形；理由见解析；（3）P （2，﹣3）．19．（1）223y x x =--；（2）点'C 坐标为(点D 的坐标为⎛ ⎝⎭；（3）直线BP 的函数表达式为y =y x =20．（1）2y x 2x 3=-++,()1,4P ;（2）△k =±△2241y x x =-++．。
中考数学总复习《二次函数与特殊三角形问题压轴题》专项提升练习(附答案)
中考数学总复习《二次函数与特殊三角形问题压轴题》专项提升练习(附答案）学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________1．如图①，二次函数245y x x =--与x 轴交于点A 、C ，且点A 在点C 的右侧，与y 轴交于点B ，连接AB ．(1)求抛物线的对称轴；(2)求直线AB 的解析式；(3)如图①，点P 是x 轴下方、抛物线对称轴右侧图象上的一动点，连接PB ，过点P 作PQ AB ∥，与抛物线的另一个交点为Q ，M 、N 为AB 上的两点，且PM y ∥轴，QN y ∥轴．①当BPM △为直角三角形时，求点P 的坐标；①是否存在点P ，使得PB 与QN 互相平分，若存在，直接写出点P 的坐标，若不存在，说明理由．2．如图①，抛物线2y ax bx c =++与x 轴相交于O 、A 两点，直线3y x =-+与y 轴交于B 点，与该抛物线交于A ，D 两点，已知点D 横坐标为1-．(1)求这条抛物线的解析式；(2)如图①，在线段OA 上有一动点H （不与O 、A 重合），过H 作x 轴的垂线分别交AB 于P 点，交抛物线于Q 点，若x 轴把POQ △分成两部分的面积之比为1:2，求H 点的坐标；(3)如图①，在抛物线上是否存在点C ，使ABC 为直角三角形？若存在，直接写出点C 的坐标；若不存在，请说明理由．3．如图，抛物线2y x bx c =++与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ．已知点B 的坐标为()1,0，经过点B 的直线与抛物线另一个交点D 的坐标为()2,3--．(1)求抛物线解析式并直接写出顶点坐标；(2)连接BC ，若点Q 为抛物线上一动点①求直线BC 的解析式；①当COQ OCB ∠=∠时，求点Q 的坐标；(3)是否存在点M 在抛物线上，点N 在直线BD 上，使得DMN 为等腰直角三角形？若存在，直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．4．如图，在平面直角坐标系中，直线123y x =-+交x 轴于点P ，交y 轴于点A ．抛物线212y x bx c =-++的图象过点()10E -，，并与直线相交于A 、B 两点．(1)求抛物线的解析式（关系式）；(2)过点A 作AC AB ⊥交x 轴于点C ，求点C 的坐标；(3)除点C 外，在坐标轴上是否存在点M ，使得MAB 是直角三角形？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．5．已知抛物线()20y ax bx c a =++≠与x 轴交于()20A -，，()60B ，两点，与y 轴交于点()03C -，．(1)求抛物线的表达式；(2)点P 在直线BC 下方的抛物线上，连接AP 交BC 于点M ，当PM AM最大时，求点P 的坐标； (3)在（2）的条件下，过点P 作x 轴的垂线l ，在l 上是否存在点D ，使BCD △是直角三角形若存在，请求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．6．如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线24y ax bx =++的对称轴是直线1x =，拋物线与x 轴分别交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，点A 的坐标是(2,0)-．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1所示，P 是第一象限抛物线上的一个动点，点D 是抛物线对称轴与x 轴的交点，连接CD 、CP 、PB ．求四边形PCDB 的面积的最大值，并求出此时点P 的坐标；(3)如图2所示，在（2）的条件下，点M 是直线BC 上一点，当POM 是以OP 为腰的等腰三角形时，请直接写出点M 的坐标．7．如图，抛物线22y ax bx =++交x 轴于点()()3,0,1,0A C -两点，交y 轴于点B ．(1)求二次函数表达式和点B 的坐标．(2)在直线AB 上方的抛物线上有一动点E ，作EG x ⊥轴交x 轴于点G ，交AB 于点M ，作EF AB ⊥于点F ，若点M 的横坐标为m ，求线段EF 的最大值．(3)抛物线对称轴上是否存在点P 使得ABP 为直角三角形，若存在，请直接写出点P 的坐标，若不存在，说明理由．8．如图，已知抛物线2y ax bx c =++过点()30A -,，()2,3B -和()0,3C ，其顶点为D ．(1)求抛物线的解析式；(2)若P 是抛物线上的一个点，是否存在点P ，使得PA PC =，若存在，求出点P 坐标；若不存在，请说明理由；(3)若抛物线的对称轴与直线AC 相交于点N ，E 为直线AC 上任意一点，过点E 作EF ND ∥交抛物线于点F ，以N ，D ，E ，F 为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E 的坐标；若不能，请说明理由．9．如图，已知抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于()3,0A ，()10B ,两点，与y 轴交于点C ．且有OA OC =．(1)求抛物线解析式；(2)点P 在抛物线的对称轴上，使得ACP △是以AC 为底的等腰三角形，求出点P 的坐标；(3)在（2）的条件下，若点Q 在抛物线的对称轴上，并且有12AQC APC ∠=∠，直接写出点Q 的坐标．10．如图，抛物线2y ax bx =+过点()4,0A 、()1,3B 两点，点C 、B 关于抛物线的对称轴对称，过点B 作直线BH x ⊥轴，交x 轴于点H ．(1)求抛物线的表达式；(2)直接写出点C 的坐标，并求出ABC 的面积；(3)点P 是抛物线上一动点，且位于第四象限，当ABP 的面积为6时，求出点P 的坐标；(4)已知点M 在直线BH 上运动，点N 在x 轴上运动，若CMN 是以点M 为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出此时CMN 的面积．11．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c =-++与x 轴分别交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，连接AC BC 、，其中()2,0A -和()0,6C ．(1)求抛物线的解析式：(2)点P 是直线BC 上方抛物线上一点，过点P 作PE y 轴交BC 于点E ，作PE x ∥轴交BC 于点F ，求CF BE+的最小值，及此时点P 的坐标；(3)如图2，x 轴上有一点()1,0Q -，将抛物线向x 轴正方向平移，使得抛物线恰好经过点Q ，得到新抛物线y 1，点D 是新抛物线1y 与原抛物线的交点，点E 是直线BC 上一动点，连接DQ ，当DQE 是以DQ 为腰的等腰三角形时，直接写出所有符合条件的点E 的坐标．12．如图所示，抛物线()240y ax bx a =++≠经过点()1,0A -，点()4,0B ，与y 轴交于点C ，连接AC ，BC ．点M 是线段OB 上不与点O 、B 重合的点，过点M 作DM x ⊥轴，交抛物线于点D ，交BC 于点E ．(1)求抛物线的表达式；(2)过点D 作DF BC ⊥，垂足为点F ．设M 点的坐标为(),0M m ，请用含m 的代数式表示线段DF 的长，并求出当m 为何值时DF 有最大值，最大值是多少？(3)试探究是否存在这样的点E ，使得以A ，C ，E 为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点E 的坐标；若不存在，请说明理由．13．已知：如图，抛物线2y x bx c =-++经过原点O ，它的对称轴为直线2x =，动点P 从抛物线的顶点A 出发，在对称轴上以每秒1个单位的速度向下运动，设动点P 运动的时间为t 秒，连接OP 并延长交抛物线于点B ，连接OA ，AB ．(1)求抛物线解析式及顶点坐标；(2)当三点A ，O ，B 构成以为OB 为斜边的直角三角形时，求t 的值；(3)将PAB 沿直线PB 折叠后，那么点A 的对称点1A 能否恰好落在坐标轴上？若能，请直接写出所有满足条件的t 的值；若不能，请说明理由．14．如图1，直线y kx b =+与抛物线2y ax x c =-+交于(20)A -，，(02)C ，两点，抛物线与x 轴的另一个交点为B ，顶点为D ．(1)求直线及抛物线的解析式．(2)M 是第二象限内抛物线上的一个动点，过点M 作MN AC ⊥于N ，当MN 最大时，求点M 的坐标．(3)如图2，将抛物线沿射线AC 2个单位的速度平移，平移后抛物线的顶点为D ，设平移时间为t 秒，当CDD '△为等腰三角形时，求t 的值．15．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线2143y x bx =-++经过()13A -,，与y 轴交于点C ，经过点C 的直线与抛物线交于另一点()6,E m ，点M 为抛物线的顶点，抛物线的对称轴与x 轴交于点D ．(1)求直线CE 的解析式；(2)如图2，点P 为直线CE 上方抛物线上一动点，连接PC ，PE ，当PCE 的面积最大时，求点P 的坐标以及PCE 面积的最大值；(3)如图3，将点D 右移一个单位到点N ，连接AN ，将（1）中抛物线沿射线NA 平移得到新抛物线y '，y '经过点N ，y '的顶点为点G ，在新抛物线y '的对称轴上是否存在点H ，使得MGH 是等腰三角形？若存在，请直接写出点H 的坐标：若不存在，请说明理由．参考答案：1．(1)直线2x =(2)5y x =-(3)①()4,5-或()3,8-①存在 1065,39P ⎛⎫- ⎪⎝⎭2．(1)23y x x =- (2)102，⎛⎫ ⎪⎝⎭或()20， (3)()12-，或(277++，或(277，或()00，或3172⎫+⎪⎝⎭或3172⎫-⎪⎝⎭3．(1)223y x x =+- ()1,4E --(2)①33y x =- ①1133313⎫--⎝⎭或53715337-+-⎝⎭(3)存在，点N 的坐标为()0,1-或()1,2--或()3,4--4．(1)213222y x x =-++ (2)203C ⎛⎫- ⎪⎝⎭， (3)存在，点M 的坐标分别为92027⎛⎫ ⎪⎝⎭， 1165116500⎫⎫+-⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 709⎛⎫ ⎪⎝⎭， 9209⎛⎫- ⎪⎝⎭，5．(1)2134y x x =-- (2)153,4P ⎛⎫- ⎪⎝⎭(3)存在，()3,6或()3,9-或3533,22⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭或3533,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭6．(1)2142y x x =-++ (2)P 点的坐标是(2,4)(3)1(4,0)M 2(2,6)M - 3(26,26)M 4(26,26)M7．(1)224233y x x =-++ ()0,2B 913(3)存在，点P 的坐标为()1,3-或71,2⎛⎫ ⎪⎝⎭或(1,13或(1,138．(1)223y x x =--+(2)存在，点P 的坐标为13113-+-⎝⎭或13113--+⎝⎭(3)能，点E 的坐标为()2,1-或3173172-++⎝⎭或317317---⎝⎭9．(1)243y x x =-+(2)()2,2P(3)Q 点坐标为2,1或(2,2510．(1)24y x x =-+；(2)3ABC S =△；(3)点P 坐标为()5,5-； (4)52或292．11．(1)2+6y x x =-+(2)155，点321,24P ⎛⎫ ⎪⎝⎭； (3)(3,0)或1356(,)55-或112348434(+-或112348434()-+．12．(1)234y x x =-++ (2)222)22DF m =-+2m =时，DF 有最大值为22(3)存在，点E 的坐标为34834-⎝⎭或()3,1或177,66⎛⎫ ⎪⎝⎭13．(1)24y x x =-+；(2,4)(2)1秒(3)能，(5-5)秒或25(5+5)秒14．(1)抛物线的解析式为22y x x =--+，直线的解析式为2y x =+；(2)当MN 最大时，点M 的坐标为()12-，； (3)当14t =秒或5810秒时，CDD '△为等腰三角形．15．(1)443y x =-+ (2)()3,3P ，PCE 面积的最大值为9 (3)11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭或25233,⎛- ⎝-或254233,⎛- ⎝+或133,3⎛⎫- ⎪⎝⎭。
中考数学总复习《二次函数压轴题(特殊三角形问题)》专项提升练习(附答案)
(3)在（2）的条件下，点Q为抛物线的动点，过Q点作x轴的垂线交射线 与P点，点Q从A点出发，P点随之运动，当 是以 为腰的等腰三角形时，直接写出Q点的坐标．
（1）求直线BC的函数表达式；
（2）求出P，D两点的纵坐标（用含t的代数式表示，结果需化简）；
（3）试探究在点P，Q运动的过程中，是否存在某一时刻，使得点F为PD的中点？若存在，请直接写出此时t的值：若不存在，请说明理由．
5．如图，抛物线 与x轴交于点 和 ，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的表达式；
13．已知在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=2x2−(1+2c)x+c（c> ，c是常数）的图像与x轴分别交于点A，点B（点B在点A右侧），与y轴交于点C，连接BC．
(1)证明：△BOC是等腰直角三角形；
(2)抛物线顶点为D，BC与抛物线对称轴交于点E，当四边形AEBD为正方形时，求c的值．
14．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与坐标轴交于点A（0，﹣3）、B（﹣1，0）、E（3，0），点P为抛物线上动点，设点P的横坐标为t．
(1)若点C与点A关于抛物线的对称轴对称，求C点的坐标及抛物线的解析式；
(2)若点P在第四象限，连接PA、PE及AE，当t为何值时，△PAE的面积最大？最大面积是多少？
(3)是否存在点P，使△PAE为以AE为直角边的直角三角形，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
15．如图，已知抛物线于x轴交于A（－1,0）、B（3,0）两点，与y轴交于点C（0,3）．
(2)过点P作 ，垂足为点N．求线段 的最大值；
二次函数与特殊三角形存在性综合问题(原卷版)-九年级数学上册《重难点题型-高分突破》(人教版)
专题2.6二次函数与特殊三角形存在性综合问题（三大题型）【题型1等腰三角形的存在性问题】【题型2直角三角形的存在性问题】【题型3等腰直角三角形存在性问题】等腰三角形的存在性问题【方法1几何法】“两圆一线”（1）以点A 为圆心，AB 为半径作圆，与x 轴的交点即为满足条件的点C，有AB=AC；（2）以点B 为圆心，AB 为半径作圆，与x 轴的交点即为满足条件的点C，有BA=BC；（3）作AB 的垂直平分线，与x 轴的交点即为满足条件的点C，有CA=CB．注意：若有重合的情况，则需排除．以点C 1为例，具体求点坐标：过点A 作AH⊥x 轴交x 轴于点H，则AH=1，又32121131311==-=∴=HC AC ，()03211，坐标为故点-C 类似可求点C 2、C 3、C 4．关于点C 5考虑另一种方法．【方法2代数法】点-线-方程表示点：设点C 5坐标为(m ,0)，又A （1,1）、B （4,3），表示线段：11-m 225+=）（AC 94-m 225+=）（BC 联立方程：914-m 1-m 22+=+）（）（，623m =解得：，），坐标为（故点06232C 直角三角形的存在性【方法1几何法】“两线一圆”（1）若∠A 为直角，过点A 作AB 的垂线，与x 轴的交点即为所求点C ；（2）若∠B 为直角，过点B 作AB 的垂线，与x 轴的交点即为所求点C ；（3）若∠C 为直角，以AB 为直径作圆，与x 轴的交点即为所求点C ．（直径所对的圆周角为直角）如何求得点坐标？以C2为例：构造三垂直．），坐标为（故代入得：坐标得、由易证0213232222C C C BN AM B A N MB BN AM BN AMB ===∆≈∆()），坐标为（，，坐标为故或故又即代入得：，设，坐标得、由易证求法相同，如下：、040231a ,4a ,3ab ,3a b 1N a,31,4333333343C C C C C C C CCC b bM BN AM B A NB M N AM NB AM ==+=======∆≈∆【方法2代数法】点-线-方程23m 20352235110,m 135-m 1-m 35-m 11-m 22222122111=+=+=+=+==，解得：）代入得方程（，，，）表示线段：（）；，（）、，（），又坐标为（）表示点：设（：不妨来求下）（）（）（）（BC C C C A AB B A 【题型1等腰三角形的存在性问题】【典例1】（2023•兴庆区校级模拟）如图，已经抛物线经过点O （0，0），A （5，5），且它的对称轴为x ＝2．（1）求此抛物线的解析式；（2）若点B 是x 轴上的一点，且△OAB 为等腰三角形，请直接写出B 点坐标．【变式1-1】（2023•青海）如图，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴相交于点A和点C（1，0），交y轴于点B（0，3）．（1）求此二次函数的解析式；（2）设二次函数图象的顶点为P，对称轴与x轴交于点Q，求四边形AOBP 的面积（请在图1中探索）；（3）二次函数图象的对称轴上是否存在点M，使得△AMB是以AB为底边的等腰三角形？若存在，请求出满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由（请在图2中探索）．【变式1-2】（2022秋•亳州期末）如图，关于x的二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与x轴交于点D．（1）求二次函数的表达式；（2）在y轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在．请求出点P的坐标；【变式1-3】（2023春•中山市期中）已知二次函数y＝ax2+bx﹣3a经过点A（﹣1，0）、C（0，3），与x轴交于另一点B，抛物线的顶点为D．（1）求此二次函数解析式；（2）连接DC、BC、DB，求证：△BCD是直角三角形；（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使得△PDC为等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【变式1-4】（2022秋•怀远县期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣4）三点，点P是直线BC下方抛物线上一动点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）是否存在点P，使△POC是以OC为底边的等腰三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由；【变式1-5】（2023•兴宁区校级模拟）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点P为抛物线对称轴上一动点，当△PCB是以BC为底边的等腰三角形时，求点P的坐标；【变式1-6】（2023•隆昌市校级三模）如图，抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，连接AC，BC．点P是第一象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m，过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，PM交BC于点Q．（1）求此抛物线的表达式：（2）过点P作PN⊥BC，垂足为点N，请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m为何值时PN有最大值，最大值是多少？（3）试探究点P在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标，若不存在，请说明理由．【变式1-7】（2023春•沙坪坝区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，﹣3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点．（1）求这个二次函数的表达式；（2）求出四边形ABPC的面积最大时的P点坐标和四边形ABPC的最大面积；（3）在直线BC找一点Q，使得△QOC为等腰三角形，写出Q点坐标．【变式1-8】（2022秋•朔州期末）如图，已知抛物线y＝﹣+bx+4与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，若已知A点的坐标为A（﹣2，0）．（1）求抛物线的解析式及它的对称轴方程；（2）求点C的坐标，连接AC、BC并求线段BC所在直线的解析式；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ACQ为等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．【变式1-9】（2022秋•港南区期末）如图，抛物线y＝ax2+3x+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0）和点B，与y轴交于点C（0，8），点P为直线BC上方抛物线上的动点，连接CP，PB，直线BC与抛物线的对称轴l交于点E．（1）求抛物线的解析式；（2）求△BCP的面积最大值；（3）点M是抛物线的对称轴l上一动点．是否存在点M，使得△BEM为等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【题型2直角三角形的存在性问题】【典例2】（2022秋•云阳县期末）如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣3，0），B（1，0），C（0，﹣3）．（1）求抛物线得解析式；（2）若点P为第三象限内抛物线上的一点，设△P AC的面积为S，求S的最大值并求此时点P的坐标．（3）设抛物线的顶点为D，DE⊥x轴于点E，在y轴上确定一点M，使得△ADM是直角三角形，写出所有符合条件的点M的坐标，并任选其中一个点的坐标，写出求解过程．【变式2-1】（2023春•兴宁区校级月考）如图1，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝x+1与直线l2：x＝﹣2相交于点D，点A是直线l2上的动点，过点A 作AB⊥l1于点B，点C的坐标为（0，3），连接AC，BC．设点A的纵坐标为t，△ABC的面积为s．（1）当点B的坐标为时，直接写出t的值；（2）s关于t的函数解析式为，其图象如图2所示，结合图1、2的信息，求出a与b的值；（3）在l2上是否存在点A，使得△ABC是直角三角形？若存在，请求出此时点A的坐标和△ABC的面积；若不存在，请说明理由．【变式2-2】（2023•庄浪县三模）如图：已知二次函数y＝ax2+x+c的图象与x 轴交于A，B点，与y轴交于点C，其中B（2，0），C（0，4）．（1）求该抛物线的解析式；（2）P是第一象限抛物线的一个动点，当P点运动到何处时，由点P，B，C 构成的三角形的面积最大，求出此时P点的坐标；（3）若M是抛物线上的一个动点，当M运动到何处时，△MBC是以BC为直角边的直角三角形，求出此时点M的坐标．【变式2-3】（2023•喀喇沁旗一模）如图①，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A、B（3，0），与y轴交于点C（0，3），直线l经过B、C两点．抛物线的顶点为D．（1）求抛物线和直线l的解析式；（2）判断△BCD的形状并说明理由．（3）如图②，若点E是线段BC上方的抛物线上的一个动点，过E点作EF ⊥x轴于点F，EF交线段BC于点G，当△ECG是直角三角形时，求点E的坐标．【变式2-4】（2023•铁岭模拟）如图，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，二次函数y＝的图象与一次函数y＝﹣的图象交于B、C两点，与x轴交于D、E两点，且点D坐标为（﹣1，0）．（1）求二次函数的解析式；（2）求四边形BDEC的面积S；（3）在x轴上是否存在点P，使得△PBC是直角三角形？若存在，请直接写出所有满足条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由．【变式2-5】（2023•怀化二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交x轴、y轴于点A、B，抛物线y＝x2+bx+c经过点A、B，E是线段OA的中点．（1）求抛物线的解析式；（2）点F是抛物线上的动点，当∠OEF＝∠BAE时，求点F的横坐标；（3）在抛物线上是否存在点P，使得△ABP是以点A为直角顶点的直角三角形，若存在，请求出P点坐标，若不存在，请说明理由；【变式2-6】（2023•金湾区一模）如题22图，抛物线y＝ax2+bx+3的对称轴为直线x＝2，并且经过点A（﹣2，0），交x轴于另一点B，交y轴于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）在直线BC上方的抛物线上有一点P，求点P到直线BC距离的最大值及此时点P的坐标；（3）在直线BC下方的抛物线上是否存在点Q，使得△QBC为直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【题型3等腰直角三角形存在性问题】【典例3】（2023•增城区校级一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx ﹣3（a＞0）与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点P为直线BC下方抛物线上的一动点，PM⊥BC于点M，PN∥y轴交BC于点N．求线段PM的最大值和此时点P的坐标；（3）点E为x轴上一动点，点Q为抛物线上一动点，是否存在以CQ为斜边的等腰直角三角形CEQ？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．【变式3-1】（2023•抚远市二模）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于点A （﹣1，0）和点B（2，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上有一点P，过点P作x轴的垂线交x轴于点Q，若△APQ是等腰直角三角形，求点P的坐标．【变式3-2】（2023•富锦市校级一模）如图，是抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于点A（﹣1，0）和点B（2，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上有一点P，过点P作x轴的垂线交x轴于点Q，若△APQ是等腰直角三角形，求点P的坐标．【变式3-3】（2023•碑林区校级模拟）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C．（1）求该抛物线的解析式；（2）点M为该抛物线的对称轴l上一点，点P为该抛物线上的点且在l左侧，当△AMP是以M为直角顶点的等腰直角三角形时，求符合条件的点M的坐标．【变式3-4】（2023•西安一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx ﹣1的顶点A的坐标为，与y轴交于点B．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点P是抛物线上的动点，过点P作PM⊥x轴于点M，以PM为斜边作等腰直角三角形PMN，当点N恰好落在y轴上时，求点P的坐标．【变式3-5】（2023•惠民县自主招生）已知：如图，抛物线y＝ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A（0，6），B（6，0），C（﹣2，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P运动到什么位置时，△P AB的面积有最大值？（3）过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P作PE∥x轴交抛物线于点E，连接DE，请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．。
中考数学总复习《二次函数中的特殊三角形存在性问题》专题训练-附答案
中考数学总复习《二次函数中的特殊三角形存在性问题》专题训练-附答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________1．在平面直角坐标系xOy 中，二次函数213222y x x =-++的图象与x 轴交于点A ，B （点B 在点A 的左侧），与y 轴交于点C ．(1)写出点A 、B 、C 的坐标；(2)过动点(0,)H m 作平行于x 轴的直线l ，直线l 与二次函数213222y x x =-++的图象相交于点D ，E ．①若0m >，以DE 为直径作Q ，当Q 与x 轴相切时，求m 的值；①直线l 上是否存在一点F ，使得ACF △是等腰直角三角形？若存在，请直接写出．．．．m 的值：若不存在，请说明理由．2．如图，抛物线22y ax bx =++与x 轴交于点()1,0A -，()2,0B 与y 轴交于点C ，P 是直线BC 上方抛物线上的一个动点（与点B ，C 不重合）．连接OP 交BC 于点Q ．(1)求抛物线的表达式．(2)当3OP PQ =时，求点P 的坐标．(3)试探究在点P 的运动过程中，是否存在这样的点Q ，使得以A ，C ，Q 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出此时点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．3．如图，已知抛物线()20y ax bx c a =++≠的对称轴为直线=1x -，且经过1,0A ，()0,3C 两点，与x 轴的另一个交点为B ．(1)求抛物线的函数表达式；(2)若直线y mx n =+经过B ，C 两点，求直线BC 的函数表达式；(3)在抛物线的对称轴=1x -上找一点M ，使点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小，求点M 的坐标； (4)设点P 为抛物线的对称轴=1x -上的一个动点，求使BPC △为直角三角形的点P 的坐标． 4．已知：如图，抛物线26y ax bx =++与x 轴交于点()6,0B ，()2,0C -与y 轴交于点A ．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，点P 是线段AB 上方抛物线上的一个动点，过点P 作x 轴的垂线，分别交线段AB 、x 轴于点D 、E ．设点P 的横坐标为m ．①用含m 的代数式表示线段PD 的长；①连接PA 、PB ，是否存在点P ，使得BPA △的面积最大？若存在，请求出BPA △的最大面积；若不存在，请说明理由；(3)如图2，若点P 为x 轴上方抛物线上的一个的动点，点F 为y 轴上的动点，是否存在这样的点P 和点F ，使得以BP 为腰的等腰直角PBF △？如果存在，请直接写出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由． 5．如图，抛物线2y x bx c =-++经过()()1,02,0A B -，两点，与y 轴交于点C ，直线y x m =+经过点B ，与y 轴交于点D ．(1)求抛物线的解析式；(2)将BOD 在直线DB 上平移，平移后的三角形记为PMN ，直线MP 交抛物线于Q ，当1PQ =时，求点P 的坐标．6．如图，二次函数2142y x bx =+-的图象与x 轴相交于点()2,0A -，B ，其顶点是C ．(1)b =______；(2)若点D 是第三象限抛物线上的一点，连接BD ，且1tan 2OBD ∠=．将原抛物线向左平移，使得平移后的抛物线经过点D ，过点(),0k 作x 轴的垂线l ．已知在l 的左侧，平移前后的两条抛物线都下降，求k 的取值范围；(3)将原抛物线平移，平移后的抛物线与原抛物线的对称轴相交于点Q ，且其顶点P 落在原抛物线上，连接PC 、QC 、PQ ．已知PCQ △是直角三角形，求点P 的坐标．7．在平面直角坐标系中，抛物线212C y mx x =++：和222C y nx x =++：的开口都向下1C ，2C 与y 轴相交于点A ，过点A 作x 轴的平行线与1C 相交于点B ，与2C 相交于点C ，点C 在线段AB 上（点C 不与点B 重合）．(1)点A 的坐标是________；(2)如图，抛物线1C 的顶点为P ，AC 的中点为Q ．若12m =-，45PQB ∠=︒求n 的值；(3)直线1x =与1C 相交于点D ，与2C 相交于点E ，当四边形CDBE 是轴对称图形时，求n 关于m 的函数解析式，并直接写出自变量m 的取值范围．8．如图，抛物线22y ax bx =++与x 轴交于两点(10)A -，和(40)B ，，与y 轴交于点C ，连接AC BC ，．(1)求抛物线的解析式；(2)N 是抛物线对称轴上一点，当三角形BCN 为等腰三角形时，求N 点的坐标．(3)点D 是ABC 边上一点，连接OD ，将线段OD 以O 为旋转中心，逆时针旋转90︒，得到线段OE ，若点E 落在抛物线上，求出此时点E 的坐标；(4)点M 在线段AB 上（与A ，B 不重合），点N 在线段BC 上（与B ，C 不重合），是否存在以C ，M ，N 为顶点的三角形与ABC 相似，若存在，请直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由． 9．如图，已知抛物线23y ax bx =++经过()2,0A -，()4,0B 两点．(1)求该抛物线的解析式；(2)在y 轴上是否存在点M ，使ACM △为等腰三角形？若存在，请直接写出所有满足要求的点M 的坐标；若不存在，请说明理由；(3)若点(),0P t 为线段AB 上一动点（不与,A B 重合），过P 作y 轴的平行线，记该直线右侧与ABC 围成的图形面积为S ，试确定S 与t 的函数关系式．10．在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c =++与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），点B 的坐标为()3,0，与y 轴交于点()0,3C ，顶点为D ．(1)求抛物线的解析式及顶点D 的坐标； (2)连接AC ，BC ，求ACB ∠的正切值；(3)点P 是抛物线的对称轴上一点，当PBD △与CAB △相似时，求点P 的坐标．11．如图，顶点为M 的抛物线23y ax bx =++与x 轴交于()3,0A ，()1,0B -两点，与y 轴交于点C ．(1)求这条抛物线对应的函数表达式；(2)问在y 轴上是否存在一点P ，使得PAM 为直角三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．(3)若在第一象限的抛物线下方有一动点D ，满足DA OA =，过D 作DG x ⊥轴于点G ，设ADG 的内心为I ，连接AI 、OI ，请直接写出AIO ∠的度数和CI 长度的最小值．12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线223y x x =--与x 轴交于点A 、B ，交y 轴于点C ，点D 为抛物线的顶点，对称轴与x 轴交于点E ．(1)顶点D 的坐标为 ；(2)过点C 作CF x ∥轴交抛物线于点F ，点P 在抛物线上PCF ACO ∠=∠，求点P 的坐标；(3)点G 是一次函数y x =-图像上一点，点Q 是抛物线2=23y x x --上一点，BGQ 是以点Q 为直角顶点的等腰直角三角形，则点Q 的横坐标为 ．13．如图，抛物线24y ax bx =+-与x 轴交于点()4,0B ，与y 轴交于点C ，点E 在直线BC 上，过点E 作ED x ⊥轴于点()1,0D ，将BDE △沿DE 所在直线翻折，使点B 恰好落在抛物线上的点A 处．(1)求抛物线的解析式； (2)连接AC ，求ACE △的面积；(3)抛物线上是否存在一点P ，使CBA PAB ∠=∠？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 14．综合与探究如图1，平面直角坐标系xOy 中，抛物线2338y x bx =-++与x 轴交于A B ，两点（点A 在点B 的左侧），与y轴交于点C ，点A 的坐标为()20-，，抛物线上有一动点P ，点P 在第一象限，过点P 作y 轴的平行线分别交x 轴和直线BC 于点D 和点E ．(1)求抛物线及直线BC 的函数关系式； (2)当点E 为线段DP 的中点时，求点E 的坐标；(3)如图2，作射线OP ，交直线BC 于点F ，当OBF 是等腰三角形时，求点F 的坐标．15．如图，在平面直角坐标系xOy 中，二次函数的图象经过点()()()104002A B C -，，，，，，点D 是点C 关于原点的对称点，连接BD ，点E 是x 轴上的一个动点，设点E 的坐标为()0m ，，过点E 作x 轴的垂线l 交抛物线于点P ．(1)求这个二次函数的解析式；(2)当点E 在线段OB 上运动时，直线l 交BD 于点Q ，当四边形CDQP 是平行四边形时，求m 的值； (3)是否存在点P ，使BDP △是不以BD 为斜边的直角三角形？如果存在请直接写出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．参考答案：1．(1)点A 、B 、C 的坐标分别为(4,0)，(1,0)-和()0,2 (2)①2912m =-；①存在，m 的值为4-，-2，-1或32．(1)22y x x =-++ (2)()1,2(3)存在，点Q 的坐标为1010,222⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭-+或(1,1)3．(1)223y x x =--+ (2)BC 的函数表达式为3y x(3)()1,2M -(4)P 的坐标为()1,2--或()1,4-或3171,2⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭或3171,2⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭4．(1)21262y x x =-++；(2)①2132PD m m =-+，①存在，最大值为272；(3)存在，()0,6P 或()4,6或321,321或 113,1135．(1)22y x x =-++ (2)()1,1或()1,1--或()3,3或()3,3--6．(1)1- (2)3k ≤-(3)53,2⎛⎫- ⎪⎝⎭或51,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭7．(1)()0,2 (2)1n =-(3)当直线CB 是对称轴时()210n m m =---<<；当直线DE 是对称轴时111212n m m ⎛⎫=--<<- ⎪+⎝⎭；当BFE ∠的平分线所在直线为对称轴时()110n m m=-<<8．(1)213222y x x =-++(2)符合条件的N 点的坐标为23255⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，或32552⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭-，或324712⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭+，或324712⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭-，或302⎛⎫⎪⎝⎭，； (3)141212 00E ⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭，或()202E ，； (4)点N 的坐标为：(21)，或4855⎛⎫ ⎪⎝⎭，或52 34⎛⎫⎪⎝⎭，．9．(1)233384y x x =-++(2)符合条件的点M 的坐标有：50,6⎛⎫⎪⎝⎭()0,313+ ()0,3- ()0,313-(3)22336(04)8336(20)4t t t S t t t ⎧-+≤<⎪⎪=⎨⎪--+-<<⎪⎩10．(1)243y x x =-+ ()2,1D - (2)12(3)(22)，或12,3⎛⎫- ⎪⎝⎭11．(1)223y x x =-++(2)点P 坐标为30,2⎛⎫- ⎪⎝⎭或()0,1或()0,3或70,2⎛⎫ ⎪⎝⎭时，PAM △为直角三角形(3)135AIO ∠=︒，CI 最小值为310322-12．(1)(1,4)-；(2)532(,)39P -或720(,)39-；(3)103(1,)22--或315(,)24-或103(1,)22+-．13．(1)2142y x x =-- (2)3(3)()6,8或()2,4-14．(1)抛物线解析式为233384y x x =-++；直线BC 的解析式为334y x =-+(2)点E 的坐标为322⎛⎫⎪⎝⎭，(3)41255F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，或322⎛⎫ ⎪⎝⎭，15．(1)213222y x x =-++(2)2(3)()10-，或()818-，或()32，。
中考数学总复习《特殊三角形问题(二次函数综合)》专项检测卷(带答案)
中考数学总复习《特殊三角形问题（二次函数综合）》专项检测卷(带答案)学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________1．如图，一次函数122y x =--与x 轴、y 轴分别交于A 、 C 两点，二次函数2y ax bx c=++的图象经过A 、C 两点，与x 轴交于另一点B ，其对称轴为直线32x =-(1)求该二次函数表达式；(2)在y 轴的负半轴上是否存在一点M ，使以点M 、O 、B 为顶点的三角形与AOC 相似，若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由；(3)在对称轴上是否存在点P ，使PAC 为等腰三角形，若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．2．如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于()4,0A -，()2,0B 两点，与y 轴交于点C ．直线l 与抛物线交于A ，D 两点，与y 轴交于点E ，点D 的坐标为()1,5．(1)求抛物线的解析式；(2)若点P 是抛物线上的点且在直线l 上方，连接PA 、PD ，求当PAD 面积最大时点P 的坐标及该面积的最大值；(3)在y 轴上是否存在点Q ，使CDQ 是以CD 为腰的等腰三角形？若存在，直接写出点Q 的坐标；若不存在，说明理由．3．如图，抛物线2122y x =-+与x 轴交于A ，B 两点，其中点A 在x 轴的正半轴上，点B 在x 轴的负半轴上．(1)试写出该抛物线的对称轴和顶点C 的坐标；(2)在抛物线上是否存在一点M ，使MAC OAC ≌？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．4．如图，抛物线2y x bx c =-++交x 轴于()4,0A -，B 两点，交y 轴于点()0,4C ．(1)求抛物线的函数解析式．(2)点D 在线段OA 上运动，过点D 作x 轴的垂线，与AC 交于点Q ，与抛物线交于点P ，连接AP 、CP ，求四边形AOCP 的面积的最大值．(3)在抛物线的对称轴上是否存在点M ，使得以点A 、C 、M 为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．5．如图，已知二次函数2y x bx c =++经过A ，B 两点，BC x ⊥轴于点C ，且点()10A -，，()40C ，和AC BC =．(1)求抛物线的解析式；(2)点E 是线段AB 上一动点（不与A ，B 重合），过点E 作x 轴的垂线，交抛物线于点F ，当线段EF 的长度最大时，求点E 的坐标及ABF S △；(3)点P 是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在这样的P 点，使ABP 成为直角三角形？若存在，求出所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由．6．如图，已知抛物线()20y ax bx c a =++≠的对称轴为=1x -，且抛物线经过()()1,0,0,3A C 两点，与x 轴交于点B ．(1)求抛物线的解析式；(2)在第二象限抛物线上找一点M ，BCM 的面积最大，求出此点M 的坐标；(3)设点P 为抛物线的对称轴=1x -上的一个动点，求使BPC △为直角三角形的点P 的坐标． 7．在平面直角坐标系中，抛物线23y ax bx =+-与x 轴交于点()1,0A -和点()3,0B ，与y 轴交于点C ．(1)求抛物线的解析式及顶点坐标；(2)若点P 为第四象限内抛物线上一点，当PBC 面积最大时，求点P 的坐标；(3)若点P 为抛物线上一点，点Q 是线段BC 上一点（点Q 不与两端点重合），是否存在以P 、Q 、O 为顶点的三角形是等腰直角三角形，若存在，请直接写出满足条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c =-++经过()1,0A -，()0,3C 两点，并与x 轴交于另一点B ．(1)求该抛物线所对应的函数关系式； (2)求点B 坐标；(3)设(),P x y 是抛物线上的一个动点，过点P 作直线l x ⊥轴于点M ．交直线BC 于点N ． ①若点P 在第一象限内，试问：线段PN 的长度是否存在最大值？若存在，求出它的最大值及此时x 的值；若不存在，请说明理由；①当点P 运动到某一位置时，能构成以BC 为底边的等腰三角形，求此时点P 的坐标及等腰BPC △的面积．9．如图，平面直角坐标系中，抛物线234(0)y ax ax a a =-->与x 轴交于A 、B 两点（A 在B 的左侧） 与y 轴交于点C 连接AC 、BC 抛物线的顶点为D ．(1)用a 的代数式表示C 、D 的坐标；(2)当四边形ABDC 的面积21时 求该函数解析式；(3)当BCD △为直角三角形时 求a 的值．10．如图 顶点坐标为()1,4的抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于A B ，两点（点A 在点B 的左边） 与y 轴交于点()03C D ，，是直线BC 上方抛物线上的一个动点 连接AD 交拋物线的对称轴于点E ．(1)求抛物线的解析式；(2)连接AC 当ACE △的周长最小时 求点D 的坐标；(3)过点D 作DH x ⊥轴于点H 交直线BC 于点F 连接AF ．在点D 运动过程中 是否存在使ACF △为等腰三角形？若存在 求点F 的坐标；若不存在 请说明理由．11．如图1 抛物线与x 轴交于A B 两点 点A B 分别位于原点的左、右两侧 与y 轴相交于C 已知抛物线对称轴为直线32x =直线334y x =-经过B 、C 两点．(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线上找一个点D （不与点C 重合） 使得ABD ABC ∠=∠ 请求出点D 的坐标； (3)如图2 点E 是直线BC 上一动点 过E 作x 轴的垂线交抛物线于F 点 连接CF 将CEF △沿CF 折叠 如果点E 对应的点M 恰好落在y 轴上 求此时点E 的坐标．12．如图 在平面直角坐标系中 抛物线214y x bx c =-++(b 、c 是常数)经过点()2,0A 点()0,3B ．点P 在抛物线上 其横坐标为m ．(1)求此抛物线解析式；(2)当点P 在x 轴上方时 结合图象 直接写出x 的取值范围；(3)若此抛物线在点P 右侧部分(包括点)P 的最高点的纵坐标为2m --． ①求m 的值①以PA 为边作等腰直角三角形PAQ 当点Q 在此抛物线的对称轴上时 直接写出点Q 的坐标．13．已知抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于()1,0A -和()3,0B 两点．(1)求抛物线的解析式；(2)如图 过点()0,1D 的直线与y 轴右侧的抛物线交于F 与y 轴左侧的抛物线交于E 若2DF DE = 求直线的解析式；(3)设点P 是抛物线上任一点 点Q 在x 正半轴上 PCQ △能否构成以CPQ ∠为直角的等腰直角三角形？若能 请直接写出符合条件的点P 的坐标；若不能 请说明理由．14．如图 抛物线234y x bx c =-++交x 轴于(1,0)A - (4,0)B 两点 交y 轴于点C 点D 是抛物线上位于直线BC 上方的一个动点．(1)求抛物线的解析式；(2)连接AC BD 若ABD ACB ∠=∠ 求点D 的坐标；(3)在（2）的条件下 将抛物线沿着射线AD 平移m 个单位 平移后A 、D 的对应点分别为M 、N 在x 轴上是否存在点P 使得PMN ∆是等腰直角三角形？若存在 请求出m 的值；若不存在 请说明理由．15．如图 抛物线2y x bx c =++（b 、c 是常数）的顶点为C 与x 轴交于A 、B 两点 其中()10A ， ()3,0B - 点P 从A 点出发 在线段AB 上以1单位长度/秒的速度向B 点运动 运动时间为t 秒04t << 过P 作PQ BC ∥交AC 于点Q ．(1)求该抛物线的解析式；(2)当t 为何值时 CPQ 的面积最大？并求出CPQ 面积的最大值；(3)点P 出发的同一时刻 点M 从B 点出发 在线段BC 5单位长度/秒的速度向C 点运动 其中一个点到达终点时 另一个点也停止运动 在运动过程中 是否存在某一时刻t 使BMP 为等腰三角形 若存在 直接写出P 点坐标；若不存在 请说明理由．参考答案：1．（1）对于122y x =-- 当0x =时 =2y - 即点(0,2)C -令1202y x =--= 则4x =- 即点(4,0)A -.∵抛物线的对称轴为直线32x =- 则点(1,0)B∴抛物线与x 轴的另一个交点为()4,0-设二次函数表达式为：2(1)(4)(34)y a x x a x x =-+=+- ∵抛物线过点(0,2)C - 则42a -=-解得：12a =故抛物线的表达式为：213222y x x =+-； （2）存在 理由：在Rt AOC 中 4AO = =2CO 则1tan 2CO CAO AO ∠== ∵以点M 、O 、B 为顶点的三角形与AOC 相似 ==90AOC MOB ∠∠︒ ∴=MBO CAO ∠∠或=MBO ACO ∠∠ ∴1tan tan =2MBO CAO ∠=∠或tan tan =2MBO ACO ∠=∠ 即==21OM OM BO 或12解得：1=2OM 或2∵点M 在y 轴的负半轴上 即点()0,2M -或1(0,)2-；（3）存在 理由： 根据题意对称轴322b x a =-=- 设点3()2P t -， 由点A 、C 、P 的坐标得：2223+42PA t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ 2=20AC ()229=+24PC t +当PA AC =时 则223(4)202t -++=解得：t =±即点P 的坐标为：3()22-或3(,)22--； 当PA PC =时 则-++=++22239(4)(2)24t t 解得：0=t 即点3(,0)2P -； 当AC PC =时 则()292024t =++解得：=-±2t即点P 的坐标为：⎛--+ ⎝⎭3,22或⎛---⎝⎭3,22．综上 点P 的坐标为：355(22-或355(,22--或3(,0)2-或⎛--+ ⎝⎭371,22或⎛--- ⎪⎝⎭371,222． 2．（1）解：抛物线2y ax bx c =++经过点()4,0A - ()2,0B ()1,5D∴16404205a b c a b c a b c -+=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩解得128a b c =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩∴物线的解析式为228y x x =--+；（2）解：如图1 过点P 作PH AB ⊥于H 交直线l 于F 直线过点D 作DG AB ⊥于G设直线l 的解析式为y kx b =+ 直线l 经过()4,0A - ()1,5D∴405k b k b -+=⎧⎨+=⎩ 解得14k b =⎧⎨=⎩∴直线l 的解析式为4y x =+点P 是抛物线上的点且在直线l 上方 ∴设()2,28P t t t --+ 则(),4F t t +∴()2228434PF t t t t t =--+-+=--+设PAD 面积为S ∴111222S PF AH PF GH PF AG =⋅+⋅=⋅ ()()222151553125341410222228t t t t t ⎛⎫=--++=--+=-++⎪⎝⎭ 52-< ∴当S 最大值为1258时 32t =- 此时235284t t --+=∴当PAD 面积最大时点P 的坐标为335,24⎛⎫- ⎪⎝⎭及该面积的最大值为1258；（3）解：当0x =时 2288y x x =-+= ∴()0,8C∴CD ==①当1CD CQ == 1Q 在点C 的上方时∴118QO CO CQ =+=∴点1Q 的坐标为(0,8+；①当2CD CQ = 2Q 在点C 的下方时∴228OQ OB BQ =-=∴点2Q 的坐标为()0,810-；①当3CD DQ =时 设()30,Q n 则852n+=∴2n =点3Q 的坐标为()0,2；综上所述 存在点Q 使CDQ 是以CD 为腰的等腰三角形 点Q 的坐标为(0,810+或(0,810或()0,2． 3．（1）解：该抛物线的对称轴是y 轴 顶点C 的坐标为()0,2．（2）解：不存在．理由如下： 对于2122y x =-+ 令0y = 则21202x -+=解得12x = 22x =-∴点A 的坐标为()2,0 点B 的坐标为()2,0-．则2OA OB OC ===∴ OAC 是等腰直角三角形．假设存在一点M 使MAC OAC ≌AC 为公共边 OA OC =∴点M 和O 关于直线AC 对称∴四边形OAMC 是正方形∴点M 的坐标为()2,2．当2x =时 22112220222y x =-+=-⨯+=≠即点M 不在抛物线2122y x =-+上∴在抛物线上不存在一点M 使MAC OAC ≌．4．（1）解：把()4,0A - ()0,4C 代入2y x bx c =-++得①01644b cc =--+⎧⎨=⎩解得：34b c =-⎧⎨=⎩①该二次函数的解析式234y x x =--+；（2）解：①()4,0A - ()0,4C①4,4OA OC == ①1144822AOC S OA OC =⋅=⨯⨯=△ 设直线AC 的解析式为4y kx =+代入()4,0A -得 044k =-+解得1k =①直线AC 的解析式为4y x =+设()2,34P t t t --+ 则(),4Q t t +①()223444PQ t t t t t =--+-+=-- ①()()()22114422822ACP C A S PQ x x t t t =⋅-=--⨯=-++ ①四边形AOCP 的面积()22216ACP AOC SS t =+=-++ ①20-< ①当2t =-时 四边形AOCP 的面积最大为16；（3）解：设3,2M m ⎛⎫- ⎪⎝⎭①()4,0A - ()0,4C①2224432AC =+= 2222325424AM m m ⎛⎫=-++=+ ⎪⎝⎭ ()()2222394424CM m m ⎛⎫=-+-=+- ⎪⎝⎭当斜边为AC 时 AM CM AC 222+= 即()2225943244m m +++-= 整理得：24150m m ++= 无解；当斜边为AM 时 222AC CM AM += 即2292532(4)44m m ++-=+ 解得：112m =；①311,22M ⎛⎫- ⎪⎝⎭当斜边为CM 时 222AC AM CM += 即2225932(4)44m m ++=+- 解得：52m =-； ①35,22M ⎛⎫-- ⎪⎝⎭综上：点M 的坐标为35,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭或311,22⎛⎫- ⎪⎝⎭． 5．（1）解：①点()10A -， ()40C ， ①5AC = 4OC =①5AC BC ==①()45B ，把()10A -，和()45B ，代入二次函数2y x bx c =++中得： 101645b c b c -+=⎧⎨++=⎩ 解得：23b c =-⎧⎨=-⎩①二次函数的解析式为：223y x x =--；（2）解：如图1 ①直线AB 经过点()10A -，和()45B ， 设直线AB 的解析式为y kx b =+①045k b k b -+=⎧⎨+=⎩解得：11k b =⎧⎨=⎩①直线AB 的解析式为：1y x =+①二次函数2=23y x x --①设点(),1E t t + 则()2,23F t t t --①()()2232512324EF t t t t ⎛⎫=+---=--+ ⎪⎝⎭ ①当32t =时 EF 的最大值为254①点E 的坐标为35,22⎛⎫ ⎪⎝⎭； ()()1125125412248ABF B A S EF x x ∴=⋅-=⨯⨯+=； （3）解：存在①()222314y x x x =--=--①对称轴为直线1x =设()1,P m 分三种情况：①点B 为直角顶点时 由勾股定理得：222PB AB PA +=①()()()()22222241541511m m -+-+++=++解得：8m = ①()18P ，；①点A 为直角顶点时 由勾股定理得：222PA AB PB +=①()()()()22222211415415m m +++++=-+-解得：2m =- ①()12P -，； ①点P 为直角顶点时 由勾股定理得：222PB PA AB +=①()()()()22222211415415m m +++-+-=++解得：6m =或1m =-①()16P ，或()1,1P -； 综上 点P 的坐标为()18，或()12-，或()16，或()1,1-． 6．（1）由题意得：1203b a a b c c ⎧-=-⎪⎪++=⎨⎪=⎪⎩解得：123a b c =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩ ∴抛物线的解析为：223y x x =--+；（2）设点M 的坐标为()2,23m m m --+ 连接OM因为对称轴为1x =- ()1,0A所以()3,0B - 故3OB =因为()0,3C 故3OC =BCM BOM COM BOC S S S S ∴=+-△△△△()()2111323333222m m m =⨯⨯--++⨯⨯--⨯⨯ 23327228m ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭ ①当32m =-时 BCM 的面积最大 此时点M 的坐标为315,24⎛⎫- ⎪⎝⎭； （3）设点P 的坐标为()1,t -()()()1,,3,0,0,3P t B C --218CB ∴= ()2222134PB t t =-++=+ ()()222213610PC t t t =-+-=-+ ①当点B 为直角顶点时 222BC PB PC +=22184610t t t ∴++=-+ 解得：2t =-()1,2P ∴--①当点C 为直角顶点时 222BC PC PB +=22186104t t t ∴+-+=+ 解得：4t =()1,4P ∴-①当点P 为直角顶点时 222PC PB BC +=22461018t t t ∴++-+=解得：t t =P ⎛∴- ⎝⎭或⎛- ⎝⎭综上所述 点P 的坐标为()1,2--或()1,4-或⎛- ⎝⎭或⎛- ⎝⎭． 7．（1）解：将()1,0A -、()3,0B 代入23y ax bx =+-得309330a b a b --=⎧⎨+-=⎩ 解得：12a b =⎧⎨=-⎩①抛物线的解析式为：()222314y x x x =--=--；顶点坐标为()1,4-；（2）解：作PR y ∥交BC 于点R令0x = 则=3y -①(0,3)C -①()3,0B设直线BC 的解析式为3y kx =-①033k =-解得1k =①直线BC 的解析式为3y x =-设点P 的坐标为()2,23x x x -- 则点R 的坐标为(),3x x - ①()211323322PBC B S PR x x x x =⋅=--++⨯ ()223332732228x x x ⎛⎫=--=--+ ⎪⎝⎭ ①302-< ①32x =时 PBC S 有最大值 此时点P 的坐标为315,24⎛⎫- ⎪⎝⎭； （3）解：①点Q 是线段BC 上一点①设点Q 的坐标为(),3m m -①()3,0B (0,3)C -①3OB OC ==①当点P 与点B 重合 点Q 与点C 重合时 PQO 是等腰直角三角形 此时点P 的坐标为()3,0；同理当点P 与点C 重合 点Q 与点B 重合时 PQO 是等腰直角三角形 此时点P 的坐标为(0,3)-；如图 当点P 在第四象限时 过点Q 作DE x ⊥轴于点D 作PE DE ⊥交DE 于点E①OQ PQ = 90OQP ∠=︒①90QOD OQD PQE ∠=︒-∠=∠①QOD PQE ≌△△①QE OD m == 33QD PE m m ==-=-①33ED QD QE m m =+=+-= 即点P 的纵坐标为3- ①2233x x --=-解得0x =或2x =①点P 的坐标为()2,3-；如图 当点P 在第三象限时 过点P 作DE x ⊥轴于点D 作QE DE ⊥交DE 于点E 设OD d =同理POD QPE ≌△△①PE OD EF d === QF m = QE PD = 33OF DE m m ==-=- ①3PD DE PE m d =-=-- QE QF EF m d =+=+ ①3m d m d --=+ 解得32d m =- ①点P 的纵坐标为()333322m d m m ⎛⎫---=---+=- ⎪⎝⎭①23232x x --=-解得x =x =①点P 的坐标为32⎫-⎪⎪⎝⎭；综上 点P 的坐标为()3,0或()0,3-或()2,3-或32⎫-⎪⎪⎝⎭．8．（1）()1,0A - ()0,3C 且点A 、C 在抛物线2y x bx c =-++上 ①103b c c --+=⎧⎨=⎩解得23b c =⎧⎨=⎩∴该抛物线所对应的函数关系式为223y x x =-++； （2）令0y = 得2230x x -++=解得：121,3x x =-=()3,0B ∴；（3）①如图2中已知()3,0B ()0,3C①设直线BC 所在直线的解析式为()0y kx b k =+≠ ①303k b b +=⎧⎨=⎩解得 13k b =-⎧⎨=⎩①直线BC 的解析式为：3y x =-+点P 在抛物线223y x x =-++上 且PN x ⊥轴 点N 在直线BC 的图象上 ∴设点P 的坐标为223)(,x x x -++ 则点N 的坐标为(,3)x x -+ 又点P 在第一象限①()()2233PN x x x =-++--+23x x =-+239()24x =--+ ∴当32x =时 线段PN 的长度的最大值为94．①解：如图3中由题意知 点P 在线段BC 的垂直平分线上 又由①知 OB OC =BC ∴的中垂线同时也是BOC ∠的平分线 ∴设点P 的坐标为(,)a a又点P 在抛物线223y x x =-++上 于是有223a a a =-++ 230a a ∴--=解得1a = 2a =∴点P 的坐标为：( 或(若点P 的坐标为( 此时点P 在第一象限在Rt OMP 和Rt BOC 中 MP OM ==3OB OC ==112222BPC BOC BOP BOC BOCP S S S S S BO PM BO CO ∆=-=-=⨯⋅⋅-⋅四边形192322=⨯⨯=若点P 的坐标为( 此时点P 在第三象限则11323322BPC BOP COP BOC S S S S =++=⨯⨯⨯+⨯⨯综上所述BPC △ 9．（1）解：令0x = 则4y a =-()0,4C a ∴-；令0y = 则2340ax ax a --=解得：11x =- 24x =．(1,0)A ∴- (4,0)B ．∴抛物线的对称轴为：直线32x = 将32x =代入解析式得：254y a =-．32524D a ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭，；（2）解：连接OD则2523212AOC COD BOD ABDC S S S S a a a ∆∆∆=++=++=四边形 解得：65a = ∴261824555y x x =--；（3）解：①当90CDB ∠=︒时 过D 作DE x ∥轴 交y 轴于点E 过B 作BF DE ⊥垂足为F ．90EDC FDB ∠+∠=︒ =90FDB DBF ∠+∠︒EDC DBF ∴∠=∠90CED DFB ∠=∠=︒CDE DBF ∴∽△△ ∴CE DE DF BF = 即934252524a a =解得：a =； ①当90DCB ∠=︒时 如下图同理可得：BOC CED ∽ ∴OB OC CE DE = 即449342a a =解得：a =． 综上a =． 10．(（1）解：根据题意设抛物线的解析式为()214y a x =-+把()03C ，代入得()23014a =-+ 解得1a =-①抛物线的解析式为()214y x =--+即223y x x =-++；（2）解：抛物线的顶点坐标为()1,4①抛物线的对称轴为直线1x =当点D 与点C 关于直线1x =对称时 ACE △的周长AC AE CE AC AE ED AC AD ++=++=+取得最小值①()03C ，①()23D ，； （3）解：令0y = 则()2140x --+=解得=1x -或3x = ①()10A -， ()30B ， 设直线BC 的解析式为3y mx =+把()30B ，代入得033m =+ 解得1m =-①直线BC 的解析式为3y x =-+ 221310AC +=设点()3F n n -，当10CF AC == 即210CF =①()223310n n +-+= 解得5n =±①点D 的坐标为()5252，； 当10AF AC == 即210AF = ①()()221310n n ++-=解得0n =（舍去） 或2n = ①点D 的坐标为()23，； 当AF FC =时 即22AF FC =①()()()22221333n n n n ++-=+-+解得52n = ①点D 的坐标为5724⎛⎫ ⎪⎝⎭，； 综上 点D的坐标为)2或()23，或5724⎛⎫⎪⎝⎭，．11．（1）解：当0y =时 3x 304-=解得：4x =当0x =时 =3y -()4,0B ∴ ()0,3C -；设抛物线的解析式为2y ax bx c =++ 则有32216403b a a bc c ⎧-=⎪⎪++=⎨⎪=-⎪⎩解得：34943a b c ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪=-⎪⎪⎩∴抛物线的解析式为239344y x x =--；（2）解：如图 作直线BC 关于x 轴对称直线BD 交y 轴于G交抛物线于D()0,3G ∴ ABD ABC ∠=∠设直线BD 的解析式为y kx b =+ 则有403k b b +=⎧⎨=⎩解得：343k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ ∴直线BD 的解析式为334y x =-+ 联立直线BD 和抛物线的解析式得：233439344y x y x x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩解得：40x y ⎧⎨==⎩或292x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩ 92,2D ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭． （3）解：①如图 当E 在x 轴下方时EF y ∥轴FCH CFE ∴∠=∠由折叠得：ECF FCH ∠=∠ECF CFE ∴∠=∠CE EF ∴= 设3,34E m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭则239,344F m m m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 233933444EF m m m ⎛⎫∴=---- ⎪⎝⎭2334m m =-+ 223334CE m m ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭54m = 235344m m m ∴-+=解得： 173m = 20m =（舍去） 37343y ∴=⨯-54=-； 75,34E ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭； ①如图 当E 在x 轴上方时同理可证：CE EF = 设3,34E m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭则239,344F m m m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭239333444EF m m m ⎛⎫∴=---- ⎪⎝⎭2334m m =- CE =54m = 235344m m m ∴-= 解得： 1173m = 20m =（舍去） 317343y ∴=⨯- 54=； 175,34E ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭； 综上所述：E 的坐标为75,34⎛⎫- ⎪⎝⎭或175,34⎛⎫ ⎪⎝⎭． 12．（1）解：根据题意得： 1203b c c -++=⎧⎨=⎩解得：13b c =-⎧⎨=⎩ ①此抛物线的解析式为：2134y x x =--+； （2）令0y = 则21304x x --+= 解得：1262x x =-=，根据图象可知 P 在x 轴上方时 x 的取值范围是62x -<<；（3）①()221132444y x x x =--+=-++ ①抛物线的顶点坐标是()2,4-①当2m ≤-时 点P 在对称轴上或对称轴左侧 最高点坐标为()2,4-①24m --= 解得6m =-当m 2>时 点P 在对称轴右侧 最高点纵坐标为21(2)44m -++ ①-21(2)424m m -++=-- 解得：)122525m m ==-，舍去 ①m 的值为6-或5①当6m =-时 如图① 以P 或A 为直角顶点作等腰直角三角形 点Q 不能落在对称轴上 因为直角边PQ 或AQ 和对称轴平行；以点Q 为直角顶点作等腰直角三角形 点Q 恰好落在抛物线的顶点上 根据对称性可知 1(2,4）Q - 显然 1Q 关于x 轴对称点2Q 也满足条件 ()224Q --，；当 5m = 如图① 通过绘图可知 由点A 或点Q 为直角顶点均不存在满足条件的等腰直角三角形 以P 为直角顶点可以作出满足条件的等腰直角三角形．过点P 分别作x 轴和对称轴的垂线 垂足分别为M 、N对称轴与x 轴的交点为G ．则252MG =+当x = ()212424y =-+=--①2P --①2PM =+①PM MG =①GM PN =①PM PN =又①3AP PQ =①3PMA PNQ ≌①3AM Q N =①32Q N =-①2AM =①322GQ =++-=①3(2,Q --综上所述 点Q 的坐标为()2,4-或()2,4--或(2--， 13．1）解：抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于()1,0A -和()3,0B 两点 10930b c b c --+=⎧∴⎨-++=⎩ 解得：23b c =⎧⎨=⎩∴抛物线的解析式为223y x x =-++； （2）解：设直线EF 的解析式为y kx m =+将点()0,1D 代入直线解析式 得：1m = ∴直线EF 的解析式为1y kx =+ ∴设(),1E E E x kx + (),1F F F x kx + 如图 过点E 作EG y ⊥轴与点G 过点F 作FH Y ⊥轴于点HE E EG x x ∴==-F FH x =90EHD EGD ∠=∠=︒ FDG EDG ∠=∠ FHD EGD ∴∠∽FH DF EG DE∴= 2DF DE =22F E x DE x DE∴==- 2F E x x ∴=-将(),1E E E x kx +、(),1F F F x kx +代入抛物线 得： 22123123E E E FF F kx x x kx x x ⎧+=-++⎨+=-++⎩①② 将2F E x x =-代入① 得：221443E E E kx x x -+=--+③ 2⨯+③① 得：21E x =点E 在抛物线左侧1E x ∴=-将1E x =-代入① 得：1123k -+=--+ 解得：1k =∴直线EF 的解析式为1y x =+ （3）解：能抛物线223y x x =-++令0x = 则3y =()0,3C ∴点P 是抛物线上任一点∴设()2,23P p p p -++ 如图 过点P 作直线l y ∥轴 与x 轴交于点N 过点C 作CM l ⊥于点M PCQ △是以点CPQ ∠为直角的等腰直角三角形 PQ PC ∴= 90CPQ ∠=︒90CMP PNQ ∴∠=∠=︒ (),0N p (),3M p 90QPN PQN ∴∠+∠=︒90QPN CPM ∠+∠=︒PQN CPM ∴∠=∠在CMP 和PNQ 中CMP PNQ CPM PQN PC PQ ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()AAS CMP PNQ ∴≌CM PN ∴=223p p p ∴=-++若223p p p =-++解得：p 若()223p p p =--++解得：p当p = ()222231414p p p ⎫-++=--+=--+⎪⎪⎝⎭当p ()222231414p p p ⎫-++=--+=-+=⎪⎪⎝⎭当p ()222231414p p p ⎫-++=--+=-+⎪⎪⎝⎭当p 时 ()222231414p p p ⎫-++=--+=-+=⎪⎪⎝⎭；点Q 在x 正半轴上当点P 为113113--⎝⎭时 点Q 在x 负半轴上 不符合题意 舍去 ∴PCQ △能构成以点CPQ ∠为直角的等腰直角三角形 符合条件的点P 的坐标为113113++⎝⎭或321213+--⎝⎭或321213--⎝⎭．14．（1）解：①抛物线234y x bx c =-++交x 轴于(1,0)A - (4,0)B 两点 ①抛物线的解析式为：()()2339143444y x x x x =-+-=-++； （2）解：①ABD ACB ∠=∠①tan tan 3ABD CAB ∠=∠=设点D 的坐标为239,344x x x ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭过点D 作DE x ⊥轴于点E 如图所示则4BE x =- 239344DE x x =-++ ①239344tan 34x x ABD x-++∠==- 解得3x =①()3,3D ；（3）解：设直线AD 的解析式为：y kx n =+把点A 、D 的坐标代入得03k n k n n -+=⎧⎨+=⎩ 解得3434k n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩①直线AD 的解析式为：3344y x =+①5MN AD == ①4t n 3a MAP ∠=①如图 若5MN MP == 则90PMN ∠=︒此时3tan 4MPMAP AM ∠== ①203AM = 即1203m =；①如图 若5NM NP == 则90MNP ∠=︒此时3tan 4NP MAP AN ∠== ①203AN = ①53AM AN MN =-= 即253m =；①如图 若PM NP = 则90NPM ∠=︒ 过点P 作PQ AN ⊥于点Q 则1522PQ MN ==此时3tan 4PQ MAP AQ ∠== ①103AQ = ①56AM AQ MQ =-=即356m = 综上所述 203m =或53或56时 PMN ∆是等腰直角三角形． 15．（1）解：将()10A ， ()3,0B - 代入2y x bx c =++ ①10930b c b c ++=⎧⎨-+=⎩解得：23b c =⎧⎨=-⎩①抛物线的解析式为223y x x =+-； （2）解：如图：①()222314y x x x =+-=+-①()1,4C --设直线BC 的解析式为y kx m =+ ①304k m k m -+=⎧⎨-+=-⎩解得：26k b =-⎧⎨=-⎩ ①直线BC 的解析式为26y x =--①()1,0P t - PQ BC ∥①直线PQ 的解析式为222y x t =--+ 同理可得直线AC 的解析式为22y x =-当22222x t x --+=-时 112x t =- ①11,2Q t t ⎛⎫-- ⎪⎝⎭①PQ BC ∥ ①()()211S S 42222CPQ BPQ t t t ==⨯⨯-=--+ ①当2t =时 CPQ 面积的最大值为2； （3）解：存在t 使BMP 为等腰三角形 理由如下： 如图由（2）可知 ()1,0P t -过M 点作MG x ⊥轴交于G 点 过C 点作CH x ⊥轴交于H 点 ①()1,4C --①4CH = 1OH =①()3,0B -①3OB =①2BH =①224225BC +=①sin CH GM ABC BC BM ∠== tan 2CH GM ABC BH BG ∠=== 255t =①GM t = ①12GB t = ①132OG OB BG t =-=- ①13,2M t t ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭当点P 在点G 右侧时 ()()222134BP t t =-+=- 222211313121624MP t t t t t ⎛⎫=-+-+=-+ ⎪⎝⎭ 2222221524BM BG MG t t t ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭ 由题意可得：①当MP BP = 则()2264131214t t t =+-- 解得169t =或0=t （不符合题意 舍去） 此时169t = ①当BP BM =时 则()22454t t -= 解得)852t =或)852t =-（不符合题意 舍去） 此时)852t = ①当MP BM =时 则22135121644t t t -+= 解得2t =或4t =（不合题意 舍去）． 当点P 在点G 左侧时 222215312424MP t t t t t ⎛⎫=--++=++ ⎪⎝⎭ ①当MP BP = 则()2254424t t t =+-+，解得2087t =-+2087t =-- 不符合题意 舍去；①当BP BM =时，则()22454t t -=，解得)852t =或()852t =-，不符合题意，舍去；①当MP BM =时，则22552444t t t ++=， 解得2t =-，不符合题意，舍去．综上所述当169t =或)82t =或2t =时，BMP 为等腰三角形．①点P 坐标为：7,09⎛⎫- ⎪⎝⎭或()17-或()1,0-．。
九年级中考数学专题复习：二次函数综合题(特殊三角形问题)含答案
中考数学专题复习：二次函数综合题（特殊三角形问题）1．如图，已知抛物线经过点A (-1，0)，B (4，0)，C (0，2)三点，点D 与点C 关于x 轴对称，点P 是线段AB 上的一个动点，设点P 的坐标为(m ，0)，过点P 作x 轴的垂线l 交抛物线于点Q ，交直线BD 于点M ．(1)求该抛物线所表示的二次函数的表达式；(2)在点P 运动过程中，是否存在点Q ，使得△BQM 是直角三角形？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由；(3)连接AC ，将△AOC 绕平面内某点H 顺时针旋转90°，得到111A O C △，点A 、O 、C 的对应点分别是点1A 、1O 、1C 、若111A O C △的两个顶点恰好落在抛物线上，那么我们就称这样的点为“和谐点”，请直接写出“和谐点”的个数和点1A 的横坐标．2．如图，已知A （﹣2，0）、B （3，0），抛物线y ＝ax 2＋bx ＋4经过A 、B 两点，交y 轴于点C ．点P 是第一象限内抛物线上的一动点，点P 的横坐标为m ．过点P 作PM ⊥x 轴，垂足为点M ，PM 交BC 于点Q ．过点P 作PN ⊥BC ，垂足为点N ．(1)直接写出抛物线的函数关系式 ；(2)请用含m 的代数式表示线段PN 的长 ；(3)连接PC ，在第一象限的抛物线上是否存在点P ，使得⊥BCO ＋2⊥PCN ＝90°？若存在，请求出m 的值；若不存在，请说明理由；(4)连接AQ ，若△ACQ 为等腰三角形，请直接写出m 的值 ．3．如图，抛物线2y ax bx =+过()4,0A ，()1,3B 两点，点C 、B 关于抛物线的对称轴对称，过点B 作直线BH x ⊥轴，交x 轴于点H ．(1)求抛物线的表达式；(2)求ABC 的面积；(3)若点M 在直线BH 上运动，点N 在x 轴上运动，当CMN △为等腰直角三角形时，点N 的坐标为______．4．如图，已知二次函数的图象经过点()3,3A 、()4,0B 和原点O ．P 为二次函数图象上的一个动点，过点P 作x 轴的垂线，垂足为(),0D m ，并与直线OA 交于点C ．(1)求出二次函数的解析式；(2)当点P 在直线OA 的上方时，求线段PC 的最大值；(3)当0m >时，探索是否存在点P ，使得PCO △为等腰三角形，如果存在，求出P 的坐标；如果不存在，请说明理由．5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y ax x m =++（a ≠0）的图象与x 轴交于A 、C 两点，与y 轴交于点B ，其中点B 坐标为（0，－4），点C 坐标为（2，0）．(1)求此抛物线的函数解析式．(2)点D 是直线AB 下方抛物线上一个动点，连接AD 、BD ，探究是否存在点D ，使得⊥ABD 的面积最大？若存在，请求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．(3)点P 为该抛物线对称轴上的动点，使得⊥P AB 为直角三角形，请求出点P 的坐标．6．如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线26y ax bx =++与x 轴交于点()2,0A -和点()6,0B ，与y 轴交于点C ，顶点为D ，连接BC 交抛物线的对称轴l 于点E ．(1)求抛物线的表达式；(2)连接CD 、BD ，点P 是射线DE 上的一点，如果PDB CDB S S =△△，求点P 的坐标；(3)点M 是线段BE 上的一点，点N 是对称轴l 右侧抛物线上的一点，如果EMN 是以EM 为腰的等腰直角三角形，求点M 的坐标．7．已知抛物线经过A （－1，0）、B （0、3）、 C （3，0）三点，O 为坐标原点，抛物线交正方形OBDC 的边BD 于点E ，点M 为射线BD 上一动点，连接OM ，交BC 于点F(1)求抛物线的表达式；(2)求证：⊥BOF ＝⊥BDF ：(3)是否存在点M 使⊥MDF 为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求ME 的长8．如图，抛物线23y ax x c =-+与x 轴交于(4,0)A -，B 两点，与y 轴交于点(0,4)C ，点D 为x 轴上方抛物线上的动点，射线OD 交直线AC 于点E ，将射线OD 绕点O 逆时针旋转45︒得到射线OP ，OP 交直线AC 于点F ，连接DF ．(1)求抛物线的解析式；(2)当点D 在第二象限且34DE EO =时，求点D 的坐标； (3)当ODF △为直角三角形时，请直接写出点D 的坐标．9．已知二次函数214y x bx c =-++图像的对称轴与x 轴交于点A （1，0），图像与y 轴交于点B （0，3），C 、D 为该二次函数图像上的两个动点（点C 在点D 的左侧），且90CAD ∠=．(1)求该二次函数的表达式；(2)若点C 与点B 重合，求tan⊥CDA 的值；(3)点C 是否存在其他的位置，使得tan⊥CDA 的值与（2）中所求的值相等？若存在，请求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由．10．如图1，抛物线y =-x 2+bx +c 交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于C 点，D 是抛物线上的动点，已知A 的坐标为（-3，0），C 的坐标为（0，3）．(1)求该抛物线的函数表达式以及B 点的坐标；(2)在第二象限内是否存在点D 使得⊥ACD 是直角三角形且⊥ADC=90°，若存在请求出D 点的坐标，若不存在请说明理由；(3)如图2，连接AC ，BC ，当⊥ACD=⊥BCO ，求D 点的坐标．11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线C 1：y ＝ax 2＋bx ﹣1经过点A (﹣1,﹣2)和点B (﹣2,1)，抛物线C 2：y ＝3x 2＋3x ＋1，动直线x ＝t 与抛物线C 1交于点N ，与抛物线C 2交于点M ．(1)求抛物线C 1的表达式；(2)求线段MN 的长（用含t 的代数式表达）；(3)当⊥BMN 是以MN 为直角边的等腰直角三角形时，求t 的值．12．如图，二次函数23y ax bx =++的图象经过点A （-1，0），B （3，0），与y 轴交于点C ．(1)求二次函数的解析式；(2)第一象限内的二次函数23y ax bx =++图象上有一动点P ，x 轴正半轴上有一点D ，且OD =2，当S △PCD =3时，求出点P 的坐标；(3)若点M 在第一象限内二次函数图象上，是否存在以CD 为直角边的Rt MCD ，若存在，求出点M 的坐标，若不存在，请说明理由．13．如图，抛物线23y ax bx =+-与x 轴交于()2,0A -，()6,0B 两点，与y 轴交于点C ．直线l 与抛物线交于A ，D 两点，与y 轴交于点E ，点D 的坐标为()4,3-．(1)求抛物线的解析式；(2)若点P 是抛物线上的点，点P 的横坐标为()0m m ≥，过点P 作PM x ⊥轴，垂足为M ．PM 与直线l 交于点N ，当点N 是线段PM 的三等分点时，求点P 的坐标；(3)若点Q 是y 轴上的点，且45ADQ ∠=︒，求点Q 的坐标．14．如图，抛物线23y ax bx =+-与x 轴交于()30A -,，()1,0B 两点，与y 轴交于点C ．(1)求该抛物线的解析式；(2)若点E 是线段AC 上一动点，过点E 的直线EF 平行于y 轴并交抛物线于点F ，当线段EF 取得最大值时，在x 轴上是否存在这样的点P ，使得以点E 、B 、P 为顶点的三角形是以EB 为腰的等腰三角形？若存在，请求出所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由．15．如图，抛物线2y x bx c =-++与x 轴相交于A ，B 两点（点A 位于点B 的左侧），与y 轴相交于点C ，M 是抛物线的顶点，直线1x =是抛物线的对称轴，且点C 的坐标为(0,3)．(1)求抛物线的解析式；(2)已知P 为线段MB 上一个动点，过点P 作PD x ⊥轴于点D ．若,PD m PCD =△的面积为S ．⊥求S 与m 之间的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围；⊥当S 取得最大值时，求点P 的坐标．(3)在（2）的条件下，在线段MB 上是否存在点P ，使PCD 为等腰三角形？如果存在，直接写出满足条件的点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．16．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y =ax 2+4x +c 与直线AB 相交于点A (0，1)和点B (3，4)．(1)求该抛物线的解析式；(2)设C 为直线AB 上方的抛物线上一点，连接AC ，BC ，以AC ，BC 为邻边作平行四边形ACBP ，求四边形ACBP 面积的最大值；(3)将该抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线y =a 1x 2+b 1x +c 1（a 1≠0），平移后的抛物线与原抛物线相交于点D ，是否存在点E 使得△ADE 是以AD 为腰的等腰直角三角形？若存在，直接写出．．．．点E 的坐标；若不存在，请说明理由．17．如图，在平面直角坐标系中，抛物线223y x x =--与x 轴相交于点A 、B （点A 在点B 的左侧），与y 轴相交于点C ，连接,AC BC ．(1)求线段AC 的长；(2)若点Р为该抛物线对称轴上的一个动点，当PA PC =时，求点P 的坐标；(3)若点M 为该抛物线上的一个动点，当BCM 为直角三角形时，求点M 的坐标．18．如图，已知抛物线212y x bx c =++经过点B （4，0）和点C （0，－2），与x 轴的另一个交点为点A ，其对称轴l 与x 轴交于点E ，过点C 且平行x 轴的直线交抛物线于点D ，连接AD ．(1)求该抛物线的解析式；(2)判断⊥ABD 的形状，并说明理由；(3)P 为线段AD 上一点，连接PE ，若△APE 是直角三角形，求点P 的坐标；(4)抛物线的对称轴上是否存在一点P ，使△APD 是直角三角形，若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说明理由．19．如图，抛物线22y ax x c =-+与x 轴相交于A ，B 两点，与y 轴相交于点C ，点A 在点B 的左侧，()1,0A -，()0,3C -，点E 是抛物线的顶点，P 是抛物线对称轴上的点．(1)求抛物线的函数表达式；(2)当点P 关于直线BC 的对称点Q 落在抛物线上时，求点Q 的横坐标；(3)若点D 是抛物线上的动点，是否存在以点B ，C ，P ，D 为顶点的四边形是平行四边形．若存在，直接写出点D 的坐标__________；若不存在，请说明理由；(4)直线CE 交x 轴于点F ，若点G 是线段EF 上的一个动点，是否存在以点O ，F ，G 为顶点的三角形与ABC 相似，若存在，请直接写出点G 的坐标__________；若不存在，请说明理由．20．如图1，抛物线23y ax bx =++与x 轴交于点()3,0A 、()1,0B -，与y 轴交于点C ，点P 为x 轴上方抛物线上的动点，点F 为y 轴上的动点，连接PA ，PF ，AF ．(1)求该抛物线所对应的函数解析式；(2)如图1，当点F 的坐标为()0,4-，求出此时AFP 面积的最大值；(3)如图2，是否存在点F ，使得AFP 是以AP 为腰的等腰直角三角形？若存在，求出所有点F 的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案：1．(1)213222y x x =-++ (2)存在，Q (3，2)或Q (-1，0)(3)两个“和谐点”，1A 的横坐标是1或122．(1)222433y x x =-++ (2)22655PN m m =-+ (3)存在，741253．(1)24y x x =-+(2)3(3)（2，0）或（﹣4，0）或（﹣2，0）或（4，0）．4．(1)y =-x 2+4x (2)94(3)存在，点P 的坐标为(3+或(3-或（5，-5）或（4，0）5．(1)2142y x x =+- (2)（-2，-4）(3)P 点坐标为：（-1，3），（-1，-5），(12--+，，(12--， 6．(1)21262y x x =-++ (2)()2,2(3)()4,2或(27．(1)2y x 2x 3=-++(2)见解析(3)存在，2或28．(1)234y x x =--+(2)(1,6)D -或(3,4)D -(3)()3,4-或(0,4)或2⎫⎪⎪⎝⎭或2⎫⎪⎪⎝⎭9．(1)211342y x x =-++(2)1(3)()2,1-，()32，(12--10．(1)y ＝-x 2-2x ＋3，B (1，0)(2)存在，D (－2，3) (3)D (－52，74)或(－4，－5)11．(1)y ＝2x 2+3x ﹣1(2)t 2+2(3)t ＝012．(1)2+23y x x =-+(2)P 1（32，154），P 2（2，3）(3)存在点M 其坐标为1M 43539（，）或2M13．(1)y ＝14x 2−x −3 (2)（3，−154）或（0，−3） (3)（0，−133）或（0，9）14．(1)223y x x =+-(2)()4,-0，或10⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，或10⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭15．(1)2y x 2x 3=-++ (2)⊥213(04)42S m m m =-+<≤；⊥S 有最大值为94，此时3,32P ⎛⎫ ⎪⎝⎭(3)存在，(6-+-或(42-+16．(1)241y x x =-++ (2)274(3)存在，E （4，3）或（-2，5）或（-3，2）或（3，0）．17．(2)()11，-(3)()14-，或()25-，或⎝⎭或⎝⎭18．(1)213222y x x =-- (2)直角三角形，见解析(3)(1，－1)或(32，－54)(4)存在，( 32，－1＋2 )，( 32，－1－ 2，( 32，5)，( 32，－5) 19．(1)223y x x =-- (2)11(3)存在，()2,3-或()4,5或()2,5-(4)存在，39,44⎛⎫-- ⎪⎝⎭或()1,2--20．(1)2y x 2x 3=-++ (2)323(3)存在，12(0,3),(0,1)F F --，32)F。
最新九年级中考数学专题： 二次函数综合题(特殊三角形问题)含答案
2023年九年级中考数学专题：二次函数综合题（特殊三角形问题）1．如图，抛物线y＝ax2+bx+2经过A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C．(1)求该抛物线的解析式；(2)在y轴上是否存在点P使得∠OBP+∠OBC＝45°，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；(3)点M是BC为直径的圆上的动点，将点M绕原点O顺时针旋转90°得点N，连接NA，求NA的取值范围．2．已知：如图，抛物线y＝ax2+bx+3与坐标轴分别交于点A，B（﹣3，0），C（1，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点，过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P作PE∥x轴交抛物线于点E．(1)求抛物线解析式；(2)当点P运动到什么位置时，DP的长最大？(3)是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．3．如图，抛物线y＝ax2＋bx﹣3经过A、B、C三点，点A（﹣3，0）、C（1，0），点B在y轴上．点P是直线AB下方的抛物线上一动点（不与A、B重合）．(1)求此抛物线的解析式；(2)过点P作x轴的垂线，垂足为D，交直线AB于点E，动点P在什么位置时，PE最大，求出此时P点的坐标；(3)点Q是抛物线对称轴上一动点，是否存在点Q，使以点A、B、Q为顶点的三角形为直角三角形？若存在，请求出点Q坐标；若不存在，请说明理由．4．如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC是等腰直角三角形，△BAC＝90°，A（1，0），B（0，2），二次函数y＝x2+bx﹣2的图象经过C点．（1）求二次函数的解析式；（2）若点P是抛物线的一个动点且在x轴的下方，则当点P运动至何处时，恰好使△PBC的面积等于△ABC的面积的两倍．（3）若点Q是抛物线上的一个动点，则当点Q运动至何处时，恰好使△QAC＝45°？请你求出此时的Q点坐标．5．如图，抛物线y＝ax2+bx+2交x轴于点A（﹣3，0）和点B（1，0），交y轴于点C．（1）求该抛物线的解析式；（2）点D的坐标为（﹣1，0），点P为第二象限内抛物线上的一个动点，求四边形ADCP面积的最大值；（3）抛物线对称轴上是否存在点M，使△MAB是以AB为斜边的直角三角形，若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，并说明理由；（4）在对称轴上是否存在点N，使△BCN为直角三角形，若存在，直接写出N点坐标，若不存在，说明理由．6．抛物线2y x bx c=++经过A、B(1，0)、C(0，-3)三点．点D为抛物线的顶点，连接AD、AC、BC、DC．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上找一点P，使PB+PC最小，求出P点坐标；（3）在线段AC上找一点M，使AOM△ABC，请你直接写出点M的坐标；（4）在y轴上是否存在一点E，使ADE为直角三角形？若存在，请你直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．7．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2＋bx＋c与直线AB相交于A，B两点，其中A（﹣3，﹣4），B（0，﹣1）．（1）求该抛物线的函数表达式．（2）点P为直线AB下方抛物线上的任意一点，连接P A，PB，求△P AB面积的最大值．（3）在二次函数的对称轴上找一点C，使得△ABC是等腰三角形，求满足条件的点C的坐标．8．如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象交x轴于A，B两点，交y轴于点D，点B的坐标为（3，0），顶点C的坐标为（1，4）．（1）求二次函数的解析式和直线BD的解析式；（2）点P是直线BD上的一个动点，过点P作x轴的垂线，交抛物线于点M，当点P在第一象限时，求线段PM长度的最大值；（3）在抛物线上是否存在点Q，且点Q在第一象限，使△BDQ中BD Q 的坐标；若不存在，请说明理由．9．如图，已知点A的坐标为（－2，0），直线y＝－34x＋3与x轴，y轴分别交于点B和点C，连接AC，顶点为D的抛物线y＝ax2＋bx＋c，过A，B，C三点．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）设抛物线的对称轴DE交线段BC于点E，P为第一象限内抛物线上一点，过点P作x轴的垂线，交线段BC于点F，若四边形DEFP为平行四边形，求点P的坐标；（3）设点M是线段BC上的一动点，过点M作MN△AB，交AC于点N．点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段BA向点A运动，运动时间为t（秒）．当以MN为直角边的△QMN是等腰直角三角形时，直接写出此时t的取值．10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线2=++与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，已知y x bx cB(3，0)，C(0，3-)，连接BC，点P是抛物线上的一个动点，点N是对称轴上的一个动点．（1）求该抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴上是否存在点M，使得MBC为等腰三角形，若存在，求M的坐标；（3）若点P在直线BC的下方，当点P到直线BC的距离最大时，在抛物线上是否存在点Q，使得以点P，C，N，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．11．如图，抛物线2y x bx c=++经过A（－1，0）、B（5，6）两点，点E是线段AB上一动点，过点E作x轴的垂线，交抛物线于点F．（1）求抛物线的解析式；（2）求线段EF的最大值；（3）在抛物线的对称轴上是否存在一个动点P，使得ABP∆是直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．x+2与x轴交于点B，与y轴交于点C，已知二次函数的图象经过点B、C和点12．如图，直线y＝﹣12A(﹣1，0)．（1）求B、C两点的坐标；（2）求该二次函数的解析式；（3）若抛物线的对称轴与x轴交于点D，则在抛物线的对称轴上是否存在一点N，使NCD为等腰三角形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由．13．如图，直线y ＝﹣x +3与x 轴、y 轴分别交于B 、C 两点，抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 经过B 、C 两点，与x 轴另一交点为A ，顶点为D ．（1）求抛物线的解析式．（2）如果一个圆经过点O 、点B 、点C 三点，并交于抛物线AC 段于点E ，求△OEB 的度数．（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使△PCD 为等腰三角形，如果存在，求出点P 的坐标，如果不存在，请说明理由．14．如图，抛物线2y ax bx =+过(4,0)A ，()1,3B 两点，点C 、B 关于抛物线的对称轴对称，过点B 作直线BH x ⊥轴，交x 轴于点H ．（1）求抛物线的表达式；（2）直接写出点C 的坐标，并求出ABC ∆的面积；（3）若点M 在直线BH 上运动，点N 在x 轴上运动，是否存在以点C 、M 、N 为顶点的三角形为等腰直角三角形？若存在，求出其值；若不存在，请说明理由．15．如图，已知抛物线224233y x x =-++的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，抛物线的对称轴与x 轴交于点D ．点M 从O 点出发，以每秒1个单位长度的速度向B 运动，过M 作x 轴的垂线，交抛物线于点P ，交BC 于Q ．（1）求点B 和点C 的坐标；（2）设当点M 运动了x （秒)时，四边形OBPC 的面积为S ，求S 与x 的函数关系式，并指出自变量x 的取值范围；（3）在线段BC 上是否存在点Q ，使得DBQ ∆成为以BQ 为一腰的等腰三角形？若存在，求出点Q 的坐标，若不存在，说明理由．16．如图，已知一条直线过点（0，4）且与抛物线y ＝14x 2交于A ，B 两点，其中点B 的横坐标是8． （1）求这条直线AB 的函数关系式及点A 的坐标；（2）在x 轴上是否存在点C ，使得△ABC 是直角三角形？若存在，写出点C 的坐标，若不存在，请说明理由．（3）过线段AB 上一点P ，作PM △x 轴，交抛物线于点M ，点M 在第一象限，点N （0，1），当点M 的横坐标为何值时，MN +3MP 的长度最大？最大值是多少？17．如图，已知抛物线()()62y a x x =+-过点()0,2C ，交x 轴于点A 和点B （点A 在点B 的左侧），抛物线的顶点为D ，对称轴DE 交x 轴于点E ，连接EC ．（1）直接写出a 的值，点A 的坐标和抛物线对称轴的表达式．（2）若点M 是抛物线对称轴DE 上的点，当MCE 是等腰三角形时，求点M 的坐标．（3）点P 是抛物线上的动点，连接PC ，PE ，将PCE 沿CE 所在的直线对折，点P 落在坐标平面内的点P '处．求当点P '恰好落在直线AD 上时点P 的横坐标．18．如图，直线y x n =-+与x 轴交于点()3,0A ，与y 轴交于点B ，抛物线2y x bx c =-++经过点A ，B ．（1）求抛物线的解析式；（2）(),0E m 为x 轴上一动点，过点E 作ED x ⊥轴，交直线AB 于点D ，交抛物线于点P ，连接BP ． △点E 在线段OA 上运动，若BPD △直角三角形，求点E 的坐标；△点E 在x 轴的正半轴上运动，若45PBD ABO ∠+∠=︒，请直接写出m 的值．19．如图，抛物线2y x bx c =-++的图象交x 轴于,A B 两点，交y 轴于点C ，直线3y x =-+经过,B C 两点．（1）求抛物线的解析式；PC PB，求PBC面积的最大值，并求出此时点P的坐（2）点P为抛物线第一象限上的一动点，连接,标；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点M，使得BCM为直角三角形?若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．20．如图，抛物线y＝ax2+bx+6（a≠0）与x轴交于点A（2，0）和点B（﹣6，0），与y轴交于点C．(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线上是否存在一点P，使△P AB的面积与△ABC的面积相等，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．(3)设抛物线的对称轴与x轴交于点M，在对称轴上存在点Q，使△CMQ是以MC为腰的等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标．答案1．(1)y ＝﹣12x 2+32x +2 (2)存在，（0，﹣43）或（0，43）NA ≤2．(1)y ＝﹣x 2﹣2x +3(2)点P 的坐标为315,24⎛⎫- ⎪⎝⎭(3)存在，点P 坐标为（﹣2，33．(1)y ＝x 2+2x ﹣3； (2)（﹣32，154-）(3)（-1，2）或（-1，﹣4）或（-1-14．（1）222y x x -=-；（2）当点P 运动至坐标为()2,2-时，恰好使△PBC 的面积等于△ABC 的面积的两倍； （3）Q ⎝⎭或.Q ⎝⎭ 5．（1）y ＝﹣23x 2﹣43x +2；（2）174；（3）存在，M 点坐标为（﹣1，﹣2）或（﹣1，2）；（4）存在，N 的坐标为（﹣1，32）或（﹣1，﹣1） 6．（1）223y x x =+-；（2）P (－1，－2)；（3）(34-，94-)；（4）存在，E 1(0，－3)或E 2(0，－1)或E 3(0，72-)或E 4(0，32)7．（1）y ＝x 2+4x ﹣1；（2）278；（3）C 点坐标为1(2,1C --，2(2,1C --，3(2,4C --，4(2,4C --，57(2,)3C -- 8．（1）抛物线解析式为y ＝﹣x 2+2x +3，直线BD 解析式为y ＝﹣x +3；（2）94；（3）存在，（1，4）或（2，3）9．（1）y =-38x 2+34x +3；D （1，278）；（2）P （3，158）；（3）83或14310．（1）223y x x =--；（2）存在，M 的坐标为(1，1-)或(1或(1，或(1，3-+或(1，3-；（3）存在，Q 的坐标为(52，74-)或(12-，74-)或(12，154-)11．（1）y =x 2-3x -4；（2）9；（3）存在，点P 的坐标为3(2，3(2 ，35(,)22-，319(,)22 12．（1）B (4，0)，C (0，2)；（2）213222y x x =-++；（3）存在，123435353325(,),(,),(,4),(,),22222216N N N N - 13．（1）抛物线解析式y ＝﹣x 2+2x +3；（2）△OEB ＝45°；（3）存在，点P （1，2）、（1，3）、（1，4）、（1，、（1，4△PCD 为等腰三角形14．（1）24y x x =-+；（2）3(3)C ，，3；（3）N 点坐标为(2,0)或(4,0)-或(2,0)-或(4,0)，15．（1）(3,0)B ，(0,2)C ；（2）2321()(03)24S x x =--+；（3）存在，Q 的坐标为2(2)3，或(3， 16．（1）y ＝32x +4，A 点的坐标为（﹣2，1）；（2）存在，点C 的坐标为（﹣12，0），（0，0），（6，0），（32，0）；（3）当M 的横坐标为6时，MN +3PM 的长度的最大值是1817．（1）a ＝−16；对称轴为直线x ＝−2；A （−6，0）；（2）（−2，2）或（−2，4）或（−2，）或（−2，；（3 18．（1）2y x 2x 3=-++；（2）△E (1，0)或(2，0)；△5m =或73．19．（1）2y x 2x 3=-++；（2）315(,)24P ；（3）1234,,(1,2),(1,4)M M M M ⎛⎛- ⎝⎭⎝⎭． 20．(1)y ＝26122x x -+﹣(2)存在，点P 的坐标为：（﹣6）或（﹣2，﹣6）或（﹣4，6）(3)点Q 的坐标为1Q （﹣2，）或2Q （﹣2，﹣3Q （﹣2，12）。
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类型三 与特殊三角形有关的问题针对演练1. (2016枣庄)如图，已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的对称轴为直线x ＝－1，且经过A (1，0)，C (0，3)两点，与x 轴的另一个交点为B .(1)若直线y ＝mx ＋n 经过B ，C 两点，求抛物线和直线BC 的解析式； (2)在抛物线的对称轴x ＝－1上找一点M ，使点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小，求点M 的坐标；(3)设点P 为抛物线的对称轴x ＝－1上的一个动点，求使△BPC 为直角三角形的点P 的坐标．第1题图2. (2016重庆巴蜀九下入学考试)如图，抛物线y＝－45x 2＋245x －4与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，抛物线的对称轴与x 轴交于点M .P 是抛物线在x 轴上方的一个动点(点P 、M 、C 不在同一条直线上)． (1)求点A ，B 的坐标；(2)连接AC 、PB 、BC ，当S △PBC ＝S △ABC 时，求出此时点P 的坐标； (3)分别过点A 、B 作直线CP 的垂线，垂足分别为点D 、E ，连接MD 、ME .问△MDE 能否为等腰直角三角形？若能，求此时点P 的坐标；若不能，说明理由．第2题图3. (2016重庆南开阶段测试三)如图①，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋4交x 轴于A 、B 两点(点A 在点B 左侧)，交y 轴于点C ，连接AC 、BC ，其中CO ＝BO ＝2AO . (1)求抛物线的解析式；(2)点Q 为直线BC 上方的抛物线上一点，过点Q 作QE ∥AC 交BC 于点E ，作QN ⊥x 轴于点N ，交BC 于点M ，当△EMQ 的周长L 最大时，求点Q 的坐标及L 的最大值；(3)如图②，在(2)的结论下，连接AQ 分别交BC 于点F ，交OC 于点G ，四边形BOGF 从F 开始沿射线FC 平移，同时点P 从C 开始沿折线CO －OB 运动，且点P 的运动速度为四边形BOGF 平移速度的2倍，当点P 到达B 点时，四边形BOGF 停止运动，设四边形BOGF 平移过程中对应的图形为B 1O 1G 1F 1，当△PFF 1为等腰三角形时，求B 1F 的长度．第3题图4. (2016重庆十一中一诊)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 的左边)，与y 轴交于点C ，点A 、C 的坐标分别为(－1，0)，(0，－3)，直线x ＝1为抛物线的对称轴，点D 为抛物线的顶点，直线BC与对称轴相交于点E.(1)求抛物线的解析式及点D的坐标；(2)点P为直线x＝1右方抛物线上的一点(点P不与点B重合)，记A、B、C、P四点所构成的四边形面积为S，若S ＝52S△BCD，求点P的坐标；(3)点Q是线段BD上的动点，将△DEQ沿边EQ翻折得到△D′EQ，是否存在点Q 使得△D′EQ与△BEQ的重叠部分图形为直角三角形，若存在，请求出BQ的长；若不存在，请说明理由．5. (2016重庆一中上期期末考试)已知如图，抛物线y＝－12x2＋2x＋52与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点，对称轴交x轴于点E.(1)如图①，连接BD，试求出直线BD的解析式；(2)如图②，点P为抛物线第一象限上一动点，连接BP，CP，AC，当四边形PBAC 的面积最大时，线段CP交BD于点F，求此时DF∶BF的值；(3)如图③，已知点K(0，－2)，连接BK，将△BOK沿着y轴上下平移(包括△BOK)，在平移的过程中直线BK交x轴于点M，交y轴于点N，则在抛物线的对称轴上是否存在点G，使得△GMN是以MN为直角边的等腰直角三角形，若存在，请直接写出点G的坐标；若不存在，请说明理由．第5题图6. (2016重庆A卷)如图①，在平面直角坐标系中，抛物线y＝－13x2＋233x＋3与x轴交于A，B两点(点A在点B左侧)，与y轴交于点C，抛物线的顶点为点E.(1)判断△ABC的形状，并说明理由；(2)经过B，C两点的直线交抛物线的对称轴于点D，点P为直线BC上方抛物线上的一动点，当△PCD的面积最大时，点Q从点P出发，先沿适当的路径运动到抛物线的对称轴上点M处，再沿垂直于抛物线对称轴的方向运动到y轴上的点N处，最后沿适当的路径运动到点A处停止．当点Q的运动路径最短时，求点N 的坐标及点Q经过的最短路径的长；(3)如图②，平移抛物线，使抛物线的顶点E在射线AE上移动，点E平移后的对应点为点E′，点A的对应点为点A′.将△AOC绕点O顺时针旋转至△A1OC1的位置，点A，C的对应点分别为点A1，C1，且点A1恰好落在AC上，连接C1A′，C1E′，△A′C1E′是否能为等腰三角形？若能，请求出所有符合条件的点E′的坐标；若不能，请说明理由．第6题图答案类型三针对演练1. 解：(1)依题意，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==++-=-312ccbaab，解得,321⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=cba∴抛物线的解析式为y＝－x2－2x＋3.∵对称轴为x＝－1，抛物线经过A(1，0)，∴B (－3，0)．设直线BC 的解析式为y ＝mx ＋n (m ≠0)，把B (－3，0)，C(0，3)分别代入y ＝mx ＋n ，得，,303⎩⎨⎧==+-n n m 解得,31⎩⎨⎧==n m ∴直线BC 的解析式为y ＝x ＋3.(2)如解图，设直线BC 与对称轴x ＝－1的交点为M ，连接MA ， ∴MA ＝MB ，∴MA ＋MC ＝MB ＋MC ＝BC .∴使MA ＋MC 最小的点M 应为直线BC 与对称轴x ＝－1的交点． 把x ＝－1代入直线y ＝x ＋3，得y ＝2. ∴M (－1，2)．(3)设P (－1，t )，结合B (－3，0)，C(0，3)，得BC 2＝18， PB 2＝(－1＋3)2＋t 2＝4＋t 2，PC 2＝(－1)2＋(t －3)2＝t 2－6t ＋10.① 若B 为直角顶点，则BC 2＋PB 2＝PC 2，即18＋4＋t 2＝t 2－6t ＋10， 解得t ＝－2；②若C 为直角顶点，则BC 2＋PC 2＝PB 2，即18＋t 2－6t ＋10＝4＋t 2，解得t ＝4； ③若P 为直角顶点，则PB 2＋PC 2＝BC 2，即4＋t 2＋t 2－6t ＋10＝18，解得t 1＝3＋172，t 2＝3－172.综上所述，满足条件的点P 共有四个，分别为：P 1(－1，－2)，P 2(－1，4)，P 3(－1，3＋172)，P 4(－1，3－172)．2. 解：(1)令y ＝－45x 2＋245x －4＝0，解得x 1＝1，x 2＝5，∴A 点的坐标为(1，0)，B 点的坐标为(5，0)．(2)如解图①，过点A 作AP ∥BC ，与抛物线交于点P ，则S △PBC ＝S △ABC ，第1题解图 第2题解图①第2题解图②当x ＝0时，y ＝－45x 2＋245x －4 ＝－4，∴点C 的坐标为(0，－4)，设过点B ，C 两点的直线的解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0)，则有,054⎩⎨⎧=+-=b k b 解得,454⎪⎩⎪⎨⎧-==b k∴直线BC 的解析式为y ＝45x －4，由于P A ∥BC ，设AP 的解析式为y ＝45x ＋m ，代入点A (1，0)，解得m ＝－45，∴直线AP 的解析式为y ＝45x －45，联立方程组得,45245454542⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+-=-=x x y x y 解得： ,5124,012211⎪⎩⎪⎨⎧==⎩⎨⎧==y x y x ∴P 点的坐标为(4，125)．(3)△MDE 能成为等腰直角三角形，理由：∵抛物线y ＝－45x 2＋245x －4＝－45(x －3)2＋165，∴对称轴是直线x ＝3. ∴M (3，0)．①当∠MED ＝90°时，点E ，B ，M 在一条直线上，此种情况不成立； ②同理：当∠MDE ＝90°时，不成立； ③当∠DME ＝90°时，如解图②所示，设直线PC 与对称轴交于点N ， ∵EM ⊥DM ，MN ⊥AM ， ∴∠EMN ＝∠DMA . ∵∠MDE ＝45°，∠EDA ＝90°， ∴∠MDA ＝135°. ∵∠MED ＝45°， ∴∠NEM ＝135°，∴∠ADM ＝∠NEM ＝135°.在△ADM 与△NEM 中， ,⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠NEM ADM DMEM DMAEMN∴△ADM ≌△NEM (ASA)． ∴MN ＝MA ＝2， ∴N (3，2)．设直线PC 的解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0)，将点N (3，2)，C (0，－4)代入直线的解析式得： ,423⎩⎨⎧-==+b b k 解得：,42⎩⎨⎧-==b k ∴直线PC 的解析式为y ＝2x －4.将y ＝2x －4代入抛物线解析式得：2x －4 ＝－45x 2＋245x －4，解得：x ＝0或x ＝72，∴P (72，3)．综上所述，△MDE 能成为等腰直角三角形，此时点P 的坐标为(72，3)．3. 解：(1)∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋4与y 轴交于点C ， ∴点C 的坐标为(0，4)． ∵CO ＝BO ＝2AO ，∴点A 的坐标为(－2，0)，点B 的坐标为(4，0)， 将点A 、B 的坐标分别代入抛物线解析式得,044160424⎩⎨⎧=++=+-b a b a 解得,121⎪⎩⎪⎨⎧=-=b a ∴抛物线的解析式为y ＝－12x 2＋x ＋4.(2)∵点A (－2，0)，点B (4，0)，点C (0，4)，∴直线AC 的解析式为y ＝2x ＋4，直线BC 的解析式为y ＝－x ＋4.设点Q 的坐标为(q ，－12q 2＋q ＋4)，∵QE ∥AC ，过点E 作EF ⊥QM 于点F ，如解图，第3题解图则EF QF ＝AO OC ＝12，QE EF ＝ACAO ＝5， ∴QF ＝2EF ，QE ＝5EF ，在Rt △EFM 中，易得∠FEM ＝∠FME ＝∠MBN ＝45°， ∴EM ＝2EF ，EF ＝MF ， ∴QM ＝3EF ，∴当EF 最大时，△EQM 的周长最大，∵直线AC 的解析式为y ＝2x ＋4，直线QE ∥AC ， ∴设直线QE 的解析式为y ＝2x ＋t ，将Q 点坐标代入得，t ＝－12q 2－q ＋4，∴直线QE 的解析式为y ＝2x ＋(－12q 2－q ＋4)，与直线BC 联立解得点E 的坐标为(16q 2＋13q ，－16q 2－13q ＋4)．∴EF ＝q －16q 2－13q ＝－16q 2＋23q ＝－16(q －2)2＋23，根据二次函数最值性质可知，当q ＝2时，EF 最大，为23.此时点Q 的坐标为(2，4)，L ＝3EF ＋2EF ＋5EF ＝23(3＋2＋5)．(3)由(2)知点Q 的坐标为(2，4)，则直线QA 的解析式为y ＝x ＋2， ∴AQ ⊥BC 于F ，且点F 的坐标为(1，3)． ∵点B (4，0)， ∴BF ＝3 2.设四边形BOGF 平移的距离FF 1＝2t ，则点P 运动的速度为2t. ①当点P 在OC 上，此时0<t ≤2，则点B 1在BF 上．此时易得点F 1的坐标为(1－t ，t ＋3)，点P 的坐标为(0，4－2t )． ∴PF 2＝1＋(1－2t)2＝4t 2－4t ＋2，PF 12＝(1－t )2＋(3＋t －4＋2t )2＝10t 2－8t ＋2， FF 12＝2t 2.∴(i)当PF 2＝FF 12时，4t 2－4t ＋2＝2t 2， 解得t 1＝t 2＝1，此时B 1F ＝B 1F 1－FF 1＝BF －FF 1＝22；(ii)当PF 2＝PF 12时，4t 2－4t ＋2＝10t 2－8t ＋2，解得t 1＝23，t 2＝0(舍)，此时B 1F ＝B 1F 1－FF 1＝723；(iii)当F 1F 2＝PF 12时，2t 2＝10t 2－8t ＋2，解得t 1＝t 2＝12，此时B 1F ＝522；②当点P 在OB 上，此时2<t ≤4，当2<t <3时，点B 1在BF 上，当3<t ≤4时，点B 1在BF 的延长线上． 此时点P 的坐标是(2t －4，0)，在△PFF 1中，∠PFF 1>90°，若△PFF 1是等腰三角形， 则只能是PF ＝FF 1，即(2t －4－1)2＋9＝2t 2，解得t 1＝5－22，t 2＝5＋22(舍)， 此时t ＝5－22<3，∴B 1F ＝B 1F 1－FF 1＝32－(5－22)×2＝4－2 2.综上所述，当△PFF 1为等腰三角形时，B 1F 的长度为22或723或522或4－2 2.4. 解：(1)∵点A 与点B 关于直线x ＝1对称， ∴B (3，0)，设抛物线的解析式为y ＝a (x ＋1)(x －3)， 把C (0，－3)代入得－3a ＝－3，解得a ＝1，∴抛物线的解析式为y ＝(x ＋1)(x －3)＝x 2－2x －3， ∵y ＝(x －1)2－4，∴抛物线顶点D 的坐标为(1，－4)．(2)设P (m ，m 2－2m －3)，易得直线BC 的解析式为y ＝x －3， 当x ＝1时，y ＝1－3＝－2，则E (1，－2)，∴S △BDC ＝S △BDE ＋S △CDE ＝12×2×(1＋2)＝3，当点P 在x 轴上方时，即m >3，如解图①，第4题解图①第4题解图②第4题解图③ S ＝S △CAB ＋S △P AB ＝12×3×(3＋1)＋12×(3＋1)×(m 2－2m －3)＝2m 2－4m ，∵S ＝52S △BCD ， ∴2m 2－4m ＝152，整理得4m 2－8m －15＝0，解得m 1＝2＋192，m 2＝2－192(舍去)，∴P 点坐标为(2＋192，34)；当点P 在x 轴下方时，即1<m <3，如解图②，连接OP ，S ＝S △AOC ＋S △COP ＋S △POB ＝12×3×1＋12×3×m ＋12×3×(－m 2＋2m ＋3)＝－32m 2＋92m ＋6， ∵S ＝52S △BCD ， ∴－32m 2＋92m ＋6＝152， 整理得m 2－3m ＋1＝0，解得m 1＝3＋52，m 2＝3－52(舍去)，∴P 点坐标为(3＋52，5－52)，综上所述，P 点坐标为(2＋192，34)或(3＋52，5－52)．(3)存在．直线x ＝1交x 轴于点F ，BD ＝22＋42＝25，①如解图③，EQ ⊥DB 于点Q ，△DEQ 沿EQ 翻折得到△D′EQ ，∵∠EDQ ＝∠BDF ， ∴Rt △DEQ ∽Rt △DBF ，∴DQ DF ＝DE BD ，即4DQ ＝225，解得DQ ＝455， ∴BQ ＝BD －DQ ＝25－455＝655； ②如解图④，ED ′⊥BD 于H ， ∵∠EDH ＝∠BDF ， ∴Rt △DEH ∽Rt △DBF ，∴DH DF ＝DE DB ＝EH BF ，即4DH ＝225＝2EH ， 解得DH ＝455，EH ＝255，在Rt △QHD ′中，设QH ＝x ，D ′Q ＝DQ ＝DH －HQ ＝455－x ，D ′H ＝D′E －EH＝DE －EH ＝2－255，∴x 2＋(2－255)2＝(455－x )2，解得x ＝1－55，∴BQ ＝BD －DQ ＝BD －(DH －HQ )＝BD －DH ＋HQ ＝25－455＋1－55＝5＋1；③如解图⑤，D ′Q ⊥BC 于点G ，作EI ⊥BD 于点I ，由①得EI ＝255，BI ＝655，第4题解图④第4题解图⑤∵△DEQ 沿边EQ 翻折得到△D′EQ ，∴∠EQD ＝∠EQD′， ∴EG ＝EI ＝255，∵BE ＝22＋22＝22， ∴BG ＝BE －EG ＝22－255，∵∠GBQ ＝∠IBE ， ∴Rt △BQG ∽Rt △B EI ，∴BQ BE ＝BG BI ，即22BQ ＝22－255655， ∴BQ ＝453－223， 综上所述，当BQ 为655或5＋1或453－223时，将△DEQ 沿边EQ 翻折得到△D′EQ ，使得△D′EQ 与△BEQ 的重叠部分图形为直角三角形．5. 解：(1)在y ＝－12x 2＋2x ＋52中，令y ＝0，则－12x 2＋2x ＋52＝0，解得x 1＝－1，x 2＝5，则点A 的坐标是(－1，0)，点B 的坐标是(5，0)．抛物线y ＝－12x 2＋2x ＋52的对称轴是x ＝2，把x ＝2代入解析式得y ＝92，则点D 的坐标是(2，92)．设直线BD 的解析式是y ＝kx ＋b (k ≠0)，将B 、D 两点坐标代入得： ,29205⎪⎩⎪⎨⎧=+=+b k b k 解得,21523⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=b k∴直线BD 的解析式是y ＝－32x ＋152.(2)连接BC ，如解图①，y ＝－12x 2＋2x ＋52中，令x ＝0，则y ＝52，则点C 的坐标是(0，52)．设直线BC 的解析式y ＝mx ＋n (m ≠0)，则,0525⎪⎩⎪⎨⎧=+=n m n 解得,2125⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==m n 则直线BC 的解析式是y ＝－12x ＋52.∵S 四边形PBAC ＝S △ABC ＋S △BCP ，S △ABC ＝12AB ·OC ＝12×6×52＝152，∴△BCP 面积最大时，S 四边形PBAC 有最大值，设与BC 平行且与抛物线只有一个公共点的直线的解析式是y ＝－12x ＋d .则－12x 2＋2x ＋52＝－12x ＋d ，即x 2－5x ＋(2d －5)＝0，当Δ＝0时，x ＝52，代入y ＝－12x 2＋2x ＋52中得：y ＝358，则点P 的坐标是(52，358)．又∵点C 的坐标是(0，52)，设直线CP 的解析式是y ＝ex ＋f ，则,8352525⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=f e f 解得,4325⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==e f 则直线CP 的解析式是y ＝34x ＋52.根据题意得,215232543⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=x y x y 解得,625920⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==y x 则点F 的坐标是(209，256)．∴DF ＝（2－209）2＋（92－256）2＝1381，BF ＝（209－5）2＋（256－0）2＝8125324，则DF BF ＝138********＝225. (3)存在，点G 的坐标为(2，103)，(2，－107)，(2，－3)或(2，－7)．【解法提示】假设存在．设BK 的解析式是y ＝k′x ＋b ′(k ′≠0)，将点B (5，0)，K (0，－2)代入得,205'''⎪⎩⎪⎨⎧-==+b b k 解得,252''⎪⎩⎪⎨⎧-==b k ∴直线BK 的解析式是y ＝25x －2，设直线MN 的解析式为y ＝25x ＋m ，当y ＝0时，x ＝－52m ，即M (－52m ，0)，当x ＝0时，y ＝m ，即N (0，m )．△GM N 是以MN 为直角边的等腰直角三角形分两种情况： ①MG ＝MN ，∠GMN ＝90°，如解图②.第5题解图① 第5题解图② 第5题解图③ 第5题解图④∵∠MGE ＋∠GME ＝90°，∠GME ＋∠OMN ＝90°， ∴∠MGE ＝∠OMN . 在△GME 和△MNO 中,90⎪⎩⎪⎨⎧==∠=∠∠=∠︒MN MG NOM MEG NMO MGE ∴△GME ≌△MNO(AAS )， ∴ME ＝ON ，EG ＝OM ，当点M 在点E 右侧时，ME ＝－52m －2，ON ＝－m ，OM ＝－52m ，∴－52m －2＝－m ，解得m ＝－43.∴EG ＝OM ＝－52m ＝103，∴G 点的坐标为(2，103);当M 在线段OE 上时，如解图③，ME ＝2＋52m ，ON ＝－m ，EG ＝OM ＝－52m ，∴2＋52m ＝－m ，解得m ＝－47， ∴EG ＝OM ＝－52m ＝107，∴点G 的坐标为(2，－107)；当M 在点O 左侧时， 易得MN <MG ，∴此时不存在点G 使△GMN 为等腰直角三角形； ②NG ＝MN ，∠GNM ＝90°，过点N 作NF ⊥抛物线对称轴于点F ，如解图④所示．∵∠O NG ＋∠MNO ＝90°，∠ONG ＋∠GNF ＝90°， ∴∠MNO ＝∠GNF .在△GNF 和△MNO 中，,90⎪⎩⎪⎨⎧==∠=∠∠=∠︒MN NG GFN MON GNF MNO ∴△GNF ≌△MNO (AAS)， ∴NF ＝ON ，FG ＝OM ，当点N 在y 轴正半轴时，ON ＝m ，OM ＝52m ，∴2＝m .∴FG ＝OM ＝52m ＝5，EG ＝FG －EF ＝FG －ON ＝3，∴G 点的坐标为(2，－3)；当点N 在y 轴负半轴时，如解图⑤，ON ＝－m ，OM ＝－52m ，NF ＝2，第5题解图⑤ 第6题解图∴m ＝－2，∴OM ＝－52×(－2)＝5(此时M 与B 重合，N 与K 重合)，EG ＝EF ＋FG ＝ON ＋OM＝7，∴点G 的坐标为(2，－7)． 综上可知：在抛物线的对称轴上存在点G ，使得△GMN 是以MN 为直角边的等腰直角三角形，点G 的坐标为(2，103)，(2，－107)，(2，－3)或(2，－7)．6. 解：(1)△ABC 为直角三角形，理由如下：在抛物线y ＝－13x 2＋233x ＋3中，令y ＝0，得－13x 2＋233x ＋3＝0，解得x 1＝－3，x 2＝33，故A (－3，0)，B (33，0)． 令x ＝0，得y ＝3，故C (0，3)， ∵AC 2＝12，BC 2＝36，AB 2＝48， AC 2＋BC 2＝AB 2，∴△ABC 为直角三角形．(2)设直线BC 的解析式为y ＝kx ＋b ，将B (33，0)，C (0，3)代入，得,333⎩⎨⎧==+b b k 解得,333⎪⎩⎪⎨⎧=-=b k∴直线BC 的解析式为y ＝－33x ＋3， 如解图，过点P 作PR ∥y 轴交BC 于点R ，设P (t ，－13t 2＋233t ＋3)，则R (t ，－33t ＋3)，∴PR ＝－13t 2＋233t ＋3－(－33t ＋3)＝－13t 2＋3t ，则S △PCD ＝S △PRC －S △PRD ＝12·PR ·[x R －(x R －x D )]＝－36t 2＋32t ＝－36(t －332)2＋938， ∵0＜t <33，∴当t ＝332时，S △PCD 取得最大值，此时P (332，154)， 将P (332，154)向左平移3个单位，得P ′(32，154)，连接AP ′交y 轴于点N ，过点N 作NM ⊥抛物线对称轴于点M ，连接PM ，点Q 沿P →M →N →A 运动，所走的路径最短，即最短路径的长为PM ＋MN ＋AN.设直线AP ′的解析式为y ＝mx ＋n ，将A (－3，0)，P ′(32，154)代入，得：⎪⎩⎪⎨⎧=+=+-,4152303n m n m 解得,25365⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==n m ∴直线AP ′的解析式为y ＝563x ＋52， 令x ＝0，得y ＝52，故N (0，52)，∵AP ′＝（32＋3）2＋（154）2＝3374， MN ＝3，点Q 经过的最短路径等于PM ＋MN ＋AN ＝AP′＋MN ＝3374＋ 3. (3)∵∠CAO ＝60°，OA ＝OA 1， ∴△AA 1O 为等边三角形， ∴∠C 1OB ＝30°，∴C 1(323，32)， ∵E (3，4)，A (－3，0)，∴直线AE 的解析式为：y ＝233x ＋2，设A ′(t ，233t ＋2)，则E ′(t ＋23，233t ＋6)，A ′E ′2＝28，A ′C 12＝73t 2－733t ＋7，E ′C 12＝73t 2＋73t ＋21，①当A′C 1＝E′C 1时，73t 2－733t ＋7＝73t 2＋73t ＋21，解得t ＝－32，故E ′(323，5)；②当A′E ′＝A′C 1时，28＝73t 2－733t ＋7，解得t ＝3±392，∵t ＞－3，∴t ＝3＋392，故E ′(53＋392，7＋13)；③当A′E′＝E′C 1时，73t 2＋73t ＋21＝28，解得t ＝－33±392，∵t ＞－3，∴t ＝－33＋392，故E ′(3＋392，3＋13)．综上，所有符合条件的点E ′的坐标为(323，5)或(53＋392，7＋13)或(3＋392，3＋13)．。