第三章 数字信号处理课后答案刘顺兰版

第三章 部分习题解答

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3.1如果一台通用计算机的速度为平均每次复乘需100μs ，每次复加需20μs ，今用来计算N=1024点的)]([n x DFT ，问用直接运算需要多少时间，用FFT 运算需要多少时间？ 解： ∑−=====101010,21024,)()(N n nk N M N W

n x k X

直接运算所需的总时间为

s N N s N T d μμ20)1(1002×−+×=

秒分62126201023102410010242

=≈××+×=s s s μμ

FFT 运算所需总时间为 s NM s M N T F μμ201002

×+×=

s s s 717.02010102410010102421=××+×××=μμ

3.2在基-2FFT 算法中，最后一级或开始一级运算的系数10

==N p N W W ，即可以不做乘法运算。问（1）乘法可节省多少次，所占百分比为多少？ 解： 可节省

2

N 次，所占百分比为 %100log 1%100log 2

222×=×N N N N 如 8=N 则为%3.33%10031≈×

3.11以20kHz 的采样率对最高频率10kHz 的带限信号()a x t 采样，然后计算)(n x 的

1000N =个采样点的DFT ，即210()()N j nk N n X k x n e

π−−==∑，1000N =.

（1）试求频谱采样点之间的频率间隔是多少?

（2）在()X k 中，200k =对应的模拟频率是多少?

（3）在()X k 中，700k =对应的模拟频率是多少?

解:（1）频谱采样点之间的频率间隔为:

20000201000

s f f Hz N Δ=== （2）200k =对应的模拟频率为 20000200400041000

s k f f k Hz kHz N ==×== （3）因700k =大于N/2,故其对应的模拟频率为 20000()300600061000

s k f f N k Hz kHz N =−=×== 3.12 对一个连续时间信号)(t x α采样1s 得到一个4096个采样点的序列：

(1) 若采样后没有发生频谱混叠，)(t x α的最高频率是多少？

(2) 若计算采样信号的4096点DFT，DFT 系数之间的频率间隔是多少Hz?

(3) 假定我们仅仅对Hz f Hz 300200≤≤频率范围所对应的DFT 采样点感兴趣，若直

接用DFT，要计算这些值需要多少次复乘？若用按时间抽取FFT 则需要多少次？ 解：（1）由题意可知：4096s f Hz =，故)(t x α的最高频率/22048h s f f Hz == （2）409614096

s f f Hz N Δ=== （3）直接用DFT 计算，所需要的复乘次数为

(3002001)1014096413696d M N =−+=×=

若用按时间抽取FFT 则需要的复乘次数为

10log 204812245762

F N M N ==×= 3.17若给定两个实序列)(1n x 、)(2n x ，令：)()()(21n jx n x n g +=，)(k

G 为其傅里叶变换，可以利用快速傅里叶变换来实现快速运算，试利用傅里叶变换的性质求出用)(k G 表示的)(1n x 、)(2n x 的离散傅里叶变换)(1k X 、)(2k X 。

解： )()()(21n jx n x n g +=

)]()([21)()],()([2

1)(*2*1n g n g j n x n g n g n x −=+=

)()]([k G n g DFT =，利用离散傅里叶变换的性质：

)()]([**k N G n g DFT −=（此处暗含)()0(N G G =）

)]()([2

1)(*1k N G k G k X −+=∴ 10)],()([21)(*2−≤≤−−=N k k N G k G j

k X 3.18 已知)(),(k Y k X 是两个N 点实序列)()(n y n x 、的DFT 值，今需要从)()(k Y k X 、求

)()(n y n x 、值，为了提高运算效率，试设计用一个N 点IFFT 运算一次完成之。 解：令 )()()(k jY k X k Z +=

则 )()()]([)(n jy n x k Z IFFT n z +==

)]()([2

1)](Re[)(*n z n z n z n x +== )]()([21)](Im[)(*n z n z j

n z n y −== 即仅需由 )(k Z 进行一次N 点IFFT ，即可得)(n x ，)(n y 。

3.19 已知是,12,...,1,0),(−=N k k X N 2点实序列)(n x 的DFT 值，今需要由)(k X 求

)(n x 值，为提高运算效率，试设计用一个N 点IFFT 运算一次完成。

解；∑−=−≤≤=1

20

2120,)()(N n nk N N k W

n x k X 由时间抽取的FFT 可得： ∑∑−=−=++=1

021

0)12()2()(N n nk N k N N n nk N W n x W W n x k X 10),()(221−≤≤+=N k k X W k X k N

10),()()2(221−≤≤−=+N k k X W k X N k X k N

其中∑∑−=−=+==1

02101)12()(,)2()(N n nk N N n nk N W n x k X W n x k X